Föreläsning 1. Grundläggande begrepp
|
|
- Ola Berg
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 2009) Föreläsning 1 Sannolikhetsteori (LLL Kap 5) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level course, 7,5 ECTS, Spring 2009) 1 Grundläggande begrepp Slumpförsök är ett försök, som kan upprepas under likartade förhållanden, och där resultatet vid varje enskild upprepning inte kan förutsägas med säkerhet Utfall resultat av ett slumpförsök Utfallsrum mängden (samling) av alla möjliga utfall av ett försök (betecknas med S) Händelse delmängd av utfallsrummet ( = en samling av ett eller flera utfall, inklusive tommängd och S) 2
2 Exempel Slumpförsök: Tärningskast Utfall: 1, 2, 3, 4, 5, eller 6: Utfallsrum: S = [1, 2, 3, 4, 5, 6] Händelser: Låt A vara händelsen att få ett jämnt antal prickar Låt B vara händelsen att få minst 4 prickar Då är A = [2, 4, 6] och B = [4, 5, 6] 3 Exempel (forts ) Slumpförsök: Tärningskast Utfall: 1, 2, 3, 4, 5, eller 6: Utfallsrum: S = [1, 2, 3, 4, 5, 6] Händelser: Låt C vara händelsen att få ett udda antal prickar Låt D vara händelsen att få högst 3 prickar Låt E vara händelsen att få sexa Låt F vara händelsen att inte få sexa Låt G vara händelsen att få en sjua 4
3 Mer om händelser Med symboler och begrepp från mängdläran kan vi bilda nya händelser och uttrycka egenskaper hos händelser tex: Snitt - A S B, är händelsen att både A och B inträffar A A B B 5 Mer om händelser A och B är disjunkta (varandra uteslutande, ömsesidigt uteslutande) om de kan inte inträffa samtidigt: dvs A B är tommängd S A B 6
4 Mer om händelser Union - A U B, är händelsen att A eller B (eller båda) inträffar S A B Den rosa färgen ger A U B 7 Mer om händelser Händelserna E 1, E 2, E k are Uttömmande händelser om E 1 U E 2 U U E k = S Komplement av A (betecknas ) är händelsen att A inte inträffar Obs: A och A är Uttömmande eftersom A U A = S Dessutom är de ömsesidigt uteslutande (varför?) S A A 8
5 Exempel Slumpförsök: Tärningskast Utfall: 1, 2, 3, 4, 5, eller 6: Utfallsrum: S = [1, 2, 3, 4, 5, 6] Händelser: Låt A vara händelsen att få ett jämnt antal prickar Låt B vara händelsen att få minst 4 prickar Då är A = [2, 4, 6] och B = [4, 5, 6] 9 Exempel (forts ) S = [1, 2, 3, 4, 5, 6] A = [2, 4, 6] B = [4, 5, 6] Komplement: A = [1, 3, 5] B = [1, 2, 3] Snitt: Union: A B = [4, 6] A B = [2, 4, 5, 6] A B = [5] A A = [1, 2, 3, 4, 5, 6] = S 10
6 Exempel (forts ) S = [1, 2, 3, 4, 5, 6] A = [2, 4, 6] B = [4, 5, 6] Ömsesidigt uteslutande? A och B are inte ömsesidigt uteslutande eftersom A Uttömmande? B = [4, 5] är inte tommängd A och B are inte uttömmande eftersom A U B = [2, 4, 5, 6] är inte lika som S 11 Sannolikhet av ett händelse Sannolikheten för händelsen A betecknas med P(A) är ett slags mått på hur säkert det är att händelsen skall inträffa P(A) är ett tal mellan 0 och 1 (inklusive): 0 P(A) Säker Tre olika definitioner av sannolikhet: 0 Omöjligt 12
7 1 Den klassiska sannolikhetsdefinitionen Ett slumpförsök har n möjliga utfall, alla lika möjliga Av dessa utfall är det n A stycken som gynnar händelsen A (innebär att händelsen A inträffar) Då är: antal"gynnsamma" utfall P(A) = na = n antal möjliga utfall 13 Kommentar Vad menas med att de möjliga utfall skall vara lika möjliga? Oklart! Om det betyder att utfallen skall ha lika sannolikhet, så förutsätter ju den klassiska sannolikhetsdefinitionen att man redan vet vad sannolikheten är Då är det egentligen inte fråga om någon definition utan snarare en regel som talar om hur man kan beräkna sannolikheten för en händelse, ifall man redan vet att alla utfall har lika sannolikhet 14
8 2 Den frekventistiska sannolikhetsdefinitionen Sannolikheten för händelsen A uppfattas som den relativa frekvens med vilken A inträffar vid en mycket lång serie upprepningar av slumpförsöket: P(A) relativa frekvensen för händelsen A i det långa loppet Man tänker sig att den relativa frekvensen för A i det långa loppet tenderar att stabilisera sig på en viss nivå Hur vet man att det är så? Man brukar hänvisa till gjorda iakttagelser av de relativa frekvensernas stabilitet 15 Den frekventistiska sannolikhetsdefinitionen Ex: Relativa frekvensernas stabilitet En serie på 500 kast med ett mynt har simulerats med Minitab Relativa frekvensen krona vid växande antal kast har registrerats Relativ frekven s kron a vid växan de an tal kast m ed ett m yn t 1,0 0,9 Rel frekv krona 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,5 0,3 0, Kast nr
9 3 Den subjektiva sannolikhetsdefinitionen Sannolikhet antas uttrycka grad av tilltro P(A) = mått på hur starkt en person tror på påståendet att A skall inträffa Kommentar: (1) Olika personer kan ha olika stark tilltro till ett och samma påstående (2) Inget krav att slumpförsöket skall kunna upprepas 17 Att räkna antal möjliga utfall Ett arrangemang av n olika objekt i en bestämd ordning kallas för permutation av objekten Hur många olika permutationer kan man bilda av n olika objekt? n! = n(n-1)(n-2) (1) n! kallas för n-fakultet (eng n factorial ) 0! = 1 (definition) Ex På hur många olika sätt kan vi permutera det tre objekten A, B, C? 3 * 2 * 1 = 6 ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA 18
10 Att räkna antal möjliga utfall Permutationer: Antalet olika sätt att välja ut r objekt från n objekt (r < n) när dragningsordningen är viktigt är: n Pr n! = n Pr = (n r)! Kombinationer: Antalet olika sätt att välja ut r objekt från n objekt (r < n) när dragningsordningen är inte viktigt är: n C r n n! = nc r = = r r!(n r)! 19 Att räkna antal möjliga utfall (exempel) På hur många sätt kan man välja ut tre objekt från de fem objekten A, B, C, D, och E? om dragningsordningen är viktigt har vi: n! 5! 5! 5 * 4 * 3 * 2 * 1 P n 5 r = = P 3 = = = = 60 (n r)! (5 3)! 2! 2 * 1 om dragningsordningen inte är viktigt har vi: n n n! 5 5 5! 120 C r = = = C 3 = = = = 10 r r! (n r)! 3 3! (5 3)! 6( 2 ) ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE 20
11 Att räkna antal möjliga utfall (exempel) På hur många sätt kan man välja ut 5 kort från en vanlig kortlek med 52 kort? En förening har 20 medlemmar Bland dessa skall väljas en ordförande, en sekreterare, och en kassör På hur många olika sätt detta göras? Hur många kommitté av 3 personer från 5 personer? Hur många flagor av tre färg från 5 färger? 21 Några räkneregler för sannolikheter Vi utgår från tre grundantaganden: (1) Vi har ett slumpförsök med utfallsrummet S = {O 1, O 2,, O n } 2 Varje utfall, O i, har en sannolikhet P(O i ) (i = 1, 2,, n) 3 Dessa sannolikheter uppfyller villkoren 0 P(O i ) 1 (i = 1, 2,, n) n P(O 1 ) + P(O 2 ) + + P(O n ) = P( Oi ) = 1 i= 1 Av dessa antaganden, plus definitionen, följer formellt ett antal resultat, vilka i fortsättningen får betraktas som etablerade räkneregler vid lösning av sannolikhetsproblem 22
12 Sannolikhetsregler (satser) För varje händelse A, är 0 P(A) 1 P(S) = 1 Komplementsatsen: P( A) = 1 P(A) dvs, P(A) + P(A) = P( S) = 1 Additionssatsen: För två händelser A och B gäller P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 23 Ett sannolikhetstabell Sannolikheter för två händelser A och B kan sammanfattas enligt tabellen nedan: B B A P(A B) P(A B) P(A) A P( A B) P( A B) P(A) P(B) P(B) P(S) = 10 24
13 Additionssatsen: Exempel Kortdragning från kortlek 52 kort (två färger, fyra typer): Låt händelsen A vara att kortet är rött Låt händelsen B vara att kortet är ett ess 25 Additionssatsen: Exempel (forts) P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A B) = 26/52 + 4/52-2/52 = 28/52 Color Type Red Black Total Ace Non-Ace Total Räkna ej de två röda ess två gånger 26
14 Additionssatsen: exempel (forts) Vid tillverkning av en produkt kan två slags fel, A och B, uppkomma, ibland båda felen tillsammans: Vi vet att P(A) = 0,01, P(B) = 0,02, och P(A B) = 0,005 Vad är sannolikheten att a) en produkt skall ha minst ett av de två felen? b) en produkt skall vara felfri? c) en produkt skall ha exakt ett fel felfri? 27 Betingad Sannolikhet Ibland vill man veta hur stor sannolikheten är för en händelse B, ifall vi vet att en annan händelse A redan har inträffat Detta kallas för den betingade sannolikheten för B, givet att A har inträffat och betecknas P(B A) Den betingade sannolikheten för B, givet A, definieras som: P(A B) P(B A) = P(A) Den betingade sannolikheten för A, givet B, definieras som: P(A B) P(A B) = P(B) 28
15 Betingad sannolikhet: exempel Anta att 70% av bilar har AC (air conditioning), 40% av bilar har CD (CD spelare), och att 20% av bilar har både och Vad är sannolikheten att en bil med AC har CD? dvs, vad är P(CD AC) 29 Betingad sannolikhet: exempel 20% AC &CD 40% CD 70% AC CD No CD Total AC No AC Total P(CD AC) 02 P(CD AC) = = = P(AC)
16 Betingad sannolikhet: exempel Givet AC, vi begränsar oss till den övre raden (70% av bilarna) Av dessa, 20% har CD spelare 20% av 70% ger 2857% CD No CD Total AC No AC Total P(CD AC) 02 P(CD AC) = = = P(AC) Multiplikationssatsen För två händelser A and B: och/eller P(A B) = P(A B)P(B) P(A B) = P(B A)P(A) 32
17 Multiplikationssatsen P(Rött Ess) = P(Rött Ess)P(Ess) 2 = = 2 52 # ess med rött färg = totall # kort = 2 52 Color Type Red Black Total Ace Non-Ace Total Oberoende händelser Ordet oberoende kan betyda olika saker Vi skall här tala om sannolikhetsteoretisk oberoende mellan händelser Två händelser, A och B, sägs vara oberoende (i sannolikhetsteoretisk mening), om det P(A B) = P(A) P(B) gäller att P(A B) = P(A) P(B)>0 Om A and B är oberoende händelser, gäller att P(B A) = P(B) P(A)>0 34
18 Oberoende händelser: exempel Anta att 70% av bilar har AC, 40% av bilar har CD, och att 20% av bilar har både och CD No CD Total AC No AC Total Är händelserna AC och CD oberoende? 35 Betingad sannolikhet: exempel (fort) P(AC CD) = 02 CD No CD Total AC No AC Total P(AC) = 07 P(CD) = 04 P(AC)P(CD) = (07)(04) = 028 P(AC CD) = 02 P(AC)P(CD) = 028 Händelserna AC och CD är ej oberoende 36
19 Utfall från bivariata händelser B 1 B 2 B k A 1 P(A 1 B 1 ) P(A 1 B 2 ) P(A 1 B k ) A 2 P(A 2 B 1 ) P(A 2 B 2 ) P(A 2 B k ) A h P(A h B 1 ) P(A h B 2 ) P(A h B k ) 37 Simultan- och marginell sannolikheter Simultant sannolikhet, P(A B): P(A B) = # utfall som "gynnar" både A och B totall # utfall Beräkning av marginella sannolikheter: P(A) = P(A B1) + P(A B2) + L+ P(A B k ) där B 1, B 2,, B k är k ömsesidigt uteslutande och uttömmande händelser 38
20 Marginell sannolikheter: exempel P(Ess) 2 2 = P(Ess Rött) + P(Ess Svart) = + = Color Type Red Black Total Ace Non-Ace Total Träddiagram Givet AC eller ej: Alla bilar Har AC Har inte AC Har CD eller ej: P(AC)= 7 P(AC)= 3 Har CD Har inte CD Har CD P(AC CD) = 02 P(AC CD) = 05 P(AC CD) = 02 Har inte CD 1 3 P(AC CD) = 01 40
21 P(E i A) P(A E i)p(e i) = P(A) 1 Bayessats P(A E i)p(e i) = P(A E )P(E ) + P(A E )P(E ) + K+ P(A E )P(E ) 1 där E 1, E 2,, E k är of k ömsesidigt uteslutande och uttömmande händelser, och A är en händelse som kan påverka P(E i ) 2 2 k k 41 Bayessats: exempel Mobiltelefoner tillverkas av 3 fabriker, E 1, E 2, E 3, i andel 35:40:25 2%, 4%, resp 5% av produkterna i de tre fabrik är defekt a) Vad är sannolikheten att ett slumpmässigt vald mobil är defekt b) Givet att ett slumpmässigt vald mobil är defekt, vad är sannolikheten att det är tillverkad av fabrik E 1? 42
22 Bayessats: exempel (forts) Låt A vara händelsen att ett slumpmässigt vald mobil är defekt Då har vi följande info: P(E1) = 035, P(E2) = 040, P(E3) = 025 P(A E 1 ) = 002, P(A E 2 ) = 004, P(A E 3 ) = 005 och söker a) P(A) och b) P(E 1 A) 43 Bayessats: exempel (a) P(A) = P(E 1 A) + P(E 2 A) + P(E 3 A) = P(E 1 )P(A E 1 ) + P(E 2 )P(A E 2 ) + P(E 3 )P(A E 3 ) = (035)(00 2) + (040)( 004) = (025)(00 5) 44
23 P(E1 A) Bayessats: exempel (b) = = P(A E1)P(E1) P(A) P(A E1)P(E1) P(A E1)P(E1) + P(A E2)P(E2) + P(A E3)P(E3) som ger (035)(002) P(E1 A) = (035)(002) + (040)(004) + (025)(005) = = =
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 1
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 1 Sannolikhetslära (LLL Kap 5) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level course,
Läs merF2 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT )
Stat. teori gk, ht 2006, JW F2 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT 4.1-4.2) Ordlista till NCT Random experiment Outcome Sample space Event Set Subset Union Intersection Complement Mutually exclusive Collectively exhaustive
Läs merKap 2: Några grundläggande begrepp
Kap 2: Några grundläggande begrepp Varför sannolikhetslära är viktigt? Vad menar vi med sannolikhetslära? Träddiagram? Vad är den klassiska, empiriska och subjektiva sannolikheten? Vad menar vi med de
Läs merFöreläsning 2. Kapitel 3, sid Sannolikhetsteori
Föreläsning 2 Kapitel 3, sid 47-78 Sannolikhetsteori 2 Agenda Mängdlära Kombinatorik Sannolikhetslära 3 Mängdlära Används för att hantera sannolikheter Viktig byggsten inom matematik och logik Utfallsrummet,
Läs merIntroduktion till sannolikhetslära. Människor talar om sannolikheter :
F9 Introduktion till sannolikhetslära Introduktion till sannolikhetslära Människor talar om sannolikheter : Sannolikheten att få sju rätt på Lotto Sannolikheten att få stege på en pokerhand Sannolikheten
Läs merMatematisk Statistik och Disktret Matematik, MVE051/MSG810, VT19
Matematisk Statistik och Disktret Matematik, MVE051/MSG810, VT19 Nancy Abdallah Chalmers - Göteborgs Universitet March 25, 2019 1 / 36 1. Inledning till sannolikhetsteori 2. Sannolikhetslagar 2 / 36 Lärare
Läs merTMS136. Föreläsning 1
TMS136 Föreläsning 1 Varför? Om vi gör mätningar vill vi kunna modellera och kvantifiera de osäkerheter som obönhörligen finns Om vi handlar med värdepapper vill kunna modellera och kvantifiera de risker
Läs merFöreläsning 1, Matematisk statistik Π + E
Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Föreläsning 1, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 4 november 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F1 1/26 Introduktion Sannolikhetsteori
Läs merStatistisk slutledning (statistisk inferens): Sannolikhetslära: GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSLÄRA. Med utgångspunkt från ett stickprov
OSÄKERHET Sannolikhetslära: Om det i ett område finns 32 % med universitetsexamen, vad är sannolikheten att ett stickprov kommer att innehålla 31-33 % med universitetsexamen? Om medelåldern i en population
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Grundbegrepp, axiomsystem, betingad sannolikhet, oberoende händelser, total sannolikhet, Bayes sats Uwe Menzel uwe.menzel@slu.se 23 augusti 2017 Slumpförsök Ett försök
Läs merMatematisk statistik 9 hp för I, Pi, C, D och fysiker Föreläsning 1: Introduktion och Sannolikhet
Matematisk statistik 9 hp för I, Pi, C, D och fysiker Föreläsning 1: Introduktion och Sannolikhet Anna Lindgren 30+31 augusti 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F1: Sannolikhet 1/27 Praktiska
Läs merMatematisk statistik 9hp för: C,D,I, Pi
Matematisk statistik 9hp för: C,D,I, Pi Föreläsning 1, Sannolikhet Stas Volkov September 12, 2017 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F1: Sannolikhet 1/27 Tillämpningar Praktiska detaljer Matematisk
Läs merF3 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT ) För komplementhändelsen A till händelsen A gäller att
Stat. teori gk, ht 2006, JW F3 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT 4.3-4.4) Ordlista till NCT Complement rule Addition rule Conditional probability Multiplication rule Independent Komplementsatsen Additionssatsen Betingad
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 2009) Föreläsning 2. Diskreta Sannolikhetsfördelningar. (LLL Kap 6) Stokastisk Variabel
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 009) Föreläsning Diskreta (LLL Kap 6) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level course, 7,5 ECTS,
Läs merKombinatorik och sannolikhetslära
Grunder i matematik och logik (2018) Kombinatorik och sannolikhetslära Marco Kuhlmann Sannolikhetslära Detta avsnitt är för det mesta en kompakt sammanfattning av momentet sannolikhetslära som ingår i
Läs merMatematisk statistik - Slumpens matematik
Matematisk Statistik Matematisk statistik är slumpens matematik. Började som en beskrivning av spel, chansen att få olika utfall. Brevväxling mellan Fermat och Pascal 1654. Modern matematisk statistik
Läs merFöreläsning 1, Matematisk statistik för M
Föreläsning 1, Matematisk statistik för M Erik Lindström 23 mars 2015 Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS035 F1 1/30 Tillämpningar Praktiska detaljer Matematisk statistik slumpens matematik Sannolikhetsteori:
Läs merFöreläsning G70, 732G01 Statistik A
Föreläsning 3 732G70, 732G01 Statistik A Introduktion till sannolikhetslära Sannolikhetslära: område inom statistiken där vi studerar experiment vars utfall beror av slumpen Sannolikhet: numeriskt värde
Läs merSannolikhetsbegreppet
Kapitel 3 Sannolikhetsbegreppet Betrakta följande försök: Ett symmetriskt mynt kastas 100 gånger och antalet krona observeras. Antal kast 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Antal krona 6 12 16 21 25 30 34
Läs merS0007M Statistik2: Slumpmodeller och inferens. Inge Söderkvist
Föreläsning 1 4.1 Slumpässighet 4.2 Sannolikhetsmodeller Viktiga grundbegrepp Slumpmässig (eng: random) Ett fenomen är slumpmässigt om individuella resultat är osäkra, men resultat alltid förekommer med
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 1. Jan Grandell & Timo Koski 01.09.2008 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 01.09.2008 1 / 48 Inledning Vi ska först ge några exempel på
Läs merhändelsen som alltid inträffar. Den tomma mängden representerar händelsen som aldrig inträffar.
Marco Kuhlmann Detta är en kompakt sammanfattning av momentet sannolikhetslära som ingår i kurserna Matematik 1b och 1c på gymnasiet. 1 Grundläggande begrepp 1.01 När vi singlar slant eller kastar tärning
Läs merTMS136. Föreläsning 1
TMS136 Föreläsning 1 Varför? Om vi gör mätningar vill vi modellera och kvantifiera de osäkerheter som obönhörligen finns Om vi handlar med värdepapper vill vi modellera och kvantifiera de risker som finns
Läs merKolmogorovs Axiomsystem Kolmogorovs Axiomsystem Varje händelse A tilldelas ett tal : slh att A inträar Sannolikheten måste uppfylla vissa krav: Kolmog
Slumpvariabel (Stokastisk variabel) Resultat av ett slumpförsök - utgången kann inte kontrolleras Sannolikhet och statistik Sannolikhetsteorins grunder VT 2009 Resultatet kan inte förutspås, men vi vet
Läs merTMS136. Föreläsning 2
TMS136 Föreläsning 2 Slumpförsök Med slumpförsök (random experiment) menar vi försök som upprepade gånger utförs på samma sätt men som kan få olika utfall Enkla exempel är slantsingling och tärningskast
Läs merUtfall, Utfallsrummet, Händelse. Sannolikhet och statistik. Utfall, Utfallsrummet, Händelse. Utfall, Utfallsrummet, Händelse
Utfall, Utfallsrummet, Händelse Sannolikhet och statistik Sannolikhetsteorins grunder HT 2008 Uwe.Menzel@math.uu.se http://www.math.uu.se/ uwe/ Denition 2.1 Resultatet av ett slumpmässigt försök kallas
Läs mer{ } { } En mängd är en samling objekt A = 0, 1. Ex: Mängder grundbegrepp 5 C. Olof M C = { 7, 1, 5} M = { Ce, Joa, Ch, Je, Id, Jon, Pe}
Mängder grundbegrepp En mängd är en samling objekt Ex: { } { } A = 0, 1 B = 0 C = { 7, 1, 5} tomma mängden (har inga element) D = { 1, 2, 3,, 10} M = { Ce, Joa, Ch, Je, Id, Jon, Pe} kallas element i mängden
Läs mer3 Grundläggande sannolikhetsteori
3 Grundläggande sannolikhetsteori Ämnet sannolikhetsteori har sin grund i studier av hasardspel utförda under 1500- och 1600-talen av bland andra Gerolamo Cardano, Pierre de Fermat och Blaise Pascal. Mycket
Läs merSannolikhetslära. 1 Enkel sannolikhet. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Sannolikhet och relativ frekvens. Marco Kuhlmann
Marco Kuhlmann Detta kapitel behandlar grundläggande begrepp i sannolikhetsteori: enkel sannolikhet, betingad sannolikhet, lagen om total sannolikhet och Bayes lag. 1 Enkel sannolikhet Den klassiska sannolikhetsteorin,
Läs merSannolikhetsteori. Måns Thulin. Uppsala universitet Statistik för ingenjörer 23/ /14
1/14 Sannolikhetsteori Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 23/1 2013 2/14 Dagens föreläsning Relativa frekvenser Matematik för händelser Definition av sannolikhet
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp, HT 2008) Föreläsning 2
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp, HT 008) Föreläsning Diskreta sannolikhetsfördelningar (LLL kap. 6) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level
Läs merStatistik 1 för biologer, logopeder och psykologer
Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Satistik och sannolikhetslära Statistik handlar om att utvinna information från data. I praktiken inhehåller de data
Läs merStatistik. Det finns tre sorters lögner: lögn, förbannad lögn och statistik
Statistik Statistik betyder ungefär sifferkunskap om staten Statistik är en gren inom tillämpad matematik som sysslar med insamling, utvärdering, analys och presentation av data eller information. Verkligheten
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Grundbegrepp, axiomsystem, betingad sannolikhet, oberoende händelser, total sannolikhet, Bayes sats Uwe Menzel, 2018 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, BETINGAD SANNOLIKHETER, OBEROENDE. Tatjana Pavlenko.
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 2 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, BETINGAD SANNOLIKHETER, OBEROENDE HÄNDELSER Tatjana Pavlenko 26 mars, 2015 SANNOLIKHETSGRUNDER (REPETITION) Slumpförsöket
Läs merFinansiell statistik, vt-05. Sannolikhetslära. Mängder En mängd är en samling element (objekt) 1, 2,, F2 Sannolikhetsteori. koppling till verkligheten
Johan, Koskinen, Statistiska institutionen, Stockholms universitet Finansiell statistik, vt-05 F2 Sannolikhetsteori Sannolikhetslära koppling till verkligheten mängdlära räkna med sannolikheter definitioner
Läs merStatistikens grunder HT, dagtid Statistiska institutionen
Statistikens grunder 1 2013 HT, dagtid Statistiska institutionen Orsak och verkan N Kap 2 forts. Annat ord: kausalitet Något av det viktigaste för varje vetenskap. Varför? Orsakssamband ger oss möjlighet
Läs mer1 Föreläsning I, Vecka I: 5/11-11/11 MatStat: Kap 1, avsnitt , 2.5
1 Föreläsning I, Vecka I: 5/11-11/11 MatStat: Kap 1, avsnitt 2.1-2.2, 2.5 Introduktion till kursen. Grundläggande sannolikhetslära. Mängdlära, händelser, sannolikhetsmått Händelse följer samma räkneregler
Läs merReliability analysis in engineering applications
Reliability analysis in engineering applications Fredrik Carlsson Sannolikhetsteorins grunder Fördelningar och stokastiska variabler Extremvärdesfördelningar Simulering Structural Engineering - Lund University
Läs merFMS012/MASB03: Matematisk statistik 9.0 hp för F+fysiker Föreläsning 1: Sannolikhet
FMS012/MASB03: Matematisk statistik 9.0 hp för F+fysiker Föreläsning 1: Sannolikhet Anna Lindgren 18 januari 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F1: Sannolikhet 1/27 Tillämpningar Praktiska
Läs merTAMS79: Föreläsning 1 Grundläggande begrepp
TMS79: Föreläsning 1 Grundläggande begrepp Johan Thim 31 oktober 2018 1.1 Begrepp Ett slumpförsök är ett försök där resultatet ej kan förutsägas deterministiskt. Slumpförsöket har olika möjliga utfall.
Läs merTMS136. Föreläsning 2
TMS136 Föreläsning 2 Sannolikheter För en händelse E skriver vi sannolikheten att E inträffar som P(E) För en händelse E skriver vi sannolikheten att E inte inträffar som P(E ) Exempel Låt E vara händelsen
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker. Matematisk statistik slumpens matematik. Tillämpningar för matematisk statistik.
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 1 Johan Lindström 4 september 2018 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03 F1 2/29 Matematisk statistik slumpens matematik Sannolikhetsteori:
Läs merFöreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012
Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår
Läs merExempel: Väljarbarometern. Föreläsning 1: Introduktion. Om Väljarbarometern. Statistikens uppgift
Exempel: Väljarbarometern Föreläsning 1: Introduktion Matematisk statistik Det som typiskt karakteriserar ett statistiskt problem är att vi har en stor grupp (population) som vi vill analysera. Vi kan
Läs merStatistikens grunder HT, dagtid Statistiska institutionen
Statistikens grunder 1 2013 HT, dagtid Statistiska institutionen Vad vi ska gå igenom Mängdlära Absolutbelopp Summatecknet Potensräkning Logaritmer och exponentialfunktionen Kombinatorik 2013-09-03 Michael
Läs merFöreläsning 1: Introduktion
Föreläsning 1: Introduktion Matematisk statistik Chalmers University of Technology Mars 23, 2015 Lärare och kurslitteratur : Rum: E-mail: Anders Hildeman: Rum: E-mail: Kursansvarig och föreläsare H3018
Läs merFinansiell statistik, vt-05. Bayes sats. Bayes sats; forts. F3 Sannolikhetsteori. Exempel: antag att vi har tre skålar P( ) = 0 P( ) = 2/5 P( ) = 4/5
Johan Koskinen, Statistiska institutionen, Stockholms universitet Finansiell statistik, vt- F Sannolikhetsteori Bayes sats Exempel: antag att vi har tre skålar / 4/ och någon väljer skål m slh: / /6 /
Läs merBetingad sannolikhet och oberoende händelser
Kapitel 5 Betingad sannolikhet och oberoende händelser Betrakta ett försök med ett ändligt utfallsrum Ω och en händelse A vid detta försök. Definitionsmässigt gäller att A Ω och försökets utfall ligger
Läs mer1 Föreläsning I, Mängdlära och elementär sannolikhetsteori,
1 Föreläsning I, Mängdlära och elementär sannolikhetsteori, LMA201, LMA521 1.1 Mängd (Kapitel 1) En (oordnad) mängd A är en uppsättning av element. En sådan mängd kan innehålla ändligt eller oändlligt
Läs merSlumpförsök för åk 1-3
Modul: Sannolikhet och statistik Del 3: Att utmana elevers resonemang om slump Slumpförsök för åk 1-3 Cecilia Kilhamn, Göteborgs Universitet Andreas Eckert, Linnéuniversitetet I följande text beskrivs
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 1. Jan Grandell & Timo Koski 19.01.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 19.01.2016 1 / 65 Många tänker på tabeller 1 när de hör ordet statistik.
Läs merFöreläsning 1: Introduktion
Föreläsning 1: Introduktion Matematisk statistik Chalmers University of Technology August 29, 2016 Lärare : Rum: E-mail: Anders Hildeman: Rum: E-mail: Sandra Eriksson Barman: Rum: E-mail: Kursansvarig
Läs merTENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 1
STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson HT2012 TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 1 2012-10-03 Skrivtid: kl 9.00-14.00 Godkända hjälpmedel: Miniräknare, språklexikon Bifogade hjälpmedel:
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, STATISTIK BETINGADE SANNOLIKHETER, OBEROENDE. Tatjana Pavlenko.
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 2 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, BETINGADE SANNOLIKHETER, OBEROENDE HÄNDELSER Tatjana Pavlenko 30 augusti, 2016 SANNOLIKHETSGRUNDER (REPETITION) Slumpförsöket
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Kontinuerliga sannolikhetsfördelningar (LLL Kap 7 & 9) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics
Läs mer5. BERÄKNING AV SANNOLIKHETER
5. BERÄKNING V SNNOLIKHETER 5.1 dditionssatsen Viharnukommitframtilldetstegdärvikanbörjaatträknapraktisktmed sannolikheter. Vi skall utveckla olika regler och begrepp som är nödvändiga för att praktiskt
Läs merF5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4)
Stat. teori gk, ht 006, JW F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.1-5.3, samt del av 5.4) Ordlista till NCT Random variable Discrete Continuous Probability distribution Probability distribution function Cumulative
Läs merSF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 1 Mängdlära Grundläggande sannolikhetsteori Kombinatorik Deskriptiv statistik
SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 1 Mängdlära Grundläggande sannolikhetsteori Kombinatorik Deskriptiv statistik Jörgen Säve-Söderbergh Information om kursen Kom ihåg att
Läs merLKT325/LMA521: Faktorförsök
Föreläsning 3 Innehåll Reducerade försöksplaner Generatorer Denierande relationer Ord Upplösning Reducerade försöksplaner Varje mätning kommer med en kostnad. I många fall är den kostnaden så dyr att man
Läs merInstitutionen för lingvistik och filologi VT 2014 (Marco Kuhlmann 2013, tillägg och redaktion Mats Dahllöf 2014).
UPPSALA UNIVERSITET Matematik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 (Marco Kuhlmann 2013, tillägg och redaktion Mats Dahllöf 2014). 9 Sannolikhet Detta kapitel
Läs merFöreläsning 1: Introduktion
Föreläsning 1: Introduktion Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology March 22, 2014 Lärare och kurslitteratur David Bolin: Rum: E-mail: Fredrik Boulund: Rum: E-mail: Kursansvarig,
Läs merLMA201/LMA521: Faktorförsök
Föreläsning 3 Innehåll Reducerade försöksplaner Generatorer Denierande relationer Ord Upplösning Reducerade försöksplaner Varje mätning kommer med en kostnad. I många fall är den kostnaden så dyr att man
Läs merKapitel 2. Grundläggande sannolikhetslära
Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 2 Grundläggande sannolikhetslära 1 Kursinformation 13 föreläsningar: Måns Thulin, mans.thulin@statistik.uu.se 3 h: normalt 2 h föreläsning + 1 h räknestuga 7 räkneövningar:
Läs merFöreläsning G70 Statistik A
Föreläsning 2 732G70 Statistik A Introduktion till sannolikhetslära Sannolikhetslära: område inom statistiken där vi studerar experiment vars utfall beror av slumpen Sannolikhet: numeriskt värde (mellan
Läs merFöreläsning 12: Repetition
Föreläsning 12: Repetition Marina Axelson-Fisk 25 maj, 2016 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI Grundläggande sannolikhetsteori Utfall = resultatet av ett försök Utfallsrum S = mängden av alla utfall Händelse
Läs merSannolikhetslära. 1 Grundläggande begrepp. 2 Likformiga sannolikhetsfördelningar. Marco Kuhlmann
Marco Kuhlmann Detta är en kompakt sammanfattning av momentet sannolikhetslära som ingår i kurserna Matematik 1b och 1c på gymnasiet. I slutet av dokumentet hittar du uppgifter med vilka du kan testa om
Läs merSF1901: Övningshäfte
SF1901: Övningshäfte 5 september 2013 Uppgifterna under rubriken Övning kommer att gås igenom under övningstillfällena. Uppgifterna under rubriken Hemtal är starkt rekommenderade och motsvarar nivån på
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende Jan Grandell & Timo Koski 21.01.2015 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 21.01.2015 1 / 1 Repetition:
Läs merAnna: Bertil: Cecilia:
Marco Kuhlmann 1 Osäkerhet 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 Intelligenta agenter måste kunna hantera osäkerhet. Världen är endast delvist observerbar och stokastisk. (Jmf. Russell och Norvig, 2014, avsnitt 2.3.2.)
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 28 januari 2014 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Sannolikheter Slumpvariabler Centrala gränsvärdessatsen Aalto-universitetet 8 januari 04 3 Tvådimensionella slumpvariabler
Läs mer15.1 Mer om betingad sannolikhet
15.1 Mer om betingad sannolikhet Exempel 1. En vanlig tärning kastas Låt A tärningen visar 1 Låt B tärningen visar ett udda poängantal Bestäm P(A). Bestäm P(A B), det vill säga: Hur stor är sannolikheten
Läs merSTOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar
2007-10-08 sida 1 # 1 STOKASTIK Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar Sven Erick Alm och Tom Britton Typsatt med liber1ab 2007-10-08 1 2007-10-08 sida 2 # 2 2007-10-08 sida i # 3 Innehåll
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 8.9.28 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 8.9.28 / 45 Stokastiska
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende Jan Grandell & Timo Koski 21.01.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 21.01.2016 1 / 39 Lärandemål Betingad
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, KORT OM BESKRIVANDE STATISTIK. Tatjana Pavlenko.
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 1 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, KORT OM BESKRIVANDE STATISTIK Tatjana Pavlenko 23 mars, 2015 KURSINFORMATION Blom m.fl. Sannolokhetsteori och statistikteori
Läs merKapitel 2. Grundläggande sannolikhetslära
Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 2 Grundläggande sannolikhetslära 1 Att beräkna en sannolikhet I många slumpförsök gäller att alla utfall i S är lika sannolika. Exempel: Tärningskast, slantsingling.
Läs merFöreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 2 HT07
Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 2 HT07 Bengt Ringnér August 31, 2007 1 Inledning Detta är preliminärt undervisningsmaterial. Synpunkter är välkomna. 2 Händelser och sannolikheter
Läs merÖvning 1 Sannolikhetsteorins grunder
Övning 1 Sannolikhetsteorins grunder Två händelser A och B är disjunkta om {A B} =, det vill säga att snittet inte innehåller några element. Om vi har en mängd händelser A 1, A 2, A 3,..., A n, vilka är
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende Jan Grandell & Timo Koski 14.01.2013 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 14.01.2013 1 / 25 Repetition:
Läs mer7-1 Sannolikhet. Namn:.
7-1 Sannolikhet. Namn:. Inledning Du har säkert hört ordet sannolikhet förut. Hur sannolikt är det att få 13 rätt på tipset eller 7 rätt på lotto? I detta kapitel skall du lära dig vad sannolikhet är för
Läs merSF1911: Statistik för bioteknik
SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 3. TK 3.11.2017 TK Matematisk statistik 3.11.2017 1 / 53 Probability: What is it? Probability is a number between 0 and 1 that predicts the (relative) frequency
Läs merKombinatorik. Kapitel 2. Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av
Kapitel 2 Kombinatorik Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av det antal sätt, på vilket elementen i en given mängd kan arrangeras i delmängder på något sätt.
Läs mer5. BERÄKNING AV SANNOLIKHETER
5. BERÄKNING AV SANNOLIKHETER 5.1 Additionssatsen Viharnukommitframtilldetstegdärvikanbörjaatträknapraktisktmed sannolikheter. Vi skall utveckla olika regler och begrepp som är nödvändiga för att praktiskt
Läs mer7-2 Sammansatta händelser.
Namn: 7-2 Sammansatta händelser. Inledning Du vet nu vad som menas med sannolikhet. Det lärde du dig i kapitlet om just sannolikhet. Nu skall du tränga lite djupare i sannolikhetens underbara värld och
Läs merMatematisk statistik
Matematisk statistik för STS vt 2004 2004-03 - 23 Bengt Rosén Matematisk statistik Ämnet matematisk statistik omfattar de två delområdena Sannolikhetsteori Statistikteori Bloms A - bok behandlar sannolikhetsteori,
Läs merArmin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
KOMBINATORIK I kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av antalet sätt på vilket element i en given lista kan arrangeras i dellistor. Centrala frågor i kombinatoriken är: " Bestäm antalet..."
Läs mer14.1 Diskret sannolikhetslära
14.1 Diskret sannolikhetslära 14.1.1 Utfallsrum och händelser Vi ska här studera slumpmässiga försök med ändligt många utfall, resultat. Mängden av utfall kallas försökets utfallsrum. Varje delmängd av
Läs mer4.2.1 Binomialfördelning
Ex. Kasta en tärning. 1. Vad är sannolikheten att få en 6:a? 2. Vad är sannolikheten att inte få en 6:a? 3. Vad är sannolikheten att få en 5:a eller 6:a? 4. Om vi kastar två gånger, vad är då sannolikheten
Läs merF2 Introduktion. Sannolikheter Standardavvikelse Normalapproximation Sammanfattning Minitab. F2 Introduktion
Gnuer i skyddade/oskyddade områden, binära utfall och binomialfördelningar Matematik och statistik för biologer, 10 hp Fredrik Jonsson Januari 2012 I vissa områden i Afrika har man observerat att förekomsten
Läs merBIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 1, OCH ÖVNING 2, SAMT INFÖR ÖVNING 3
LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 1, 2016-04-01 OCH ÖVNING 2, 2016-04-04 SAMT INFÖR ÖVNING 3 Övningarnas mål: Du ska förstå grundläggande
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 3 4 november 2016 1 / 28 Idag Förra gången Stokastiska variabler (Kap. 3.2) Diskret stokastisk variabel (Kap. 3.3 3.4) Kontinuerlig stokastisk
Läs merStatistiska Institutionen Gebrenegus Ghilagaber (docent)
Statistiska Institutionen Gebrenegus Ghilagaber (docent) Lösningsförslag till skriftlig tentamen i FINANSIELL STATISTIK, grundnivå, 7,5 hp, VT09. Onsdagen 3 juni 2009-1 Sannolkhetslära Mobiltelefoner tillverkas
Läs merSF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH DISKRETA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 23 mars, 2018
SF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 3 DISKRETA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 23 mars, 2018 PLAN FÖR DAGENSFÖRELÄSNING Repetition av betingade sannolikheter, användbara satser
Läs merFöreläsning 6, Repetition Sannolikhetslära
Föreläsning 6, Repetition Sannolikhetslära kap 4 Sannolikhetslära och slumpvariabler kap 5 Stickprov, medelvärden, CGS, binomialfördelning Viktiga grundbegrepp utfall, händelse, sannolikheter, betingad
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 25..26 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 25..26 / 44 Stokastiska
Läs merVidare får vi S 10 = 8,0 10 4 = 76, Och då är 76
Ellips Sannolikhet och statistik lösningar till övningsprov sid. 38 Övningsprov.. i) P(:a äss och :a äss och 3:e äss och 4:e äss ) P(:a äss) P(:a äss :a äss) P(3:e äss :a och :a äss) antal P(4:a äss :a
Läs merMATEMATIK ARBETSOMRÅDET LIKABEHANDLING Kränkande handlingar, nätmobbning, rasism och genus
MATEMATIK ARBETSOMRÅDET LIKABEHANDLING Kränkande handlingar, nätmobbning, rasism och genus STATISTIK/DIAGRAM VAD ÄR STATISTIK? En titt på youtube http://www.youtube.com/watch?v=7civnkawope Statistik omfattar
Läs mer