MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I
|
|
- Viktoria Jakobsson
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Sannolikheter Slumpvariabler Centrala gränsvärdessatsen Aalto-universitetet 8 januari 04 3 Tvådimensionella slumpvariabler och fördelningar G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I / 7 G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I / 7 Vad är sannolikhet? Relativ frekvens vid upprepningar: Om en fabrik tillverkat exemplar av en produkt av vilka 505 har något fel så är sannolikheten för en felaktighet Andelen fall då ett något förekommer: Om i en urna finns 6 svarta och 4 vita kulor och man slumpmässigt väljer en kula sä är sannolikheten att den är svart = 0.6. Ett mått på hur troligt man anser något vara: Sannolikheten för hård vind imorgon är 70%. Sannolikhet, händelser, utfallsrum Mängden av alla tänkbara resultat av ett experiment är utfallstummet, ofta betecknat med Ω. Elementen i utfallsrummet, dvs. enskilda resultat av experimentet är elementarhändelser. Händelser är delmängder av utfallsrummet. För varje händelse A Ω finns det en sannolikhet PrA) för denna händelse. Sannolikhetsfunktionen uppfyller följande villkor: 0 PrA) för varje händelse A. PrΩ) =. Pr i= A i) = i= PrA i) om A j A k = då j k. G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 3 / 7 G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 4 / 7
2 Obs Av antagandena ovan följer bla. också att Pr ) = 0. PrA B) = PrA) + PrB) PrA B). PrΩ \ A) = PrA). A B PrA) PrB). Obs! Då Ω innehåller ändligt många element är det naturligt att att alla delmängder av Ω är händelser men i allmänhet är detta inte alltid möjligt eller ens önskvärt och då är Pr en funktion definierad i en σ-algebra A i Ω, dvs en mängd A med följande egenskaper: A A A Ω, Ω A, A A Ω \ A A, A i A, i =,,... i= A i A. G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 5 / 7 Oberoende Händelserna A och B är oberoende ifall PrA B) = PrA) PrB), och händelserna A j, j J är oberoende om PrA j A j... A jm ) = PrA j ) PrA j )... PrA jm ) alltid då j k J, k =,..., m, j p j q då p q. Obs! Om händelserna A j, j J är oberoende så är A jp och A jq oberoende då j p j k men om A jp och A jq är oberoende för alla j p j k så behöver inte händelserna A j, j J vara oberoende. G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 6 / 7 Betingad sannolikhet Den betingande sannolikheten för händelsen A givet händelsen B är PrA B) = PrA B), PrB) då man antar att PrB) > 0. Då händelsen B är given kan man begränsa utfallsrummet från Ω till B och räkna om sannolikheterna för händelserna A B som är delmängder av det nya utfallsrummet. Total sannolikhet Om n j= A j = Ω, A j A k = då j k och PrA j ) > 0 då j =,..., n så gäller n PrB) = PrA j ) PrB A j ). j= Bayes formel Om n j= A j = Ω, A j A k = då j k och PrA j ) > 0 då j =,..., n så gäller PrA k B) = PrA k) PrB A k ) n j= PrA j) PrB A j ). Varför? PrA k B) = PrA k B), PrB) PrA k ) PrB A k ) = PrA k B) och n PrA j ) PrB A j ) = PrB). j= Varför? Eftersom B = B Ω = n j= B A j och B A j ) B A k ) = då j k så är PrB) = n j= PrB A j ) och enligt defintionen är PrA j ) PrB A j ) = PrB A j ). G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 7 / 7 G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 8 / 7
3 Klassisk sannolikhet och kombinatorik PrA) = Antal fall då A inträffar Totala antalet möjliga fall Man antar alltså att varje elementarhändelse är lika sannolik och problemet blir att bestämma hur många element det det finns i utfallsrummet Ω och hur många av dessa hör som till mängden A. Produktprincipen Om i en urvalsprocess finns k steg och i steg j finns n j alternativ, oberoende av vilka val som gjorts i tidigare steg men vilka alternativen är kan bero på valen) så är det totala antalet alternativ n n... n k. G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 9 / 7 Permutationer, binomialkoefficineter etc. Om det i en mängd finns n element kan dessa ordnas på n! = 3... n ) n, olika sätt. Kom ihåg: 0! = ) Om man ur en mängd med n element väljer k element och beaktar i vilken ordning elementen väljs, kan detta göras på n n )... n k + ) = n! n k)! olika sätt. Om man ur en en mängd med n element väljer en delmängd med k element, dvs. inte beaktar i vilken ordning elementen väljs, kan detta göras på ) n = k n! k!n k)!, olika sätt. I alla dessa fall kan varje element i mängden väljas bara en gång, dvs. om man plockar kulor ur en urna läggs dessa inte tillbaka i urnan. G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 0 / 7 Upprepning av experiment Antag att ett experiment upprepas n gånger så att händelser vid olika gånger är oberoende. Då är sannolikheten för att händelsen A inträffar exakt k gånger ) n PrA) k PrA) ) n k. k G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I / 7 Slumpvariabler och fördelningsfunktioner En reell) slumpvariabel eller stokastisk variabel) är en funktion X : Ω R alltså inte egentligen en variabel) där Ω är ett utfallsrum för ett experiment i vilken en sannolikhet är definierad och { ω Ω : X ω) x } är en händelse för alla x R. Om X är en reell) slumpvariabel så är dess kumulativa) fördelningsfunktion funktionen F X x) = PrX x) = Pr { ω Ω : X ω) x } ). En funktion F : R [0, ] är en fördelningsfunktion om och endast om 0 F x) F y) då x < y, lim x F x) = 0 och lim x F x) =, lim y x+ F y) = F x) då x R. När F är en fördelningsfunktion för X så gäller dessutom att lim y x F y) = PrX < x), lim y x+ F y) lim y x F y) = PrX = x). G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I / 7
4 Obs! Uttryck som X x och X < x är formellt sett inte händelser dvs. delmängder i Ω) men man skriver oftast PrX x) istället för det längre uttrycket Pr { ω Ω : X ω) x } ). Oberoende slumpvariabler De reella) slumpvariablerna X j, j J definierade i samma utfallsrum är oberoende om händelserna { X j a j }, j J är oberoende för alla a j R, j J. Diskreta slumpvariabler En reell) slumpvariabel X är diskret om det finns en mängd A R och positiva tal f a), a A så att F X x) = f a). a x a A Detta innebär att PrX = a) = f a) då x A och a A f a) = så att PrX / A) = 0 och mängden A innehåller högst numrerbart många element liksom oftast också utfallsrummet Ω. Funktionen f är frekvensfunktionen eller sannolikhetsfunktionen för X. G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 3 / 7 G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 4 / 7 Kontinuerliga slumpvariabler En slumpvariabel är kontiuerlig om fördelningsfunktionen är kontinuerlig, dvs. om PrX = a) = 0 för alla a R. Oftast använder man sig ändå av absolut kontinuerliga slumpvariabler för vilka det finns en täthetsfunktion f så att F X x) = x f t) dt. Detta innebär att f x) 0 och f t) dt =. Väntevärde och varians Om X är en slumpvariabel så är dess väntevärde EX ) = x PrX = x) = xf X x), x x då X är en diskret slumpvariable med frekvensfunktion f X och EX ) = xf X x) dx, då X är en absolut kontinerlig slumpvariabel med täthetsfunktion f X, i båda fallen förutsatt att summan eller integralen existerar i annat fall kan man skriva EX ) = NaN). Om g är en mätbar funktion så är EgX )) = gx)f X x) dx. Om slumpvariabeln X har ett väntevärde så är dess varians X ) ) VarX ) = E EX ). G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 5 / 7 G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 6 / 7
5 Väntevärde och varians, forts. Om X och X är två slumpvariabler så är Ec X + c X ) = c EX ) + c EX ), och om X och X är två oberoende slumpvariabler så är Varc X + c X ) = c VarX ) + c VarX ). Chebshevs olikhet Pr X EX ) k ) VarX ) Varför? x EX ) k VarX ) k, k >. Låt gx) = om och 0 annars. Detta betyder att EgX )) = Pr X EX ) k VarX )). Nu är gx) att Pr X EX ) k ) VarX ) = EgX )) ) E x EX ) k = VarX ) k x EX ) k VarX ) ) så VarX ) VarX ) = k. G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 7 / 7 G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 8 / 7 Några viktiga diskreta slumpvariabler och deras fördelningar Jämn diskret fördelning: PrX = x i ) = n, i =,,..., n. Bernoullifördelning: PrX = ) = p, PrX = 0) = p). I detta fall är X ω) = då ω A Ω och X ω) = 0 då ω Ω \ A där PrA) = p. Väntevärdet p och variansen p p). Binomialfördelning X Binn, p): PrX = k) = n k) p k p) n k, k = 0,,..., n, dvs. X är summan av n oberoende Bernoulli-fördelade slumvariabler. EX ) = np och VarX ) = np p). Poissonfördelning X Poissonλ): PrX = k) = e λ λk k!, k = 0,,,.... Fås som gränsvärde av binomialfördelningen då np λ. Väntevärdet och variansen är λ. Två varianter av geometrisk fördelning: Ett experiment upprepas tills händelsen A med sannolikheten p inträffar. X är antalet upprepningar och X är antalet upprepningar innan A inträffar så att X = X +, PrX = k) = p) k p, k och PrX = k) = p) k p, k 0. EX ) = p, EX ) = p p och båda har variansen p p. G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 9 / 7 Några viktiga kontinuerliga slumpvariabler och deras fördelningar Likformig kontinuerlig fördelning där < a < b < ): { f X x) = b a, a < x < b, 0, x a eller x > b. Väntevärdet är a + b) och variansen b a). Normalfördelning X Nµ, σ ): f x x) = σ x µ) π e σ. Väntevärdet är µ och variansen σ. Exponentialfördelning X Expλ) med λ > 0: { λe λx, x > 0, f X x) = 0, x 0. Väntevärdet är λ och variansen λ. G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 0 / 7
6 Centrala gränsvärdessatsen Ifall slumpvariablerna X, X,... är oberoende och har samma fördelning så att EX j ) = µ och VarX j ) = σ, j =,,..., så gäller n j= X j nµ σ a N0, ) då n, n dvs. n lim Pr j= X ) j nµ n σ x n Normalapproximation x = F N0,) x) def = π e t dt. Om X är summan av tillräckligt många oberoende slumpvariabler med ändlig varians så är X EX ) ungefär N0, )-fördelad. VarX Tvådimensionella slumpvariabler och fördelningar Ifall Ω är ett utfallsrum på vilket en sannolikhetsfunktion är definierad så är X, Y ) : Ω R en tvådimensionell slumpvariabel med fördelningsfunktion F XY x, y) = PrX x, Y y) förutsatt att { ω Ω : X ω) x, Y ω) y } är en mängd för vilken sannolikheten är definierad. En tvådimensionell slumpvariabel X, Y ) är diskret och den har frekvensfunktionen f XY x, y) ifall f XY x, y) 0 för alla x och y, x y f XY x, y) = och PrX = x, Y = y) = f XY x, y) för alla x och y. En tvådimensionell slumpvariabel X, Y ) är kontinuerlig och har täthetsfunktion f XY x, y) ifall f XY x, y) 0 för alla x och y, f XY x, y) dx dy = och F XY x, y) = x y f XY s, t) dt ds för alla x och y. G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I / 7 G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I / 7 Marginalfördelningar Ifall f XY x, y) är frekvensfunktionen för den diskreta tvådimensionella slumpvariabeln X, Y ) så är marginalfrekvensfunktionerna för slumpvariablerna X och Y Oberoende slumpvariabler Om X, Y ) är en diskret tvådimensionell slumpvariabel eller en kontinuerlig tvådimensionell slumpvariabel med täthetsfunktion så gäller X och Y är oberoende f XY x, y) = f X x)f Y y). f X x) = PrX = x) = y f XY x, y) och Om X och Y är oberoende och f och g är mätbara funktioner så gäller f Y y) = PrY = y) = x f XY x, y). Ef X )gy )) = Ef X ))EgY )). Ifall f XY x, y) är täthetsfunktionen för den kontinuerliga tvådimensionella slumpvariabeln X, Y ) så är marginaltäthetsfunktionerna för slumpvariablerna X och Y f X x) = f XY x, y) dy och f Y y) = f XY x, y) dx. Kovarians och korrelation Kovarians: CovX, Y ) = E X EX ))Y EY )) ) = EXY ) EX )EY ). Korrelation: CorX, Y ) = CovX, Y ) VarX )VarY ), CorX, Y ). Om X och Y är oberoende så är CovX, Y ) = CorX, Y ) = 0. G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 3 / 7 G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 4 / 7
7 Betingade fördelningar Ifall X, Y ) är en diskret tvådimensionell slumpvariabel med frekvensfunktion f XY x, y) eller en kontinuerlig tvådimensionell slumpvariabel med täthetsfunktion f XY x, y) så är f Y X y x) = f XY x, y), då f X x) > 0, f X x) den betingande frekvensfunktionen respektive täthetsfunktionen för Y givet X = x. { y EY X = x) = yf Y X y x) eller yf Y X y x) dy EY X ) är en slumpvariabel så att EY X )ω) = EY X = X ω)) då ω Ω. EEY X )) = EY ). Den tvådimensionella normalfördelningen Slumpvariabeln X, Y ) sägs vara normalfördelad om varje linär kombination αx + βy är normalfördelad och slumpvariabeln X, Y ) har då, ifall ρ = CorX, Y ) ±, σx = VarX ) > 0 och σ Y = VarY ) > 0, en täthetsfunktion med formen f XY x, y) = πσ X σ Y ρ e ρ ) Då är X Nµ X, σ X ), Y Nµ Y, σ Y ) och f Y X y x) = πσy ρ e x µ X ) σ X ) + y µ Y ) σ Y ρx µ X )y µ Y ) σ X σ Y. y µ Y ρ σ Y σx x µ X ) σ Y ρ ) så att Y X = x) N µ Y + ρ σ Y σ X x µ X ), ρ )σy. Om ρ = 0 är X och Y oberoende. ) G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 5 / 7 G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 6 / 7 Obs! Observera att om X, Y ) är en slumpvariabel så att X är normalfördelad och Y är normalfördelad så behöver inte X, Y ) nödvändigtvis vara normalfördelad men om tex. X och Y är oberoende så är också X, Y ) normalfördelad. Ett annat uttryck för täthetsfunktionen då X, Y ) är normalfördelad Ett annat sätt att skriva täthetsfunktionen som gör det lättare att generalisera till det m-dimensionella fallet är f XY x, y) = π detσ) e z µ)t Σ z µ), z = [ ] [ σ där Σ = X ρσ X σ Y, så att Σ = σ ρσ X σ ρ X Y σ Y detσ) = σ X σ Y ρ ). [ ] x, µ = y ρ σ X σ Y ρ σ X σ Y σx [ µx ] µ Y och ], G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 7 / 7
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 28 januari 2014 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del I
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 13 februari 2015 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del I
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 13 februari 2015 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del I
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 26 januari 2015 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del I
MS-A Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del I G Gripenberg Aalto-universitetet januari G Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistikexempel, del
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Övning 3 Vecka 4, 19 23.1.2015
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Övning 3 Vecka 4, 19 23.1.2015 Gripenberg I1. Vi antar att antalet telefonsamtal som kommer till ett servicenummer under en tidsperiod med längden
Läs merKap 2. Sannolikhetsteorins grunder
Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser
Läs merExempel. Kontinuerliga stokastiska variabler. Integraler i stället för summor. Integraler i stället för summor
Kontinuerliga stokastiska variabler Exempel En stokastisk variabel är kontinuerlig om den kan anta vilka värden som helst i ett intervall, men sannolikheten för varje enskilt utfall är noll: P(X = x) =.
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 6 13 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Mer om väntevärden och varianser (Kap. 5.2 5.3) Beroendemått (Kap. 5.4) Summor, linjärkombinationer
Läs merKurssammanfattning MVE055
Obs: Detta är enbart tänkt som en översikt och innehåller långt ifrån allt som ingår i kursen (vilket anges exakt på hemsidan). Fullständiga antaganden i satser kan saknas och fel kan förekomma så kontrollera
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology September 21, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två
Läs merExempel för diskreta och kontinuerliga stokastiska variabler
Stokastisk variabel ( slumpvariabel) Sannolikhet och statistik Stokastiska variabler HT 2008 Uwe.Menzel@math.uu.se http://www.math.uu.se/ uwe/ Stokastisk variabel, slumpvariabel (s.v.): Funktion: Resultat
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 8.9.28 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 8.9.28 / 45 Stokastiska
Läs merÖvning 1 Sannolikhetsteorins grunder
Övning 1 Sannolikhetsteorins grunder Två händelser A och B är disjunkta om {A B} =, det vill säga att snittet inte innehåller några element. Om vi har en mängd händelser A 1, A 2, A 3,..., A n, vilka är
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology April 27, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två numeriska
Läs merLärmål Sannolikhet, statistik och risk 2015
Lärmål Sannolikhet, statistik och risk 2015 Johan Jonasson Februari 2016 Följande begrepp och metoder ska behärskas väl, kunna förklaras och tillämpas. Direkta bevis av satser från kursen kommer inte på
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II G. Gripenberg Aalto-universitetet 13 februari 2015 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
max/min Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 5 Johan Lindström 25 september 218 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F5 1/25 max/min Johan Lindström - johanl@maths.lth.se
Läs merFöreläsning 5, Matematisk statistik Π + E
Repetition Summor max/min Väntevärde Varians Föreläsning 5, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 25 november 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F5 1/16 Repetition Summor max/min
Läs merStatistik 1 för biologer, logopeder och psykologer
Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Satistik och sannolikhetslära Statistik handlar om att utvinna information från data. I praktiken inhehåller de data
Läs merFöreläsning 12: Repetition
Föreläsning 12: Repetition Marina Axelson-Fisk 25 maj, 2016 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI Grundläggande sannolikhetsteori Utfall = resultatet av ett försök Utfallsrum S = mängden av alla utfall Händelse
Läs merMatematisk statistik 9hp Föreläsning 2: Slumpvariabel
Matematisk statistik 9hp Föreläsning 2: Slumpvariabel Anna Lindgren 6+7 september 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F2: Slumpvariabel 1/23 Begrepp Samband Grundläggande begrepp Utfall
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA21/9MA31, STN2) 212-8-2 kl 8-12 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd 6 poäng.
Läs merFöreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden
Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden Stas Volkov 2017-09-19 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSFF45 F5: väntevärden 1/18 2D stokastisk variabel Tvådimensionella stokastisk variabel (X, Y)
Läs merKapitel 5 Multivariata sannolikhetsfördelningar
Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 5 Multivariata sannolikhetsfördelningar 1 Multivariata sannolikhetsfördelningar En slumpvariabel som, när slumpförsöket utförs, antar exakt ett värde sägs vara
Läs merStokastiska Processer F2 Föreläsning 1: Repetition från grundkursen
Stokastiska Processer F2 Föreläsning 1: Repetition från grundkursen Denna föreläsning kommer mest att vara en repetition av stoff från grundkursen. Längden på detta dokument kan tyckas vara oproportionerligt
Läs merTAMS65. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik TAMS65. Martin Singull TAMS65 TAMS65
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Martin Singull Innehåll 4.1 Multipel regression.............................. 15 1 Sannolikhetslära 7 1.1 Några diskreta fördelningar.........................
Läs merMatematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik
Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Varterminen 2005 . Kombinatorik n = k n! k!n k!. Tolkning: n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler V X = EX 2 EX 2 =
Läs merSF1911: Statistik för bioteknik
SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 6. TK 14.11.2016 TK Matematisk statistik 14.11.2016 1 / 38 Lärandemål Stokastiska modeller för kontinuerliga datatyper Fördelningsfunktion (cdf) Sannolikhetstäthetsfunktion
Läs merFöreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012
Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår
Läs merStokastiska signaler. Mediesignaler
Stokastiska signaler Mediesignaler Stokastiska variabler En slumpvariabel är en funktion eller en regel som tilldelar ett nummer till varje resultatet av ett experiment Symbol som representerar resultatet
Läs merFöreläsning 2, FMSF45 Slumpvariabel
Föreläsning 2, FMSF45 Slumpvariabel Stas Volkov 2017-09-05 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F2: Slumpvariabel 1/23 Begrepp Samband Grundläggande begrepp och beteckningar Utfall resultatet
Läs merFöreläsning 3. Kapitel 4, sid Sannolikhetsfördelningar
Föreläsning 3 Kapitel 4, sid 79-124 Sannolikhetsfördelningar 2 Agenda Slumpvariabel Sannolikhetsfördelning 3 Slumpvariabel (Stokastisk variabel) En variabel som beror av slumpen Ex: Tärningskast, längden
Läs merTMS136. Föreläsning 4
TMS136 Föreläsning 4 Kontinuerliga stokastiska variabler Kontinuerliga stokastiska variabler är stokastiska variabler som tar värden i intervall av den reella axeln Det kan handla om längder, temperaturer,
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Kovarians, korrelation, väntevärde och varians för summor av s.v.:er, normalfördelning (del 1) Jan Grandell & Timo Koski 15.09.2008 Jan Grandell &
Läs merMatematisk statistik 9hp Föreläsning 5: Summor och väntevärden
Matematisk statistik 9hp Föreläsning 5: Summor och väntevärden Anna Lindgren 20+21 september 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F5: väntevärden 1/18 2D stokastisk variabel Tvådim. stokastisk
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 25..26 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 25..26 / 44 Stokastiska
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 4. Väntevärde och varians, funktioner av s.v:er, flera stokastiska variabler. Jan Grandell & Timo Koski 10.09.2008 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk
Läs merF5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4)
Stat. teori gk, ht 006, JW F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.1-5.3, samt del av 5.4) Ordlista till NCT Random variable Discrete Continuous Probability distribution Probability distribution function Cumulative
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Flera stokastiska variabler.
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Flera stokastiska variabler. Jan Grandell & Timo Koski 31.01.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 31.01.2012 1 / 30 Flerdimensionella
Läs merJörgen Säve-Söderbergh
SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 8 Binomial-, hypergeometrisk- och Poissonfördelning Exakta egenskaper Approximativa egenskaper Jörgen Säve-Söderbergh Binomialfördelningen
Läs merRepetitionsföreläsning
Slumpförsök Repetitionsföreläsning Föreläsning 15 Sannolikhet och Statistik 5 hp Med händelser A B... avses delmängder av ett utfallsrum. Slumpförsök = utfallsrummet + ett sannolikhetsmått P. Fredrik Jonsson
Läs merStokastiska vektorer och multivariat normalfördelning
Stokastiska vektorer och multivariat normalfördelning Johan Thim johanthim@liuse 3 november 08 Repetition Definition Låt X och Y vara stokastiska variabler med EX µ X, V X σx, EY µ Y samt V Y σy Kovariansen
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I
MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, del I G. Gripenerg Alto-universitetet 6 feruri 2015 1 Snnolikheter Oeroende Betingd snnolikhet Byes formel Klssisk snnolikhet och komintorik
Läs merLINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 27 / TEN 2 2 augusti 217, klockan 8-12 Examinator: Jörg-Uwe Löbus (Tel: 79-62827 Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology April 7, 2014 Projektuppgift Projektet går ut på att genomföra ett statistiskt försök och analysera resultaten.
Läs merFORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD Sannolikhetsteori. Beskrivning av data. Läges-, spridnings- och beroendemått
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD 208-08-26 Sannolikhetsteori Följande gäller för sannolikheter: 0 P(A P(Ω = P(A
Läs merVäntevärde och varians
TNG6 F5 19-4-216 Väntevärde och varians Exempel 5.1. En grupp teknologer vid ITN slår sig ihop för att starta ett företag som utvecklar datorspel. Man vet att det är 8% chans för ett felfritt spel som
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 4 KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 7 september 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition av diskreta stokastiska variabler. Väntevärde
Läs merFormel- och tabellsamling i matematisk statistik
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik 1. Sannolikhetsteori för lärarprogrammet Sannolikhetsformler P (A ) = 1 P (A) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = P (A B) P (B) P (A B) = P (A B)P
Läs merMatematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning
Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning Anna Lindgren 29+3 september 216 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F7: normalfördelning 1/18 Kovarians, C(X, Y) Repetition Normalfördelning
Läs merMer om slumpvariabler
1/20 Mer om slumpvariabler Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/2 2013 2/20 Dagens föreläsning Diskreta slumpvariabler Vilket kretskort ska man välja? Väntevärde
Läs merVåra vanligaste fördelningar
Sida Våra vanligaste fördelningar Matematisk statistik för D3, VT Geometrisk fördelning X är geometriskt fördelad med parameter p, X Geo(p), om P (X = k) = ( p) k p P (X k) = ( p) k för k =,,... Beskriver
Läs merFöreläsning 3. Sannolikhetsfördelningar
Föreläsning 3. Sannolikhetsfördelningar Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Slumpvariabel? Resultatet av ett slumpmässigt försök utgörs
Läs mer4. Stokastiska variabler
4. Stokastiska variabler En stokastisk variabel (s.v.) är en funktion som definieras i utfallsrummet. Varje stokastisk variabel har en viss sannolikhetsstruktur. Ex: Man kastar två tärningar. Låt X = summan
Läs merMatematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik
Matematisk statistik KTH Formelsamling i matematisk statistik Vårterminen 2017 1 Kombinatorik ) n n! = k k! n k)!. Tolkning: mängd med n element. ) n = antalet delmängder av storlek k ur en k 2 Stokastiska
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 2009) Föreläsning 2. Diskreta Sannolikhetsfördelningar. (LLL Kap 6) Stokastisk Variabel
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 009) Föreläsning Diskreta (LLL Kap 6) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level course, 7,5 ECTS,
Läs merSTOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson,
STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson, 5--9 Lösningförslag skriftlig hemtentamen i Fortsättningskurs i statistik, moment, Statistisk Teori, poäng. Deltentamen : Sannolikhetsteori
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 4 7 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Viktiga kontinuerliga fördelningar (Kap. 3.6) Fördelningsfunktion (Kap. 3.7) Funktioner av stokastiska
Läs merSannolikhet och statistik XI
April 219 Betingade väntevärden. Vi ska säga att E[Y X = x] är väntevärdet av den sv som samma förd som Y givet X = x. Definition: Y diskret: E[Y X = x] = y k V Y y k p Y X (y k x), Y kont: E[Y X = x]
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 6. Kovarians, korrelation, väntevärde och varians för summor av s.v.:er, De stora talens lag Jan Grandell & Timo Koski 04.02.2016 Jan Grandell & Timo
Läs mer4 Diskret stokastisk variabel
4 Diskret stokastisk variabel En stokastisk variabel är en variabel vars värde bestäms av utfallet av ett slumpmässigt försök. En stokastisk variabel betecknas ofta med X, Y eller Z (i läroboken används
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Kontinuerliga fördelningar Uwe Menzel, 8 www.matstat.de Begrepp fördelning Hur beter sig en variabel slumpmässigt? En slumpvariabel (s.v.) har en viss fördelning, d.v.s.
Läs merNågra extra övningsuppgifter i Statistisk teori
Statistiska institutionen Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori 23 JANUARI 2009 2 Sannolikhetsteorins grunder 1. Tre vanliga symmetriska tärningar kastas. Om inte alla tre tärningarna visar sexa,
Läs merLINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 27 / TEN 2 augusti 218, klockan 8.-12. Examinator: Jörg-Uwe Löbus (Tel: 79-62827) Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk
Läs merFöreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat.
Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Ytterligare begrepp Viktiga
Läs merTentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp
Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Distanskurs 15 januari, 2011 kl. 9.00 13.00 Maxpoäng: 30p. Betygsgränser: 12p: betyg G, 21p: betyg VG. Hjälpmedel: Miniräknare samt formelsamling som medföljer tentamenstexten.
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski 28.01.2015 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk
Läs merFöreläsning 2. Kapitel 3, sid Sannolikhetsteori
Föreläsning 2 Kapitel 3, sid 47-78 Sannolikhetsteori 2 Agenda Mängdlära Kombinatorik Sannolikhetslära 3 Mängdlära Används för att hantera sannolikheter Viktig byggsten inom matematik och logik Utfallsrummet,
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Väntevärde, varians, standardavvikelse, kvantiler Uwe Menzel, 28 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de Väntevärdet X : diskret eller kontinuerlig slumpvariable
Läs merTAMS79: Matematisk statistik vt 2013
TAMS79: Matematisk statistik vt 3 Föreläsningsanteckningar Johan Thim, MAI.5. 5 3 3 TAMS79: Föreläsning Grundläggande begrepp Johan Thim 3 januari 3. Begrepp Ett slumpförsök är ett försök där resultatet
Läs merBIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 3, OCH INFÖR ÖVNING 4
LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 3, 216-4-6 OCH INFÖR ÖVNING 4 Övningens mål: Du ska förstå begreppet slumpvariabel och skilja
Läs merFöreläsning G70 Statistik A
Föreläsning 2 732G70 Statistik A Introduktion till sannolikhetslära Sannolikhetslära: område inom statistiken där vi studerar experiment vars utfall beror av slumpen Sannolikhet: numeriskt värde (mellan
Läs merOberoende stokastiska variabler
Kapitel 6 Oberoende stokastiska variabler Betrakta ett försök med ett ändligt (eller högst numrerbart) utfallsrum Ω samt två stokastiska variabler ξ och η med värdemängderna Ω ξ och Ω η. Vi bildar funktionen
Läs merTvå parametrar: µ (väntevärdet) och σ (standardavvikelsen) µ bestämmer normalfördelningens läge
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik Matematisk statistik AK för ekosystemteknik, FMSF75 OH-bilder 28-9-3 Normalfördelningen, X N(µ, σ) f(x) = e (x µ)2 2σ 2, < x < 2π σ.4 N(2,).35.3.25.2.5..5
Läs merSannolikheter och kombinatorik
Sannolikheter och kombinatorik En sannolikhet är ett tal mellan 0 och 1 som anger hur frekvent en händelse sker, där 0 betyder att det aldrig sker och 1 att det alltid sker. När vi talar om sannolikheter
Läs merTAMS79 / TAMS65 - vt TAMS79 / TAMS65 - vt Formel- och tabellsamling i matematisk statistik. TAMS79 / TAMS65 - vt 2013.
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik c Martin Singull 2 Innehåll 3.3 Tukey s metod för parvisa jämförelser.................... 14 1 Sannolikhetslära 5 1.1 Några diskreta fördelningar.........................
Läs merFöreläsning 2, Matematisk statistik för M
Repetition Stok. Var. Diskret Kont. Fördelningsfnk. Föreläsning 2, Matematisk statistik för M Erik Lindström 25 mars 2015 Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F2 1/16 Repetition Stok. Var. Diskret
Läs merKap 3: Diskreta fördelningar
Kap 3: Diskreta fördelningar Sannolikhetsfördelningar Slumpvariabler Fördelningsfunktion Diskreta fördelningar Likformiga fördelningen Binomialfördelningen Hypergeometriska fördelningen Poisson fördelningen
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del II
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del II G. Gripenberg Aalto-universitetet 13 februari 2015 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl
Läs merFöreläsning 7: Stokastiska vektorer
Föreläsning 7: Stokastiska vektorer Johan Thim johanthim@liuse oktober 8 Repetition Definition Låt X och Y vara stokastiska variabler med EX = µ X, V X = σx, EY = µ Y samt V Y = σy Kovariansen CX, Y definieras
Läs merMatematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs
Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs Varterminen 2005 . Kombinatorik ( ) n = k n! k!(n k)!. Tolkning: ( n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler
Läs merSF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH DISKRETA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 23 mars, 2018
SF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 3 DISKRETA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 23 mars, 2018 PLAN FÖR DAGENSFÖRELÄSNING Repetition av betingade sannolikheter, användbara satser
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp, HT 2008) Föreläsning 2
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp, HT 008) Föreläsning Diskreta sannolikhetsfördelningar (LLL kap. 6) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level
Läs merFöreläsning 6, Matematisk statistik Π + E
Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 2 december 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F6 1/20 Repetition Kovarians Stora
Läs merKapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin
Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid 79-14 Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Slumpvariabel En variabel för vilken slumpen bestämmer utfallet. Slantsingling, tärningskast,
Läs merF2 Introduktion. Sannolikheter Standardavvikelse Normalapproximation Sammanfattning Minitab. F2 Introduktion
Gnuer i skyddade/oskyddade områden, binära utfall och binomialfördelningar Matematik och statistik för biologer, 10 hp Fredrik Jonsson Januari 2012 I vissa områden i Afrika har man observerat att förekomsten
Läs merLektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen
Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet
Läs merSF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 3 Diskreta stokastiska variabler. Jörgen Säve-Söderbergh
SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 3 Diskreta stokastiska variabler Jörgen Säve-Söderbergh Stokastisk variabel Singla en slant två gånger. Ω = {Kr Kr, Kr Kl, Kl Kr, Kl Kl}
Läs mer0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9, SF95 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 2:E JANUARI 25 KL 4. 9.. Kursledare: Gunnar Englund, 73 32 37 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merStatistiska metoder för säkerhetsanalys
F6: Betingade fördelningar Exempel: Tillförlitlighet Styrkan hos en lina (wire) kan modelleras enligt en stokastisk variabel Y. En tänkbar modell för styrkan är Weibullfördelning. Den last som linan utsätts
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Flerdimensionella Uwe Menzel, 2018 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de Flerdimensionella Ett slumpförsök kan ge upphov till flera (s.v.): kast med
Läs merIntroduktion till statistik för statsvetare
"Det finns inget så praktiskt som en bra teori" November 2011 Repetition Vad vi gjort hitills Vi har börjat med att studera olika typer av mätningar och sedan successivt tagit fram olika beskrivande mått
Läs merFACIT: Tentamen L9MA30, LGMA30
Göteborgs Universitetet GU Lärarprogrammet 06 FACIT: Matematik för lärare, åk 7-9, Sannolikhetslära och statistik, Matematik för gymnasielärare, Sannolikhetslära och statistik 07-0-04 kl..0-.0 Examinator
Läs merLINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 7 / TEN 8 maj 18, klockan 8.-1. Examinator: Jörg-Uwe Löbus Tel: 79-687 Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk statistik
Läs merFöreläsning 15: Försöksplanering och repetition
Föreläsning 15: Försöksplanering och repetition Matematisk statistik Chalmers University of Technology Oktober 19, 2015 Utfall och utfallsrum Slumpmässigt försök Man brukar säga att ett slumpmässigt försök
Läs merLINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 15 / TEN 1
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 5 / TEN januari 08, klockan 4.00-8.00 Examinator: Jörg-Uwe Löbus (Tel: 0709-6087) Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk
Läs merFöreläsning 6, Repetition Sannolikhetslära
Föreläsning 6, Repetition Sannolikhetslära kap 4 Sannolikhetslära och slumpvariabler kap 5 Stickprov, medelvärden, CGS, binomialfördelning Viktiga grundbegrepp utfall, händelse, sannolikheter, betingad
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 3 4 november 2016 1 / 28 Idag Förra gången Stokastiska variabler (Kap. 3.2) Diskret stokastisk variabel (Kap. 3.3 3.4) Kontinuerlig stokastisk
Läs mer