Isometries of the plane

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Isometries of the plane"

Transkript

1 Isometries of the plane Mikael Forsberg August 23, 2011 Abstract Här följer del av ett dokument om Tesselering som jag skrivit för en annan kurs. Denna del handlar om isometrier och innehåller bevis för att en isometri måste vara en sammansättning av en ortogonal avbildning (ortogonal matris) och en translation. (parallellförflytting). I denna kurs så behöver man inte gå så här djupt utan detta dokument kan lugnt hoppas över. Den som strävar efter djupare förståelse kan dock ha viss glädje av dokumentets innehåll... 1

2 1 Introduction to isometry We begin by defining the concept of Isometry: Definition 1.1. By an Isometry of a subset of the euclidean space R n we mean a map I : R n R n which preserves length, that is x y = I(x) I(, for every pair of vectors x and y in R n. In spite of its general appearance an isometry is a rather restricted object. In fact in what follows we prove that an isometry is allways affine with a particular structure. Definition 1.2. A map G : R n R n is affine if there is a linear map L and x 0 R n such that G( = L( + x 0, for every y in R n. Consider now an isometry F which has the origin as a fix point, that is, F (0) = 0. Then we have Lemma 1.3. Suppose F is an isometry with F (0) = 0, then F is linear. Proof. Taking y = 0 in the definition of an isometry we get that F (x) = x for every x R n. Now, we have that from which we get that x y 2 = (x (x = x 2 2x y + y 2, F (x) 2 2F (x) F ( + F ( 2 = x 2 2x y + y 2, for every x and y in R n, and so we have F (x) F ( = x y. (1) This means, of course, that an isometry preserves the scalar product as well as the length. Now let e j, j = 1,..., n be the standard orthonormal basis in R n. Then by applying (1) we have that F (e j ) F (e k ) = e j e k = δ jk, which means that v j = F (e j ), j = 1,..., n is an orthonormal basis in R n. For each x, y we have again by (1) That F (x) v j = x e j = x j, F ( v j = y j, F (x + v j = x j + y j, and hence F (x + and F (x) + F ( have the same coordinates and so we conclude that F (x + = F (x) + F (. By a similiar argument we easily get that F (cx) = cf (x) and so we have proven that any isometry which leaves the origin fixed is linear. 2

3 Let us note that by elementary linear algebra we can prove that the condition (1) is equivalent to F being an orthogonal transformation; if F is expressed as a matrix A F it will be an orthogonal matrix, and as such it possesses a lot of nice properties, as is well known from linear algebra. For instance we have that from which it follows that A 1 F = AT F (det A F ) 2 = det(a F ) det(a T F ) = det(a F A T F ) = det(i) = 1 and so, any orthogonal matrix has determinant either 1 or 1. Another important consequence of A F being orthogonal is that its column vectors (which are precisly the vectors v j ) are an orthonormal basis for R n. And the converse is also true: a matrix which have orthonormal set of columnvectors is indeed an orthogonal matrix. We are now in position to prove our main theorem. Theorem 1.4. A transformation G is an isometry of R n if and only if G is an affine transformation of the form G(x) = L(x) + x 0 for every x R n where L is orthogonal. Proof. Let G be an isometry of R n. Let F (x) = G(x) G(0) for every x R n. Then it is easy to see that F is an isometry and evidently we also have F (0) = 0. By 1.3we therefore have that F is linear and by the discussion above we have also that F has to be orthogonal. Conversely, let G(x) = L(x) x 0, where L be orthogonal. Then L(x) L( = x y for every x, y R n. If we take x = y we get L(x) 2 = L(x) L(x) = x x = x 2, hence, L(x) = x. Replacing x by x y we have that L(x) L( = L(x = x y, for every x, y R n and so we have that L is an isometry. Since G(x) G( = L(x) L( we conclude that G is an isometry, which finishes the proof. 2 Examples Let us now consider the special case where n = 2. Exempel 2.1. If L is equal to the identity matrix I and x 0 = 0 then we have the identity isometry. A matrix representation is ( ) ( ) ( ) x 1 0 x I = y 0 1 y If x 0 0 then G is a pure translation and in matrix notation we get ( ( ( ) ( ) x 1 0 x x ) y y 0 3

4 Exempel 2.2. If L is an orthogonal matrix with positive determinant (= +1) then G is a pure rotation if x 0 = 0. In matrix notation we have for a rotation by an angle t: ( ( ( ) x cos t sin t x. sin t cos t) y Isometries of the above types are called direct or even isometries. Övning 2.1. Show that a nonpure rotation, i.e. a rotation followed by a translation, is a pure rotation. The following two isometries are called indirect or odd isometries. Exempel 2.3. If R where R is an orthogonal matrix with determinant equal to 1 then G is called a pure reflection. In matrix notation a reflection becomes ( ( ( ) x cos 2t sin 2t x, sin 2t cos 2t) y where t is the angle between the x-axis and the line of reflection. Övning 2.2. Prove the matrix representation of a reflection. Exempel 2.4. If G is a translation followed by a reflection in the line of translation then the result is called a glide reflection. If we express this in matrix form we get: ( ( ) ( ) ( ) x cos 2t0 sin 2t 0 x x0 +, sin 2t 0 cos 2t 0 y y 0 where t 0 = arctan y 0 /x 0. Övning 2.3. Show that a translation followed by a reflection in a line not necessarily parallell to the line of tranlation is in fact a glide reflection. Proposition 2.5. An isometry I has a fix point iff I is a rotation or a reflection. Proof. If I is a reflection or a rotation we know that it has no translation and therefore is an orthogonal matrix. Any matrix is linear and so has 0 as fix point. Assume now that I has a fixpoint; I(x) := L(x) + x 0 = x, for some orthogonal mapping L. If x 0 = 0 we have immediately that I is either a rotation or a reflection. Assume now that x 0 0. For L this means that L(x) = x x 0, from which it follows that L is not linear: L(a + b) = (a + b) x 0 L(a) + L(b) = a x 0 + b x 0 = a + b 2x 0. This is a contradiction to the fact that L was orthogonal! The only possibility to have an isometry with a fixpoint is therefore that it has no translational component and so is a pure orthogonal mapping 4

5 Consider again Theorem 1.4. With the notation of the examples it is not difficult to see that the theorem states that any isometry is one of the the above four types. Composition of two or more isometries will of course result in an isometry. In fact isometries of the plane together with composition will constitute a group, an object which we will study in the next chapter. 5

1. Compute the following matrix: (2 p) 2. Compute the determinant of the following matrix: (2 p)

1. Compute the following matrix: (2 p) 2. Compute the determinant of the following matrix: (2 p) UMEÅ UNIVERSITY Department of Mathematics and Mathematical Statistics Pre-exam in mathematics Linear algebra 2012-02-07 1. Compute the following matrix: (2 p 3 1 2 3 2 2 7 ( 4 3 5 2 2. Compute the determinant

Läs mer

Tentamen i Matematik 2: M0030M.

Tentamen i Matematik 2: M0030M. Tentamen i Matematik 2: M0030M. Datum: 203-0-5 Skrivtid: 09:00 4:00 Antal uppgifter: 2 ( 30 poäng ). Examinator: Norbert Euler Tel: 0920-492878 Tillåtna hjälpmedel: Inga Betygsgränser: 4p 9p = 3; 20p 24p

Läs mer

Tentamen i Matematik 3: M0031M.

Tentamen i Matematik 3: M0031M. Tentamen i Matematik 3: M0031M. Datum: 2009-10-26 Skrivtid: 09:00 14:00 Antal uppgifter: 6 ( 30 poäng ). Jourhavande lärare: Norbert Euler Telefon: 0920-492878 Tillåtna hjälpmedel: Inga Till alla uppgifterna

Läs mer

MMA129 Linear Algebra academic year 2015/16

MMA129 Linear Algebra academic year 2015/16 MMA129 Linear Algebra academic year 2015/16 Assigned problems Set 1 (4) Vector spaces 1. Which of the sets equipped with the operations addition and scalar multiplication M a = {(x 1 x 2 ) R 2 : 3x 1 2x

Läs mer

Tentamen i Matematik 2: M0030M.

Tentamen i Matematik 2: M0030M. Tentamen i Matematik 2: M0030M. Datum: 2010-01-12 Skrivtid: 09:00 14:00 Antal uppgifter: 6 ( 30 poäng ). Jourhavande lärare: Norbert Euler Telefon: 0920-492878 Tillåtna hjälpmedel: Inga Till alla uppgifterna

Läs mer

8 < x 1 + x 2 x 3 = 1, x 1 +2x 2 + x 4 = 0, x 1 +2x 3 + x 4 = 2. x 1 2x 12 1A är inverterbar, och bestäm i så fall dess invers.

8 < x 1 + x 2 x 3 = 1, x 1 +2x 2 + x 4 = 0, x 1 +2x 3 + x 4 = 2. x 1 2x 12 1A är inverterbar, och bestäm i så fall dess invers. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Erik Darpö TENTAMEN I MATEMATIK MAA150 Vektoralgebra TEN1 Datum: 9januari2015 Skrivtid:

Läs mer

Webbregistrering pa kurs och termin

Webbregistrering pa kurs och termin Webbregistrering pa kurs och termin 1. Du loggar in på www.kth.se via den personliga menyn Under fliken Kurser och under fliken Program finns på höger sida en länk till Studieöversiktssidan. På den sidan

Läs mer

is a basis for M. Also, find the coordinates of the matrix M = with respect to the basis M 1, M 2, M 3.

is a basis for M. Also, find the coordinates of the matrix M = with respect to the basis M 1, M 2, M 3. MÄLARDALEN UNIVERSITY School of Education, Culture and Communication Department of Applied Mathematics Examiner: Lars-Göran Larsson EXAMINATION IN MATHEMATICS MAA53 Linear Algebra Date: 6-8-7 Write time:

Läs mer

FÖRBERED UNDERLAG FÖR BEDÖMNING SÅ HÄR

FÖRBERED UNDERLAG FÖR BEDÖMNING SÅ HÄR FÖRBERED UNDERLAG FÖR BEDÖMNING SÅ HÄR Kontrollera vilka kurser du vill söka under utbytet. Fyll i Basis for nomination for exchange studies i samråd med din lärare. För att läraren ska kunna göra en korrekt

Läs mer

Kurskod: TAMS11 Provkod: TENB 28 August 2014, 08:00-12:00. English Version

Kurskod: TAMS11 Provkod: TENB 28 August 2014, 08:00-12:00. English Version Kurskod: TAMS11 Provkod: TENB 28 August 2014, 08:00-12:00 Examinator/Examiner: Xiangfeng Yang (Tel: 070 2234765) a. You are permitted to bring: a calculator; formel -och tabellsamling i matematisk statistik

Läs mer

F ξ (x) = f(y, x)dydx = 1. We say that a random variable ξ has a distribution F (x), if. F (x) =

F ξ (x) = f(y, x)dydx = 1. We say that a random variable ξ has a distribution F (x), if. F (x) = Problems for the Basic Course in Probability (Fall 00) Discrete Probability. Die A has 4 red and white faces, whereas die B has red and 4 white faces. A fair coin is flipped once. If it lands on heads,

Läs mer

6. a) Visa att följande vektorer är egenvektorer till matrisen A = 0 2 0 0 0 0 1 1, och ange motsvarande

6. a) Visa att följande vektorer är egenvektorer till matrisen A = 0 2 0 0 0 0 1 1, och ange motsvarande MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Erik Darpö TENTAMEN I MATEMATIK MAA5 Vektoralgebra TEN2 Datum: juni 25 Skrivtid: 3

Läs mer

Module 6: Integrals and applications

Module 6: Integrals and applications Department of Mathematics SF65 Calculus Year 5/6 Module 6: Integrals and applications Sections 6. and 6.5 and Chapter 7 in Calculus by Adams and Essex. Three lectures, two tutorials and one seminar. Important

Läs mer

Viktig information för transmittrar med option /A1 Gold-Plated Diaphragm

Viktig information för transmittrar med option /A1 Gold-Plated Diaphragm Viktig information för transmittrar med option /A1 Gold-Plated Diaphragm Guldplätering kan aldrig helt stoppa genomträngningen av vätgas, men den får processen att gå långsammare. En tjock guldplätering

Läs mer

Kurskod: TAMS11 Provkod: TENB 07 April 2015, 14:00-18:00. English Version

Kurskod: TAMS11 Provkod: TENB 07 April 2015, 14:00-18:00. English Version Kurskod: TAMS11 Provkod: TENB 07 April 2015, 14:00-18:00 Examiner: Xiangfeng Yang (Tel: 070 2234765). Please answer in ENGLISH if you can. a. You are allowed to use: a calculator; formel -och tabellsamling

Läs mer

Kurskod: TAIU06 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TENA 15 August 2016, 8:00-12:00. English Version

Kurskod: TAIU06 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TENA 15 August 2016, 8:00-12:00. English Version Kurskod: TAIU06 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TENA 15 August 2016, 8:00-12:00 Examiner: Xiangfeng Yang (Tel: 070 0896661). Please answer in ENGLISH if you can. a. Allowed to use: a calculator, Formelsamling

Läs mer

PORTSECURITY IN SÖLVESBORG

PORTSECURITY IN SÖLVESBORG PORTSECURITY IN SÖLVESBORG Kontaktlista i skyddsfrågor / List of contacts in security matters Skyddschef/PFSO Tord Berg Phone: +46 456 422 44. Mobile: +46 705 82 32 11 Fax: +46 456 104 37. E-mail: tord.berg@sbgport.com

Läs mer

Discovering!!!!! Swedish ÅÄÖ. EPISODE 6 Norrlänningar and numbers 12-24. Misi.se 2011 1

Discovering!!!!! Swedish ÅÄÖ. EPISODE 6 Norrlänningar and numbers 12-24. Misi.se 2011 1 Discovering!!!!! ÅÄÖ EPISODE 6 Norrlänningar and numbers 12-24 Misi.se 2011 1 Dialogue SJs X2000* från Stockholm är försenat. Beräknad ankoms?d är nu 16:00. Försenat! Igen? Vad är klockan? Jag vet inte.

Läs mer

Rastercell. Digital Rastrering. AM & FM Raster. Rastercell. AM & FM Raster. Sasan Gooran (VT 2007) Rastrering. Rastercell. Konventionellt, AM

Rastercell. Digital Rastrering. AM & FM Raster. Rastercell. AM & FM Raster. Sasan Gooran (VT 2007) Rastrering. Rastercell. Konventionellt, AM Rastercell Digital Rastrering Hybridraster, Rastervinkel, Rotation av digitala bilder, AM/FM rastrering Sasan Gooran (VT 2007) Önskat mått * 2* rastertätheten = inläsningsupplösning originalets mått 2

Läs mer

BOENDEFORMENS BETYDELSE FÖR ASYLSÖKANDES INTEGRATION Lina Sandström

BOENDEFORMENS BETYDELSE FÖR ASYLSÖKANDES INTEGRATION Lina Sandström BOENDEFORMENS BETYDELSE FÖR ASYLSÖKANDES INTEGRATION Lina Sandström Frågeställningar Kan asylprocessen förstås som en integrationsprocess? Hur fungerar i sådana fall denna process? Skiljer sig asylprocessen

Läs mer

Isolda Purchase - EDI

Isolda Purchase - EDI Isolda Purchase - EDI Document v 1.0 1 Table of Contents Table of Contents... 2 1 Introduction... 3 1.1 What is EDI?... 4 1.2 Sending and receiving documents... 4 1.3 File format... 4 1.3.1 XML (language

Läs mer

Småprat Small talk (stressed vowels are underlined)

Småprat Small talk (stressed vowels are underlined) Småprat Small talk (stressed vowels are underlined) Vad heter du? Varifrån kommer du? Vad har du för modersmål (1 st language)? Vad studerar du? Var bor du? Hur gammal är du? Cyklar du till universitetet?

Läs mer

Writing with context. Att skriva med sammanhang

Writing with context. Att skriva med sammanhang Writing with context Att skriva med sammanhang What makes a piece of writing easy and interesting to read? Discuss in pairs and write down one word (in English or Swedish) to express your opinion http://korta.nu/sust(answer

Läs mer

IKSU-kort Ordinarie avtal

IKSU-kort Ordinarie avtal IKSU-kort Ordinarie avtal Läs våra villkor för medlemskap och IKSU-kort Medlemsavgiften i föreningen IKSU tillkommer; 50:-/ kalenderår En engångsavgift på 50:- för det fysiska magnetkortet tillkommer BETALNINGSFORM

Läs mer

http://marvel.com/games/play/31/create_your_own_superhero http://www.heromachine.com/

http://marvel.com/games/play/31/create_your_own_superhero http://www.heromachine.com/ Name: Year 9 w. 4-7 The leading comic book publisher, Marvel Comics, is starting a new comic, which it hopes will become as popular as its classics Spiderman, Superman and The Incredible Hulk. Your job

Läs mer

Styrteknik: Binära tal, talsystem och koder D3:1

Styrteknik: Binära tal, talsystem och koder D3:1 Styrteknik: Binära tal, talsystem och koder D3:1 Digitala kursmoment D1 Boolesk algebra D2 Grundläggande logiska funktioner D3 Binära tal, talsystem och koder Styrteknik :Binära tal, talsystem och koder

Läs mer

Grafer, traversering. Koffman & Wolfgang kapitel 10, avsnitt 4

Grafer, traversering. Koffman & Wolfgang kapitel 10, avsnitt 4 Grafer, traversering Koffman & Wolfgang kapitel 1, avsnitt 4 1 Traversering av grafer De flesta grafalgoritmer innebär att besöka varje nod i någon systematisk ordning precis som med träd så finns det

Läs mer

Kurskod: TAIU06 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TENA 17 August 2015, 8:00-12:00. English Version

Kurskod: TAIU06 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TENA 17 August 2015, 8:00-12:00. English Version Kurskod: TAIU06 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TENA 17 August 2015, 8:00-12:00 Examiner: Xiangfeng Yang (Tel: 070 2234765). Please answer in ENGLISH if you can. a. Allowed to use: a calculator, Formelsamling

Läs mer

MÅLSTYRNING OCH LÄRANDE: En problematisering av målstyrda graderade betyg

MÅLSTYRNING OCH LÄRANDE: En problematisering av målstyrda graderade betyg MÅLSTYRNING OCH LÄRANDE: En problematisering av målstyrda graderade betyg Max Scheja Institutionen för pedagogik och didaktik Stockholms universitet E-post: max.scheja@edu.su.se Forskning om förståelse

Läs mer

Nr 17 Överenskommelse med Thailand om radioamatörverksamhet

Nr 17 Överenskommelse med Thailand om radioamatörverksamhet Nr 17 Överenskommelse med Thailand om radioamatörverksamhet Bangkok den 18 januari och 19 april 2002 Regeringen beslutade den 29 november 2001 att ingå överenskommelsen i form av skriftväxling. Överenskommelsen

Läs mer

English. Things to remember

English. Things to remember English Things to remember Essay Kolla instruktionerna noggrant! Gå tillbaka och läs igenom igen och kolla att allt är med. + Håll dig till ämnet! Vem riktar ni er till? Var ska den publiceras? Vad är

Läs mer

Solowheel. Namn: Jesper Edqvist. Klass: TE14A. Datum: 2015-03-09

Solowheel. Namn: Jesper Edqvist. Klass: TE14A. Datum: 2015-03-09 Solowheel Namn: Jesper Edqvist Klass: TE14A Datum: 2015-03-09 Abstract We got an assignment that we should do an essay about something we wanted to dig deeper into. In my case I dug deeper into what a

Läs mer

Beijer Electronics AB 2000, MA00336A, 2000-12

Beijer Electronics AB 2000, MA00336A, 2000-12 Demonstration driver English Svenska Beijer Electronics AB 2000, MA00336A, 2000-12 Beijer Electronics AB reserves the right to change information in this manual without prior notice. All examples in this

Läs mer

Självkörande bilar. Alvin Karlsson TE14A 9/3-2015

Självkörande bilar. Alvin Karlsson TE14A 9/3-2015 Självkörande bilar Alvin Karlsson TE14A 9/3-2015 Abstract This report is about driverless cars and if they would make the traffic safer in the future. Google is currently working on their driverless car

Läs mer

Calculate check digits according to the modulus-11 method

Calculate check digits according to the modulus-11 method 2016-12-01 Beräkning av kontrollsiffra 11-modulen Calculate check digits according to the modulus-11 method Postadress: 105 19 Stockholm Besöksadress: Palmfeltsvägen 5 www.bankgirot.se Bankgironr: 160-9908

Läs mer

Grafisk teknik IMCDP IMCDP IMCDP. IMCDP(filter) Sasan Gooran (HT 2006) Assumptions:

Grafisk teknik IMCDP IMCDP IMCDP. IMCDP(filter) Sasan Gooran (HT 2006) Assumptions: IMCDP Grafisk teknik The impact of the placed dot is fed back to the original image by a filter Original Image Binary Image Sasan Gooran (HT 2006) The next dot is placed where the modified image has its

Läs mer

Questionnaire for visa applicants Appendix A

Questionnaire for visa applicants Appendix A Questionnaire for visa applicants Appendix A Business Conference visit 1 Personal particulars Surname Date of birth (yr, mth, day) Given names (in full) 2 Your stay in Sweden A. Who took the initiative

Läs mer

Workplan Food. Spring term 2016 Year 7. Name:

Workplan Food. Spring term 2016 Year 7. Name: Workplan Food Spring term 2016 Year 7 Name: During the time we work with this workplan you will also be getting some tests in English. You cannot practice for these tests. Compulsory o Read My Canadian

Läs mer

Provlektion Just Stuff B Textbook Just Stuff B Workbook

Provlektion Just Stuff B Textbook Just Stuff B Workbook Provlektion Just Stuff B Textbook Just Stuff B Workbook Genomförande I provlektionen får ni arbeta med ett avsnitt ur kapitlet Hobbies - The Rehearsal. Det handlar om några elever som skall sätta upp Romeo

Läs mer

Ett hållbart boende A sustainable living. Mikael Hassel. Handledare/ Supervisor. Examiner. Katarina Lundeberg/Fredric Benesch

Ett hållbart boende A sustainable living. Mikael Hassel. Handledare/ Supervisor. Examiner. Katarina Lundeberg/Fredric Benesch Ett hållbart boende A sustainable living Mikael Hassel Handledare/ Supervisor Examinator/ Examiner atarina Lundeberg/redric Benesch Jes us Azpeitia Examensarbete inom arkitektur, grundnivå 15 hp Degree

Läs mer

Förändrade förväntningar

Förändrade förväntningar Förändrade förväntningar Deloitte Ca 200 000 medarbetare 150 länder 700 kontor Omsättning cirka 31,3 Mdr USD Spetskompetens av världsklass och djup lokal expertis för att hjälpa klienter med de insikter

Läs mer

Support Manual HoistLocatel Electronic Locks

Support Manual HoistLocatel Electronic Locks Support Manual HoistLocatel Electronic Locks 1. S70, Create a Terminating Card for Cards Terminating Card 2. Select the card you want to block, look among Card No. Then click on the single arrow pointing

Läs mer

Datasäkerhet och integritet

Datasäkerhet och integritet Chapter 4 module A Networking Concepts OSI-modellen TCP/IP This module is a refresher on networking concepts, which are important in information security A Simple Home Network 2 Unshielded Twisted Pair

Läs mer

Materialplanering och styrning på grundnivå. 7,5 högskolepoäng

Materialplanering och styrning på grundnivå. 7,5 högskolepoäng Materialplanering och styrning på grundnivå Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Skriftlig tentamen TI6612 Af3-Ma, Al3, Log3,IBE3 7,5 högskolepoäng Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles

Läs mer

Exportmentorserbjudandet!

Exportmentorserbjudandet! Exportmentor - din personliga Mentor i utlandet Handelskamrarnas erbjudande till små och medelstora företag som vill utöka sin export Exportmentorserbjudandet! Du som företagare som redan har erfarenhet

Läs mer

FRÅGA: Jag tilldelades stipendium 2014, kan jag ändå söka de riktade stipendierna i år?

FRÅGA: Jag tilldelades stipendium 2014, kan jag ändå söka de riktade stipendierna i år? FRÅGOR OCH SVAR Stockholm 16-01-25 Här finns samlat ett urval frågor och svar som inkommit till Konstakademien inför och under utlysningen av stöd och stipendier till konststudenter och unga konstnärer

Läs mer

Boiler with heatpump / Värmepumpsberedare

Boiler with heatpump / Värmepumpsberedare Boiler with heatpump / Värmepumpsberedare QUICK START GUIDE / SNABBSTART GUIDE More information and instruction videos on our homepage www.indol.se Mer information och instruktionsvideos på vår hemsida

Läs mer

Instruktioner för Service / Instructions for Service

Instruktioner för Service / Instructions for Service Allmän Serviceinformation Varje deltagare har fått tilldelat 6 x 10m serviceplats på Rocklunda. För de som beställt extra utrymme framgår ytan av skissen över serviceområdet. Endast servicefordon som har

Läs mer

Schenker Privpak AB Telefon VAT Nr. SE Schenker ABs ansvarsbestämmelser, identiska med Box 905 Faxnr Säte: Borås

Schenker Privpak AB Telefon VAT Nr. SE Schenker ABs ansvarsbestämmelser, identiska med Box 905 Faxnr Säte: Borås Schenker Privpak AB Interface documentation for web service packageservices.asmx 2012-09-01 Version: 1.0.0 Doc. no.: I04304b Sida 2 av 7 Revision history Datum Version Sign. Kommentar 2012-09-01 1.0.0

Läs mer

William J. Clinton Foundation Insamlingsstiftelse REDOGÖRELSE FÖR EFTERLEVNAD STATEMENT OF COMPLIANCE

William J. Clinton Foundation Insamlingsstiftelse REDOGÖRELSE FÖR EFTERLEVNAD STATEMENT OF COMPLIANCE N.B. The English text is an in-house translation. William J. Clinton Foundation Insamlingsstiftelse (organisationsnummer 802426-5756) (Registration Number 802426-5756) lämnar härmed följande hereby submits

Läs mer

Om oss DET PERFEKTA KOMPLEMENTET THE PERFECT COMPLETION 04 EN BINZ ÄR PRECIS SÅ BRA SOM DU FÖRVÄNTAR DIG A BINZ IS JUST AS GOOD AS YOU THINK 05

Om oss DET PERFEKTA KOMPLEMENTET THE PERFECT COMPLETION 04 EN BINZ ÄR PRECIS SÅ BRA SOM DU FÖRVÄNTAR DIG A BINZ IS JUST AS GOOD AS YOU THINK 05 Om oss Vi på Binz är glada att du är intresserad av vårt support-system för begravningsbilar. Sedan mer än 75 år tillverkar vi specialfordon i Lorch för de flesta olika användningsändamål, och detta enligt

Läs mer

Hur fattar samhället beslut när forskarna är oeniga?

Hur fattar samhället beslut när forskarna är oeniga? Hur fattar samhället beslut när forskarna är oeniga? Martin Peterson m.peterson@tue.nl www.martinpeterson.org Oenighet om vad? 1.Hårda vetenskapliga fakta? ( X observerades vid tid t ) 1.Den vetenskapliga

Läs mer

Övning 3 ETS052 Datorkommuniktion IP, TCP och

Övning 3 ETS052 Datorkommuniktion IP, TCP och Övning 3 ETS052 Datorkommuniktion - 2015 IP, TCP och 802.11 September 22, 2015 Uppgift 1. Bestäm klassen på följande IPv4-adresser: 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 208.34.54.12 238.34.2.1 114.34.2.8 129.14.6.8 241.34.2.8

Läs mer

Tomas Stålnacke Huvudprojektledare Project Manager Stadsomvandlingen City in transformation Kirunabostäder AB tomas.stalnacke@kirunabostader.

Tomas Stålnacke Huvudprojektledare Project Manager Stadsomvandlingen City in transformation Kirunabostäder AB tomas.stalnacke@kirunabostader. Tomas Stålnacke Huvudprojektledare Project Manager Stadsomvandlingen City in transformation Kirunabostäder AB tomas.stalnacke@kirunabostader.se 9 1 Upphandling Procurement Alla projekt kommer att upphandlas

Läs mer

Documentation SN 3102

Documentation SN 3102 This document has been created by AHDS History and is based on information supplied by the depositor /////////////////////////////////////////////////////////// THE EUROPEAN STATE FINANCE DATABASE (Director:

Läs mer

Övning 5 ETS052 Datorkommuniktion Routing och Networking

Övning 5 ETS052 Datorkommuniktion Routing och Networking Övning 5 TS5 Datorkommuniktion - 4 Routing och Networking October 7, 4 Uppgift. Rita hur ett paket som skickas ut i nätet nedan från nod, med flooding, sprider sig genom nätet om hop count = 3. Solution.

Läs mer

FORSKNINGSKOMMUNIKATION OCH PUBLICERINGS- MÖNSTER INOM UTBILDNINGSVETENSKAP

FORSKNINGSKOMMUNIKATION OCH PUBLICERINGS- MÖNSTER INOM UTBILDNINGSVETENSKAP FORSKNINGSKOMMUNIKATION OCH PUBLICERINGS- MÖNSTER INOM UTBILDNINGSVETENSKAP En studie av svensk utbildningsvetenskaplig forskning vid tre lärosäten VETENSKAPSRÅDETS RAPPORTSERIE 10:2010 Forskningskommunikation

Läs mer

samhälle Susanna Öhman

samhälle Susanna Öhman Risker i ett heteronormativt samhälle Susanna Öhman 1 Bakgrund Riskhantering och riskforskning har baserats på ett antagande om att befolkningen är homogen Befolkningen har alltid varit heterogen när det

Läs mer

COPENHAGEN Environmentally Committed Accountants

COPENHAGEN Environmentally Committed Accountants THERE ARE SO MANY REASONS FOR WORKING WITH THE ENVIRONMENT! It s obviously important that all industries do what they can to contribute to environmental efforts. The MER project provides us with a unique

Läs mer

GigaCom AB Säterigatan Göteborg

GigaCom AB Säterigatan Göteborg *LJD'XFW DEHONDQDOV\VWHP DY*LJD&RP/7' GigaDuct kabelkanalsystem för fiberoptiskt patchkablage är speciellt konstruerat och producerat för den Europeiska marknaden. Systemet är helt slutet och därför beröringsskyddat.

Läs mer

Sammanfattning hydraulik

Sammanfattning hydraulik Sammanfattning hydraulik Bernoullis ekvation Rörelsemängdsekvationen Energiekvation applikationer Rörströmning Friktionskoefficient, Moody s diagram Pumpsystem BERNOULLI S EQUATION 2 p V z H const. Quantity

Läs mer

SÖ 2000: 18 Nr 18 Avtal med Estland om avgränsningen av de maritima zonerna i Östersjön Stockholm den 2 november 1998

SÖ 2000: 18 Nr 18 Avtal med Estland om avgränsningen av de maritima zonerna i Östersjön Stockholm den 2 november 1998 Nr 18 Avtal med Estland om avgränsningen av de maritima zonerna i Östersjön Stockholm den 2 november 1998 Regeringen beslutade den 15 oktober 1998 att ingå överenskommelsen. Överenskommelsen trädde i kraft

Läs mer

balans Serie 7 - The best working position is to be balanced - in the centre of your own gravity! balans 7,45

balans Serie 7 - The best working position is to be balanced - in the centre of your own gravity! balans 7,45 balans Serie 7 - The best working position is to be balanced - in the centre of your own gravity! balans 7,45 balans dynamic seating system TM Wheelbase aluminium Hjulkryss aluminium Back support upholstered,

Läs mer

Quicksort. Koffman & Wolfgang kapitel 8, avsnitt 9

Quicksort. Koffman & Wolfgang kapitel 8, avsnitt 9 Quicksort Koffman & Wolfgang kapitel 8, avsnitt 9 1 Quicksort Quicksort väljer ett spcifikt värde (kallat pivot), och delar upp resten av fältet i två delar: alla element som är pivot läggs i vänstra delen

Läs mer

RUP är en omfattande process, ett processramverk. RUP bör införas stegvis. RUP måste anpassas. till organisationen till projektet

RUP är en omfattande process, ett processramverk. RUP bör införas stegvis. RUP måste anpassas. till organisationen till projektet RUP är en omfattande process, ett processramverk RUP bör införas stegvis RUP måste anpassas till organisationen till projektet Volvo Information Technology 1 Även RUP har sina brister... Dåligt stöd för

Läs mer

1. Unpack content of zip-file to temporary folder and double click Setup

1. Unpack content of zip-file to temporary folder and double click Setup Instruktioner Dokumentnummer/Document Number Titel/Title Sida/Page 13626-1 BM800 Data Interface - Installation Instructions 1/8 Utfärdare/Originator Godkänd av/approved by Gäller från/effective date Mats

Läs mer

VHDL testbänk. Mall-programmets funktion. Låset öppnas när tangenten 1 trycks ned och sedan släpps. William Sandqvist

VHDL testbänk. Mall-programmets funktion. Låset öppnas när tangenten 1 trycks ned och sedan släpps. William Sandqvist VHDL testbänk Mall-programmets funktion Låset öppnas när tangenten 1 trycks ned och sedan släpps. Keypad och Statecounter Bra val av datatyper gör koden självförklarande! K: in std_logic_vector(1 to 3);

Läs mer

GJUTEN ALUMINIUMPLATTA EN AW 5083 CAST ALUMINIUM PLATE EN AW 5083

GJUTEN ALUMINIUMPLATTA EN AW 5083 CAST ALUMINIUM PLATE EN AW 5083 GJUTEN ALUMINIUMPLATTA EN AW 5083 CAST ALUMINIUM PLATE EN AW 5083 Granskad av Reviewed by Göran Magnusson Tjst Dept. GUM1 tb tvåspråkig 2008-06-17 1 (9) ÄNDRINGSFöRTECKNING RECORD OF CHANGES Ändring nummer

Läs mer

Komponenter Removed Serviceable

Komponenter Removed Serviceable Komponenter Removed Serviceable Presentatör Jonas Gränge, Flygteknisk Inspektör Sjö- och luftfartsavdelningen Fartygs- och luftfartygsenheten Sektionen för Underhållsorganisationer 1 145.A.50(d): När en

Läs mer

17 januari 2014 sida 1 # 1 ERRATA ELEKTRODYNAMIK I NYTT LJUS UPPLAGA 1

17 januari 2014 sida 1 # 1 ERRATA ELEKTRODYNAMIK I NYTT LJUS UPPLAGA 1 17 januari 214 sida 1 # 1 ERRATA ELEKTRODYNAMIK I NYTT LJUS UPPLAGA 1 Sidan 47 Responsen, dvs. induktionsströmmen, är sådan att förändringar av systemets totaa ström motverkas. Induktionsströmmens riktning

Läs mer

Alias 1.0 Rollbaserad inloggning

Alias 1.0 Rollbaserad inloggning Alias 1.0 Rollbaserad inloggning Alias 1.0 Rollbaserad inloggning Magnus Bergqvist Tekniskt Säljstöd Magnus.Bergqvist@msb.se 072-502 09 56 Alias 1.0 Rollbaserad inloggning Funktionen Förutsättningar Funktionen

Läs mer

PORTSECURITY IN SÖLVESBORG

PORTSECURITY IN SÖLVESBORG PORTSECURITY IN SÖLVESBORG Kontaktlista i skyddsfrågor / List of contacts in security matters Skyddschef/PFSO Joakim Nilsson Phone: +46 456 422 44. Mobile: +46 708 56 94 09 E-mail: joakim.nilsson@sbgport.com

Läs mer

xperia p manual svenska

xperia p manual svenska Print and Online In case you are particular with knowing everything relating to this, you will need to search for this information. 2 XPERIA P MANUAL SVENSKA It absolutely was available on the web, and

Läs mer

Protokoll Föreningsutskottet 2013-10-22

Protokoll Föreningsutskottet 2013-10-22 Protokoll Föreningsutskottet 2013-10-22 Närvarande: Oliver Stenbom, Andreas Estmark, Henrik Almén, Ellinor Ugland, Oliver Jonstoij Berg. 1. Mötets öppnande. Ordförande Oliver Stenbom öppnade mötet. 2.

Läs mer

Stiftelsen Allmänna Barnhuset KARLSTADS UNIVERSITET

Stiftelsen Allmänna Barnhuset KARLSTADS UNIVERSITET Stiftelsen Allmänna Barnhuset KARLSTADS UNIVERSITET National Swedish parental studies using the same methodology have been performed in 1980, 2000, 2006 and 2011 (current study). In 1980 and 2000 the studies

Läs mer

Instruktioner för Service / Instructions for Service

Instruktioner för Service / Instructions for Service Allmän Serviceinformation Varje deltagare har fått tilldelat 6 x 10m serviceplats i Vimmerby. För de som beställt extra utrymme framgår ytan av skissen över serviceområdet. Endast servicefordon som har

Läs mer

SAMMANFATTNING AV SUMMARY OF

SAMMANFATTNING AV SUMMARY OF Detta dokument är en enkel sammanfattning i syfte att ge en första orientering av investeringsvillkoren. Fullständiga villkor erhålles genom att registera sin e- postadress på ansökningssidan för FastForward

Läs mer

LINC MODELL 13. INR SVERIGE AB Kosterögatan 15 SE-211 24 Malmö 13 EN 1428:2005+A1:2008

LINC MODELL 13. INR SVERIGE AB Kosterögatan 15 SE-211 24 Malmö 13 EN 1428:2005+A1:2008 LINC MODELL 13 151005 Produkten är anpassad till branschregler Säker Vatteninstallation. INR garanterar produktens funktion om branschreglerna och monteringsanvisningen följs. INR SVERIGE AB Kosterögatan

Läs mer

EXTERNAL ASSESSMENT SAMPLE TASKS SWEDISH BREAKTHROUGH LSPSWEB/0Y09

EXTERNAL ASSESSMENT SAMPLE TASKS SWEDISH BREAKTHROUGH LSPSWEB/0Y09 EXTENAL ASSESSENT SAPLE TASKS SWEDISH BEAKTHOUGH LSPSWEB/0Y09 Asset Languages External Assessment Sample Tasks Breakthrough Stage Listening and eading Swedish Contents Page Introduction 2 Listening Sample

Läs mer

Dokumentnamn Order and safety regulations for Hässleholms Kretsloppscenter. Godkänd/ansvarig Gunilla Holmberg. Kretsloppscenter

Dokumentnamn Order and safety regulations for Hässleholms Kretsloppscenter. Godkänd/ansvarig Gunilla Holmberg. Kretsloppscenter 1(5) The speed through the entire area is 30 km/h, unless otherwise indicated. Beware of crossing vehicles! Traffic signs, guardrails and exclusions shall be observed and followed. Smoking is prohibited

Läs mer

How to format the different elements of a page in the CMS :

How to format the different elements of a page in the CMS : How to format the different elements of a page in the CMS : 1. Typing text When typing text we have 2 possible formats to start a new line: Enter - > is a simple line break. In a paragraph you simply want

Läs mer

Adress 15. August 2014

Adress 15. August 2014 , Zollerstr. 1, 78567 Fridingen, Germany Adress 15. August 2014 Brådskande Säkerhetsmeddelande Urgent Safety Notice Bästa kund, Dear valued customer, med anledning av en incident på marknaden fick vi kännedom

Läs mer

KOMMUNIKATIONS- OCH TOLKNINGS- PERSPEKTIV PÅ TILLBUD OCH OLYCKOR I KEMISKA INDUSTRIMILJÖER. Joel Rasmussen, Örebro universitet

KOMMUNIKATIONS- OCH TOLKNINGS- PERSPEKTIV PÅ TILLBUD OCH OLYCKOR I KEMISKA INDUSTRIMILJÖER. Joel Rasmussen, Örebro universitet KOMMUNIKATIONS- OCH TOLKNINGS- PERSPEKTIV PÅ TILLBUD OCH OLYCKOR I KEMISKA INDUSTRIMILJÖER Joel Rasmussen, Örebro universitet joel.rasmussen@oru.se Vad som bör betraktas som en risk är inte självklart

Läs mer

Problem. 2. Finn alla heltalslösningar till ekvationen xy = 2x y.

Problem. 2. Finn alla heltalslösningar till ekvationen xy = 2x y. Hej! Här kommer några uppgifter du kan titta på som förberedelse för nästa års matematiktävling, eller bara för att det är roligt att jobba med matematik. En del av problemen är relativt enkla, andra är

Läs mer

The Municipality of Ystad

The Municipality of Ystad The Municipality of Ystad Coastal management in a local perspective TLC The Living Coast - Project seminar 26-28 nov Mona Ohlsson Project manager Climate and Environment The Municipality of Ystad Area:

Läs mer

Module 4 Applications of differentiation

Module 4 Applications of differentiation Department of mathematics SF1625 Calculus 1 Year 2015/2016 Module 4 Applications of differentiation Chapter 4 of Calculus by Adams and Essex. Three lectures, two tutorials, one seminar. Important concepts.

Läs mer

Nr 54 Avtal med Heliga stolen i syfte att bekräfta att den romersk-katolska

Nr 54 Avtal med Heliga stolen i syfte att bekräfta att den romersk-katolska Nr 54 Avtal med Heliga stolen i syfte att bekräfta att den romersk-katolska kyrkan i Sverige är en del av folkrättssubjektet den universella katolska kyrkan Stockholm den 13 december 2001 Regeringen beslutade

Läs mer

Aktivitetsschemaläggning för flerkärninga processorer

Aktivitetsschemaläggning för flerkärninga processorer Lunds Tekniska Högskola Datorarkitekturer med Operativsystem EDT621 Aktivitetsschemaläggning för flerkärninga processorer Tobias Lilja 5 december 2016 Innehåll 1 Inledning 3 1.1 Syfte................................

Läs mer

Kurskod: TAMS11 Provkod: TENB 12 January 2015, 08:00-12:00. English Version

Kurskod: TAMS11 Provkod: TENB 12 January 2015, 08:00-12:00. English Version Kurskod: TAMS Provkod: TENB 2 January 205, 08:00-2:00 Examiner: Xiangfeng Yang (Tel: 070 2234765). Please answer in ENGLISH if you can. a. You are allowed to use: a calculator; formel -och tabellsamling

Läs mer

Master Thesis. Study on a second-order bandpass Σ -modulator for flexible AD-conversion Hanna Svensson. LiTH - ISY - EX -- 08/4064 -- SE

Master Thesis. Study on a second-order bandpass Σ -modulator for flexible AD-conversion Hanna Svensson. LiTH - ISY - EX -- 08/4064 -- SE Master Thesis Study on a second-order bandpass Σ -modulator for flexible AD-conversion Hanna Svensson LiTH - ISY - EX -- 08/4064 -- SE Study on a second-order bandpass Σ -modulator for flexible AD-conversion

Läs mer

Blueprint Den här planeringen skapades med Blueprints gratisversion - vänligen uppgradera nu. Engelska, La06 - Kursöversikt, 2015/2016.

Blueprint Den här planeringen skapades med Blueprints gratisversion - vänligen uppgradera nu. Engelska, La06 - Kursöversikt, 2015/2016. Blueprint Den här planeringen skapades med Blueprints gratisversion - vänligen uppgradera nu Engelska, La06 - Kursöversikt, 2015/2016 v.6-12 Book Project During this project you will be reading English

Läs mer

Oförstörande provning (NDT) i Del M Subpart F/Del 145-organisationer

Oförstörande provning (NDT) i Del M Subpart F/Del 145-organisationer Oförstörande provning (NDT) i Del M Subpart F/Del 145-organisationer Ref. Del M Subpart F & Del 145 2012-05-02 1 Seminarium för Teknisk Ledning HKP 3maj, 2012, Arlanda Inledning Allmänt Viktigare krav

Läs mer

Beslut om bolaget skall gå i likvidation eller driva verksamheten vidare.

Beslut om bolaget skall gå i likvidation eller driva verksamheten vidare. ÅRSSTÄMMA REINHOLD POLSKA AB 7 MARS 2014 STYRELSENS FÖRSLAG TILL BESLUT I 17 Beslut om bolaget skall gå i likvidation eller driva verksamheten vidare. Styrelsen i bolaget har upprättat en kontrollbalansräkning

Läs mer

Sparbankerna PDF. ==>Download: Sparbankerna PDF ebook By 0

Sparbankerna PDF. ==>Download: Sparbankerna PDF ebook By 0 Sparbankerna PDF ==>Download: Sparbankerna PDF ebook By 0 Sparbankerna PDF By 0 - Are you searching for Sparbankerna pdf Books? Now, you will be happy that Sparbankerna PDF is available at our online library

Läs mer

The ICA perspective on labelling with focus on organic food. Anna Karin Lindberg

The ICA perspective on labelling with focus on organic food. Anna Karin Lindberg The ICA perspective on labelling with focus on organic food Anna Karin Lindberg This is the ICA idea Individual retailers working in cooperation who successfully combine diversity and local adjustments

Läs mer

Användning av Erasmus+ deltagarrapporter för uppföljning

Användning av Erasmus+ deltagarrapporter för uppföljning Användning av Erasmus+ deltagarrapporter för uppföljning Internationaliseringsdagarna 2016 2016-11-02 Anders Clarhäll Participant Report Form Identification of the Participant and General Information (Motivation)

Läs mer

Regler Övriga regler:

Regler Övriga regler: Introduktion Flamestorm Duals II är Legend Spelbutiks andra dubbelturnering i Warhammer Fantasy Battles och spelas i lag med två spelare på varje lag. Syftet med denna typ av arrangemang är att stärka

Läs mer

Plain A262. För T16 (T5) lysrör. Innehåll. Monteringsanvisning. A. Instruktion för rampmontering

Plain A262. För T16 (T5) lysrör. Innehåll. Monteringsanvisning. A. Instruktion för rampmontering Plain A262 För T16 (T5) lysrör Innehåll Ramparmatur: ändmodul En stängd gavel/ en öppen gavel Plint i båda ändarna Överkopplingssladd 1 rampgavel 1 lysrörsbytare Ramparmatur: mellanmodul Plint i en ände

Läs mer

Get Instant Access to ebook Ta Ner Manen PDF at Our Huge Library TA NER MANEN PDF. ==> Download: TA NER MANEN PDF

Get Instant Access to ebook Ta Ner Manen PDF at Our Huge Library TA NER MANEN PDF. ==> Download: TA NER MANEN PDF TA NER MANEN PDF ==> Download: TA NER MANEN PDF TA NER MANEN PDF - Are you searching for Ta Ner Manen Books? Now, you will be happy that at this time Ta Ner Manen PDF is available at our online library.

Läs mer

Schenker Privpak AB Telefon 033-178300 VAT Nr. SE556124398001 Schenker ABs ansvarsbestämmelser, identiska med Box 905 Faxnr 033-257475 Säte: Borås

Schenker Privpak AB Telefon 033-178300 VAT Nr. SE556124398001 Schenker ABs ansvarsbestämmelser, identiska med Box 905 Faxnr 033-257475 Säte: Borås Schenker Privpak AB Interface documentation for web service packageservices.asmx 2010-10-21 Version: 1.2.2 Doc. no.: I04304 Sida 2 av 14 Revision history Datum Version Sign. Kommentar 2010-02-18 1.0.0

Läs mer