SF1911: Statistik för bioteknik
|
|
- Bengt Abrahamsson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 3. TK TK Matematisk statistik / 53
2 Probability: What is it? Probability is a number between 0 and 1 that predicts the (relative) frequency of an event. a p. 302 a John Ringo: Fundamental Genetics, Cambridge University Press, 2004, TK Matematisk statistik / 53
3 Probability = 1 a certain event, Probability = 1/2 equal chance (perfectly random), Probability =0 an impossible event TK Matematisk statistik / 53
4 Probability: What is it? The empirical probability: the histogram of the matchbox data in previous lectures. We assume that nothing changes radically (in the industrial production of matches). The probability of the event 50 the number of matches in a box 53 is taken as the relative frequency of 50 the number of matches in a box 53. TK Matematisk statistik / 53
5 Frekvenstabell: grupperade data Table: Frekvenstabell för antal tändstickor i tändsticksaskar. Klass Absolut Relativ frekvens frekvens x n(x) f X (x) = n(x)/ S:a TK Matematisk statistik / 53
6 Probability:empirical probability Assume that there is no systematic change in the future industrial production of matchboxes. Then the probability of the event 50 the number of matches in a box 53 is f X (50) + f X (51) + f X (52) + f X (53) = Use the current relative frequencies as probability. p i TK Matematisk statistik / 53
7 Probability:empirical probability We write now the probability of the event 50 the number of matches in a box 53 sannolikheten för händelsen as P (50 the number of matches in a box 53 ) = 0.80 Then, of course, the probability of a simple event like for example the number of matches in a box = 53 is its relative frequency P ( the number of matches in a box = 53 ) = f X (3) = 0.20 TK Matematisk statistik / 53
8 Probability: empirical probability The probability of the event 50 the number of matches in a box 53 P (50 the number of matches in a box 53 ) = 0.80 This is a probability based on observed data. If we assume that nothing changes, that if we receive a new matchbox and check the number of matches in it, there is 80% chance of the event 50 the number of matches 53 occurring. TK Matematisk statistik / 53
9 Probability: empirical probability The probability P (50 the number of matches in a box 53 ) = 0.80 was based on checking 35 boxes. The relative frequencies will change if we observe new boxes, but they will stabilize. Here 0.80 is our prediction of the frequency of this event. TK Matematisk statistik / 53
10 Probability: theoretical TK Matematisk statistik / 53
11 Probability: classical probability To each of the four sides of a tetrahedron there is assigned one of the letters a,t,c,g. All letters are used. We call this the DNA die. We toss the die in the air and note the side that it falls on. a t c g TK Matematisk statistik / 53
12 Probability: classical What is the probability of the event a in one toss? All the sides of the tetrahedron are of equal area, and the tetrahedron is balanced. We can freely exchange the letters between the sides and yet we have the same die. The situation is such that we assign the probabilities P(a) = P(t) = P(c) = P(g) = 1 4 to the four possible outcomes of a single toss. In other words, all outcomes of the toss of the die are equally likely. TK Matematisk statistik / 53
13 Probability: classical P(a) = P(t) = P(c) = P(g) = 1 4 Then 1/4 is the prediction of the frequency of any nucleotide in a long sequence of tosses of the die. This was based on reasoning about symmetry, not on observed data. TK Matematisk statistik / 53
14 Probability: classical We toss the die in the air several times and note the side that side that it falls on. Clearly we can thus produce a random DNA sequence. Such a sequence would seem to lack value for biotechnology. Disregarding that for the moment, we might ask what is the probability of observing the sequence caagt in five tosses of the die, or what is the probability of the event caagt in five tosses. One answer to this question is found in the sequel. a t c g TK Matematisk statistik / 53
15 Den klassiska sannolikhetsdefinitionen: det allmänna fallet Antag att vi har m möjliga elementära utfall ω 1,..., ω m, var och en med samma sannolikhet att inträffa, dvs P(ω k ) = 1 m k = 1,..., m. Betrakta en händelse A, A {ω 1,..., ω m }. Antag att A innehåller g (gynnsamma) utfall. Då gäller P(A) = g m. TK Matematisk statistik / 53
16 Slumpförsök: tärningskast och P(A) Låt oss säga att vi kastar en tärning, och är intresserade av händelsen {vi får en sexa}. Om det är en hederlig tärning, är den sannolikheten 1 6. Symboliskt kan vi skriva A = {vi får en sexa} och P(A) = 1 6. TK Matematisk statistik / 53
17 SANNOLIKHETSKALKYL: allmänna räkneregler för P(A) TK Matematisk statistik / 53
18 Slumpförsök (random trial) Allmänna beteckningar Mängden av alla utfall, eller resultat, kallar vi utfallsrummet och betecknar det med Ω. En händelse A är en mängd av utfall, dvs en delmängd av Ω, A Ω. TK Matematisk statistik / 53
19 Valet av utfallsrum beror på situationen eller den fråga vi vill studera. Exempel: Ω= de fem miljoner tändsticksaskarna producerade under en given dag. Ω= de 35 miljoner tändsticksaskarna producerade under en sjudagars period. TK Matematisk statistik / 53
20 Venndiagram Definition Mängden av alla utfall, eller resultat, kallar vi utfallsrummet och betecknar det med Ω. Ω TK Matematisk statistik / 53
21 Venndiagram Definition En händelse A är en mängd av utfall, dvs en delmängd av Ω, A Ω. Ω Α TK Matematisk statistik / 53
22 Venndiagram; två händelser Ω Α Β TK Matematisk statistik / 53
23 Händelser A B A och B definierade på samma försök. Här är några exempel på vad som kan inträffa, och hur vi matematiskt kan uttrycka detta: Exempel A inträffar, A A och B inträffar eller A snitt B inträffar, A B Ω = {etta, tvåa, trea, fyra, femma, sexa } A = udda antal ögon = {etta, trea, femma }. B = {femma, sexa }, A B = {femma }. TK Matematisk statistik / 53
24 Venndiagram A B Ω Β Α Α B TK Matematisk statistik / 53
25 Händelser A B A eller B inträffar eller A union B inträffar, A B Obs! A B betyder att minst en av A eller B inträffar, så A B kan mycket väl inträffa. I matematik betyder eller och/eller! TK Matematisk statistik / 53
26 Händelser A B A B betyder att minst en av A eller B inträffar Exempel Ω = {etta, tvåa, trea, fyra, femma, sexa } A = udda antal ögon = {etta, trea, femma }. B = {femma, sexa }, A B = {etta, trea, femma, sexa }. TK Matematisk statistik / 53
27 Venndiagram A B Ω Α Β A B TK Matematisk statistik / 53
28 Händelsen A c A inträffar inte, A c. (A c ) c = A. Exempel Kast av en tärning Ω = {etta, tvåa, trea, fyra, femma, sexa } A = udda antal ögon = {etta, trea, femma }. A c = { tvåa, fyra, sexa }=jämnt antal ögon. TK Matematisk statistik / 53
29 Exempel Ω = {a, t, c, g} A = {a, t}. A c = {c, g}. TK Matematisk statistik / 53
30 Venndiagram A c A A c Ω TK Matematisk statistik / 53
31 tomma mängden Om A och B utesluter varandra, dvs. omöjligt kan inträffa samtidigt, så säger vi att A och B är disjunkta eller oförenliga, dvs. A B = där är tomma mängden eller den omöjliga händelsen. Ω c = TK Matematisk statistik / 53
32 tomma mängden A och B utesluter varandra, dvs. omöjligt kan inträffa samtidigt. Exempel Ω = {etta, tvåa, trea, fyra, femma, sexa } A = {etta, trea, femma }. B = { fyra, sexa }, A B =. TK Matematisk statistik / 53
33 Venndiagram; A B = Ω Α Β TK Matematisk statistik / 53
34 De Morgans regler Sats A (B C ) = (A B) (A C ) A (B C ) = (A B) (A C ) Sats (A B) c = A c B c TK Matematisk statistik / 53
35 De Morgans regler (A B) c = A c B c Exempel Ω = {etta, tvåa, trea, fyra, femma, sexa } A = {etta, trea, femma }. B = {femma, sexa }, A B = { femma } (A B) c = {etta, tvåa, trea, fyra, sexa } A c B c = {tvåa, fyra, sexa } {etta, tvåa, trea, fyra } = {etta, tvåa, trea, fyra, sexa } TK Matematisk statistik / 53
36 X = {x 1, x 2,..., x n } med n datapunkter i Ω. n(x) = antalet gånger x förekommer i X. Den relativa frekvensen är f X (x) = n(x) n. Observera att f X (x) = 0 om x inte återfinns bland X. Om A Ω, så är P X (A) = de olika f X (x) x A den relativa frekvensen av A eller den empiriska sannolikheten för A (m.a.p. X ). där f X (x) beräknats utifrån X. TK Matematisk statistik / 53
37 Då gäller följande: a) 0 P X (A) 1. b) P X (X ) = 1. c) Om A och B inte innehåller gemensamma värden (är disjunkta), så är P X (A B) = P X (A) + P X (B). TK Matematisk statistik / 53
38 Vi tar de ovanstående egenskaperna hos empirisk sannolikhet som allmänna räkneregler: En sannolikhet P är en funktion av händelser, sådan att: (a) 0 P(A) 1; (b) P(Ω) = 1 (c) om A och B är disjunkta händelser, d.v.s. A B =, så gäller P(A B) = P(A) + P(B). (a) och (b) kan ses som en kalibrering så att P stämmer med intuitionen från relativa frekvenser. TK Matematisk statistik / 53
39 Räkneregler för sannolikhetskalkyl (1) Sats P(A c ) = 1 P(A). Bevis. Ett mycket formellt bevis, för att illustrera kalkyler enligt (a)-(c) ovan: Eftersom A och A c disjunkta och A A c = Ω, så fås enligt (c) och (b) ovan P(A) + P(A c ) = P(Ω) = 1 P(A c ) = 1 P(A). Då gäller P( ) = 0. TK Matematisk statistik / 53
40 Regler för sannolikhetskalkyl (2) Sats P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Bevis. Satsen följer med hjälp av Venn-diagram, och observationen att P(A) + P(B) mäter A B två gånger. TK Matematisk statistik / 53
41 Regler för sannolikhetskalkyl (3) Om A B =, så fås P(A B) = P( ) = 0, dvs. P(A B) = P(A) + P(B). Detta följer av det ovan visade Sats P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). TK Matematisk statistik / 53
42 Example The DNA die again, the events A 1 = {a, t}, A 2 = {c} are mutually exclusive. Also the events {a} and {t} are mutually exclusive. Thus the additive law together with the theoretical probability model from the above gives P(A 1 ) = P({a, t}) = P (a or t) = P(a) + P(t) = = 1 2 The additive law gives also P (A 1 A 2 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) = = 3 4 TK Matematisk statistik / 53
43 In the figure we have 14 (abstract) peas: nine have white flowers, five have red flowers, six have yellow pods, eight have green pods. We compute with classical probability. TK Matematisk statistik / 53
44 What is P(green pods or white flowers )? TK Matematisk statistik / 53
45 green pods or white flowers means green pods or white flowers or both it is wrong to add to the 8 peas with green pods the 9 peas with white flowers, because then you have counted 5 of the peas twice. P(green pods or white flowers ) = = 6 7 TK Matematisk statistik / 53
46 In the example above this gives P (A B) = P(A) + P(B) P(A B) P(green pods or white flowers ) = P(green pods ) + P( white flowers ) P(green pods and white flowers ) = = = 6 7 TK Matematisk statistik / 53
47 Probability: independent events We say that A and B are independent events if P (A B) = P(A) P(B). TK Matematisk statistik / 53
48 Example I en stor population har 4% celiaki, d.v.s gluteinintolerans. Du plockar på måfå och oberoende av varandra två individer, a och b. Låt oss beteckna utfallen så att t.ex (1, 0) svarar mot att individ a har celiaki och b har inte o.s.v.. Då är utfallsrummet Vi har att P(1) = 0.04, P(0) = 0.96 Ω = {(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1)} (0,1) (0,0) B (1,1) A (1,0) TK Matematisk statistik / 53
49 Example a) Vad är sannolikheten för att både a och b har celiaki? Svar: Vi sätter A = {(1, 0), (1, 1)} (d.v.s alla utfallen, där a har celiaki) och B = {(0, 1), (1, 1)} (d.v.s alla utfallen, där b har celiaki). Den sökta sannolikheten är p.g.a. oberoendet P(A B) = P((1, 1)) = P(1)P(1) = = TK Matematisk statistik / 53
50 Example continued P(1) = 0.04, P(0) = 0.96 Ω = {(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1)} b) Vad är sannolikheten för att minst en har celiaki? Svar 1: Den sökta sannolikheten är P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). P(A) = P((1, 0)) + P((1, 1)) = P(1)P(0) + P(1)P(1) = = 0.04 Vi har att P(B) = P(A). Den sökta sannolikheten är p.g.a. oberoendet P(A B) = = TK Matematisk statistik / 53
51 Example continued Svar 2: (A B) c = A c B c = {(0, 0)}. Den sökta sannolikheten är P(A B) = 1 P((0, 0)) = = TK Matematisk statistik / 53
52 Example continued c) Ingen har celiaki? Svar: P((0, 0)) = P(0)P(0) = eller P((0, 0)) = 1 P(A B) = = d) Precis en av a och b har celiaki? Svar: Med mängdoperationer svarar händelsen precis en av a och b har celiaki mot (A B c ) (A c B), en union av två disjunkta händelser. Detta ger P((0, 1)) + P((1, 0)) = P(0)P(1) + P(1)P(0) = = TK Matematisk statistik / 53
53 Probability: classical The probability of the event caagt in five tosses. We assume independent tosses of the DNA die. P(caagt) = P(c) P(a) P(a) P(g) P(t) = = = a t c g TK Matematisk statistik / 53
SF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 1. Jan Grandell & Timo Koski 01.09.2008 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 01.09.2008 1 / 48 Inledning Vi ska först ge några exempel på
Läs merSF1911: Statistik för bioteknik
SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 4. TK 7.11.2017 TK Matematisk statistik 7.11.2017 1 / 42 Lärandemål Betingad sannolikhet (definition, betydelse) Oberoende händelser Lagen om total sannolikhet
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 1. Jan Grandell & Timo Koski 19.01.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 19.01.2016 1 / 65 Många tänker på tabeller 1 när de hör ordet statistik.
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende Jan Grandell & Timo Koski 21.01.2015 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 21.01.2015 1 / 1 Repetition:
Läs merF2 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT )
Stat. teori gk, ht 2006, JW F2 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT 4.1-4.2) Ordlista till NCT Random experiment Outcome Sample space Event Set Subset Union Intersection Complement Mutually exclusive Collectively exhaustive
Läs merMatematisk statistik - Slumpens matematik
Matematisk Statistik Matematisk statistik är slumpens matematik. Började som en beskrivning av spel, chansen att få olika utfall. Brevväxling mellan Fermat och Pascal 1654. Modern matematisk statistik
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende Jan Grandell & Timo Koski 21.01.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 21.01.2016 1 / 39 Lärandemål Betingad
Läs merIntroduktion till sannolikhetslära. Människor talar om sannolikheter :
F9 Introduktion till sannolikhetslära Introduktion till sannolikhetslära Människor talar om sannolikheter : Sannolikheten att få sju rätt på Lotto Sannolikheten att få stege på en pokerhand Sannolikheten
Läs mer1 Föreläsning I, Vecka I: 5/11-11/11 MatStat: Kap 1, avsnitt , 2.5
1 Föreläsning I, Vecka I: 5/11-11/11 MatStat: Kap 1, avsnitt 2.1-2.2, 2.5 Introduktion till kursen. Grundläggande sannolikhetslära. Mängdlära, händelser, sannolikhetsmått Händelse följer samma räkneregler
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende Jan Grandell & Timo Koski 14.01.2013 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 14.01.2013 1 / 25 Repetition:
Läs mer1 Föreläsning I, Mängdlära och elementär sannolikhetsteori,
1 Föreläsning I, Mängdlära och elementär sannolikhetsteori, LMA201, LMA521 1.1 Mängd (Kapitel 1) En (oordnad) mängd A är en uppsättning av element. En sådan mängd kan innehålla ändligt eller oändlligt
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Grundbegrepp, axiomsystem, betingad sannolikhet, oberoende händelser, total sannolikhet, Bayes sats Uwe Menzel uwe.menzel@slu.se 23 augusti 2017 Slumpförsök Ett försök
Läs merTMS136. Föreläsning 2
TMS136 Föreläsning 2 Slumpförsök Med slumpförsök (random experiment) menar vi försök som upprepade gånger utförs på samma sätt men som kan få olika utfall Enkla exempel är slantsingling och tärningskast
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 1. Jan Grandell & Timo Koski 19.01.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 19.01.2016 1 / 70 Många tänker på tabeller 1 när de hör ordet statistik.
Läs merhändelsen som alltid inträffar. Den tomma mängden representerar händelsen som aldrig inträffar.
Marco Kuhlmann Detta är en kompakt sammanfattning av momentet sannolikhetslära som ingår i kurserna Matematik 1b och 1c på gymnasiet. 1 Grundläggande begrepp 1.01 När vi singlar slant eller kastar tärning
Läs merTMS136. Föreläsning 1
TMS136 Föreläsning 1 Varför? Om vi gör mätningar vill vi kunna modellera och kvantifiera de osäkerheter som obönhörligen finns Om vi handlar med värdepapper vill kunna modellera och kvantifiera de risker
Läs merMatematisk statistik 9 hp för I, Pi, C, D och fysiker Föreläsning 1: Introduktion och Sannolikhet
Matematisk statistik 9 hp för I, Pi, C, D och fysiker Föreläsning 1: Introduktion och Sannolikhet Anna Lindgren 30+31 augusti 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F1: Sannolikhet 1/27 Praktiska
Läs merSannolikhetslära. 1 Enkel sannolikhet. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Sannolikhet och relativ frekvens. Marco Kuhlmann
Marco Kuhlmann Detta kapitel behandlar grundläggande begrepp i sannolikhetsteori: enkel sannolikhet, betingad sannolikhet, lagen om total sannolikhet och Bayes lag. 1 Enkel sannolikhet Den klassiska sannolikhetsteorin,
Läs merMatematisk statistik 9hp för: C,D,I, Pi
Matematisk statistik 9hp för: C,D,I, Pi Föreläsning 1, Sannolikhet Stas Volkov September 12, 2017 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F1: Sannolikhet 1/27 Tillämpningar Praktiska detaljer Matematisk
Läs merFöreläsning 1, Matematisk statistik Π + E
Introduktion Sannolikhetsteori Beroende Föreläsning 1, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 4 november 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F1 1/26 Introduktion Sannolikhetsteori
Läs merFöreläsning 2. Kapitel 3, sid Sannolikhetsteori
Föreläsning 2 Kapitel 3, sid 47-78 Sannolikhetsteori 2 Agenda Mängdlära Kombinatorik Sannolikhetslära 3 Mängdlära Används för att hantera sannolikheter Viktig byggsten inom matematik och logik Utfallsrummet,
Läs mer4.3 Stokastiska variabler (slumpmässiga variabler) 4.4 Väntevärde och varians till stokastiska variabler
Föreläsning 2 4.3 Stokastiska variabler (slumpmässiga variabler) 4.4 Väntevärde och varians till stokastiska variabler Stokastiskavariabler Stokastisk variabel (eng: random variable) En variabel vars värde
Läs merUtfall, Utfallsrummet, Händelse. Sannolikhet och statistik. Utfall, Utfallsrummet, Händelse. Utfall, Utfallsrummet, Händelse
Utfall, Utfallsrummet, Händelse Sannolikhet och statistik Sannolikhetsteorins grunder HT 2008 Uwe.Menzel@math.uu.se http://www.math.uu.se/ uwe/ Denition 2.1 Resultatet av ett slumpmässigt försök kallas
Läs merKap 2: Några grundläggande begrepp
Kap 2: Några grundläggande begrepp Varför sannolikhetslära är viktigt? Vad menar vi med sannolikhetslära? Träddiagram? Vad är den klassiska, empiriska och subjektiva sannolikheten? Vad menar vi med de
Läs merFöreläsning 1, Matematisk statistik för M
Föreläsning 1, Matematisk statistik för M Erik Lindström 23 mars 2015 Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS035 F1 1/30 Tillämpningar Praktiska detaljer Matematisk statistik slumpens matematik Sannolikhetsteori:
Läs merKolmogorovs Axiomsystem Kolmogorovs Axiomsystem Varje händelse A tilldelas ett tal : slh att A inträar Sannolikheten måste uppfylla vissa krav: Kolmog
Slumpvariabel (Stokastisk variabel) Resultat av ett slumpförsök - utgången kann inte kontrolleras Sannolikhet och statistik Sannolikhetsteorins grunder VT 2009 Resultatet kan inte förutspås, men vi vet
Läs merSannolikhetsbegreppet
Kapitel 3 Sannolikhetsbegreppet Betrakta följande försök: Ett symmetriskt mynt kastas 100 gånger och antalet krona observeras. Antal kast 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Antal krona 6 12 16 21 25 30 34
Läs merTMS136. Föreläsning 2
TMS136 Föreläsning 2 Sannolikheter För en händelse E skriver vi sannolikheten att E inträffar som P(E) För en händelse E skriver vi sannolikheten att E inte inträffar som P(E ) Exempel Låt E vara händelsen
Läs merSannolikhetsteori. Måns Thulin. Uppsala universitet Statistik för ingenjörer 23/ /14
1/14 Sannolikhetsteori Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 23/1 2013 2/14 Dagens föreläsning Relativa frekvenser Matematik för händelser Definition av sannolikhet
Läs merS0005M, Föreläsning 2
S0005M, Föreläsning 2 Mykola Shykula LTU Mykola Shykula (LTU) S0005M, Föreläsning 2 1 / 18 Föreläsning 2 4.3 Stokastiska variabler (slumpmässiga variabler) 4.4 Väntevärde och varians till stokastiska variabler
Läs merS0007M Statistik2: Slumpmodeller och inferens. Inge Söderkvist
Föreläsning 1 4.1 Slumpässighet 4.2 Sannolikhetsmodeller Viktiga grundbegrepp Slumpmässig (eng: random) Ett fenomen är slumpmässigt om individuella resultat är osäkra, men resultat alltid förekommer med
Läs merS0005M. Stokastiska variabler. Notes. Notes. Notes. Stokastisk variabel (slumpvariabel) (eng: random variable) Mykola Shykula
Mykola Shykula LTU Mykola Shykula (LTU) 1 / 18 Föreläsning 2 4.3 Stokastiska variabler (slumpmässiga variabler) 4.4 Väntevärde och varians till stokastiska variabler Mykola Shykula (LTU) 2 / 18 Stokastiska
Läs merThis exam consists of four problems. The maximum sum of points is 20. The marks 3, 4 and 5 require a minimum
Examiner Linus Carlsson 016-01-07 3 hours In English Exam (TEN) Probability theory and statistical inference MAA137 Aids: Collection of Formulas, Concepts and Tables Pocket calculator This exam consists
Läs merChapter 2: Random Variables
Chapter 2: Random Variables Experiment: Procedure + Observations Observation is an outcome Assign a number to each outcome: Random variable 1 Three ways to get an rv: Random Variables The rv is the observation
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 1
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 1 Sannolikhetslära (LLL Kap 5) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level course,
Läs merFöreläsning 1. Grundläggande begrepp
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 2009) Föreläsning 1 Sannolikhetsteori (LLL Kap 5) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level course,
Läs merF ξ (x) = f(y, x)dydx = 1. We say that a random variable ξ has a distribution F (x), if. F (x) =
Problems for the Basic Course in Probability (Fall 00) Discrete Probability. Die A has 4 red and white faces, whereas die B has red and 4 white faces. A fair coin is flipped once. If it lands on heads,
Läs merPreschool Kindergarten
Preschool Kindergarten Objectives CCSS Reading: Foundational Skills RF.K.1.D: Recognize and name all upper- and lowercase letters of the alphabet. RF.K.3.A: Demonstrate basic knowledge of one-toone letter-sound
Läs merSF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 1 Mängdlära Grundläggande sannolikhetsteori Kombinatorik Deskriptiv statistik
SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 1 Mängdlära Grundläggande sannolikhetsteori Kombinatorik Deskriptiv statistik Jörgen Säve-Söderbergh Information om kursen Kom ihåg att
Läs merReliability analysis in engineering applications
Reliability analysis in engineering applications Fredrik Carlsson Sannolikhetsteorins grunder Fördelningar och stokastiska variabler Extremvärdesfördelningar Simulering Structural Engineering - Lund University
Läs merKurskod: TAMS28 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TEN1 05 June 2017, 14:00-18:00. English Version
Kurskod: TAMS28 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TEN1 5 June 217, 14:-18: Examiner: Zhenxia Liu (Tel: 7 89528). Please answer in ENGLISH if you can. a. You are allowed to use a calculator, the formula and
Läs merTMS136. Föreläsning 1
TMS136 Föreläsning 1 Varför? Om vi gör mätningar vill vi modellera och kvantifiera de osäkerheter som obönhörligen finns Om vi handlar med värdepapper vill vi modellera och kvantifiera de risker som finns
Läs merTAMS79: Föreläsning 1 Grundläggande begrepp
TMS79: Föreläsning 1 Grundläggande begrepp Johan Thim 31 oktober 2018 1.1 Begrepp Ett slumpförsök är ett försök där resultatet ej kan förutsägas deterministiskt. Slumpförsöket har olika möjliga utfall.
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker. Matematisk statistik slumpens matematik. Tillämpningar för matematisk statistik.
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 1 Johan Lindström 4 september 2018 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03 F1 2/29 Matematisk statistik slumpens matematik Sannolikhetsteori:
Läs merExempel: Väljarbarometern. Föreläsning 1: Introduktion. Om Väljarbarometern. Statistikens uppgift
Exempel: Väljarbarometern Föreläsning 1: Introduktion Matematisk statistik Det som typiskt karakteriserar ett statistiskt problem är att vi har en stor grupp (population) som vi vill analysera. Vi kan
Läs mer{ } { } En mängd är en samling objekt A = 0, 1. Ex: Mängder grundbegrepp 5 C. Olof M C = { 7, 1, 5} M = { Ce, Joa, Ch, Je, Id, Jon, Pe}
Mängder grundbegrepp En mängd är en samling objekt Ex: { } { } A = 0, 1 B = 0 C = { 7, 1, 5} tomma mängden (har inga element) D = { 1, 2, 3,, 10} M = { Ce, Joa, Ch, Je, Id, Jon, Pe} kallas element i mängden
Läs merStyrteknik: Binära tal, talsystem och koder D3:1
Styrteknik: Binära tal, talsystem och koder D3:1 Digitala kursmoment D1 Boolesk algebra D2 Grundläggande logiska funktioner D3 Binära tal, talsystem och koder Styrteknik :Binära tal, talsystem och koder
Läs merKombinatorik och sannolikhetslära
Grunder i matematik och logik (2018) Kombinatorik och sannolikhetslära Marco Kuhlmann Sannolikhetslära Detta avsnitt är för det mesta en kompakt sammanfattning av momentet sannolikhetslära som ingår i
Läs merCalculate check digits according to the modulus-11 method
2016-12-01 Beräkning av kontrollsiffra 11-modulen Calculate check digits according to the modulus-11 method Postadress: 105 19 Stockholm Besöksadress: Palmfeltsvägen 5 www.bankgirot.se Bankgironr: 160-9908
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, STATISTIK BETINGADE SANNOLIKHETER, OBEROENDE. Tatjana Pavlenko.
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 2 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, BETINGADE SANNOLIKHETER, OBEROENDE HÄNDELSER Tatjana Pavlenko 30 augusti, 2016 SANNOLIKHETSGRUNDER (REPETITION) Slumpförsöket
Läs merStatistikens grunder HT, dagtid Statistiska institutionen
Statistikens grunder 1 2013 HT, dagtid Statistiska institutionen Orsak och verkan N Kap 2 forts. Annat ord: kausalitet Något av det viktigaste för varje vetenskap. Varför? Orsakssamband ger oss möjlighet
Läs merInstitutionen för lingvistik och filologi VT 2014 (Marco Kuhlmann 2013, tillägg och redaktion Mats Dahllöf 2014).
UPPSALA UNIVERSITET Matematik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 (Marco Kuhlmann 2013, tillägg och redaktion Mats Dahllöf 2014). 9 Sannolikhet Detta kapitel
Läs merEXTERNAL ASSESSMENT SAMPLE TASKS SWEDISH BREAKTHROUGH LSPSWEB/0Y09
EXTENAL ASSESSENT SAPLE TASKS SWEDISH BEAKTHOUGH LSPSWEB/0Y09 Asset Languages External Assessment Sample Tasks Breakthrough Stage Listening and eading Swedish Contents Page Introduction 2 Listening Sample
Läs merMatematisk Statistik och Disktret Matematik, MVE051/MSG810, VT19
Matematisk Statistik och Disktret Matematik, MVE051/MSG810, VT19 Nancy Abdallah Chalmers - Göteborgs Universitet March 25, 2019 1 / 36 1. Inledning till sannolikhetsteori 2. Sannolikhetslagar 2 / 36 Lärare
Läs merKurskod: TAIU06 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TENA 15 August 2016, 8:00-12:00. English Version
Kurskod: TAIU06 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TENA 15 August 2016, 8:00-12:00 Examiner: Xiangfeng Yang (Tel: 070 0896661). Please answer in ENGLISH if you can. a. Allowed to use: a calculator, Formelsamling
Läs merIsometries of the plane
Isometries of the plane Mikael Forsberg August 23, 2011 Abstract Här följer del av ett dokument om Tesselering som jag skrivit för en annan kurs. Denna del handlar om isometrier och innehåller bevis för
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, BETINGAD SANNOLIKHETER, OBEROENDE. Tatjana Pavlenko.
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 2 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, BETINGAD SANNOLIKHETER, OBEROENDE HÄNDELSER Tatjana Pavlenko 26 mars, 2015 SANNOLIKHETSGRUNDER (REPETITION) Slumpförsöket
Läs merStatistik. Det finns tre sorters lögner: lögn, förbannad lögn och statistik
Statistik Statistik betyder ungefär sifferkunskap om staten Statistik är en gren inom tillämpad matematik som sysslar med insamling, utvärdering, analys och presentation av data eller information. Verkligheten
Läs merStatistisk slutledning (statistisk inferens): Sannolikhetslära: GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSLÄRA. Med utgångspunkt från ett stickprov
OSÄKERHET Sannolikhetslära: Om det i ett område finns 32 % med universitetsexamen, vad är sannolikheten att ett stickprov kommer att innehålla 31-33 % med universitetsexamen? Om medelåldern i en population
Läs merSannolikhetslära. 1 Grundläggande begrepp. 2 Likformiga sannolikhetsfördelningar. Marco Kuhlmann
Marco Kuhlmann Detta är en kompakt sammanfattning av momentet sannolikhetslära som ingår i kurserna Matematik 1b och 1c på gymnasiet. I slutet av dokumentet hittar du uppgifter med vilka du kan testa om
Läs merWebbregistrering pa kurs och termin
Webbregistrering pa kurs och termin 1. Du loggar in på www.kth.se via den personliga menyn Under fliken Kurser och under fliken Program finns på höger sida en länk till Studieöversiktssidan. På den sidan
Läs merHur fattar samhället beslut när forskarna är oeniga?
Hur fattar samhället beslut när forskarna är oeniga? Martin Peterson m.peterson@tue.nl www.martinpeterson.org Oenighet om vad? 1.Hårda vetenskapliga fakta? ( X observerades vid tid t ) 1.Den vetenskapliga
Läs merDiscovering!!!!! Swedish ÅÄÖ. EPISODE 6 Norrlänningar and numbers 12-24. Misi.se 2011 1
Discovering!!!!! ÅÄÖ EPISODE 6 Norrlänningar and numbers 12-24 Misi.se 2011 1 Dialogue SJs X2000* från Stockholm är försenat. Beräknad ankoms?d är nu 16:00. Försenat! Igen? Vad är klockan? Jag vet inte.
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Grundbegrepp, axiomsystem, betingad sannolikhet, oberoende händelser, total sannolikhet, Bayes sats Uwe Menzel, 2018 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de
Läs merFöreläsning G70, 732G01 Statistik A
Föreläsning 3 732G70, 732G01 Statistik A Introduktion till sannolikhetslära Sannolikhetslära: område inom statistiken där vi studerar experiment vars utfall beror av slumpen Sannolikhet: numeriskt värde
Läs merTentamen MMG610 Diskret Matematik, GU
Tentamen MMG610 Diskret Matematik, GU 2017-01-04 kl. 08.30 12.30 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, Chalmers/GU Telefonvakt: Peter Hegarty, telefon: 0766 377 873 Hjälpmedel: Inga hjälpmedel,
Läs merSTORSEMINARIET 3. Amplitud. frekvens. frekvens uppgift 9.4 (cylindriskt rör)
STORSEMINARIET 1 uppgift SS1.1 A 320 g block oscillates with an amplitude of 15 cm at the end of a spring, k =6Nm -1.Attimet = 0, the displacement x = 7.5 cm and the velocity is positive, v > 0. Write
Läs merBOENDEFORMENS BETYDELSE FÖR ASYLSÖKANDES INTEGRATION Lina Sandström
BOENDEFORMENS BETYDELSE FÖR ASYLSÖKANDES INTEGRATION Lina Sandström Frågeställningar Kan asylprocessen förstås som en integrationsprocess? Hur fungerar i sådana fall denna process? Skiljer sig asylprocessen
Läs merhttp://marvel.com/games/play/31/create_your_own_superhero http://www.heromachine.com/
Name: Year 9 w. 4-7 The leading comic book publisher, Marvel Comics, is starting a new comic, which it hopes will become as popular as its classics Spiderman, Superman and The Incredible Hulk. Your job
Läs mer1. Compute the following matrix: (2 p) 2. Compute the determinant of the following matrix: (2 p)
UMEÅ UNIVERSITY Department of Mathematics and Mathematical Statistics Pre-exam in mathematics Linear algebra 2012-02-07 1. Compute the following matrix: (2 p 3 1 2 3 2 2 7 ( 4 3 5 2 2. Compute the determinant
Läs merFöreläsning 1: Introduktion
Föreläsning 1: Introduktion Matematisk statistik Chalmers University of Technology Mars 23, 2015 Lärare och kurslitteratur : Rum: E-mail: Anders Hildeman: Rum: E-mail: Kursansvarig och föreläsare H3018
Läs merFÖRBERED UNDERLAG FÖR BEDÖMNING SÅ HÄR
FÖRBERED UNDERLAG FÖR BEDÖMNING SÅ HÄR Kontrollera vilka kurser du vill söka under utbytet. Fyll i Basis for nomination for exchange studies i samråd med din lärare. För att läraren ska kunna göra en korrekt
Läs merFöreläsning 1: Introduktion
Föreläsning 1: Introduktion Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology March 22, 2014 Lärare och kurslitteratur David Bolin: Rum: E-mail: Fredrik Boulund: Rum: E-mail: Kursansvarig,
Läs mersamhälle Susanna Öhman
Risker i ett heteronormativt samhälle Susanna Öhman 1 Bakgrund Riskhantering och riskforskning har baserats på ett antagande om att befolkningen är homogen Befolkningen har alltid varit heterogen när det
Läs merExamples on Analog Transmission
Examples on Analog Transmission Figure 5.25 Types of analog-to-analog modulation Figure 5.26 Amplitude modulation Figure 5.29 Frequency modulation Modulation och demodulation Baudrate = antal symboler
Läs merWittgenstein for dummies Eller hur vi gör det obegripliga begripligt. Västerås 15 februari 2017
Wittgenstein for dummies Eller hur vi gör det obegripliga begripligt Västerås 15 februari 2017 En värld är varje människa, befolkad av blinda varelser i dunkelt uppror mot jaget konungen som härskar över
Läs mer3 Grundläggande sannolikhetsteori
3 Grundläggande sannolikhetsteori Ämnet sannolikhetsteori har sin grund i studier av hasardspel utförda under 1500- och 1600-talen av bland andra Gerolamo Cardano, Pierre de Fermat och Blaise Pascal. Mycket
Läs merRastercell. Digital Rastrering. AM & FM Raster. Rastercell. AM & FM Raster. Sasan Gooran (VT 2007) Rastrering. Rastercell. Konventionellt, AM
Rastercell Digital Rastrering Hybridraster, Rastervinkel, Rotation av digitala bilder, AM/FM rastrering Sasan Gooran (VT 2007) Önskat mått * 2* rastertätheten = inläsningsupplösning originalets mått 2
Läs merGrafisk teknik IMCDP IMCDP IMCDP. IMCDP(filter) Sasan Gooran (HT 2006) Assumptions:
IMCDP Grafisk teknik The impact of the placed dot is fed back to the original image by a filter Original Image Binary Image Sasan Gooran (HT 2006) The next dot is placed where the modified image has its
Läs merInformation technology Open Document Format for Office Applications (OpenDocument) v1.0 (ISO/IEC 26300:2006, IDT) SWEDISH STANDARDS INSTITUTE
SVENSK STANDARD SS-ISO/IEC 26300:2008 Fastställd/Approved: 2008-06-17 Publicerad/Published: 2008-08-04 Utgåva/Edition: 1 Språk/Language: engelska/english ICS: 35.240.30 Information technology Open Document
Läs merFöreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 2 HT07
Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 2 HT07 Bengt Ringnér August 31, 2007 1 Inledning Detta är preliminärt undervisningsmaterial. Synpunkter är välkomna. 2 Händelser och sannolikheter
Läs mer7-1 Sannolikhet. Namn:.
7-1 Sannolikhet. Namn:. Inledning Du har säkert hört ordet sannolikhet förut. Hur sannolikt är det att få 13 rätt på tipset eller 7 rätt på lotto? I detta kapitel skall du lära dig vad sannolikhet är för
Läs merF3 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT ) För komplementhändelsen A till händelsen A gäller att
Stat. teori gk, ht 2006, JW F3 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT 4.3-4.4) Ordlista till NCT Complement rule Addition rule Conditional probability Multiplication rule Independent Komplementsatsen Additionssatsen Betingad
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK. MER OM χ 2 -TEST OCH LIKNANDE. Jan Grandell & Timo Koski
SF1901: SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 13. MER OM χ 2 -TEST OCH LIKNANDE Jan Grandell & Timo Koski 25.02.2015 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 25.02.2015 1 / 33 INNEHÅLL χ
Läs merFinansiell statistik, vt-05. Sannolikhetslära. Mängder En mängd är en samling element (objekt) 1, 2,, F2 Sannolikhetsteori. koppling till verkligheten
Johan, Koskinen, Statistiska institutionen, Stockholms universitet Finansiell statistik, vt-05 F2 Sannolikhetsteori Sannolikhetslära koppling till verkligheten mängdlära räkna med sannolikheter definitioner
Läs merModule 6: Integrals and applications
Department of Mathematics SF65 Calculus Year 5/6 Module 6: Integrals and applications Sections 6. and 6.5 and Chapter 7 in Calculus by Adams and Essex. Three lectures, two tutorials and one seminar. Important
Läs merAdding active and blended learning to an introductory mechanics course
Adding active and blended learning to an introductory mechanics course Ulf Gran Chalmers, Physics Background Mechanics 1 for Engineering Physics and Engineering Mathematics (SP2/3, 7.5 hp) 200+ students
Läs merMATEMATIK ARBETSOMRÅDET LIKABEHANDLING Kränkande handlingar, nätmobbning, rasism och genus
MATEMATIK ARBETSOMRÅDET LIKABEHANDLING Kränkande handlingar, nätmobbning, rasism och genus STATISTIK/DIAGRAM VAD ÄR STATISTIK? En titt på youtube http://www.youtube.com/watch?v=7civnkawope Statistik omfattar
Läs merFöreläsning 1: Introduktion
Föreläsning 1: Introduktion Matematisk statistik Chalmers University of Technology August 29, 2016 Lärare : Rum: E-mail: Anders Hildeman: Rum: E-mail: Sandra Eriksson Barman: Rum: E-mail: Kursansvarig
Läs merMake a speech. How to make the perfect speech. söndag 6 oktober 13
Make a speech How to make the perfect speech FOPPA FOPPA Finding FOPPA Finding Organizing FOPPA Finding Organizing Phrasing FOPPA Finding Organizing Phrasing Preparing FOPPA Finding Organizing Phrasing
Läs merKurskod: TAIU06 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TENA 31 May 2016, 8:00-12:00. English Version
Kurskod: TAIU06 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TENA 31 May 2016, 8:00-12:00 Examiner: Xiangfeng Yang (Tel: 070 0896661). Please answer in ENGLISH if you can. a. Allowed to use: a calculator, Formelsamling
Läs merKurskod: TAIU06 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TENA 17 August 2015, 8:00-12:00. English Version
Kurskod: TAIU06 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TENA 17 August 2015, 8:00-12:00 Examiner: Xiangfeng Yang (Tel: 070 2234765). Please answer in ENGLISH if you can. a. Allowed to use: a calculator, Formelsamling
Läs mer1. Varje bevissteg ska motiveras formellt (informella bevis ger 0 poang)
Tentamen i Programmeringsteori Institutionen for datorteknik Uppsala universitet 1996{08{14 Larare: Parosh A. A., M. Kindahl Plats: Polacksbacken Skrivtid: 9 15 Hjalpmedel: Inga Anvisningar: 1. Varje bevissteg
Läs merModule 1: Functions, Limits, Continuity
Department of mathematics SF1625 Calculus 1 Year 2015/2016 Module 1: Functions, Limits, Continuity This module includes Chapter P and 1 from Calculus by Adams and Essex and is taught in three lectures,
Läs mer12.6 Heat equation, Wave equation
12.6 Heat equation, 12.2-3 Wave equation Eugenia Malinnikova, NTNU September 26, 2017 1 Heat equation in higher dimensions The heat equation in higher dimensions (two or three) is u t ( = c 2 2 ) u x 2
Läs merKurskod: TAMS11 Provkod: TENB 28 August 2014, 08:00-12:00. English Version
Kurskod: TAMS11 Provkod: TENB 28 August 2014, 08:00-12:00 Examinator/Examiner: Xiangfeng Yang (Tel: 070 2234765) a. You are permitted to bring: a calculator; formel -och tabellsamling i matematisk statistik
Läs merMaterialplanering och styrning på grundnivå. 7,5 högskolepoäng
Materialplanering och styrning på grundnivå Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Skriftlig tentamen TI6612 Af3-Ma, Al3, Log3,IBE3 7,5 högskolepoäng Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, KORT OM BESKRIVANDE STATISTIK. Tatjana Pavlenko.
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 1 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI, KORT OM BESKRIVANDE STATISTIK Tatjana Pavlenko 23 mars, 2015 KURSINFORMATION Blom m.fl. Sannolokhetsteori och statistikteori
Läs merHealth café. Self help groups. Learning café. Focus on support to people with chronic diseases and their families
Health café Resources Meeting places Live library Storytellers Self help groups Heart s house Volunteers Health coaches Learning café Recovery Health café project Focus on support to people with chronic
Läs merTentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 1, 4p 12 november 2005, kl
Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för statistik Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 1, 4p 1 november 005, kl. 09.00-13.00 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formel-
Läs mer