14.1 Diskret sannolikhetslära

Transkript

1 14.1 Diskret sannolikhetslära Utfallsrum och händelser Vi ska här studera slumpmässiga försök med ändligt många utfall, resultat. Mängden av utfall kallas försökets utfallsrum. Varje delmängd av utfallsrummet kallas en händelse. Exempel 1. A) Försöket att kasta en tärning har sex utfall, vilka vi kan beteckna 1,2,3,4,5,6. Utfallsrummet är mängden U = {1,2,3,4,5,6} Här är några exempel på händelser och beskrivningar av dem: a) {6} man får en sexa b) {5,6} man får en femma eller en sexa c) {1,3,5} man får ett udda poängantal d) {1,2,3,4,5} man får inte en sexa B) Försöket att kasta två häftstift har fyra utfall. Exempelvis kan det första häftstiftet lägga sig med spetsen uppåt och det andra med spetsen nedåt. Detta utfall kan vi beteckna U och N, och utfallsrummet blir: Som exempel på händelser väljer vi: {UU,UN,NU,NN} {UU} båda stiften lägger sig med spetsen uppåt {UN,NU} de båda stiften lägger sig på olika sätt Håkan Strömberg 1 KTH Syd

2 14.1. DISKRET SANNOLIKHETSLÄRA Sannolikheter Exempel 2. En tärning, som inte är massiv utan har asymmetriskt placerade hålrum, har sidorna märkta a,b,c,d,e och f. Att kasta denna tärning på golvet från en viss höjd är ett slumpmässigt försök med utfallsrummet {a, b, c, d, e, f}. Försöket utfördes 500 gånger, och de relativa frekvenserna för de sex utfallen bestämdes efter 10, 20, 30,..., 500 kast. Efter 500 kast var resultaten följande: (N = 500) 0.6 a b c d e f f f/v Figur 14.1: Figur 14.3 visar hur de relativa frekvenserna stabiliserades då antalet försök växte. De olika utfallen kan tillordnas vissa sannolikheter. Som approximationer till dessa använder vi (i brist på längre försöksserier) de relativa frekvenserna i tabellen på föregående sida, avrundade till två decimaler: Utfall a b c d e f Sannolikhet Observera att dessa sannolikheter ligger i intervallet [0,1] och har summan 1. Nu kan vi beräkna sannolikheten för en godtycklig händelse i försöket. Som exempel väljer vi A = {a,b,c} det vill säga händelsen att antingen sidan a, sidan b eller sidan c kommer upp. I försöksserien var relativa frekvensen för denna händelse = 0.86 Vi tillordnar därför händelsen A sannolikheten 0.86, det vill säga summan av sannolikheterna för de utfall a, b och c som händelsen består av. Håkan Strömberg 2 KTH Syd

3 Vi betraktar nu allmänt ett slumpmässigt försök med ändligt många utfall Dessa utfall tillordnar vi vissa sannolikheter u 1,u 2,...,u n p 1,p 2,...,p n Sannolikheterna skall vara tal i intervallet [0,1], och de skall ha summan 1: 0 p k 1 p 1 + p p n = 1 Att sannolikheterna skall uppfylla dessa villkor är naturligt. Som approximationer till sannolikheterna kan vi nämligen liksom i exemplet använda de olika utfallens relativa frekvenser i en lång försöksserie, och dessa relativa frekvenser är ju tal i intervallet [0,1] och har summan 1. Sannolikheterna p 1,p 2,...,p n kallas försökets elementarsannolikheter. Med hjälp av dem kan man definiera sannolikheten för vilken som helst händelse A i försöket. Denna sannolikhet betecknas P(A) och definieras på följande sätt: P(A) är summan av elementarsannolikheterna för alla utfallen i händelsen A. Om till exempel A = {u 2,u 3,u 5,u 7 }, så är alltså P(A) = p 2 + p 3 + p 5 + p Likformig sannolikhetsfördelning För att bestämma elementarsannolikheterna i ett försök måste man i allmänhet utföra försöket ett stort antal gånger och bestämma relativa frekvenserna för de olika utfallen. I vissa försök, särskilt sådana som har med hasardspel att göra, finns det dock en sådan symmetri mellan utfallen att man omedelbart kan sluta sig till att samtliga elementarsannolikheter är lika. Sådana försök sägs ha likformig sannolikhetsfördelning. Antag att ett försök med n utfall har likformig sannolikhetsfördelning. Eftersom elementarsannolikheterna är lika och har summan 1, så är var och en av dem lika med 1 n. Sannolikheten P(A) för en händelse A är summan av elementarsannolikheterna för utfallen i händelsen. Om A består av g utfall så gäller alltså P(A) = g 1 n = g n Sannolikheten är alltså lika med kvoten av antalet för händelsen gynnsamma utfall och totala antalet utfall. Då sannolikhetsläran började utvecklas i mitten av 1600-talet, använde man denna beskrivning som definition av en händelses sannolikhet, och den kallas därför den klassiska sannolikhetsdefinitionen. Observera att den endast kan användas för försök som har likformig sannolikhetsfördelning. Håkan Strömberg 3 KTH Syd

4 14.1. DISKRET SANNOLIKHETSLÄRA Exempel 3. Andersson har en rutig keps, Pettersson en prickig och Lundström en blommig. De tre kepsarna, som för övrigt är lika, ligger på en hylla i en mörk korridor. Andersson, Pettersson och Lundström tar på måfå var sin keps. Vilken är sannolikheten att ingen får rätt keps? Lösning: De tre kepsarna kan lämpligen betecknas med ägarnas initialer, det vill säga med A,P och L. Som utfall kan man välja de sex permutationerna APL,ALP,PAL,PLA,LAP,LPA där bokstäverna i en permutation i ordning anger vilken keps Andersson, Pettersson respektive Lundström får. Tydligen får ingen rätt keps i två av dessa utfall, nämligen PLA och LAP. Den sökta sannolikheten är alltså: g n = 2 6 = 1 3 Om ett försök har ett litet antal utfall, så kan talen g och n bestämmas genom att man liksom i ovanstående exempel skriver upp samtliga utfall. Om antalet utfall är någorlunda stort, så får man däremot använda sig av formler från kombinatoriken. Exempel 4. Ur en kortlek dras på måfå fem kort. Vilken är sannolikheten att alla fem är? Lösning: En kortlek innehåller som bekant 52 kort varav 13 är. Försöket att dra 5 kort bland 52 har ( 52 5) = utfall. Om de fem korten alla skall vara, så måste de väljas bland de 13 -korten i leken, vilket kan ske på ( 13 5) = 1287 sätt. Den sökta sannolikheten är alltså: ( 13 ( 5) ) = = Egenskaper hos sannolikheter Antag att ett slumpmässigt försök har utfallsrummet U = {u 1,u 2,u 3,...,u n } Sannolikheten för en händelse A är summan av elementarsannolikheterna för de utfall A består av. Eftersom samtliga elementarsannolikheter är icke-negativa och har summan 1, så gäller 0 P(A) 1 Varje delmängd av utfallsrummet, alltså även den tomma mängden och U självt, är en händelse. är försökets omöjliga händelse (inget utfall inträffar), och U är försökets säkra händelse (något av utfallen inträffar). Man inser omedelbart att P( ) = 0 P(U) = 1. Om A och B är händelser, så är A B och A B händelser. Håkan Strömberg 4 KTH Syd

5 Exempel 5. Antag att Då är och A = {u 1,u 2,u 3,u 4 } B = {u 3,u 4,u 5,u 6,u 7 } A B = {u 1,u 2,u 3,u 4,u 5,u 6,u 7 } A B = {u 3,u 4 } Om elementarsannolikheterna betecknas p 1,p 2,p 3,...,p n så gäller P(A B) = p 1 + p 2 + p 3 + p 4 + p 5 + p 6 + p 7 = (p 1 + p 2 + p 3 + p 4 ) + (p 3 + p 4 + p 5 + p 6 + p 7 ) (p 3 + p 4 ) = = P(A) + P(B) P(A B) A B är händelsen A eller B, det vill säga A eller B eller eventuellt både A och B inträffar A B är händelsen A och B, det vill säga både A och B inträffar. Med samma resonemang som i exemplet kan man visa att följande formel gäller: Den kallas sannolikhetslärans additionssats. P(A B) + P(A) + P(B) P(A B) Om A B = så sägs händelserna A och B vara uteslutande. I detta fall har A och B inget gemensamt utfall, och de kan alltså inte inträffa samtidigt. I ett tärningskast är till exempel de båda händelserna att få en sexa och att få ett udda poängantal uteslutande, ty det finns inget utfall som gör att båda händelserna inträffar. Eftersom P(A B) = P( ) = 0, så förenklas additionssatsen i fallet med uteslutande händelser till P(A B) = P(A) + P(B) Med komplementhändelsen A till en händelse A menas den händelse, som består av alla de utfall i U som inte tillhör A. Komplementhändelsen A är alltså den händelse som består i att A inte inträffar. Eftersom A och A inte har något gemensamt utfall och tillsammans omfattar alla utfallen i U, så gäller: P(A) + P( A) = P(A A) = P(U) = 1, P( A) = 1 P(A) Exempel 6. Vid kast med en symmetrisk tärning har händelsen att få en sexa sannolikheten 1/6. Komplementhändelsen att inte få en sexa har sannolikheten = 5 6 Håkan Strömberg 5 KTH Syd

6 14.1. DISKRET SANNOLIKHETSLÄRA Exempel 7. Man kastar samtidigt en röd och en svart tärning. Beräkna sannolikheterna för följande händelser: A en sexa på den röda tärningen B en sexa på den svarta tärningen C minst en sexa D ingen sexa Lösning: Som utfallsrum väljs mängden av alla talpar (r,s) där r och s anger poängantalet på den röda respektive svarta tärningen. Denna mängd består av 36 element, och dessa kan åskådliggöras med de vita rutorna i figur Vi antar att alla elementarsannolikheterna är 1/36. Figur 14.2: Händelserna A, B och A B består av 6,6 respektive 1 utfall, och alltså gäller: P(A) = P(B) = = 1 6 P(A B) = 1 36 Händelsen minst en sexa innebär en sexa på endera eller båda tärningarna. Alltså är C = A B, och P(C) = P(A B) = P(A) + P(A) P(A B) = = Händelsen ingen sexa är komplementhändelse till minst en sexa. Alltså är D = C, och P(D) = P( C) = 1 P(C) = = Definition 1. Två händelser A och B sägs vara disjunkta om de inte kan inträffa samtidigt. Sats 1. Multiplikationsprincipen. Om man skall göra k operationer, varvid den första kan utföras på n 1 sätt, den andra på n 2 sätt och så vidare, så är totala antalet sätt att göra de k opertaionerna n 1 n 2 n 3... n 1 Håkan Strömberg 6 KTH Syd

7 Figur 14.3: Urnmodellen Vi tänker oss en urna innehållande v vita och s svarta kulor. Efter blandning dras n kulor, en i taget, och färgen noteras. Hur stor är sannolikheten att man får x vita kulor? Svaret beror på om vi använder oss av återläggning Dragning utan återläggning Sannolikheten att man får x vita kulor är (v )( s ) x n x ) ( v+s n Exempel 8. Ur en urna med 3 vita och 4 svarta kulor drar man två kulor utan återläggning. Beräkna sannolikheten att man får en kula av varje färg. Händelse A. )( 4 1) P(A) = ( 3 1 ( 7 ) = Exempel 9. Ur ett parti om 10 apparater tar man ut 3 apparater. Beräkna sannolikheten att det bland de uttagna finns 0,1,2,3 stycken med fabrikationsfel, om det i hela partiet finns 4 felaktiga apparater. 3 felaktiga 2 felaktiga 1 felaktig 0 felaktiga ( 7 )( 3 0 ( 3) 10 ) = ( 7 )( 3 1 2) ( 10 ) = ( 7 )( 3 2 1) ( 10 ) = ( 7 )( 3 3 0) ( 10 ) = Håkan Strömberg 7 KTH Syd

8 14.1. DISKRET SANNOLIKHETSLÄRA Dragning med återläggning Sannolikheten att man får x vita kulor är ( n x Använder vi beteckningarna p = framöver )( v v + s v v+s och q = ( n x ) x ( ) s n x v + s s v+s ) p x q n x får vi ett uttryck som återkommer Exempel 10. Ur en urna med 3 vita och 4 svarta kulor drar man två kulor med återläggning. Beräkna sannolikheten att man får en kula av varje färg. Händelse A. ( ) P(A) = = Exempel 11. Adam kastar en boll mot ett mål. Sannolikheten att han ska träffa är 1 4. Hur många kast måste han göra för att sannolikheten för minst en träff ska vara p > 0.9? Sannolikheten för ingen träff efter n kast är ( n p = 0 )( 1 4 ) 0 ( ) 3 n 4 1 p är den eftersökta sannolikheten, minst en träff Svar: 9 kast Antal kast p Exempel 12. Vid genomgång av den närmaste släkten kom Adam fram till att 5% av släktingarna var rödhåriga (A). Dessutom fick han fram att 48% var kvinnor (B). Bestäm sannolikheten att en slumpmässigt vald släkting är en icke rödhårig man Först bestämmer vi sannolikheten för både rödhårig och kvinna P(A B). P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) P(A B) = = Komplementhändelsen är 1 P(A B) = = Exempel 13. Vid tillverkning av en viss typ av byggelement kan två slags fil A och B uppkomma hos de tillverkade enheterna. Man vet att P(A) = 0.1, P(B) = 0.2 och P(A B) = Beräkna sannolikheten att en tillverkad enhet har a) åtminstone något av felen b) felet A men inte felet B c) felet B men inte felet A d) exakt ett av felen e) inget av felen Med hjälp av ett Venn-diagram får vi enkelt svar på frågorna Håkan Strömberg 8 KTH Syd

9 Figur 14.4: Oberoende och icke oberoende händelser Exempel 14. Ett försök består i att man samtidigt kastar en tändsticksask och ett mynt. Vi gör följande antaganden: A är händelsen plånsida på asken, P(A) = 0.2. B är händelsen klave på myntet, P(B) = 0.5. Om man utför detta försök n gånger, där n är ett stort tal, så bör A inträffa i ungefär 0.2n kast. Eftersom händelsen plånsida på asken inte rimligtvis kan påverka händelsen klave på myntet, så bör i dessa 0.2n kast händelsen B inträffa ungefär n gånger. Händelsen A B, det vill säga både plånsida och klave, har därför en relativ frekvens på Det är då rimligt att anta att Om för två händelser A och B gäller att P(A B) = = P(A)P(B) P(A B) = P(A)P(B) så sägs händelserna vara oberoende. Exemplet ovan visar att denna definition stämmer med vår intuitiva uppfattning om att två händelser är oberoende. Tre eller flera händelser sägs vara oberoende, om varje snitt av två eller flera av händelserna har en sannolikhet, som är lika med produkten av sannolikheten för de händelser som ingår i snittet. Exempel 15. Fyra symmetriska tärningar kastas på en gång. Vilken är sannolikheten att man får åtminstone en sexa? Lösning: Låt A,B,C och D beteckna händelserna att tärning nr 1,2,3 respektive 4 inte ger en sexa. Dessa händelser är oberoende, och var och en av dem har sannolikheten 5/6. Händelsen A B C D är komplementhändelse till händelsen åtminstone en sexa, varför den sökta sannolikheten är: ( ) P(A B C D) = 1 P(A)P(B)P(C)P(D) = Håkan Strömberg 9 KTH Syd

10 14.1. DISKRET SANNOLIKHETSLÄRA Figur 14.5: Betingad sannolikhet Om A och B är händelser och om P(A) > 0 så kallas kvoten P(B A) = P(A B) P(A) för den betingade sannolikheten för B om A har inträffat. Antag att A och B är två händelser, som i figur 14.5, som har ett utfallsrum U, (A B) med n = 17 utfall. Antag också att sannolikhetsfördelningen är likformig. Händelserna A B och A består av 4 respektive 10 utfall, så gäller: P(A B) = 4 17 = = P(A) 4 10 Om vi inför beteckningen P(A B) = 4/10, så kan detta skrivas: P(A B) = P(A)P(A B) P(A B) är kvoten av antalet utfall i A, vid vilka även B inträffar, och totala antalet utfall i A. Man kallar därför P(A B) den betingade sannolikheten för B då A inträffat. Även om sannolikhetsfördelningen inte är likformig kan man definiera P(A B) så att likheten ovan gäller. En jämförelse med formeln P(A B) = P(A)P(B) visar att händelserna A och B är oberoende, om och endast om P(A B) = P(B). För snitt av tre eller flera händelser gäller analoga formler. Så till exempel är P(A B C) = P(A)P(A B)P(AB C) där P(AB C) är den betingade sannolikheten för C, då A och B inträffat. Exempel 16. Ur en kortlek väljer man på måfå ut tre kort. Vilken är sannolikheten att alla tre är? Lösning: Låt A, B och C beteckna händelserna att det första, andra respektive tredje valda kortet är ett. Då är P(A) = 13/52. Då A inträffat finns det 51 kort i leken, och 12 av dessa är. Alltså är P(A B) = 12/51. På samma sätt inses att P(AB C) = 11/50. Den sökta sannolikheten är alltså: P(A B C) = = Håkan Strömberg 10 KTH Syd

11 Exempel 17. En församling innehåller 16 socialister och 14 borgerliga ledamöter. Man väljer slumpmässigt 5 personer till en styrelse. Vad är sannolikheten att man får en styrelse med borgerlig majoritet? Låt A i betyda att det väljs i borgare. A 3,A 4 och A 5 är disjunkta händelser. P(borgerlig majoritet) = P(A 3 ) + P(A 4 ) + P(A 5 ) = ( 14 )( 16 ( 14 )( 16 ( 14 )( 16 3 P(A 3 ) + P(A 4 ) + P(A 5 ) = ( 2) ( 1) ( 0) 30 ) = 5) 5) Exempel 18. Ett varuparti om 100 enheter innehåller 6 stycken defekta. En köpare tar på måfå (utan återläggning) ut 5 enheter och undersöker dem. Köparen accepterar partiet om högst en enhet i urvalet är defekt. Vilken är sannolikheten att köparen accepterar partiet? Sannolikheten att händelse A, köparen accepterar partiet, är ) P(A) = g ( 94 ( 5) )( n = 1 ) ( Maple I de flesta av dagens laborationsuppgifter gäller det att simulera slumpmässiga försök till det behöver vi slumptal, ibland heltal i ett givet intervall och ibland flyttal x i intervallet 0 x < 1 Bland uppgifterna finner du klassiska sannolikhetsproblem, som alla kan lösas teoretiskt. Ibland går dock teorin utanför denna kurs och ibland är den mer elementär. Detta spelar nu ingen roll eftersom du ska lösa problemen genom simulering med hjälp av C eller Maple Meningen är att du på det sättet ska upptäcka att simulering är ett kraftfullt verktyg där man ofta kommer mycket nära sanningen. Det finns nämligen gott om andra problem där man är helt utlämnad till datorsimuleringar på grund av att en teoretisk lösning är för komplicerad eller omöjlig. roll := rand(1..6); roll(); 1 Ska vi till exempel kasta en tärning deklarerar vi en rad liknande den första ovan. För att generera ett tärningskast anropar vi funktionen roll(). Kommandot rand kan ta emot ett intervall mellan vilka slumptalen ska ligga. Anger man enbart ett tal som parameter slumptal:=rand(n) får man ett tal i intervallet 0...n 1. När vi vill ha ett flyttal x i intervallet 0 x < 1. Genom att Håkan Strömberg 11 KTH Syd

12 14.1. DISKRET SANNOLIKHETSLÄRA slump := evalf(rand( )/ ); slump(); Vill man ha en slumpmässig permutation av elementen i en lista använder man randperm. with(combinat) randperm([$1..52]); [2,7,5,40,25,38,37,39,26,41,14,20,52,16,27,28,18,44,12,35, 47,15,21,32,8,49,23,1,51,33,10,45,42,9,6,36,30,31,48,29, 11,17,43,4,24,22,50,19,46,34,13,3] randperm([3,6,9,32]); [6,32,3,9] När man anropar en av funktionerna ovan kan man inte förutsäga vilket resultat som kommer att erhållas. Ibland när man utvecklar simuleringsprogram, som inte riktigt fungerar som de ska kan det vara frustrerande att vid varje körning få olika serier av slumptal. Vill man använda samma serie kan man ordna det med hjälp av randomize. Se exemplet nedan. Seed:=randomize(); Seed := rand(); rand(); randomize(seed); rand(); Så gör man i C Satsen a=rand()%100 tilldelar a ett slumpmässigt heltal i intervallet Ett tärningskast t erhålles till exempel genom t=rand()%6+1. I några av uppgifterna är det mera lämpligt att arbeta med slumptal s, 0 s < 1. Dessa kan till exempel skapas genom satsen a=(float)rand()/32768; Talet är valt så därför att i de flesta C-miljöer är det största slumptal man kan få genom rand(). För att olika körningar av ditt program ska ha chansen att ge olika resultat kan du använda funktionen srand(time(0)), som du ska se till att den exekveras endast en gång under körningen. Placera den lämpligen som första sats i programmet. Håkan Strömberg 12 KTH Syd

13 Blandning av vektor i C I några av uppgifterna behöver man blanda talen i en array. För detta lämnar vi här en funktion som sköter jobbet. Genom att först placera talen 1 till 52 i arrayen lek och sedan anropa blanda har en blandning av kortleken åstadkommits. 1 #include <stdio.h> 2 #include <conio.h> 3 void blanda(int a[ ],int n){ 4 int k,tmp,plats; 5 for(k=0;k<n;k++){ 6 plats=rand()%(n k)+k; 7 tmp=a[k]; 8 a[k]=a[plats]; 9 a[plats]=tmp; 10 } 11 } Problem 1. Ett kort dras ur en kortlek, och man antecknar kortets färg. Detta försöks utfallsrum kan skrivas: {,,, } Beskriv i ord följande händelser: a { } b {, } c {,, } Problem 2. Vi kastar en tärning. Skriv upp de händelser som består i att man får a 3 poäng b inte 3 poäng c minst 3 poäng d högst 3 poäng Problem 3. Man kastar tre häftstift a Skriv upp detta försöks utfallsrum med användande av beteckningarna U och N b Skriv upp den händelse som består i att alla tre stiften lägger sig på samma sätt. c Skriv upp den händelse som består i att två stift lägger sig med spetsen uppåt och ett med spetsen nedåt. Problem 4. Att tippa en fotbollsmatch på en stryktipskupong är ett slumpmässigt försök vars utfallsrum kan skrivas {1, X, 2}. Skriv på lämpligt sätt upp utfallsrummet till försöket att tippa två av matcherna på kupongen. Håkan Strömberg 13 KTH Syd

14 14.1. DISKRET SANNOLIKHETSLÄRA Problem 5. Att gissa fyra gåtor är ett slumpmässigt försök som exempelvis har utfallet FRRF, det vill säga man gissar fel på första gåtan, rätt på den andra och så vidare a Hur många utfall har detta försök? b Skriv upp händelsen att man gissar rätt på precis tre av gåtorna. Problem 6. Att välja ut två kort ur en väl blandad kortlek är ett slumpmässigt försök. a Hur många utfall har detta försök? b I hur många av utfallen är båda korten äss? c I hur många av utfallen är det första kortet ett äss men inte det andra? Problem 7. Antag att elementarsannolikheterna vid kast med en inte alldeles symmetrisk tärning är följande: Utfall Sannolikhet Beräkna sannolikheterna för följande händelser: a A = {5,6}, antingen en femma eller en sexa b B = {1, 2, 3} högst poängantalet 3 c C = {1,2,3,4,5} inte en sexa Problem 8. En hand i bridge består av 13 kort. Att räkna antalet äss i en sådan hand är ett försök med följande utfall och elementarsannolikheter Utfall Sannolikhet Beräkna sannolikheten för att en slumpvis given hand har a åtminstone ett äss, det vill säga 1,2,3 eller 4 äss b minst 2 äss c mer än 2 äss. Problem 9. Antag att en person spelar bridge en kväll varje vecka och i genomsnitt 15 partier per kväll. Ungefär hur många gånger under ett år bör det inträffa att han får en hand med a 4 äss b minst 3 äss c inget äss Bestäm sannolikheterna för dessa händelser med hjälp av elementarsannolikheterna i föregående uppgift. Håkan Strömberg 14 KTH Syd

15 Problem 10. Antalet trafikolyckor under en vecka på en viss väg kan betraktas som utfall av ett slumpmässigt försök. Antag att man efter en längre tids studium av olycksfrekvensen på vägen kommit fram till följande sannolikheter: Antal olyckor Sannolikhet Beräkna sannolikheten för att det under en vecka inträffar: a högst en olycka b åtminstone en olycka c högst två olyckor d mer än två olyckor Problem 11. Bland bokstäverna a, b, c och d utväljs slumpmässigt först en bokstav och sedan en av de tre återstående. Detta försök har 12 utfall som alla antas ha elementarsannolikheten 1/12. a Skriv upp utfallen b Bestäm sannolikheten för att a kommer med bland de två valda bokstäverna Problem 12. Följande tabell ger frekvenser för antalet mål i de 528 allsvenska fotbollsmatcherna under åren : Antal mål Frekvens Använd dessa frekvenser till att bestämma sannolikheter för de olika antalen mål. Ange sannolikheterna med två decimaler. Bestäm sedan sannolikheten för att det i en allsvensk fotbolls-match skall bli: a 0-0 b högst tre mål c minst sju mål Problem 13. Man kastar en symmetrisk tärning. Beräkna sannolikheterna för följande händelser: a en sexa b en femma eller en sexa c inte en sexa d ett jämnt poängantal Problem 14. Ett kort dras ur en vanlig kortlek. Vilken är sannolikheten att man får a ett äss b ett c ett klätt kort, det vill säga kung, dam eller knekt Håkan Strömberg 15 KTH Syd

16 14.1. DISKRET SANNOLIKHETSLÄRA Problem 15. Försöket att kasta ett mynt har två utfall, som vi kan beteckna k krona och g gubbe. Skriv upp utfallsrummet för det försök som består i att myntet kastas a två gånger b tre gånger. Problem 16. Ett symmetriskt mynt kastas två gånger. Beräkna sannolikheterna för följande händelser: a krona båda gångerna b krona en gång och gubbe en gång Problem 17. Ett symmetriskt mynt kastas tre gånger. Beräkna sannolikheterna för följande händelser: a krona alla tre gångerna b krona två gånger och gubbe en gång Problem 18. Beräkna antalet utfall i det försök som består i att en tärning kastas a två gånger b tre gånger. Använd multiplikationsprincipen Problem 19. En symmetrisk tärning kastas två gånger. Beräkna sannolikheten för följande händelser: a två sexor b en sexa och en femma c poängsumman 10 d minst poängsumman 10 Problem 20. Ur en kortlek dras på måfå två kort. Vilken är sannolikheten att båda blir? Problem 21. En burk innehåller 5 kulor, av vilka 2 är röda och 3 gröna. Man tar på måfå två kulor ur burken. Beräkna sannolikheterna för följande händelser: a två röda kulor b två gröna kulor c en kula av varje färg Problem 22. a Vad är det för fel i följande resonemang? Om två symmetriska tärningar kastas, så kan poängsumman bli något av talen 2,3,4,...,12. Antalet möjliga utfall är alltså 11, och sannolikheten för poängsumman 12 är alltså 1/11. b Vilken är den rätta sannolikheten för poängsumman 12? Håkan Strömberg 16 KTH Syd

17 Problem 23. Två kort dras på måfå ur en kortlek. Vilken är sannolikheten för att ett av korten är äss? Problem 24. En bilhandlare har 10 bilar i lager. Av dessa är 6 felfria och 4 behäftade med mindre fel. En firma köper två av bilarna (utan att närmare undersöka dem). Vilken är sannolikheten att båda bilarna är felfria? Problem 25. På en parkeringsplats finns 7 platser. Tre bilar ställer sig på slumpmässigt valda platser. Beräkna sannolikheten för att alla bilarna kommer intill varandra, om de sju parkeringsplatserna ligger a i rad b i ring. Problem 26. En symmetrisk tärning kastas tre gånger. Vilken är sannolikheten för att man får mer än 15 poäng sammanlagt? Problem 27. Ett bokverk består av delarna De fyra böckerna ställs slumpvis upp efter varandra på en hylla. Vilken är sannolikheten för att a böckerna kommer i rätt ordning b ingen bok kommer på sin rätta plats? Problem 28. I en mörk garderob ligger tre par skor buller om buller. Man tar på måfå ut tre skor. Vilken är sannolikheten för att två av dessa skor tillhör samma par? Problem 29. En symmetrisk tärning kastas två gånger. a Vilken är sannolikheten för händelsen båda kasten ger samma poängantal? b Ange komplementhändelsen och dess sannolikhet. Problem 30. En symmetrisk tärning kastas tre gånger. Vilken är sannolikheten för att åtminstone två av kasten ger samma poängantal? (Komplementhändelsen är alla tre kasten ger olika poängantal. Visa med multiplikationsprincipen att antalet gynnsamma utfall för denna händelse är Problem 31. I en burk finns 5 röda och 4 gröna kulor. Man väljer på måfå ut 3 av kulorna. Beräkna sannolikheten för att man får åtminstone en grön kula. (Beräkna först sannolikheten för komplementhändelsen alla tre kulorna är röda. På hur många sätt kan de 3 kulorna väljas bland de 9 kulorna respektive bland de 5 röda kulorna?) Problem 32. Man väljer slumpmässigt ut en elev i en viss årskurs och tittar på betygen i matematik och fysik. Vi antar att händelsen femma i matematik (A) har sannolikheten 0.07 femma i fysik (B) har sannolikheten 0.06, femma i båda ämnena (A B) har sannolikheten Beräkna sannolikheterna för följande händelser: a Åtminstone en femma i de båda ämnena (A B). Håkan Strömberg 17 KTH Syd

18 14.1. DISKRET SANNOLIKHETSLÄRA b Ingen femma. (Komplementhändelse till föregående händelse.) c Femma i det ena men inte i det andra ämnet. Problem 33. På en viss tillverkad enhet kan två olika fel uppträda. Sannolikheten för att en slumpvis utvald enhet har det ena, det andra eller båda dessa fel är 0.008, respektive Beräkna sannolikheten för: a minst ett fel b inget fel c exakt ett fel. Problem 34. Ur en väl blandad kortlek dras slumpvis 13 kort. Vilken är sannolikheten att bland dessa 13 kort finns a hjärter äss b spader äss c båda dessa äss d åtminstone ett av dessa två äss e inget av de två essen f det ena av de två essen men inte det andra? Problem 35. I en klass finns 20 elever, av vilka 5 är flickor. Vid ett förhör får 4 slumpvis utvalda elever redovisa sina kunskaper. Vilken är sannolikheten att bland dessa fyra finns a ingen flicka b åtminstone en flicka? Problem 36. En vanlig kortlek består som bekant av fyra färger med 13 kort i varje färg. Om man slumpvis väljer ut fyra kort ur leken, vilken är då sannolikheten att man får åtminstone två kort av samma färg? (Beräkna först sannolikheten för komplementhändelsen, det vill säga att man får ett kort av varje färg.) Problem 37. Ur en vanlig kortlek utväljs slumpvis 13 kort (en hand i bridge). Vilken är sannolikheten att man får åtminstone ett äss? Problem 38. I ett lotteri med 100 lotter utlottas 3 vinster. Vilken är sannolikheten att en person, som köpt 5 lotter, får åtminstone en vinst? Problem 39. När man kastar en viss tändsticksask är sannolikheten att den lägger sig på plånsida 0.2. Två sådana askar kastas samtidigt. Vilken är sannolikheten att a båda b ingen c exakt en lägger sig på en plånsida Problem 40. Man kastar tre häftstift. För varje stift är sannolikheten att det lägger sig med spetsen uppåt 0.6. Beräkna sannolikheten för att alla tre stiften lägger sig Håkan Strömberg 18 KTH Syd

19 a med spetsen uppåt b med spetsen nedåt c på samma sätt Problem 41. Ur en kortlek väljer man på måfå ut två kort. a Vilken är sannolikheten att båda är hjärterkort? b Vilken är sannolikheten att båda korten har samma färg? Problem 42. Antag att sannolikheten att ett paket med skruvar innehåller åtminstone en felaktig skruv är Vilken är sannolikheten att det i fyra sådana paket inte, finns någon enda felaktig skruv? (Räkna först ut sannolikheten för att ett paket är felfritt) Problem 43. Två skyttar skjuter var sitt skott mot ett mål. Antag att deras träffsannolikheter är 0.3 och 0.6. Vilken är sannolikheten att minst en av dem träffar målet? (Beräkna först sannolikheten för komplementhändelsen, det vill säga att båda skjuter bom) Problem 44. Utanför en affär finns det 5 parkeringsplatser för kunder. Var och en av platserna är under affärstid ledig i genomsnitt 3 minuter per timme. Uppskatta sannolikheten att man vid ett tillämpat besök i affären finner åtminstone en av de fem parkeringsplatserna ledig. (Sannolikheten att en viss plats är ledig är 3/60. Beräkna först sannolikheten för att alla fem platserna är upptagna) Problem 45. En apparat är sammansatt av tre komponenter och fungerar endast om samtliga tre komponenter är felfria. Vilken är sannolikheten för att apparaten inte fungerar, om sannolikheterna för fel i de tre komponenterna är 2.0%, 3.5% och 4.2%? Felen antas vara oberoende av varandra. Problem 46. En symmetrisk tärning kastas fyra gånger. Vilken är sannolikheten att alla fyra kasten ger olika poängantal? Problem 47. Beräkna sannolikheten att man får minst en dubbelsexa vid 24 kast med två tärningar. Problem 48. Hur många gånger behöver man kasta en symmetrisk tärning för att ha en sannolikhet på minst 0.99 för att få åtminstone en sexa? Svar 1. a) Man får ett hjärter b) Man får ett rött kort c) Man får inte ett hjärter Svar 2. a) {3} b) {1,2,4,5,6} c) {3,4,5,6} d) {1,2,3} Svar 3. a) {UUU, NUU, UNU, UUN, UNN, NUN, NNU, NNN} c) {NUU, UNU, UUN} Svar 4. {11,1x,12,x1,xx,x2,21,2x,22} Svar 5. a) 2 4 = 16 b) {FRRR,RFRR,RRFR,RRRF} Svar 6. a) ( 52 2) = 1326 b) ( 4 2) = 6 c) 192 Ässet kan väljas på 4 sätt och det andra kortet på 48 sätt. Svar 7. a) 0.36 b) 0.47 c) 0.82 Svar 8. a) b) c) b) {UUU, NNN} Håkan Strömberg 19 KTH Syd

20 14.1. DISKRET SANNOLIKHETSLÄRA Svar 9. a) 2 b) 34 c) 237 Sannolikheterna är 0.003, och Multiplicera dessa med antalet partier, det vill säga med Svar 10. a) 0.60 b) 0.75 c) 0.84 d) 0.16 Svar 11. a) ab,ac,ad,ba,bc,bd,ca,cb,cd,da,db,dc b) 1/2 Svar 12. Sannolikheterna är 0.04, 0.11, 0.19, 0.20, 0.15, 0.11, 0.10, 0.05, 0.03 a) 0.04 b) 0.54 c) 0.10 Svar 13. a) 1 6 b) 1 3 c) 5 6 d) 1 2 Svar 14. a) 4 52 = 1 b) = 1 c) = 3 13 Svar 15. a) {kk, kg, gk, gg} b) {kkk, gkk, kgk, kkg, kgg, gkg, ggk, ggg} Svar 16. a) 1 4 b) 1 2 Svar 17. a) 1 8 b) 3 8 Svar 18. a) 6 2 = 36 b) 6 3 = 216 Svar 19. a) 1 36 d) 6 36 = 1 6 ( 13 Svar 20. ( 2) 52 ) = Svar 21. a) b) 2 36 = ( 5 2) = 0.1 b) ( 3 2) c) 3 36 = 1, gynnsamma utfall:(6 + 4,5 + 5,4 + 6) 12 ( 5 ) = 0.3 c) 2 ( 3 5 = ) Svar 22. a) Utfallen är inte lika sannolika b) 1 36 Svar 23. Svar ( 52 ) = ( 6 2) ( 10 ) = Svar 25. a) 5 ( 7 ) = b) 7 ( 7 ) = Svar = Gynnsamma utfall : (6+6+6), (5+6+6),(6+5+6),(6+6+5),(4+6+6),(6+4+6),(6+6+4), ( ),( ),( ) Svar 27. a) 1 4! = Svar 28. ( 6 = ) b) 9 4! = 3 8 Håkan Strömberg 20 KTH Syd

21 Ett par kan tas ut på 3 sätt, och den tredje skon kan sedan väljas på 4 sätt Svar 29. a) 6 36 = 1 6 b) Kasten ger olika poängantal, sannolikheten är 5 6 Svar = 4 9 ( 5 Svar ( 3) 9 ) = Svar 32. a) = 0.09 b) = 0.91 c) = 0.05 Svar 33. a) b) c) Svar 34. a) 1 ) 4 c) ( ( b) 1 4 ) = 1 17, 13 kort kan väljas på ( 52 13) sätt. Om hjärter äss och spader äss är med, så kan de övriga 11 korten väljas på ( 50 11) sätt d) = 15 e) f) ( 15 Svar 35. a) ( 4) 20 ) = b) Svar ( 52 4) 0.89 Svar Svar ) ( ( ( 97 5) ) 0.70 ( 100 ) ( ) ( ) = Svar 39. a) = 0.04 b) = 0.64 c) = 0.32 Svar 40. a) = b) = c) = 0.28 Svar 41. a) = 1 17 Svar Svar = 0.72 ( ) 57 5 Svar b) 4 17 Svar eller 9.4% Svar = 5 18 ( ) Svar ( ) 5 n Svar ger n 26 6 Håkan Strömberg 21 KTH Syd