MMA129 Linear Algebra academic year 2015/16

Transkript

1 MMA129 Linear Algebra academic year 2015/16 Assigned problems Set 1 (4) Vector spaces 1. Which of the sets equipped with the operations addition and scalar multiplication M a = {(x 1 x 2 ) R 2 : 3x 1 2x 2 = 1} M b = {(x 1 x 2 ) R 2 : x 1 x 2 = 0} M c = {(x 1 x 2 ) R 2 : 99x x 2 = 0} M d = {(x 1 x 2 ) R 2 : x 1 x 2 0} are vector spaces (synonymously linear spaces )? Explain! 2. Prove that the vectors v 1 v 2 v 3 v 4 R 4 where v 1 = ( ) v 2 = ( ) v 3 = ( ) v 4 = ( ) are linearly dependent. Can the vectors v 3 and v 4 be written as linear combinations of the other vectors? 3. ind a basis for the subspace M of R 4 whose vectors forms the set M = {(x 1 x 2 x 3 x 4 ) R 4 : 2x 1 x 2 +4x 4 = 0 x 1 2x 3 +3x 4 = 0 4x 1 3x 2 2x 3 = 0}. Also state the dimension of M. 4. In the linear space P 2 of polynomial functions of degree less than or equal to 2 is p 0 p 1 p 2 where p n (x) = x n a basis (easily proven). Prove that also the polynomial functions p q r definied by p(x) = 1 + x 2 q(x) = 2 + 2x x 2 r(x) = 6 + 3x + 2x 2 is a basis of P 2 and determine in that basis the coordinates of the polynomial function having the polynomial 2 + 3x 4x The vectors u v w have the coordinates ( 6 2 3) ( ) and (7 2 3) respectively in the ordered basis e 1 e 2 e 3. Prove that there exists a basis ẽ 1 ẽ 2 ẽ 3 in which the vectors have the coordinates (2 3 1) ( 1 1 1) and (3 1 2) respectively and state the change-of-basis matrix from e 1 e 2 e 3 to ẽ 1 ẽ 2 ẽ Let M be the linear space of all real-valued 2 2-matrices. ind for each value of a the dimension of the subspace U of M spanned by the matrices ( ) ( ) ( ) ( ) a a a 0 3 a a + 4 a 4 and find a basis in each case. Also find all values of a for which the matrix ( ) 1 1 A = 4 5 belong to U and find for those a the coordinates for A in the chosen basis respectively.

2 MMA129 Linear Algebra academic year 2015/16 Assigned problems Set 2 (4) Linear transformations 1. The linear operator : R 3 R 3 is defined by (2 0 1) (7 7 1) (1 1 1) ( 2 1 0) (1 2 0) ind the matrix of relative to the standard basis. Is bijective? (4 5 5). 2. Suppose that an origin has been chosen in a two-dimensional space and that coordinates of points are used for characterizing plane figures. ind the matrix of the linear transformation which transfer the rectangle with vertices at the points (0 0) (2 0) (2 1) and (0 1) on the quadrat with the corresponding vertices in (0 0) (0 4) ( 4 4) and ( 4 0) respectively. 3. Describe analytically (with a matrix relative to the standard basis) the linear operator which projects the vectors of 3-space along the vector (1 2 3) on the linear space M = {(x 1 x 2 x 3 ) R 3 : x 1 + x 2 + x 3 = 0}. 4. The linear transformation : R 4 R 3 is defined by (x 1 x 2 x 3 x 4 ) = (5x 1 +11x 2 13x 3 +17x 4 2x 1 +8x 2 16x 3 +14x 4 3x 1 +6x 2 6x 3 +9x 4 ). ind a basis for the image of and a basis for the kernel of. Also state the dimensions of the spaces in question. NOTE: The notation (x 1 x 2 x 3 x 4 ) should really be ((x 1 x 2 x 3 x 4 )) since (x 1 x 2 x 3 x 4 ) R 4 denotes the vector which maps. The notation with only one layer of parentheses is nevertheless of practical reasons the ususal. 5. In the standard basis e 1 e 2 e 3 the linear operator : R 3 R 3 has the matrix ind the matrix of in the basis e 1 e 2 e 1 + e 3 e 2 e Let P 3 be the linear space of polynomial functions of degree 3 and define by (p) = p 3p + p a transformation : P 3 P 3. Prove that is a linear operator on P 3 and that has an inverse. In the context specify the matrices of and 1 preferable in the basis p 0 p 1 p 2 p 3 where p n (x) = x n. inish with showing how the polynomial 2 + x + x 3 is mapped by and is restored by 1 (and then for comparison both with the linear transformation and with its matrix).

3 MMA129 Linear Algebra academic year 2015/16 Assigned problems Set 3 (4) Euclidean spaces 1. ind the values of a for which g(u v) = x 1 y 1 + 5x 2 y 2 + ax 3 y 3 + 2(x 1 y 2 + x 2 y 1 ) + 3(x 1 y 3 + x 3 y 1 ) + 4(x 2 y 3 + x 3 y 2 ) defines an inner product (synonymously scalar product ) in R ind the length of the vector 2e 1 e 2 + 3e 3 in the Euclidean space E for which the inner product is fixed as u v = 3x 1 y 1 + 4x 2 y 2 + x 3 y 3 where (x 1 x 2 x 3 ) and (y 1 y 2 y 3 ) are the coordinates of u and v respectively in the basis e 1 e 2 e The vectors u and v have the lengths 5 and 3 respectively in an Euclidean space E and satisfies the relation 2u v v = 7. ind the length of the vector u + v. 4. Let M = span{( ) ( ) ( )} E 4. ind dim(m) and by the Gram-Schmidt orthonormalization process an orthonormal basis for M. 5. Let M = {(x 1 x 2 x 3 x 4 ) E 4 : x 1 x 2 + x 4 = 0 2x 1 + x 3 + x 4 = 0}. ind the orthogonal projection of the vector u = ( ) on the orthogonal complement M of M. 6. Let P 2 be the linear space of polynomial functions of degree less than or equal to 2 and equip it with scalar product p q = 1 0 p(t)q(t) dt. Determine an ON-basis for the subspace N = {p P 2 : p(0) = 0}. 7. Can : E E be an isometric transformation if it in some basis has the matrix ? 0 0 1

4 MMA129 Linear Algebra academic year 2015/16 Assigned problems Set 4 (4) Spectral theory and quadratic forms 1. The linear operator : E 3 E 3 has the matrix A = relative to the standard basis. Prove that is diagonalizable i.e. that there exists a basis of eigenvectors of and determine the matrix à of relative to that basis. inally find an orthogonal change-of-basis matrix S in the relation à = S 1 AS between the matrices of in the two bases. 2. Let h be a quadratic form on E 3 defined by h(u) = 4x x x 2 3 4x 1 x 2 4x 2 x 3. ind the symmetric matrix of the form. Then write h(u) on a diagonal form in a new orthonormal basis and state the basis. inally find min u =1 h(u) and max u =1 h(u). 3. The linear operator : R 3 R 3 has the matrix 1 β 3 2 β 1 β β + 1 β 3 β relative to the basis e 1 e 2 e 3. ind the β R for which the operator är diagonalizable and state for each of those β a basis of eigenvectors. 4. Let h be a quadratic form on R 3 defined by h(u) = x 2 1 x x x 1 x 2 + 4x 1 x 3 6x 2 x 3. a) Determine the rank and the signature of the form. b) Of which types are the quadrics h(u) = 1 and h(u) = 1 respectively? 5. Let (x y z) be coordinates in an orthonormal system. Describe the surface 5(x 2 + y 2 + z 2 ) + 2(xy + yz + zx) = 2 in detail i.e. determine the type of surface its principal axes etc.

5 MMA129 Linjär algebra läsåret 2015/16 Inlämningsuppgifter Omgång 1 (4) Vektorrum 1. Vilka av de med operationerna addition och skalärmultiplikation utrustade mängderna M a = {(x 1 x 2 ) R 2 : 3x 1 2x 2 = 1} M b = {(x 1 x 2 ) R 2 : x 1 x 2 = 0} M c = {(x 1 x 2 ) R 2 : 99x x 2 = 0} M d = {(x 1 x 2 ) R 2 : x 1 x 2 0} är vektorrum (synonymt linjära rum )? örklara! 2. Visa att vektorerna v 1 v 2 v 3 v 4 R 4 där v 1 = ( ) v 2 = ( ) v 3 = ( ) v 4 = ( ) är linjärt beroende. Kan vektorerna v 3 och v 4 skrivas som linjärkombinationer av de övriga vektorerna? 3. Bestäm en bas för det till R 4 linjära underrum vars vektorer bildar mängden M = {(x 1 x 2 x 3 x 4 ) R 4 : 2x 1 x 2 +4x 4 = 0 x 1 2x 3 +3x 4 = 0 4x 1 3x 2 2x 3 = 0}. Ange även dimensionen av M. 4. I det linjära rummet P 2 av polynomfunktioner av grad högst 2 är p 0 p 1 p 2 där p n (x) = x n en bas (visas enkelt). Visa att även polynomfunktionerna p q r definierade genom p(x) = 1 + x 2 q(x) = 2 + 2x x 2 r(x) = 6 + 3x + 2x 2 är en bas för P 2 och bestäm i denna bas koordinaterna för den polynomfunktion som har polynomet 2 + 3x 4x Vektorerna u v w har i den ordnade basen e 1 e 2 e 3 koordinaterna ( 6 2 3) ( ) respektive (7 2 3). Visa att det finns en bas ẽ 1 ẽ 2 ẽ 3 i vilken vektorerna har koordinaterna (2 3 1) ( 1 1 1) respektive (3 1 2) och ange basbytesmatrisen från e 1 e 2 e 3 till ẽ 1 ẽ 2 ẽ Låt M vara det linjära rummet av alla reellvärda 2 2-matriser. Bestäm för varje värde på a dimensionen av det underrum U till M vilket spänns upp av matriserna ( ) ( ) ( ) ( ) a a a 0 3 a a + 4 a 4 och bestäm en bas i respektive fall. Bestäm även alla värden på a för vilka matrisen ( ) 1 1 A = 4 5 tillhör U och ange för dessa a koordinaterna för A i respektive vald bas.

6 MMA129 Linjär algebra läsåret 2015/16 Inlämningsuppgifter Omgång 2 (4) Linjära avbildningar 1. Den linjära operatorn : R 3 R 3 definieras genom (2 0 1) (7 7 1) (1 1 1) ( 2 1 0) (1 2 0) Bestäm :s matris i standardbasen. Är bijektiv? (4 5 5). 2. Antag att ett origo har valts i ett tvådimensionellt rum och att koordinater för punkter används för att karakterisera plana figurer. Bestäm matrisen för den linjära avbildning som överför rektangeln med hörn i punkterna (0 0) (2 0) (2 1) och (0 1) på kvadraten med motsvarande hörn i (0 0) (0 4) ( 4 4) respektive ( 4 0). 3. Beskriv analytiskt (med en matris i standardbasen) den linjära operator som projicerar 3-rummets vektorer längs vektorn (1 2 3) på det linjära rummet M = {(x 1 x 2 x 3 ) R 3 : x 1 + x 2 + x 3 = 0}. 4. Den linjära avbildningen : R 4 R 3 ges av (x 1 x 2 x 3 x 4 ) = (5x 1 +11x 2 13x 3 +17x 4 2x 1 +8x 2 16x 3 +14x 4 3x 1 +6x 2 6x 3 +9x 4 ). Bestäm en bas för :s värderum V ( ) och en bas för :s nollrum N( ). Ange även dimensionerna av rummen ifråga. NOT: Beteckningssättet (x 1 x 2 x 3 x 4 ) borde egentligen vara ((x 1 x 2 x 3 x 4 )) eftersom (x 1 x 2 x 3 x 4 ) R 4 betecknar den vektor som avbildar. Skrivsättet med endast ett lager av parenteser är dock av praktiska skäl det vanliga. 5. Den linjära operatorn : R 3 R 3 har i standardbasen e 1 e 2 e 3 avbildningsmatrisen Bestäm :s matris i basen e 1 e 2 e 1 + e 3 e 2 e Låt P 3 vara det linjära rummet av polynomfunktioner av grad 3 och definiera genom (p) = p 3p + p en avbildning : P 3 P 3. Visa att är en linjär operator på P 3 och att har en invers. Specificera i sammanhanget matriserna för och 1 och då lämpligen i basen p 0 p 1 p 2 p 3 där p n (x) = x n. Avsluta med att visa hur polynomet 2 + x + x 3 avbildas av och återställs av 1 (och då för jämförelsens skull både med den linjära avbildningen och med dess avbildningsmatris)

7 MMA129 Linjär algebra läsåret 2015/16 Inlämningsuppgifter Omgång 3 (4) Euklidiska rum 1. Ange för vilka värden på a som g(u v) = x 1 y 1 + 5x 2 y 2 + ax 3 y 3 + 2(x 1 y 2 + x 2 y 1 ) + 3(x 1 y 3 + x 3 y 1 ) + 4(x 2 y 3 + x 3 y 2 ) definierar en inre produkt (synonymt skalärprodukt ) i R Bestäm längden av vektorn 2e 1 e 2 + 3e 3 i det euklidiska rum E för vilket skalärprodukten är fixerad till u v = 3x 1 y 1 + 4x 2 y 2 + x 3 y 3 där (x 1 x 2 x 3 ) och (y 1 y 2 y 3 ) är koordinaterna för u respektive v i basen e 1 e 2 e Vektorerna u och v har i ett euklidiskt rum E längderna 5 respektive 3 och satisfierar relationen 2u v v = 7. Bestäm längden av vektorn u + v. 4. Låt M = span{( ) ( ) ( )} E 4. Bestäm dim(m) och med Gram-Schmidts ortogonaliseringsmetod en ON-bas för M. 5. Låt M = {(x 1 x 2 x 3 x 4 ) E 4 : x 1 x 2 + x 4 = 0 2x 1 + x 3 + x 4 = 0}. Bestäm den ortogonala projektionen av vektorn u = ( ) på det ortogonala komplementet M till M. 6. Låt P 2 vara det linjära rummet av polynomfunktioner av grad högst 2 och utrusta det med skalärprodukten p q = 1 0 p(t)q(t) dt. Bestäm en ON-bas för delrummet N = {p P 2 : p(0) = 0}. 7. Kan : E E vara en isometrisk avbildning om den i någon bas har matrisen ? 0 0 1

8 MMA129 Linjär algebra läsåret 2015/16 Inlämningsuppgifter Omgång 4 (4) Spektralteori och kvadratiska former 1. Den linjära operatorn : E 3 E 3 ges i standardbasen av matrisen A = Visa att är diagonaliserbar dvs att det finns en bas av egenvektorer till och bestäm :s matris à i denna bas. Bestäm slutligen en ortogonal basbytesmatris S i sambandet à = S 1 AS mellan avbildningsmatriserna i de två baserna. 2. Låt h vara en kvadratisk form på E 3 definierad genom h(u) = 4x x x 2 3 4x 1 x 2 4x 2 x 3. Bestäm den symmetriska matris som hör till formen. Skriv sedan h(u) på diagonalform i en ny ON-bas och ange basen. Bestäm slutligen min u =1 h(u) och max u =1 h(u). 3. Den linjära operatorn : R 3 R 3 har i basen e 1 e 2 e 3 matrisen 1 β 3 2 β 1 β. β + 1 β 3 β Bestäm de β R för vilka operatorn är diagonaliserbar och ange för var och en av dessa β en bas av egenvektorer till. 4. Låt h vara en kvadratisk form på R 3 definierad genom h(u) = x 2 1 x x x 1 x 2 + 4x 1 x 3 6x 2 x 3. a) Bestäm formens rang och signatur. b) Av vilka typer är andragradsytorna h(u) = 1 respektive h(u) = 1? 5. Låt (x y z) vara koordinaterna i ett ON-system. Beskriv i detalj ytan 5(x 2 + y 2 + z 2 ) + 2(xy + yz + zx) = 2. dvs. finn typen av yta dess principalaxlar m.m.)