{ } { } En mängd är en samling objekt A = 0, 1. Ex: Mängder grundbegrepp 5 C. Olof M C = { 7, 1, 5} M = { Ce, Joa, Ch, Je, Id, Jon, Pe}

Transkript

1 Mängder grundbegrepp En mängd är en samling objekt Ex: { } { } A = 0, 1 B = 0 C = { 7, 1, 5} tomma mängden (har inga element) D = { 1, 2, 3,, 10} M = { Ce, Joa, Ch, Je, Id, Jon, Pe} kallas element i mängden mängden av alla hela tal mellan 1 och 10 mängden av mattelärare på skolan 5 C Olof M elementet 5 tillhör mängden C Olof tillhör inte M

2 Ex: N = { 0, 1, 2, 3, } mängden av alla naturliga tal Mängder grundbegrepp Z = {, 2, 1, 0, 1, 2, } mängden av alla hela tal

3 Ex: N = { 0, 1, 2, 3, } mängden av alla naturliga tal Mängder grundbegrepp Z = {, 2, 1, 0, 1, 2, } mängden av alla hela tal Tillbaka till D: D = { x x är ett heltal och 1 x 10}

4 Ex: N = { 0, 1, 2, 3, } mängden av alla naturliga tal Mängder grundbegrepp Z = {, 2, 1, 0, 1, 2, } mängden av alla hela tal Tillbaka till D: D = { x x är ett heltal och 1 x 10} mängden av alla x sådana att x är ett heltal mellan 1 och 10 namn på godtyckligt element i mängden beskrivning (påstående som är sant för de x som är element i mängden)

5 Ex: N = { 0, 1, 2, 3, } mängden av alla naturliga tal Mängder grundbegrepp Z = {, 2, 1, 0, 1, 2, } mängden av alla hela tal Tillbaka till D: D = { x x är ett heltal och 1 x 10} mängden av alla x sådana att x är ett heltal mellan 1 och 10 namn på godtyckligt element i mängden beskrivning (påstående som är sant för de x som är element i mängden) Ännu kompaktare: D = { x x Z, 1 x 10}

6 Mängder grundbegrepp Om varje element i en mängd B också tillhör mängden A, kallas B delmängd av A. Skrivs B A eller A B

7 Mängder grundbegrepp Om varje element i en mängd B också tillhör mängden A, kallas B delmängd av A. Skrivs B A eller A B Om B A men B A är B en äkta delmängd av A. Skrivs B A eller A B

8 Mängder grundbegrepp Om varje element i en mängd B också tillhör mängden A, kallas B delmängd av A. Skrivs B A eller A B Om B A men B A är B en äkta delmängd av A. Skrivs B A Notera att eller A B är delmängd av varje mängd.

9 Mängder grundbegrepp Om varje element i en mängd B också tillhör mängden A, kallas B delmängd av A. Skrivs B A eller A B Om B A men B A är B en äkta delmängd av A. Skrivs B A Notera att eller A B är delmängd av varje mängd. En mängd med n element har 2 n delmängder.

10 Låt A och B vara två mängder som är delmängder av någon grundmängd G. Mängdoperationer G A B

11 Låt A och B vara två mängder som är delmängder av någon grundmängd G. Snittet av A och B: A B = x x A och x B { } G A B Mängdoperationer G A B

12 Låt A och B vara två mängder som är delmängder av någon grundmängd G. Mängdoperationer G A B Snittet av A och B: A B = x x A och x B { } Unionen av A och B: A B = { x x A eller x B} G G A A B B

13 Låt A och B vara två mängder som är delmängder av någon grundmängd G. Mängdoperationer G A B Snittet av A och B: A B = x x A och x B { } Unionen av A och B: A B = { x x A eller x B} Mängddifferensen av A och B: A B = { x x A och x B} G G G A A A B B B

14 Låt A och B vara två mängder som är delmängder av någon grundmängd G. Mängdoperationer G A B Snittet av A och B: A B = x x A och x B { } Unionen av A och B: A B = { x x A eller x B} Mängddifferensen av A och B: A B = { x x A och x B} Komplementet till A med avseende på G: A C = G A G G G G A A A A B B B Alla element som ingår i både A och B ingår i A eller B eller i båda [ eller/och ] ingår i A men inte i B ingår i G men inte i A

15 Om A och B inte har något gemensamt element (det vill säga om A B = ) sägs de vara disjunkta. G A B Venndiagram

16 Om A och B inte har något gemensamt element (det vill säga om A B = ) sägs de vara disjunkta. G A B Antalet element i en mängd M betecknas M Venndiagram

17 Om A och B inte har något gemensamt element (det vill säga om A B = ) sägs de vara disjunkta. G A B Antalet element i en mängd M betecknas M Venndiagram Principen om inklusion och exklusion: A B = A + B A B

18

19 Om n + 1 föremål ska placeras i n lådor måste åtminstone en låda innehålla två eller flera av föremålen. Lådprincipen

20 Om n + 1 föremål ska placeras i n lådor måste åtminstone en låda innehålla två eller flera av föremålen. Lådprincipen

21 Om n + 1 föremål ska placeras i n lådor måste åtminstone en låda innehålla två eller flera av föremålen. Lådprincipen

22 Om n + 1 föremål ska placeras i n lådor måste åtminstone en låda innehålla två eller flera av föremålen. Lådprincipen Om n k + 1 föremål ska placeras i n lådor måste åtminstone en låda innehålla k + 1 eller fler av föremålen. n k

23 Additionsprincipem, multiplikationsprincipen Om ett (1) föremål ska väljas från en mängd med p olika föremål eller från en mängd med q olika föremål, kan detta göras på på p + q sätt.

24 Additionsprincipem, multiplikationsprincipen Om ett (1) föremål ska väljas från en mängd med p olika föremål eller från en mängd med q olika föremål, kan detta göras på på p + q sätt. Om ett första val kan göras på p sätt och ett andra val kan göras på q sätt, så kan de båda valen utförda efter varandra göras på p q sätt.

25

26 Permutationer Permutation: uppräkning av ett antal element i en viss ordning

27 Permutation: uppräkning av ett antal element i en viss ordning A B C Permutationer ABC ACB BAC BCA CAB CBA

28 Permutationer Permutation: uppräkning av ett antal element i en viss ordning Antalet permutationer av n element är n! = n (n 1) (n 2) där n är ett positivt heltal. A B C ABC ACB BAC BCA CAB CBA

29 Permutationer Permutation: uppräkning av ett antal element i en viss ordning Antalet permutationer av n element är n! = n (n 1) (n 2) där n är ett positivt heltal. 0! =1 (def.) A B C ABC ACB BAC BCA CAB CBA

30 Permutationer (ordnat urval) Permutation: uppräkning av ett antal element i en viss ordning Antalet permutationer av n element är n! = n (n 1) (n 2) där n är ett positivt heltal. (ordnade urval) Antalet permutationer av k element bland n givna element är n! P(n, k) = (n k)! 0! =1 (def.) Ex: 2 kort bland 4: A B C D AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC A B C ABC ACB BAC BCA CAB CBA P(4, 2) = 4 3 =12

31 Bilda ord Ex 1: Hur många ord med tre bokstäver kan bildas av bokstäverna i ordet BRA?

32 Ex 1: Hur många ord med tre bokstäver kan bildas av bokstäverna i ordet BRA? Antal ord = 3! = 3 2 1= 6 Bilda ord BRA BAR ABR ARB RAB RBA

33 Ex 1: Hur många ord med tre bokstäver kan bildas av bokstäverna i ordet BRA? Ex 2: Hur många olika ord med tre bokstäver kan bildas av bokstäverna i ordet OMM? Antal ord = 3! = 3 2 1= 6 Bilda ord BRA BAR ABR ARB RAB RBA

34 Ex 1: Hur många ord med tre bokstäver kan bildas av bokstäverna i ordet BRA? Ex 2: Hur många olika ord med tre bokstäver kan bildas av bokstäverna i ordet OMM? Antal ord = 3! = 3 2 1= 6 BRA BAR ABR Skriv OMM som OM 1 M 2. Notera att t.ex. OM 2 M 1 och OM 1 M 2 är samma ord. M 1 och M 2 kan kombineras på 2! = 2 1= 2 sätt. Bilda ord ARB RAB RBA Det finns alltså Antal olika ord = 2! dubbletter av varje ord. 3! 2! = 3 OMM, MOM, MMO

35 Bilda ord Ex 3: Hur många olika ord med fem bokstäver kan bildas av bokstäverna i ordet MUMMA?

36 Ex 3: Hur många olika ord med fem bokstäver kan bildas av bokstäverna i ordet MUMMA? Skriv MUMMA som M 1 UM 2 M 3 A. Notera att t.ex. M 3 UM 2 M 1 A och M 3 UM 1 M 2 A är samma ord. M 1, M 2 och M 3 kan kombineras på 3! = 6 sätt. Bilda ord Det finns alltså Antal olika ord = 3! dubbletter av varje ord. 5! 3! = 20

37 Ex 3: Hur många olika ord med fem bokstäver kan bildas av bokstäverna i ordet MUMMA? Ex 4: Hur blir det med MAMMA då? Skriv MUMMA som M 1 UM 2 M 3 A. Notera att t.ex. M 3 UM 2 M 1 A och M 3 UM 1 M 2 A är samma ord. M 1, M 2 och M 3 kan kombineras på 3! = 6 sätt. Bilda ord Det finns alltså Antal olika ord = 3! dubbletter av varje ord. 5! 3! = 20

38 Ex 3: Hur många olika ord med fem bokstäver kan bildas av bokstäverna i ordet MUMMA? Ex 4: Hur blir det med MAMMA då? Bilda ord Skriv MUMMA som M 1 UM 2 M 3 A. Notera att t.ex. M 3 UM 2 M 1 A och M 3 UM 1 M 2 A är samma ord. M 1, M 2 och M 3 kan kombineras på Det finns alltså Antal olika ord = 3! 3! = 6 sätt. dubbletter av varje ord. 5! 3! = 20 Skriv MAMMA som M 1 A 1 M 2 M 3 A 2. M 1, M 2 och M 3 kan kombineras på Antal olika ord = 3! A 1 och A 2 kan kombineras på 2! sätt. 5! 3! 2! = 5! 3! 2! =10 sätt.

39 Kombination: urval av element ur en mängd utan hänsyn till ordningen Ex: 2 kort bland 4: A B C D Antalet permutationer = P(4, 2) = 4 3 =12 Kombinationer AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC

40 Kombination: urval av element ur en mängd utan hänsyn till ordningen Ex: 2 kort bland 4: A B C D Antalet permutationer = P(4, 2) = 4 3 =12 Kombinationer AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC Två element kan kombineras (ordnas) på 2! sätt. Antalet kombinationer C(4, 2) = P(4, 2) 2! = = 12 2 = 6

41 Kombinationer Kombination: urval av element ur en mängd utan hänsyn till ordningen Ex: 2 kort bland 4: A B C D AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC Antalet kombinationer av k element bland n element är n! C(n, k) = k!(n k)! = n k Antalet permutationer = P(4, 2) = 4 3 =12 Två element kan kombineras (ordnas) på 2! sätt. Antalet kombinationer C(4, 2) = P(4, 2) 2! Observera att n k = = 12 2 = 6 = n n k

42

43 möjligt resultat vid ett slumförsök Ett slumpförsök kan resultera i olika utfall. Utfallsrum (för ett försök): mängden av alla möjliga utfall Ex: Tärning kastas en gång. Ω = { etta, tvåa, trea, fyra, femma, sexa} Sannolikhetslära Händelse: delmängd av utfallsrummet P(A) sannolikheten för en händelse A Om alla utfall har samma sannolikhet: P(A) = antal gynnsamma utfall antal möjliga utfall A = { tvåa} B = { trea, fyra, femma, sexa} P(A) = 1 6 P(B) = 4 6

44 komplementet till A Komplementhändelse till en händelse A: A C P(A C ) =1 P(A) P(A) =1 P(A C ) Ex: Tärning kastas en gång. Ω = { etta, tvåa, trea, fyra, femma, sexa} A = { tvåa, trea, fyra, femma, sexa} Sannolikhetslära G A A C = { etta} P(A) =1 P(A C ) =1 1 6 = 5 6

45

46

47 Binomialsatsen binomialkoefficienter (a + b) n = n 0 a n + n 1 a n 1 b + + n k a n k b k + n n b n där n k = n! k!(n k)! Binomialsatsen Pascals triangel term nr 1 term nr 2 term nr k + 1 term nr n

48 Binomialsatsen binomialkoefficienter (a + b) n = n 0 a n + n 1 a n 1 b + + n k a n k b k + n n b n där n k = n! k!(n k)! Binomialsatsen Pascals triangel term nr 1 term nr 2 term nr k + 1 term nr n Pascals formel n k = n 1 k + n 1 k 1

49 EJ KLART! Grafteori