Statistik. Det finns tre sorters lögner: lögn, förbannad lögn och statistik
|
|
- Oliver Gustafsson
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Statistik Statistik betyder ungefär sifferkunskap om staten Statistik är en gren inom tillämpad matematik som sysslar med insamling, utvärdering, analys och presentation av data eller information. Verkligheten är en kombination av systematik och slump. Råkade Du väga Dig vid olycklig tidpunkt (slumpen), eller har Din vikt förändrats (systematik)? Det finns tre sorters lögner: lögn, förbannad lögn och statistik Vad ska man med verklighet till när det finns statistik? Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 1
2 Deskriptiv informera, kartlägga Hypotesprövande Fyra syften med statistik Verifiera eller förkasta ett antagande (hypotes) Utredande kausala samband, orsakssammanhang Prognosticerande vad händer i framtiden?, vad händer om vi gör så här? alltför många försöker spå om framtiden, utan att ens kunna historien Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 2
3 Några vanliga begrepp Total undersökning hela populationen studeras Stickprovsundersökning del av populationen studeras Stickprov - en del av populationen Element (individ) - de som information söks om Mängden av dessa element kallas ofta population. Populationen kan vara ändlig eller oändlig. Validitet - mäter vi det vi avser att mäta? Reliabilitet - är de mätningar vi gör tillförlitliga? Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 3
4 Fler vanliga begrepp Kvalitativ - icke-numerisk variabel; färg, ogift, god mat, attityd, servicegrad, kundnöjdhet (kan ges siffervärden) Kvantitativ - numerisk variabel Kontinuerlig - alla (oändligt antal) värden inom ett intervall Diskret - vissa (ändligt antal) värden inom ett intervall Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 4
5 Något om mätskalor Variabel Kvalitativ (Icke-numerisk) Kvantitativ (Numerisk) Nominalskala (enbart klassificering) Ordinalskala (ordning) Intervallskala (ording + differens) Kvotskala (ordning + differens + kvot) Ex. Betyg Ex. Vikt Ex. Temp ( K) Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 5
6 Ett exempel på stickprovsundersökning (icke-experimentell undersökning) En firma tillverkar en typ av mätapparat till vilken det behövs kretskort. Det blir dyrt om man får in för många defekta kretskort i produktionen varför underleverantören av kretskorten lovar högst 0,5% defekta kretskort. Kretskorten ligger i förpackningar med i varje. Man undersöker 200 på måfå utvalda kort ur varje förpackning. I en sändning på 80 förpackningar fick man följande resultat. (Detta är ett exempel på diskret variation) Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 6
7 Ett exempel på stickprovsundersökning (icke-experimentell undersökning) Antal defekta kretskort bland 200 utvalda i 80 förpackningar. Grunddata Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 7
8 Ett exempel på stickprovsundersökning (icke-experimentell undersökning) Frekvenstabell för antalet defekta kretskort Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 8
9 Ett exempel på stickprovsundersökning (icke-experimentell undersökning) Stolpdiagram Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 9
10 Ett exempel på stickprovsundersökning (icke-experimentell undersökning) % Stolpdiagram, Relativa frekvenser Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 10
11 Ett exempel på stickprovsundersökning (icke-experimentell undersökning) Trappstegskurva för antalet defekta kretskort Kumulativ relativ frekvens % Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 11
12 Ett exempel på stickprovsundersökning (icke-experimentell undersökning) Trappstegskurva för antalet defekta kretskort Kumulativ relativ frekvens Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 12
13 Ett exempel på stickprovsundersökning (icke-experimentell undersökning) Totalt valdes 200*80 = kretskort ut för undersökning. Stickprovstorlek är på 16000, n = Stickprovet valdes ut bland totalt 80*10000 = kort. Populationsstorleken är på , N = Felkvoten i stickprovet var 168/16000 = = 1.05 % dvs något större än den utlovade. Hur säkra uttalanden kan man göra om felkvoten? Är det statistiskt säkert att felkvoten överstiger 0.5%? För att svara på dessa frågor behövs sannolikhetsteori! Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 13
14 Ett exempel till på stickprovsundersökning (Experimentell undersökning) I en järnmalmsgruva gjordes ett fullskaleförsök för att bl.a. studera hur lång tid det tar att fylla en 2 m 3 vagn med malm. Man noterade tiden från det att lastmaskinen började köra in i berghögen tills att lastaren kopplade loss vagnen. Följande resultat erhölls. (Detta är ett exempel på kontinuerlig variation) Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 14
15 Ett exempel till på stickprovsundersökning (Experimentell undersökning) Tidsåtgång vid lastning i sek. Grunddata 85,80,85,77,101,109,111,109,148,183,153,78,84,80,94,104,96, ,112,103,122,155,153,128,172,69,84,99,110,112,181,176,79,94 111,111,118,133,140,80,84,100,101,122,129,73,75,111,96,126,147 90,103,100,96,116,128,86,80,97,118,124,150,96,105,83,99,140,79 78,87,107,134,140,79,87,104,153,134,82,91,104,128,76,108, ,117,110,149,119,121,116,114,130,90,97,127,113,96,106,107, 108,128,110,109,85,95,116,118,110,91,126,97,121,107,104,129, 06,112,91,119,118,105 Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 15
16 Ett exempel på stickprovsundersökning (icke-experimentell undersökning) Frekvenstabell för tidsåtgång vid lastning, Klassindelat material Tidsåtgång Frekvens Rel.frekvens Kum.frekvens Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 16
17 Ett exempel på stickprovsundersökning (icke-experimentell undersökning) Histogram tidsåtgång vid lastning Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 17
18 Ett exempel på stickprovsundersökning (icke-experimentell undersökning) Histogram tidsåtgång vid lastning, kumulativ relativ frekvens Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 18
19 Ett exempel på stickprovsundersökning (icke-experimentell undersökning) 1) Vad är den genomsnittliga tidsåtgången? Den genomsnittliga tidsåtgången är ) Hur mycket varierar det? Standardavvikelsen i stickprovet är ) Hur stor andel av vagnarna överstiger 2 min? Andelen av vagnarna som överstiger 2 min är 28%. Hur säkra är dessa uttalanden? För att svara på dessa frågor behövs sannolikhetsteori! Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 19
20 Beskrivande statistik Lägesmått Medelvärde, Median, m, (2:a kvartil Q 2 ) Typvärde, T Spridningsmått Standardavvikelse, s (Varians, s 2 ) Kvartilavstånd, Q = Q 3 - Q 1 Variationsbredd, R Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 20
21 Medelvärde: Lägesmått Summan av alla värden delat med antalet värden Mathematica: Mean[Data] Median: En storleksordnad datamängd kan delas in i 4 kvartiler, 25% av materialet är, % är och 75% är eller 25% är Matematica: Median[Data], Quartiles[Data] Typvärde, T Det värde som förekommer flest gånger. Mathematica: Commonest[Data] Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 21
22 Standardavvikelse: Spridningsmått Genomsnittliga kvadratiska skillnaden mot medelvärdet Varians: Mathmatica: Standarddeviation[Data], Variance[Data] Kvartilavstånd: 50% av materialet mellan och Mathmatica: Quantile[Data,0.75] - Quantile[Data,0.25] Variationsbred: Mathematica: Max[Data]-Min[Data] Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 22
23 Resultat, kretskort Medelvärdet,. Varje förpackning innehåller 2.1 defekta kretskort. Varians och standardavvikelse.. Medianen, m = 2 50% av förpackningarna innehåller 2 eller fler defekta kretskort. Typvärdet, T = 1 En typisk förpackning innehåller ett defekt kretskort. Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 23
24 Resultat, lastning Medelvärdet,. I genomsnitt tog det s. att lasta vagnen. Varians och standardavvikelse.. Medianen, m = 108 s. 50% av ggr. tog det 108 s. att lasta vagnen 1:a kvartil,., 25% av ggr tog det högst 94 s. att lasta vagnen. 3:e kvartil,.., 75% av ggr tog det högst s. att lasta vagnen Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 24
25 Liten statistisk ordlista Individ Undersökningsobjekt i en statistisk undersökning. Population En definierad grupp individer med någon gemensam egenskap. Variabel En egenskap man studerar hos en individ. Kvantitativ variabel En variabel som mäts med numeriska mätvärden. Kvalitativ variabel En icke-numerisk variabel. Innebär klassificering. Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 25
26 Diskret variabel Kvantitativ variabel som endast kan anta vissa värden, ofta heltalsvärden. Kontinuerlig variabel Kvantitativ variabel som i princip kan anta alla värden i ett intervall. Nominalskala Lägsta datanivån, klassificering av den studerade variabeln Ordinalskala Föreligger då mätvärden kan rangordnas Intervallskala Förutom rangordning av data är skillnader mellan mätvärden meningsfulla Kvotskala Liten statistisk ordlista fortsätter Har intervallskalans egenskaper och en absolut nollpunkt. Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 26
27 Sannolikhetsteori Sannolikhetsteorin kan ses som teorin om slumpmässiga försök Def: Med ett slumpmässigt försök menas ett försök vars resultat inte säkert kan förutsägas. Klassiska exempel: Slå en tärning, drag 5 kort ur en kortlek, ta en lott Men det kan också vara: Antalet defekta kretskort i en förpackning, Tidsåtgång vid lastning Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 27
28 Utfallsrum, händelse och komplement Definitioner: Resultatet av ett slumpmässigt försök kallas utfall. Mängden av alla möjliga utfall av ett slumpmässigt försök kallas utfallsrum (Ω) En samling utfall kallas händelse (A, B, C,.) Grundmängd Delmängd Komplementet till A Utfallsrummet, Ω Komplementhändelse A C Händelsen A Händelsen A Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 28
29 Unions-, snitt- och disjunkta händelser Då man undersöker händelser kan man med fördel använda mängdlärans symboler. Unionshändelse, A B Snitthändelse, A B Disjunkta händelser Minst en av händelserna A och B inträffar A eller B inträffar både A och B inträffar A och B kan ej inträffa samtidigt, A B = ( = tomma mängden) Unionshändelse Snitthändelse Disjunkta händelser Händelsen A Händelsen B Händelsen A Händelsen B Händelsen A Händelsen B Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 29
30 Definition av sannolikhet Klassiska definitionen, sid 41 i Vännman Det finns m möjliga utfall med lika sannolikhet. Om händelse A innefattar g av utfallen blir sannolikheten för händelsen A Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 30
31 Definition av sannolikhet Matematisk definition, s.48 i Vännman En funktion P, som till varje händelse A i utfallsrummet Ω, ordnar ett reellt tal P(A), är ett sannolikhetsmått, [P(A) kallas sannolikheten för A], om P har följande egenskaper (Kolmogorovs axiomsystem): 1. 0 b P(A) b 1, för alla A 2. P(Ω) = 1 3. P(A B) = P(A) + P(B), om A och B är disjunkta Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 31
32 Sannolikhet som relativ frekvens Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 32
33 Räkneregler för sannolikheter Sats 2 B (Komplementsatsen) P(A C ) = 1 - P(A) Sats 2 C (Additionssatsen 2 händelser) P(A Β) = P(A) + P(B) - P(A B) (Kan utvidgas till flera händelser) ex 3 händelser P(A Β C) = = P(A) + P(B) + P(C) - P(A B) - P(A C) - P(B C) + P(A B C) Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 33
34 Kombinatorik - Multiplikationsprincipen Om N stycken operationer (moment) utföras. Den första operationen kan utföras på n 1 sätt, den andra på n 2 sätt och den N:te på n N sätt. Då kan de N operationerna kan utföras på n 1 n 2... n N olika sätt. Operation 1 n 1 olika sätt Operation 2 n 2 olika sätt... Operation k n k olika sätt Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 34
35 Kombinatorik - Urval utan återlägg Välj n element bland N st Med hänsyn till ordningen: Antalet möjliga Permutationer är Med Mathematica:!/( )! Utan hänsyn till ordningen: Antalet möjliga Kombinationer är! Med Mathematica: Binomial[N,n]!!!!! Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 35
36 Kombinatorik - Urval med återlägg Välj n element bland N st Med hänsyn till ordningen: Antalet möjliga Permutationer är Utan hänsyn till ordningen: Antalet möjliga Kombinationer är Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 36
37 Betingad sannolikhet Med den betingade sannolikheten,, menas sannolikheten för händelsen A givet att händelsen B Inträffat och definieras som Det ger följande nyttiga omskrivning: Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 37
38 Betingad sannolikhet Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 38
39 Satsen om total sannolikhet och Bayes sats (står inte i boken) Om händelserna tillsammans fyller hela Ω dvs H i = Φ och då gäller för varje händelse A att P(A) = H n i= 1 j P(H i H,H 1 2 n U i= 1 )P(A H i,..., H H i n = Ω är parvis oförenliga och ) (total sannolikhet) P(H A) i = n j= 1 P(H i P(H )P(A H j i ) )P(A H j ) (Bayessats) Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 39
40 Definition Oberoende händelser Två händelser sägs vara oberoende av varandra om Om A och B är oberoende gäller Om B har inträffat påverkar detta inte sannolikheten för att A ska inträffa. OBS!! Förväxla inte oberoende och disjunkta händelser!! Exempel på oberoende händelser: flera kast med en tärning. Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 40
41 Oberoende upprepade försök - Sats 2D Ett försök upprepas n oberoende gånger. A är en händelse som inträffar med sannolikheten p i ett försök. Sannolikheten att händelsen A inträffar k gånger under de n försöken är P(A inträffar k gånger) = Med Mathematica: PDF[BinomialDistribution[n,p],k] P(A) = p P(A) = p P(A) = p 1 2 n A A... A Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 41
Föreläsning 1, Matematisk statistik Π + E
Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Föreläsning 1, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 4 november 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F1 1/26 Introduktion Sannolikhetsteori
Läs merMatematisk statistik 9 hp för I, Pi, C, D och fysiker Föreläsning 1: Introduktion och Sannolikhet
Matematisk statistik 9 hp för I, Pi, C, D och fysiker Föreläsning 1: Introduktion och Sannolikhet Anna Lindgren 30+31 augusti 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F1: Sannolikhet 1/27 Praktiska
Läs merMatematisk statistik 9hp för: C,D,I, Pi
Matematisk statistik 9hp för: C,D,I, Pi Föreläsning 1, Sannolikhet Stas Volkov September 12, 2017 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F1: Sannolikhet 1/27 Tillämpningar Praktiska detaljer Matematisk
Läs merFöreläsning 1, Matematisk statistik för M
Föreläsning 1, Matematisk statistik för M Erik Lindström 23 mars 2015 Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS035 F1 1/30 Tillämpningar Praktiska detaljer Matematisk statistik slumpens matematik Sannolikhetsteori:
Läs merStatistikens grunder HT, dagtid Statistiska institutionen
Statistikens grunder 1 2013 HT, dagtid Statistiska institutionen Orsak och verkan N Kap 2 forts. Annat ord: kausalitet Något av det viktigaste för varje vetenskap. Varför? Orsakssamband ger oss möjlighet
Läs merMatematisk statistik - Slumpens matematik
Matematisk Statistik Matematisk statistik är slumpens matematik. Började som en beskrivning av spel, chansen att få olika utfall. Brevväxling mellan Fermat och Pascal 1654. Modern matematisk statistik
Läs merFöreläsning 2. Kapitel 3, sid Sannolikhetsteori
Föreläsning 2 Kapitel 3, sid 47-78 Sannolikhetsteori 2 Agenda Mängdlära Kombinatorik Sannolikhetslära 3 Mängdlära Används för att hantera sannolikheter Viktig byggsten inom matematik och logik Utfallsrummet,
Läs merFöreläsning G70 Statistik A
Föreläsning 1 732G70 Statistik A 1 Population och stickprov Population = den samling enheter (exempelvis individer) som vi vill dra slutsatser om. Populationen definieras på logisk väg med utgångspunkt
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Grundbegrepp, axiomsystem, betingad sannolikhet, oberoende händelser, total sannolikhet, Bayes sats Uwe Menzel uwe.menzel@slu.se 23 augusti 2017 Slumpförsök Ett försök
Läs merStatistik 1 för biologer, logopeder och psykologer
Innehåll 1 2 Diskreta observationer Kontinuerliga observationer 3 Centralmått Spridningsmått Innehåll 1 2 Diskreta observationer Kontinuerliga observationer 3 Centralmått Spridningsmått Vad är statistik?
Läs mer732G70, 732G01 Statistik A 7hp
732G70, 732G01 Statistik A 7hp Linda Wänström (linda.wanstrom@liu.se) Tommy Schyman (tommy.schyman@liu.se) Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin 1 Statistik är en gren inom
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, BETINGAD SANNOLIKHETER, OBEROENDE. Tatjana Pavlenko.
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 2 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, BETINGAD SANNOLIKHETER, OBEROENDE HÄNDELSER Tatjana Pavlenko 26 mars, 2015 SANNOLIKHETSGRUNDER (REPETITION) Slumpförsöket
Läs merUtfall, Utfallsrummet, Händelse. Sannolikhet och statistik. Utfall, Utfallsrummet, Händelse. Utfall, Utfallsrummet, Händelse
Utfall, Utfallsrummet, Händelse Sannolikhet och statistik Sannolikhetsteorins grunder HT 2008 Uwe.Menzel@math.uu.se http://www.math.uu.se/ uwe/ Denition 2.1 Resultatet av ett slumpmässigt försök kallas
Läs merExempel: Väljarbarometern. Föreläsning 1: Introduktion. Om Väljarbarometern. Statistikens uppgift
Exempel: Väljarbarometern Föreläsning 1: Introduktion Matematisk statistik Det som typiskt karakteriserar ett statistiskt problem är att vi har en stor grupp (population) som vi vill analysera. Vi kan
Läs merSannolikhetsteori. Måns Thulin. Uppsala universitet Statistik för ingenjörer 23/ /14
1/14 Sannolikhetsteori Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 23/1 2013 2/14 Dagens föreläsning Relativa frekvenser Matematik för händelser Definition av sannolikhet
Läs merDeskriptiv statistik. Andrew Hooker. Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University
Deskriptiv statistik Andrew Hooker Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University Deskriptiv statistik Tabeller Figurer Sammanfattande mått Vilken
Läs merTypvärde. Mest frekventa värdet Används framförallt vid nominalskala Ex: typvärdet. Kemi 250. Ekon 570. Psyk 120. Mate 195.
Lägesmått Det kan ibland räcka med ett lägesmått för att beskriva datamaterial Lägesmåttet kan vara bra att använda då olika datamaterial skall jämföras Vilket lägesmått som skall användas: Typvärde Median
Läs merFöreläsning 1: Introduktion
Föreläsning 1: Introduktion Matematisk statistik Chalmers University of Technology Mars 23, 2015 Lärare och kurslitteratur : Rum: E-mail: Anders Hildeman: Rum: E-mail: Kursansvarig och föreläsare H3018
Läs merFöreläsning 1. 732G60 Statistiska metoder
Föreläsning 1 Statistiska metoder 1 Kursens uppbyggnad o 10 föreläsningar Teori blandas med exempel Läggs ut några dagar innan på kurshemsidan o 5 räknestugor Tillfälle för individuella frågor Viktigt
Läs merSannolikhetsbegreppet
Kapitel 3 Sannolikhetsbegreppet Betrakta följande försök: Ett symmetriskt mynt kastas 100 gånger och antalet krona observeras. Antal kast 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Antal krona 6 12 16 21 25 30 34
Läs merKolmogorovs Axiomsystem Kolmogorovs Axiomsystem Varje händelse A tilldelas ett tal : slh att A inträar Sannolikheten måste uppfylla vissa krav: Kolmog
Slumpvariabel (Stokastisk variabel) Resultat av ett slumpförsök - utgången kann inte kontrolleras Sannolikhet och statistik Sannolikhetsteorins grunder VT 2009 Resultatet kan inte förutspås, men vi vet
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 1. Jan Grandell & Timo Koski 01.09.2008 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 01.09.2008 1 / 48 Inledning Vi ska först ge några exempel på
Läs merMatematisk Statistik och Disktret Matematik, MVE051/MSG810, VT19
Matematisk Statistik och Disktret Matematik, MVE051/MSG810, VT19 Nancy Abdallah Chalmers - Göteborgs Universitet March 25, 2019 1 / 36 1. Inledning till sannolikhetsteori 2. Sannolikhetslagar 2 / 36 Lärare
Läs merFöreläsning 1: Introduktion
Föreläsning 1: Introduktion Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology March 22, 2014 Lärare och kurslitteratur David Bolin: Rum: E-mail: Fredrik Boulund: Rum: E-mail: Kursansvarig,
Läs mer2 Dataanalys och beskrivande statistik
2 Dataanalys och beskrivande statistik Vad är data, och vad är statistik? Data är en samling fakta ur vilken man kan erhålla information. Statistik är vetenskapen (vissa skulle kalla det konst) om att
Läs merBeskrivande statistik Kapitel 19. (totalt 12 sidor)
Beskrivande statistik Kapitel 19. (totalt 12 sidor) För att åskådliggöra insamlat material från en undersökning används mått, tabeller och diagram vid sammanställningen. Det är därför viktigt med en grundläggande
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, KORT OM BESKRIVANDE STATISTIK. Tatjana Pavlenko.
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 1 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, KORT OM BESKRIVANDE STATISTIK Tatjana Pavlenko 23 mars, 2015 KURSINFORMATION Blom m.fl. Sannolokhetsteori och statistikteori
Läs merStatistiska undersökningar
Arbetsgång vid statistiska undersökningar Problemformulering, målsättning Statistiska undersökningar Arbetsgången mm Definition av målpopulation Framställning av urvalsram Urval Utformning av mätinstrument
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 1. Jan Grandell & Timo Koski 19.01.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 19.01.2016 1 / 65 Många tänker på tabeller 1 när de hör ordet statistik.
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, STATISTIK BETINGADE SANNOLIKHETER, OBEROENDE. Tatjana Pavlenko.
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 2 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, BETINGADE SANNOLIKHETER, OBEROENDE HÄNDELSER Tatjana Pavlenko 30 augusti, 2016 SANNOLIKHETSGRUNDER (REPETITION) Slumpförsöket
Läs merTMS136. Föreläsning 1
TMS136 Föreläsning 1 Varför? Om vi gör mätningar vill vi kunna modellera och kvantifiera de osäkerheter som obönhörligen finns Om vi handlar med värdepapper vill kunna modellera och kvantifiera de risker
Läs mer3 Grundläggande sannolikhetsteori
3 Grundläggande sannolikhetsteori Ämnet sannolikhetsteori har sin grund i studier av hasardspel utförda under 1500- och 1600-talen av bland andra Gerolamo Cardano, Pierre de Fermat och Blaise Pascal. Mycket
Läs merKvantitativ forskning C2. Viktiga begrepp och univariat analys
+ Kvantitativ forskning C2 Viktiga begrepp och univariat analys + Delkursen mål n Ni har grundläggande kunskaper över statistiska analyser (univariat, bivariat) n Ni kan använda olika programvaror för
Läs merFöreläsning 1: Introduktion
Föreläsning 1: Introduktion Matematisk statistik Chalmers University of Technology August 29, 2016 Lärare : Rum: E-mail: Anders Hildeman: Rum: E-mail: Sandra Eriksson Barman: Rum: E-mail: Kursansvarig
Läs merStatistikens grunder. Mattias Nilsson Benfatto, Ph.D
Statistikens grunder Mattias Nilsson Benfatto, Ph.D Vad är statistik? Statistik är en gren inom tillämpad matematik som sysslar med insamling, utvärdering, analys och presentation av data eller information.
Läs merF2 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT )
Stat. teori gk, ht 2006, JW F2 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT 4.1-4.2) Ordlista till NCT Random experiment Outcome Sample space Event Set Subset Union Intersection Complement Mutually exclusive Collectively exhaustive
Läs merFMS012/MASB03: Matematisk statistik 9.0 hp för F+fysiker Föreläsning 1: Sannolikhet
FMS012/MASB03: Matematisk statistik 9.0 hp för F+fysiker Föreläsning 1: Sannolikhet Anna Lindgren 18 januari 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F1: Sannolikhet 1/27 Tillämpningar Praktiska
Läs mer732G01/732G40 Grundläggande statistik (7.5hp)
732G01/732G40 Grundläggande statistik (7.5hp) 2 Grundläggande statistik, 7.5 hp Mål: Kursens mål är att den studerande ska tillägna sig en översikt över centrala begrepp och betraktelsesätt inom statistik.
Läs merKap 2: Några grundläggande begrepp
Kap 2: Några grundläggande begrepp Varför sannolikhetslära är viktigt? Vad menar vi med sannolikhetslära? Träddiagram? Vad är den klassiska, empiriska och subjektiva sannolikheten? Vad menar vi med de
Läs merSF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 1 Mängdlära Grundläggande sannolikhetsteori Kombinatorik Deskriptiv statistik
SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 1 Mängdlära Grundläggande sannolikhetsteori Kombinatorik Deskriptiv statistik Jörgen Säve-Söderbergh Information om kursen Kom ihåg att
Läs merStatistisk slutledning (statistisk inferens): Sannolikhetslära: GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSLÄRA. Med utgångspunkt från ett stickprov
OSÄKERHET Sannolikhetslära: Om det i ett område finns 32 % med universitetsexamen, vad är sannolikheten att ett stickprov kommer att innehålla 31-33 % med universitetsexamen? Om medelåldern i en population
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker. Matematisk statistik slumpens matematik. Tillämpningar för matematisk statistik.
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 1 Johan Lindström 4 september 2018 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03 F1 2/29 Matematisk statistik slumpens matematik Sannolikhetsteori:
Läs mer1 Föreläsning I, Vecka I: 5/11-11/11 MatStat: Kap 1, avsnitt , 2.5
1 Föreläsning I, Vecka I: 5/11-11/11 MatStat: Kap 1, avsnitt 2.1-2.2, 2.5 Introduktion till kursen. Grundläggande sannolikhetslära. Mängdlära, händelser, sannolikhetsmått Händelse följer samma räkneregler
Läs merTvå innebörder av begreppet statistik. Grundläggande tankegångar i statistik. Vad är ett stickprov? Stickprov och urval
Två innebörder av begreppet statistik Grundläggande tankegångar i statistik Matematik och statistik för biologer, 10 hp Informationshantering. Insamling, ordningsskapande, presentation och grundläggande
Läs merBeskrivande statistik
Beskrivande statistik Sorina Barza Department of Mathematics, Karlstad University, Sweden October 5, 2010 Vad är beskrivande statistik? Sammanställning av statistiska material Vad är beskrivande statistik?
Läs merBiostatistik: Begrepp & verktyg. Kvantitativa Metoder II: teori och tillämpning.
Biostatistik: Begrepp & verktyg Kvantitativa Metoder II: teori och tillämpning Lovisa.Syden@ki.se BIOSTATISTIK att hantera slumpmässiga variationer! BIO datat handlar om levande saker STATISTIK beskriva
Läs merStatistik 1 för biologer, logopeder och psykologer
Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Satistik och sannolikhetslära Statistik handlar om att utvinna information från data. I praktiken inhehåller de data
Läs merÖvning 1 Sannolikhetsteorins grunder
Övning 1 Sannolikhetsteorins grunder Två händelser A och B är disjunkta om {A B} =, det vill säga att snittet inte innehåller några element. Om vi har en mängd händelser A 1, A 2, A 3,..., A n, vilka är
Läs merTAMS79: Föreläsning 1 Grundläggande begrepp
TMS79: Föreläsning 1 Grundläggande begrepp Johan Thim 31 oktober 2018 1.1 Begrepp Ett slumpförsök är ett försök där resultatet ej kan förutsägas deterministiskt. Slumpförsöket har olika möjliga utfall.
Läs merFöreläsning G70, 732G01 Statistik A
Föreläsning 3 732G70, 732G01 Statistik A Introduktion till sannolikhetslära Sannolikhetslära: område inom statistiken där vi studerar experiment vars utfall beror av slumpen Sannolikhet: numeriskt värde
Läs merInstitutionen för lingvistik och filologi VT 2014 (Marco Kuhlmann 2013, tillägg och redaktion Mats Dahllöf 2014).
UPPSALA UNIVERSITET Matematik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 (Marco Kuhlmann 2013, tillägg och redaktion Mats Dahllöf 2014). 9 Sannolikhet Detta kapitel
Läs merTMS136. Föreläsning 1
TMS136 Föreläsning 1 Varför? Om vi gör mätningar vill vi modellera och kvantifiera de osäkerheter som obönhörligen finns Om vi handlar med värdepapper vill vi modellera och kvantifiera de risker som finns
Läs merProvmoment: Tentamen 2 Ladokkod: 61ST01 Tentamen ges för: SSK06 VHB. TentamensKod: Tentamensdatum: Tid:
Vetenskaplig teori och metod Provmoment: Tentamen 2 Ladokkod: 61ST01 Tentamen ges för: SSK06 VHB 7,5 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 2012-11-09 Tid: 09.00-11.00 Hjälpmedel: Inga hjälpmedel
Läs merFöreläsning 2, Matematisk statistik för M
Repetition Stok. Var. Diskret Kont. Fördelningsfnk. Föreläsning 2, Matematisk statistik för M Erik Lindström 25 mars 2015 Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F2 1/16 Repetition Stok. Var. Diskret
Läs merFöreläsning 1. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi
Föreläsning 1 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Kursens uppbyggnad 9 föreläsningar Föreläsningsunderlag läggs ut på kurshemsidan 5 lektioner Uppgifter från kursboken enligt planering 5 laborationer
Läs merTMS136. Föreläsning 2
TMS136 Föreläsning 2 Slumpförsök Med slumpförsök (random experiment) menar vi försök som upprepade gånger utförs på samma sätt men som kan få olika utfall Enkla exempel är slantsingling och tärningskast
Läs merFinansiell statistik, vt-05. Sannolikhetslära. Mängder En mängd är en samling element (objekt) 1, 2,, F2 Sannolikhetsteori. koppling till verkligheten
Johan, Koskinen, Statistiska institutionen, Stockholms universitet Finansiell statistik, vt-05 F2 Sannolikhetsteori Sannolikhetslära koppling till verkligheten mängdlära räkna med sannolikheter definitioner
Läs merMatematisk statistik 9hp Föreläsning 2: Slumpvariabel
Matematisk statistik 9hp Föreläsning 2: Slumpvariabel Anna Lindgren 6+7 september 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F2: Slumpvariabel 1/23 Begrepp Samband Grundläggande begrepp Utfall
Läs merFöreläsning G70 Statistik A
Föreläsning 2 732G70 Statistik A Introduktion till sannolikhetslära Sannolikhetslära: område inom statistiken där vi studerar experiment vars utfall beror av slumpen Sannolikhet: numeriskt värde (mellan
Läs merBearbetning och Presentation
Bearbetning och Presentation Vid en bottenfaunaundersökning i Nydalasjön räknade man antalet ringmaskar i 5 vattenprover. Följande värden erhölls:,,,4,,,5,,8,4,,,0,3, Det verkar vara diskreta observationer.
Läs mer13.1 Matematisk statistik
13.1 Matematisk statistik 13.1.1 Grundläggande begrepp I den här föreläsningen kommer vi att definiera och exemplifiera ett antal begrepp som sedan kommer att följa oss genom hela kursen. Det är därför
Läs merFöreläsning 1. Grundläggande begrepp
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 2009) Föreläsning 1 Sannolikhetsteori (LLL Kap 5) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level course,
Läs merFöreläsning 12: Repetition
Föreläsning 12: Repetition Marina Axelson-Fisk 25 maj, 2016 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI Grundläggande sannolikhetsteori Utfall = resultatet av ett försök Utfallsrum S = mängden av alla utfall Händelse
Läs merSTOCKHOLMS UNIVERSITET VT 2009 Statistiska institutionen Jörgen Säve-Söderbergh
STOCKHOLMS UNIVERSITET VT 2009 Statistiska institutionen Jörgen Säve-Söderbergh Skriftlig tentamen på momentet Statistisk dataanalys I (SDA l), 3 högskolepoäng ingående i kursen Undersökningsmetodik och
Läs mer1 Föreläsning I, Mängdlära och elementär sannolikhetsteori,
1 Föreläsning I, Mängdlära och elementär sannolikhetsteori, LMA201, LMA521 1.1 Mängd (Kapitel 1) En (oordnad) mängd A är en uppsättning av element. En sådan mängd kan innehålla ändligt eller oändlligt
Läs merFöreläsning 2 Deskription (forts). Index Deskription: diagram som stapeldiagram, histogram mm (tex spridningsdiagram, Mera om mätnivåer
Föreläsning 2 Deskription (forts). Index Deskription: diagram som stapeldiagram, histogram mm (tex spridningsdiagram, boxplot ) Deskription: lägesmått, spridningsmått Indexserie med bastidpunkt, förändring,
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende Jan Grandell & Timo Koski 14.01.2013 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 14.01.2013 1 / 25 Repetition:
Läs merhändelsen som alltid inträffar. Den tomma mängden representerar händelsen som aldrig inträffar.
Marco Kuhlmann Detta är en kompakt sammanfattning av momentet sannolikhetslära som ingår i kurserna Matematik 1b och 1c på gymnasiet. 1 Grundläggande begrepp 1.01 När vi singlar slant eller kastar tärning
Läs merKombinatorik och sannolikhetslära
Grunder i matematik och logik (2018) Kombinatorik och sannolikhetslära Marco Kuhlmann Sannolikhetslära Detta avsnitt är för det mesta en kompakt sammanfattning av momentet sannolikhetslära som ingår i
Läs mer1.1 Diskret (Sannolikhets-)fördelning
Föreläsning III. Diskret (Sannolikhets-)fördelning Med diskret menas i matematik, att något antar ett ändligt antal värden eller uppräkneligt oändligt med värden e.vis {, 2, 3,...}. Med fördelning menas
Läs merInnehåll. Frekvenstabell. II. Beskrivande statistik, sid 53 i E
Innehåll I. Grundläggande begrepp II. Deskriptiv statistik (sid 53 i E) III. Statistisk inferens Hypotesprövnig Statistiska analyser Parametriska analyser Icke-parametriska analyser 1 II. Beskrivande statistik,
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 1
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 1 Sannolikhetslära (LLL Kap 5) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level course,
Läs merRepetitionsföreläsning
Population / Urval / Inferens Repetitionsföreläsning Ett företag som tillverkar byxor gör ett experiment för att kontrollera kvalitén. Man väljer slumpmässigt ut 100 par som man utsätter för hård nötning
Läs merSF1914/SF1916: SANNOLIKHETSTEORI OCH GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, STATISTIK KORT OM BESKRIVANDE STATISTIK. Tatjana Pavlenko.
SF1914/SF1916: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 1 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, KORT OM BESKRIVANDE STATISTIK Tatjana Pavlenko 27 augusti, 2018 KURSINFORMATION Blom m.fl. Sannolikhetsteori
Läs merFöreläsning 2, FMSF45 Slumpvariabel
Föreläsning 2, FMSF45 Slumpvariabel Stas Volkov 2017-09-05 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F2: Slumpvariabel 1/23 Begrepp Samband Grundläggande begrepp och beteckningar Utfall resultatet
Läs merSF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH DISKRETA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 23 mars, 2018
SF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 3 DISKRETA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 23 mars, 2018 PLAN FÖR DAGENSFÖRELÄSNING Repetition av betingade sannolikheter, användbara satser
Läs merIntroduktion till sannolikhetslära. Människor talar om sannolikheter :
F9 Introduktion till sannolikhetslära Introduktion till sannolikhetslära Människor talar om sannolikheter : Sannolikheten att få sju rätt på Lotto Sannolikheten att få stege på en pokerhand Sannolikheten
Läs merSannolikhetslära. 1 Enkel sannolikhet. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Sannolikhet och relativ frekvens. Marco Kuhlmann
Marco Kuhlmann Detta kapitel behandlar grundläggande begrepp i sannolikhetsteori: enkel sannolikhet, betingad sannolikhet, lagen om total sannolikhet och Bayes lag. 1 Enkel sannolikhet Den klassiska sannolikhetsteorin,
Läs merBeskrivande statistik
Beskrivande statistik Tabellen ovan visar antalet allvarliga olyckor på en vägsträcka under 15 år. år Antal olyckor 1995 36 1996 20 1997 18 1998 26 1999 30 2000 20 2001 30 2002 27 2003 19 2004 24 2005
Läs merF9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT
Stat. teori gk, ht 006, JW F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT 7.1-7.4) Ordlista till NCT Sample Population Simple random sampling Sampling distribution Sample mean Standard error The central limit theorem Proportion
Läs merMatematisk statistik fo r B, K, N, BME och Kemister. Matematisk statistik slumpens matematik. Beskriva Data Florence Nightingale.
Matematisk statistik fo r B, K, N, BME och Kemister Fo rela sning 1 Johan Lindstro m 28 augusti 2017 Johan Lindstro m - johanl@maths.lth.se FMSF70/MASB02 F1 2/18 Tilla mpningar Matematisk statistik slumpens
Läs merMATEMATIK ARBETSOMRÅDET LIKABEHANDLING Kränkande handlingar, nätmobbning, rasism och genus
MATEMATIK ARBETSOMRÅDET LIKABEHANDLING Kränkande handlingar, nätmobbning, rasism och genus STATISTIK/DIAGRAM VAD ÄR STATISTIK? En titt på youtube http://www.youtube.com/watch?v=7civnkawope Statistik omfattar
Läs merMatematisk statistik for B, K, N, BME och Kemister. Matematisk statistik slumpens matematik. Beskriva Data Florence Nightingale. Forel.
Matematisk statistik for B, K, N, BME och Kemister asning Forel 1 Johan Lindstrom 29 augusti 2016 Johan Lindstr om - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F1 2/21 Till ampningar Matematisk statistik slumpens
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Grundbegrepp, axiomsystem, betingad sannolikhet, oberoende händelser, total sannolikhet, Bayes sats Uwe Menzel, 2018 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de
Läs merSatsen om total sannolikhet och Bayes sats
Satsen om total sannolikhet och Bayes sats Satsen om total sannolikhet Ibland är det svårt att direkt räkna ut en sannolikhet pga att händelsen är komplicerad/komplex. Då kan man ofta använda satsen om
Läs merSTOCKHOLMS UNIVERSITET HT 2007 Statistiska institutionen Johan Andersson
1 STOCKHOLMS UNIVERSITET HT 2007 Statistiska institutionen Johan Andersson Skriftlig omtentamen på momentet Statistisk dataanalys I (SDA l, beskrivande statistik) 3 högskolepoäng, ingående i kursen Undersökningsmetodik
Läs mer1 Mätdata och statistik
Matematikcentrum Matematik NF Mätdata och statistik Betrakta frågeställningen Hur mycket väger en nyfödd bebis?. Frågan verkar naturlig, men samtidigt mycket svår att besvara. För att ge ett fullständigt
Läs merFöreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 2 HT07
Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 2 HT07 Bengt Ringnér August 31, 2007 1 Inledning Detta är preliminärt undervisningsmaterial. Synpunkter är välkomna. 2 Händelser och sannolikheter
Läs merF4 Beskrivning av ett datamaterial. Val av diagram, lägesmått och spridningsmått.
Tabellering av kvalitativ variabel En variabel varierar över ett antal kategorier. F4 Beskrivning av ett datamaterial. Val av diagram, lägesmått och spridningsmått. T ex, individer är kvinnor eller män.
Läs merF5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4)
Stat. teori gk, ht 006, JW F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.1-5.3, samt del av 5.4) Ordlista till NCT Random variable Discrete Continuous Probability distribution Probability distribution function Cumulative
Läs merTentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 1, 4p 12 november 2005, kl
Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för statistik Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 1, 4p 1 november 005, kl. 09.00-13.00 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formel-
Läs merMatematisk statistik
Matematisk statistik för STS vt 2004 2004-03 - 23 Bengt Rosén Matematisk statistik Ämnet matematisk statistik omfattar de två delområdena Sannolikhetsteori Statistikteori Bloms A - bok behandlar sannolikhetsteori,
Läs merFöreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012
Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår
Läs merSTOCKHOLMS UNIVERSITET HT 2006 Statistiska institutionen Johan Andersson
1 STOCKHOLMS UNIVERSITET HT 2006 Statistiska institutionen Johan Andersson Skriftlig tentamen på momentet Beskrivande statistik SDA l, 2 poäng ingående i kurserna Grundkurs i statistik 20 p samt Undersökningsmetodik
Läs merTentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1
Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1 Tentamentsskrivning i Matematisk Statistik med Metoder MVE490 Tid: den 16 augusti, 2017 Examinatorer: Kerstin Wiklander och Erik Broman. Jour:
Läs merSTOCKHOLMS UNIVERSITET HT 2008 Statistiska institutionen Johan Andersson
1 STOCKHOLMS UNIVERSITET HT 2008 Statistiska institutionen Johan Andersson Skriftlig tentamen på momentet Statistisk dataanalys I (SDA l), 3 högskolepoäng ingående i kursen Undersökningsmetodik och statistisk
Läs merValfritt läromedel för kurs Matematik B Exempel: Räkna med Vux B, Gleerups förlag. Tag kontakt med examinator om du har frågor
Våren 010 PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik B Kurskod MA 10 Gymnasiepoäng 50 Läromedel Prov Muntligt prov Valfritt läromedel för kurs Matematik B Exempel: Räkna med Vux B, Gleerups förlag Skriftligt
Läs mer36 poäng. Lägsta poäng för Godkänd 70 % av totalpoängen vilket motsvarar 25 poäng. Varje fråga är värd 2 poäng inga halva poäng delas ut.
Vetenskaplig teori och metod Provmoment: Tentamen 3 Ladokkod: VVT012 Tentamen ges för: SSK05 VHB 7,5 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 2012-04-27 Tid: 09.00-11.00 Hjälpmedel: Inga hjälpmedel
Läs merSannolikheter och kombinatorik
Sannolikheter och kombinatorik En sannolikhet är ett tal mellan 0 och 1 som anger hur frekvent en händelse sker, där 0 betyder att det aldrig sker och 1 att det alltid sker. När vi talar om sannolikheter
Läs mer