MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I"

Transkript

1 MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Sannolikheter Slumpvariabler Centrala gränsvärdessatsen Aalto-universitetet 8 januari 04 3 Tvådimensionella slumpvariabler och fördelningar G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I / 7 G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I / 7 Vad är sannolikhet? Relativ frekvens vid upprepningar: Om en fabrik tillverkat exemplar av en produkt av vilka 505 har något fel så är sannolikheten för en felaktighet Andelen fall då ett något förekommer: Om i en urna finns 6 svarta och 4 vita kulor och man slumpmässigt väljer en kula sä är sannolikheten att den är svart = 0.6. Ett mått på hur troligt man anser något vara: Sannolikheten för hård vind imorgon är 70%. Sannolikhet, händelser, utfallsrum Mängden av alla tänkbara resultat av ett experiment är utfallstummet, ofta betecknat med Ω. Elementen i utfallsrummet, dvs. enskilda resultat av experimentet är elementarhändelser. Händelser är delmängder av utfallsrummet. För varje händelse A Ω finns det en sannolikhet PrA) för denna händelse. Sannolikhetsfunktionen uppfyller följande villkor: 0 PrA) för varje händelse A. PrΩ) =. Pr i= A i) = i= PrA i) om A j A k = då j k. G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 3 / 7 G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 4 / 7

2 Obs Av antagandena ovan följer bla. också att Pr ) = 0. PrA B) = PrA) + PrB) PrA B). PrΩ \ A) = PrA). A B PrA) PrB). Obs! Då Ω innehåller ändligt många element är det naturligt att att alla delmängder av Ω är händelser men i allmänhet är detta inte alltid möjligt eller ens önskvärt och då är Pr en funktion definierad i en σ-algebra A i Ω, dvs en mängd A med följande egenskaper: A A A Ω, Ω A, A A Ω \ A A, A i A, i =,,... i= A i A. G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 5 / 7 Oberoende Händelserna A och B är oberoende ifall PrA B) = PrA) PrB), och händelserna A j, j J är oberoende om PrA j A j... A jm ) = PrA j ) PrA j )... PrA jm ) alltid då j k J, k =,..., m, j p j q då p q. Obs! Om händelserna A j, j J är oberoende så är A jp och A jq oberoende då j p j k men om A jp och A jq är oberoende för alla j p j k så behöver inte händelserna A j, j J vara oberoende. G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 6 / 7 Betingad sannolikhet Den betingande sannolikheten för händelsen A givet händelsen B är PrA B) = PrA B), PrB) då man antar att PrB) > 0. Då händelsen B är given kan man begränsa utfallsrummet från Ω till B och räkna om sannolikheterna för händelserna A B som är delmängder av det nya utfallsrummet. Total sannolikhet Om n j= A j = Ω, A j A k = då j k och PrA j ) > 0 då j =,..., n så gäller n PrB) = PrA j ) PrB A j ). j= Bayes formel Om n j= A j = Ω, A j A k = då j k och PrA j ) > 0 då j =,..., n så gäller PrA k B) = PrA k) PrB A k ) n j= PrA j) PrB A j ). Varför? PrA k B) = PrA k B), PrB) PrA k ) PrB A k ) = PrA k B) och n PrA j ) PrB A j ) = PrB). j= Varför? Eftersom B = B Ω = n j= B A j och B A j ) B A k ) = då j k så är PrB) = n j= PrB A j ) och enligt defintionen är PrA j ) PrB A j ) = PrB A j ). G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 7 / 7 G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 8 / 7

3 Klassisk sannolikhet och kombinatorik PrA) = Antal fall då A inträffar Totala antalet möjliga fall Man antar alltså att varje elementarhändelse är lika sannolik och problemet blir att bestämma hur många element det det finns i utfallsrummet Ω och hur många av dessa hör som till mängden A. Produktprincipen Om i en urvalsprocess finns k steg och i steg j finns n j alternativ, oberoende av vilka val som gjorts i tidigare steg men vilka alternativen är kan bero på valen) så är det totala antalet alternativ n n... n k. G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 9 / 7 Permutationer, binomialkoefficineter etc. Om det i en mängd finns n element kan dessa ordnas på n! = 3... n ) n, olika sätt. Kom ihåg: 0! = ) Om man ur en mängd med n element väljer k element och beaktar i vilken ordning elementen väljs, kan detta göras på n n )... n k + ) = n! n k)! olika sätt. Om man ur en en mängd med n element väljer en delmängd med k element, dvs. inte beaktar i vilken ordning elementen väljs, kan detta göras på ) n = k n! k!n k)!, olika sätt. I alla dessa fall kan varje element i mängden väljas bara en gång, dvs. om man plockar kulor ur en urna läggs dessa inte tillbaka i urnan. G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 0 / 7 Upprepning av experiment Antag att ett experiment upprepas n gånger så att händelser vid olika gånger är oberoende. Då är sannolikheten för att händelsen A inträffar exakt k gånger ) n PrA) k PrA) ) n k. k G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I / 7 Slumpvariabler och fördelningsfunktioner En reell) slumpvariabel eller stokastisk variabel) är en funktion X : Ω R alltså inte egentligen en variabel) där Ω är ett utfallsrum för ett experiment i vilken en sannolikhet är definierad och { ω Ω : X ω) x } är en händelse för alla x R. Om X är en reell) slumpvariabel så är dess kumulativa) fördelningsfunktion funktionen F X x) = PrX x) = Pr { ω Ω : X ω) x } ). En funktion F : R [0, ] är en fördelningsfunktion om och endast om 0 F x) F y) då x < y, lim x F x) = 0 och lim x F x) =, lim y x+ F y) = F x) då x R. När F är en fördelningsfunktion för X så gäller dessutom att lim y x F y) = PrX < x), lim y x+ F y) lim y x F y) = PrX = x). G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I / 7

4 Obs! Uttryck som X x och X < x är formellt sett inte händelser dvs. delmängder i Ω) men man skriver oftast PrX x) istället för det längre uttrycket Pr { ω Ω : X ω) x } ). Oberoende slumpvariabler De reella) slumpvariablerna X j, j J definierade i samma utfallsrum är oberoende om händelserna { X j a j }, j J är oberoende för alla a j R, j J. Diskreta slumpvariabler En reell) slumpvariabel X är diskret om det finns en mängd A R och positiva tal f a), a A så att F X x) = f a). a x a A Detta innebär att PrX = a) = f a) då x A och a A f a) = så att PrX / A) = 0 och mängden A innehåller högst numrerbart många element liksom oftast också utfallsrummet Ω. Funktionen f är frekvensfunktionen eller sannolikhetsfunktionen för X. G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 3 / 7 G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 4 / 7 Kontinuerliga slumpvariabler En slumpvariabel är kontiuerlig om fördelningsfunktionen är kontinuerlig, dvs. om PrX = a) = 0 för alla a R. Oftast använder man sig ändå av absolut kontinuerliga slumpvariabler för vilka det finns en täthetsfunktion f så att F X x) = x f t) dt. Detta innebär att f x) 0 och f t) dt =. Väntevärde och varians Om X är en slumpvariabel så är dess väntevärde EX ) = x PrX = x) = xf X x), x x då X är en diskret slumpvariable med frekvensfunktion f X och EX ) = xf X x) dx, då X är en absolut kontinerlig slumpvariabel med täthetsfunktion f X, i båda fallen förutsatt att summan eller integralen existerar i annat fall kan man skriva EX ) = NaN). Om g är en mätbar funktion så är EgX )) = gx)f X x) dx. Om slumpvariabeln X har ett väntevärde så är dess varians X ) ) VarX ) = E EX ). G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 5 / 7 G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 6 / 7

5 Väntevärde och varians, forts. Om X och X är två slumpvariabler så är Ec X + c X ) = c EX ) + c EX ), och om X och X är två oberoende slumpvariabler så är Varc X + c X ) = c VarX ) + c VarX ). Chebshevs olikhet Pr X EX ) k ) VarX ) Varför? x EX ) k VarX ) k, k >. Låt gx) = om och 0 annars. Detta betyder att EgX )) = Pr X EX ) k VarX )). Nu är gx) att Pr X EX ) k ) VarX ) = EgX )) ) E x EX ) k = VarX ) k x EX ) k VarX ) ) så VarX ) VarX ) = k. G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 7 / 7 G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 8 / 7 Några viktiga diskreta slumpvariabler och deras fördelningar Jämn diskret fördelning: PrX = x i ) = n, i =,,..., n. Bernoullifördelning: PrX = ) = p, PrX = 0) = p). I detta fall är X ω) = då ω A Ω och X ω) = 0 då ω Ω \ A där PrA) = p. Väntevärdet p och variansen p p). Binomialfördelning X Binn, p): PrX = k) = n k) p k p) n k, k = 0,,..., n, dvs. X är summan av n oberoende Bernoulli-fördelade slumvariabler. EX ) = np och VarX ) = np p). Poissonfördelning X Poissonλ): PrX = k) = e λ λk k!, k = 0,,,.... Fås som gränsvärde av binomialfördelningen då np λ. Väntevärdet och variansen är λ. Två varianter av geometrisk fördelning: Ett experiment upprepas tills händelsen A med sannolikheten p inträffar. X är antalet upprepningar och X är antalet upprepningar innan A inträffar så att X = X +, PrX = k) = p) k p, k och PrX = k) = p) k p, k 0. EX ) = p, EX ) = p p och båda har variansen p p. G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 9 / 7 Några viktiga kontinuerliga slumpvariabler och deras fördelningar Likformig kontinuerlig fördelning där < a < b < ): { f X x) = b a, a < x < b, 0, x a eller x > b. Väntevärdet är a + b) och variansen b a). Normalfördelning X Nµ, σ ): f x x) = σ x µ) π e σ. Väntevärdet är µ och variansen σ. Exponentialfördelning X Expλ) med λ > 0: { λe λx, x > 0, f X x) = 0, x 0. Väntevärdet är λ och variansen λ. G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 0 / 7

6 Centrala gränsvärdessatsen Ifall slumpvariablerna X, X,... är oberoende och har samma fördelning så att EX j ) = µ och VarX j ) = σ, j =,,..., så gäller n j= X j nµ σ a N0, ) då n, n dvs. n lim Pr j= X ) j nµ n σ x n Normalapproximation x = F N0,) x) def = π e t dt. Om X är summan av tillräckligt många oberoende slumpvariabler med ändlig varians så är X EX ) ungefär N0, )-fördelad. VarX Tvådimensionella slumpvariabler och fördelningar Ifall Ω är ett utfallsrum på vilket en sannolikhetsfunktion är definierad så är X, Y ) : Ω R en tvådimensionell slumpvariabel med fördelningsfunktion F XY x, y) = PrX x, Y y) förutsatt att { ω Ω : X ω) x, Y ω) y } är en mängd för vilken sannolikheten är definierad. En tvådimensionell slumpvariabel X, Y ) är diskret och den har frekvensfunktionen f XY x, y) ifall f XY x, y) 0 för alla x och y, x y f XY x, y) = och PrX = x, Y = y) = f XY x, y) för alla x och y. En tvådimensionell slumpvariabel X, Y ) är kontinuerlig och har täthetsfunktion f XY x, y) ifall f XY x, y) 0 för alla x och y, f XY x, y) dx dy = och F XY x, y) = x y f XY s, t) dt ds för alla x och y. G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I / 7 G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I / 7 Marginalfördelningar Ifall f XY x, y) är frekvensfunktionen för den diskreta tvådimensionella slumpvariabeln X, Y ) så är marginalfrekvensfunktionerna för slumpvariablerna X och Y Oberoende slumpvariabler Om X, Y ) är en diskret tvådimensionell slumpvariabel eller en kontinuerlig tvådimensionell slumpvariabel med täthetsfunktion så gäller X och Y är oberoende f XY x, y) = f X x)f Y y). f X x) = PrX = x) = y f XY x, y) och Om X och Y är oberoende och f och g är mätbara funktioner så gäller f Y y) = PrY = y) = x f XY x, y). Ef X )gy )) = Ef X ))EgY )). Ifall f XY x, y) är täthetsfunktionen för den kontinuerliga tvådimensionella slumpvariabeln X, Y ) så är marginaltäthetsfunktionerna för slumpvariablerna X och Y f X x) = f XY x, y) dy och f Y y) = f XY x, y) dx. Kovarians och korrelation Kovarians: CovX, Y ) = E X EX ))Y EY )) ) = EXY ) EX )EY ). Korrelation: CorX, Y ) = CovX, Y ) VarX )VarY ), CorX, Y ). Om X och Y är oberoende så är CovX, Y ) = CorX, Y ) = 0. G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 3 / 7 G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 4 / 7

7 Betingade fördelningar Ifall X, Y ) är en diskret tvådimensionell slumpvariabel med frekvensfunktion f XY x, y) eller en kontinuerlig tvådimensionell slumpvariabel med täthetsfunktion f XY x, y) så är f Y X y x) = f XY x, y), då f X x) > 0, f X x) den betingande frekvensfunktionen respektive täthetsfunktionen för Y givet X = x. { y EY X = x) = yf Y X y x) eller yf Y X y x) dy EY X ) är en slumpvariabel så att EY X )ω) = EY X = X ω)) då ω Ω. EEY X )) = EY ). Den tvådimensionella normalfördelningen Slumpvariabeln X, Y ) sägs vara normalfördelad om varje linär kombination αx + βy är normalfördelad och slumpvariabeln X, Y ) har då, ifall ρ = CorX, Y ) ±, σx = VarX ) > 0 och σ Y = VarY ) > 0, en täthetsfunktion med formen f XY x, y) = πσ X σ Y ρ e ρ ) Då är X Nµ X, σ X ), Y Nµ Y, σ Y ) och f Y X y x) = πσy ρ e x µ X ) σ X ) + y µ Y ) σ Y ρx µ X )y µ Y ) σ X σ Y. y µ Y ρ σ Y σx x µ X ) σ Y ρ ) så att Y X = x) N µ Y + ρ σ Y σ X x µ X ), ρ )σy. Om ρ = 0 är X och Y oberoende. ) G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 5 / 7 G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 6 / 7 Obs! Observera att om X, Y ) är en slumpvariabel så att X är normalfördelad och Y är normalfördelad så behöver inte X, Y ) nödvändigtvis vara normalfördelad men om tex. X och Y är oberoende så är också X, Y ) normalfördelad. Ett annat uttryck för täthetsfunktionen då X, Y ) är normalfördelad Ett annat sätt att skriva täthetsfunktionen som gör det lättare att generalisera till det m-dimensionella fallet är f XY x, y) = π detσ) e z µ)t Σ z µ), z = [ ] [ σ där Σ = X ρσ X σ Y, så att Σ = σ ρσ X σ ρ X Y σ Y detσ) = σ X σ Y ρ ). [ ] x, µ = y ρ σ X σ Y ρ σ X σ Y σx [ µx ] µ Y och ], G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistiksammanfattning, 8 januari 04 del I 7 / 7

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 28 januari 2014 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del I MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 13 februari 2015 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del I MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 13 februari 2015 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del I MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 26 januari 2015 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del I MS-A Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del I G Gripenberg Aalto-universitetet januari G Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistikexempel, del

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Övning 3 Vecka 4, 19 23.1.2015

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Övning 3 Vecka 4, 19 23.1.2015 MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Övning 3 Vecka 4, 19 23.1.2015 Gripenberg I1. Vi antar att antalet telefonsamtal som kommer till ett servicenummer under en tidsperiod med längden

Läs mer

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser

Läs mer

Exempel. Kontinuerliga stokastiska variabler. Integraler i stället för summor. Integraler i stället för summor

Exempel. Kontinuerliga stokastiska variabler. Integraler i stället för summor. Integraler i stället för summor Kontinuerliga stokastiska variabler Exempel En stokastisk variabel är kontinuerlig om den kan anta vilka värden som helst i ett intervall, men sannolikheten för varje enskilt utfall är noll: P(X = x) =.

Läs mer

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 6 13 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Mer om väntevärden och varianser (Kap. 5.2 5.3) Beroendemått (Kap. 5.4) Summor, linjärkombinationer

Läs mer

Kurssammanfattning MVE055

Kurssammanfattning MVE055 Obs: Detta är enbart tänkt som en översikt och innehåller långt ifrån allt som ingår i kursen (vilket anges exakt på hemsidan). Fullständiga antaganden i satser kan saknas och fel kan förekomma så kontrollera

Läs mer

Föreläsning 7: Punktskattningar

Föreläsning 7: Punktskattningar Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology September 21, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två

Läs mer

Exempel för diskreta och kontinuerliga stokastiska variabler

Exempel för diskreta och kontinuerliga stokastiska variabler Stokastisk variabel ( slumpvariabel) Sannolikhet och statistik Stokastiska variabler HT 2008 Uwe.Menzel@math.uu.se http://www.math.uu.se/ uwe/ Stokastisk variabel, slumpvariabel (s.v.): Funktion: Resultat

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 8.9.28 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 8.9.28 / 45 Stokastiska

Läs mer

Övning 1 Sannolikhetsteorins grunder

Övning 1 Sannolikhetsteorins grunder Övning 1 Sannolikhetsteorins grunder Två händelser A och B är disjunkta om {A B} =, det vill säga att snittet inte innehåller några element. Om vi har en mängd händelser A 1, A 2, A 3,..., A n, vilka är

Läs mer

Föreläsning 7: Punktskattningar

Föreläsning 7: Punktskattningar Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology April 27, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två numeriska

Läs mer

Lärmål Sannolikhet, statistik och risk 2015

Lärmål Sannolikhet, statistik och risk 2015 Lärmål Sannolikhet, statistik och risk 2015 Johan Jonasson Februari 2016 Följande begrepp och metoder ska behärskas väl, kunna förklaras och tillämpas. Direkta bevis av satser från kursen kommer inte på

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II G. Gripenberg Aalto-universitetet 13 februari 2015 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och

Läs mer

Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker

Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker max/min Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 5 Johan Lindström 25 september 218 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F5 1/25 max/min Johan Lindström - johanl@maths.lth.se

Läs mer

Föreläsning 5, Matematisk statistik Π + E

Föreläsning 5, Matematisk statistik Π + E Repetition Summor max/min Väntevärde Varians Föreläsning 5, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 25 november 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F5 1/16 Repetition Summor max/min

Läs mer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Satistik och sannolikhetslära Statistik handlar om att utvinna information från data. I praktiken inhehåller de data

Läs mer

Föreläsning 12: Repetition

Föreläsning 12: Repetition Föreläsning 12: Repetition Marina Axelson-Fisk 25 maj, 2016 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI Grundläggande sannolikhetsteori Utfall = resultatet av ett försök Utfallsrum S = mängden av alla utfall Händelse

Läs mer

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 2: Slumpvariabel

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 2: Slumpvariabel Matematisk statistik 9hp Föreläsning 2: Slumpvariabel Anna Lindgren 6+7 september 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F2: Slumpvariabel 1/23 Begrepp Samband Grundläggande begrepp Utfall

Läs mer

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12 LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA21/9MA31, STN2) 212-8-2 kl 8-12 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd 6 poäng.

Läs mer

Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden

Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden Stas Volkov 2017-09-19 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSFF45 F5: väntevärden 1/18 2D stokastisk variabel Tvådimensionella stokastisk variabel (X, Y)

Läs mer

Kapitel 5 Multivariata sannolikhetsfördelningar

Kapitel 5 Multivariata sannolikhetsfördelningar Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 5 Multivariata sannolikhetsfördelningar 1 Multivariata sannolikhetsfördelningar En slumpvariabel som, när slumpförsöket utförs, antar exakt ett värde sägs vara

Läs mer

Stokastiska Processer F2 Föreläsning 1: Repetition från grundkursen

Stokastiska Processer F2 Föreläsning 1: Repetition från grundkursen Stokastiska Processer F2 Föreläsning 1: Repetition från grundkursen Denna föreläsning kommer mest att vara en repetition av stoff från grundkursen. Längden på detta dokument kan tyckas vara oproportionerligt

Läs mer

TAMS65. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik TAMS65. Martin Singull TAMS65 TAMS65

TAMS65. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik TAMS65. Martin Singull TAMS65 TAMS65 Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Martin Singull Innehåll 4.1 Multipel regression.............................. 15 1 Sannolikhetslära 7 1.1 Några diskreta fördelningar.........................

Läs mer

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Varterminen 2005 . Kombinatorik n = k n! k!n k!. Tolkning: n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler V X = EX 2 EX 2 =

Läs mer

SF1911: Statistik för bioteknik

SF1911: Statistik för bioteknik SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 6. TK 14.11.2016 TK Matematisk statistik 14.11.2016 1 / 38 Lärandemål Stokastiska modeller för kontinuerliga datatyper Fördelningsfunktion (cdf) Sannolikhetstäthetsfunktion

Läs mer

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012 Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår

Läs mer

Stokastiska signaler. Mediesignaler

Stokastiska signaler. Mediesignaler Stokastiska signaler Mediesignaler Stokastiska variabler En slumpvariabel är en funktion eller en regel som tilldelar ett nummer till varje resultatet av ett experiment Symbol som representerar resultatet

Läs mer

Föreläsning 2, FMSF45 Slumpvariabel

Föreläsning 2, FMSF45 Slumpvariabel Föreläsning 2, FMSF45 Slumpvariabel Stas Volkov 2017-09-05 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F2: Slumpvariabel 1/23 Begrepp Samband Grundläggande begrepp och beteckningar Utfall resultatet

Läs mer

Föreläsning 3. Kapitel 4, sid Sannolikhetsfördelningar

Föreläsning 3. Kapitel 4, sid Sannolikhetsfördelningar Föreläsning 3 Kapitel 4, sid 79-124 Sannolikhetsfördelningar 2 Agenda Slumpvariabel Sannolikhetsfördelning 3 Slumpvariabel (Stokastisk variabel) En variabel som beror av slumpen Ex: Tärningskast, längden

Läs mer

TMS136. Föreläsning 4

TMS136. Föreläsning 4 TMS136 Föreläsning 4 Kontinuerliga stokastiska variabler Kontinuerliga stokastiska variabler är stokastiska variabler som tar värden i intervall av den reella axeln Det kan handla om längder, temperaturer,

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Kovarians, korrelation, väntevärde och varians för summor av s.v.:er, normalfördelning (del 1) Jan Grandell & Timo Koski 15.09.2008 Jan Grandell &

Läs mer

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 5: Summor och väntevärden

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 5: Summor och väntevärden Matematisk statistik 9hp Föreläsning 5: Summor och väntevärden Anna Lindgren 20+21 september 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F5: väntevärden 1/18 2D stokastisk variabel Tvådim. stokastisk

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 25..26 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 25..26 / 44 Stokastiska

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 4. Väntevärde och varians, funktioner av s.v:er, flera stokastiska variabler. Jan Grandell & Timo Koski 10.09.2008 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk

Läs mer

F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4)

F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4) Stat. teori gk, ht 006, JW F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.1-5.3, samt del av 5.4) Ordlista till NCT Random variable Discrete Continuous Probability distribution Probability distribution function Cumulative

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Flera stokastiska variabler.

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Flera stokastiska variabler. SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Flera stokastiska variabler. Jan Grandell & Timo Koski 31.01.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 31.01.2012 1 / 30 Flerdimensionella

Läs mer

Jörgen Säve-Söderbergh

Jörgen Säve-Söderbergh SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 8 Binomial-, hypergeometrisk- och Poissonfördelning Exakta egenskaper Approximativa egenskaper Jörgen Säve-Söderbergh Binomialfördelningen

Läs mer

Repetitionsföreläsning

Repetitionsföreläsning Slumpförsök Repetitionsföreläsning Föreläsning 15 Sannolikhet och Statistik 5 hp Med händelser A B... avses delmängder av ett utfallsrum. Slumpförsök = utfallsrummet + ett sannolikhetsmått P. Fredrik Jonsson

Läs mer

Stokastiska vektorer och multivariat normalfördelning

Stokastiska vektorer och multivariat normalfördelning Stokastiska vektorer och multivariat normalfördelning Johan Thim johanthim@liuse 3 november 08 Repetition Definition Låt X och Y vara stokastiska variabler med EX µ X, V X σx, EY µ Y samt V Y σy Kovariansen

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, del I G. Gripenerg Alto-universitetet 6 feruri 2015 1 Snnolikheter Oeroende Betingd snnolikhet Byes formel Klssisk snnolikhet och komintorik

Läs mer

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2 LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 27 / TEN 2 2 augusti 217, klockan 8-12 Examinator: Jörg-Uwe Löbus (Tel: 79-62827 Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk

Läs mer

Föreläsning 7: Punktskattningar

Föreläsning 7: Punktskattningar Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology April 7, 2014 Projektuppgift Projektet går ut på att genomföra ett statistiskt försök och analysera resultaten.

Läs mer

FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD Sannolikhetsteori. Beskrivning av data. Läges-, spridnings- och beroendemått

FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD Sannolikhetsteori. Beskrivning av data. Läges-, spridnings- och beroendemått LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD 208-08-26 Sannolikhetsteori Följande gäller för sannolikheter: 0 P(A P(Ω = P(A

Läs mer

Väntevärde och varians

Väntevärde och varians TNG6 F5 19-4-216 Väntevärde och varians Exempel 5.1. En grupp teknologer vid ITN slår sig ihop för att starta ett företag som utvecklar datorspel. Man vet att det är 8% chans för ett felfritt spel som

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016 SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 4 KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 7 september 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition av diskreta stokastiska variabler. Väntevärde

Läs mer

Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Formel- och tabellsamling i matematisk statistik 1. Sannolikhetsteori för lärarprogrammet Sannolikhetsformler P (A ) = 1 P (A) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = P (A B) P (B) P (A B) = P (A B)P

Läs mer

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning Anna Lindgren 29+3 september 216 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F7: normalfördelning 1/18 Kovarians, C(X, Y) Repetition Normalfördelning

Läs mer

Mer om slumpvariabler

Mer om slumpvariabler 1/20 Mer om slumpvariabler Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/2 2013 2/20 Dagens föreläsning Diskreta slumpvariabler Vilket kretskort ska man välja? Väntevärde

Läs mer

Våra vanligaste fördelningar

Våra vanligaste fördelningar Sida Våra vanligaste fördelningar Matematisk statistik för D3, VT Geometrisk fördelning X är geometriskt fördelad med parameter p, X Geo(p), om P (X = k) = ( p) k p P (X k) = ( p) k för k =,,... Beskriver

Läs mer

Föreläsning 3. Sannolikhetsfördelningar

Föreläsning 3. Sannolikhetsfördelningar Föreläsning 3. Sannolikhetsfördelningar Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Slumpvariabel? Resultatet av ett slumpmässigt försök utgörs

Läs mer

4. Stokastiska variabler

4. Stokastiska variabler 4. Stokastiska variabler En stokastisk variabel (s.v.) är en funktion som definieras i utfallsrummet. Varje stokastisk variabel har en viss sannolikhetsstruktur. Ex: Man kastar två tärningar. Låt X = summan

Läs mer

Matematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik

Matematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik Matematisk statistik KTH Formelsamling i matematisk statistik Vårterminen 2017 1 Kombinatorik ) n n! = k k! n k)!. Tolkning: mängd med n element. ) n = antalet delmängder av storlek k ur en k 2 Stokastiska

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 2009) Föreläsning 2. Diskreta Sannolikhetsfördelningar. (LLL Kap 6) Stokastisk Variabel

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 2009) Föreläsning 2. Diskreta Sannolikhetsfördelningar. (LLL Kap 6) Stokastisk Variabel Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 009) Föreläsning Diskreta (LLL Kap 6) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level course, 7,5 ECTS,

Läs mer

STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson,

STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson, STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson, 5--9 Lösningförslag skriftlig hemtentamen i Fortsättningskurs i statistik, moment, Statistisk Teori, poäng. Deltentamen : Sannolikhetsteori

Läs mer

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 4 7 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Viktiga kontinuerliga fördelningar (Kap. 3.6) Fördelningsfunktion (Kap. 3.7) Funktioner av stokastiska

Läs mer

Sannolikhet och statistik XI

Sannolikhet och statistik XI April 219 Betingade väntevärden. Vi ska säga att E[Y X = x] är väntevärdet av den sv som samma förd som Y givet X = x. Definition: Y diskret: E[Y X = x] = y k V Y y k p Y X (y k x), Y kont: E[Y X = x]

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 6. Kovarians, korrelation, väntevärde och varians för summor av s.v.:er, De stora talens lag Jan Grandell & Timo Koski 04.02.2016 Jan Grandell & Timo

Läs mer

4 Diskret stokastisk variabel

4 Diskret stokastisk variabel 4 Diskret stokastisk variabel En stokastisk variabel är en variabel vars värde bestäms av utfallet av ett slumpmässigt försök. En stokastisk variabel betecknas ofta med X, Y eller Z (i läroboken används

Läs mer

Grundläggande matematisk statistik

Grundläggande matematisk statistik Grundläggande matematisk statistik Kontinuerliga fördelningar Uwe Menzel, 8 www.matstat.de Begrepp fördelning Hur beter sig en variabel slumpmässigt? En slumpvariabel (s.v.) har en viss fördelning, d.v.s.

Läs mer

Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori

Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori Statistiska institutionen Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori 23 JANUARI 2009 2 Sannolikhetsteorins grunder 1. Tre vanliga symmetriska tärningar kastas. Om inte alla tre tärningarna visar sexa,

Läs mer

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2 LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 27 / TEN 2 augusti 218, klockan 8.-12. Examinator: Jörg-Uwe Löbus (Tel: 79-62827) Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk

Läs mer

Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat.

Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat. Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Ytterligare begrepp Viktiga

Läs mer

Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp

Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Distanskurs 15 januari, 2011 kl. 9.00 13.00 Maxpoäng: 30p. Betygsgränser: 12p: betyg G, 21p: betyg VG. Hjälpmedel: Miniräknare samt formelsamling som medföljer tentamenstexten.

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski 28.01.2015 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk

Läs mer

Föreläsning 2. Kapitel 3, sid Sannolikhetsteori

Föreläsning 2. Kapitel 3, sid Sannolikhetsteori Föreläsning 2 Kapitel 3, sid 47-78 Sannolikhetsteori 2 Agenda Mängdlära Kombinatorik Sannolikhetslära 3 Mängdlära Används för att hantera sannolikheter Viktig byggsten inom matematik och logik Utfallsrummet,

Läs mer

Grundläggande matematisk statistik

Grundläggande matematisk statistik Grundläggande matematisk statistik Väntevärde, varians, standardavvikelse, kvantiler Uwe Menzel, 28 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de Väntevärdet X : diskret eller kontinuerlig slumpvariable

Läs mer

TAMS79: Matematisk statistik vt 2013

TAMS79: Matematisk statistik vt 2013 TAMS79: Matematisk statistik vt 3 Föreläsningsanteckningar Johan Thim, MAI.5. 5 3 3 TAMS79: Föreläsning Grundläggande begrepp Johan Thim 3 januari 3. Begrepp Ett slumpförsök är ett försök där resultatet

Läs mer

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 3, OCH INFÖR ÖVNING 4

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 3, OCH INFÖR ÖVNING 4 LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 3, 216-4-6 OCH INFÖR ÖVNING 4 Övningens mål: Du ska förstå begreppet slumpvariabel och skilja

Läs mer

Föreläsning G70 Statistik A

Föreläsning G70 Statistik A Föreläsning 2 732G70 Statistik A Introduktion till sannolikhetslära Sannolikhetslära: område inom statistiken där vi studerar experiment vars utfall beror av slumpen Sannolikhet: numeriskt värde (mellan

Läs mer

Oberoende stokastiska variabler

Oberoende stokastiska variabler Kapitel 6 Oberoende stokastiska variabler Betrakta ett försök med ett ändligt (eller högst numrerbart) utfallsrum Ω samt två stokastiska variabler ξ och η med värdemängderna Ω ξ och Ω η. Vi bildar funktionen

Läs mer

Två parametrar: µ (väntevärdet) och σ (standardavvikelsen) µ bestämmer normalfördelningens läge

Två parametrar: µ (väntevärdet) och σ (standardavvikelsen) µ bestämmer normalfördelningens läge Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik Matematisk statistik AK för ekosystemteknik, FMSF75 OH-bilder 28-9-3 Normalfördelningen, X N(µ, σ) f(x) = e (x µ)2 2σ 2, < x < 2π σ.4 N(2,).35.3.25.2.5..5

Läs mer

Sannolikheter och kombinatorik

Sannolikheter och kombinatorik Sannolikheter och kombinatorik En sannolikhet är ett tal mellan 0 och 1 som anger hur frekvent en händelse sker, där 0 betyder att det aldrig sker och 1 att det alltid sker. När vi talar om sannolikheter

Läs mer

TAMS79 / TAMS65 - vt TAMS79 / TAMS65 - vt Formel- och tabellsamling i matematisk statistik. TAMS79 / TAMS65 - vt 2013.

TAMS79 / TAMS65 - vt TAMS79 / TAMS65 - vt Formel- och tabellsamling i matematisk statistik. TAMS79 / TAMS65 - vt 2013. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik c Martin Singull 2 Innehåll 3.3 Tukey s metod för parvisa jämförelser.................... 14 1 Sannolikhetslära 5 1.1 Några diskreta fördelningar.........................

Läs mer

Föreläsning 2, Matematisk statistik för M

Föreläsning 2, Matematisk statistik för M Repetition Stok. Var. Diskret Kont. Fördelningsfnk. Föreläsning 2, Matematisk statistik för M Erik Lindström 25 mars 2015 Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F2 1/16 Repetition Stok. Var. Diskret

Läs mer

Kap 3: Diskreta fördelningar

Kap 3: Diskreta fördelningar Kap 3: Diskreta fördelningar Sannolikhetsfördelningar Slumpvariabler Fördelningsfunktion Diskreta fördelningar Likformiga fördelningen Binomialfördelningen Hypergeometriska fördelningen Poisson fördelningen

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del II MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del II G. Gripenberg Aalto-universitetet 13 februari 2015 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl

Läs mer

Föreläsning 7: Stokastiska vektorer

Föreläsning 7: Stokastiska vektorer Föreläsning 7: Stokastiska vektorer Johan Thim johanthim@liuse oktober 8 Repetition Definition Låt X och Y vara stokastiska variabler med EX = µ X, V X = σx, EY = µ Y samt V Y = σy Kovariansen CX, Y definieras

Läs mer

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs Varterminen 2005 . Kombinatorik ( ) n = k n! k!(n k)!. Tolkning: ( n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler

Läs mer

SF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH DISKRETA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 23 mars, 2018

SF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH DISKRETA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 23 mars, 2018 SF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 3 DISKRETA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 23 mars, 2018 PLAN FÖR DAGENSFÖRELÄSNING Repetition av betingade sannolikheter, användbara satser

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp, HT 2008) Föreläsning 2

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp, HT 2008) Föreläsning 2 Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp, HT 008) Föreläsning Diskreta sannolikhetsfördelningar (LLL kap. 6) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level

Läs mer

Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E

Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 2 december 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F6 1/20 Repetition Kovarians Stora

Läs mer

Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid 79-14 Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Slumpvariabel En variabel för vilken slumpen bestämmer utfallet. Slantsingling, tärningskast,

Läs mer

F2 Introduktion. Sannolikheter Standardavvikelse Normalapproximation Sammanfattning Minitab. F2 Introduktion

F2 Introduktion. Sannolikheter Standardavvikelse Normalapproximation Sammanfattning Minitab. F2 Introduktion Gnuer i skyddade/oskyddade områden, binära utfall och binomialfördelningar Matematik och statistik för biologer, 10 hp Fredrik Jonsson Januari 2012 I vissa områden i Afrika har man observerat att förekomsten

Läs mer

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet

Läs mer

SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 3 Diskreta stokastiska variabler. Jörgen Säve-Söderbergh

SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 3 Diskreta stokastiska variabler. Jörgen Säve-Söderbergh SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 3 Diskreta stokastiska variabler Jörgen Säve-Söderbergh Stokastisk variabel Singla en slant två gånger. Ω = {Kr Kr, Kr Kl, Kl Kr, Kl Kl}

Läs mer

0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1.

0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9, SF95 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 2:E JANUARI 25 KL 4. 9.. Kursledare: Gunnar Englund, 73 32 37 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

Statistiska metoder för säkerhetsanalys

Statistiska metoder för säkerhetsanalys F6: Betingade fördelningar Exempel: Tillförlitlighet Styrkan hos en lina (wire) kan modelleras enligt en stokastisk variabel Y. En tänkbar modell för styrkan är Weibullfördelning. Den last som linan utsätts

Läs mer

Grundläggande matematisk statistik

Grundläggande matematisk statistik Grundläggande matematisk statistik Flerdimensionella Uwe Menzel, 2018 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de Flerdimensionella Ett slumpförsök kan ge upphov till flera (s.v.): kast med

Läs mer

Introduktion till statistik för statsvetare

Introduktion till statistik för statsvetare "Det finns inget så praktiskt som en bra teori" November 2011 Repetition Vad vi gjort hitills Vi har börjat med att studera olika typer av mätningar och sedan successivt tagit fram olika beskrivande mått

Läs mer

FACIT: Tentamen L9MA30, LGMA30

FACIT: Tentamen L9MA30, LGMA30 Göteborgs Universitetet GU Lärarprogrammet 06 FACIT: Matematik för lärare, åk 7-9, Sannolikhetslära och statistik, Matematik för gymnasielärare, Sannolikhetslära och statistik 07-0-04 kl..0-.0 Examinator

Läs mer

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2 LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 7 / TEN 8 maj 18, klockan 8.-1. Examinator: Jörg-Uwe Löbus Tel: 79-687 Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk statistik

Läs mer

Föreläsning 15: Försöksplanering och repetition

Föreläsning 15: Försöksplanering och repetition Föreläsning 15: Försöksplanering och repetition Matematisk statistik Chalmers University of Technology Oktober 19, 2015 Utfall och utfallsrum Slumpmässigt försök Man brukar säga att ett slumpmässigt försök

Läs mer

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 15 / TEN 1

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 15 / TEN 1 LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 5 / TEN januari 08, klockan 4.00-8.00 Examinator: Jörg-Uwe Löbus (Tel: 0709-6087) Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk

Läs mer

Föreläsning 6, Repetition Sannolikhetslära

Föreläsning 6, Repetition Sannolikhetslära Föreläsning 6, Repetition Sannolikhetslära kap 4 Sannolikhetslära och slumpvariabler kap 5 Stickprov, medelvärden, CGS, binomialfördelning Viktiga grundbegrepp utfall, händelse, sannolikheter, betingad

Läs mer

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 3 4 november 2016 1 / 28 Idag Förra gången Stokastiska variabler (Kap. 3.2) Diskret stokastisk variabel (Kap. 3.3 3.4) Kontinuerlig stokastisk

Läs mer