0 Allmänt. Följande delar behöver man kunna utöver avsnitten som beskrivs senare i dokumentet.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "0 Allmänt. Följande delar behöver man kunna utöver avsnitten som beskrivs senare i dokumentet."

Transkript

1 Linja r algebra TATA (del) Allmänt Följande delar behöver man kunna utöver avsnitten som beskrivs senare i dokumentet. Matrisekvationer och Gauss-elimination o Parameterform Allmänt om vektorer o Räknelagar o Komposantuppdelning o Ortogonalprojektion Teori om linjer och plan Räknelagar för matriser o Addition & Multiplikation o Invers o Transponat o Enhetsmatrisen Determinanter Sida av

2 Vektorrum, Vektorrum Vektorrum innebär helt enkelt ett rum där vektorer bor: En mängd vektorer. För vektorer i ett vektorrum gäller två regler: Definition u, v V u + v V λ R, u V λu V Förklaring Adderar man två vektorer blir summan en vektor som finns i rummet Multiplicerar man en vektor med en konstant blir tillhör den nya vektorn fortfarande mängden. Vektorrum beskrivs vanligen som höljen eller som lösningsrum. Exempel: V = {x R : x x x x = } = e, e e Vektorrummet V består av vektorer x som finns i R Villkor som gäller för alla vektorer i vektorrummet. Alla vektorer som finns i vektorrummet kan bildas genom kombination av dessa vektorer. Kallas ett hölje. Består av baser för rummet. (Obs! Ej nödvändigvist ON-baser, se avsnitt,.) Beroende av situation och uppgift är det gynnsamt att beskriva vektorrummet på ett visst sätt. Nedan beskrivs hur man byter form på vektorrummet. Från lösningsrum till hölje och tillbaka Exempel: Beskriv följande vektorrum som ett hölje: V = {x R : x x x x = } Vektorrummet består av alla vektorer som uppfyller villkoret x x x x =. Nu ska vi ta reda på vilka vektorer som skapar vektorer som uppfyller villkoret. Detta görs genom parametrisera ekvationen: x x x x = x = x + x + x x x + x + x r + s + t x = r = r = r + s + t x s s x t t Alltså: Med dessa tre paramterar kan man skapa alla vektorer som stämmer in på villkoret. Detta blir då baserna som spänner upp höljet för vektorrummet. Svar: V = {x R : x x x x = } = e, e e Sida av

3 Exempel: Beskriv vektorrummet som ett lösningsrum: V = e, e e = [v, v, v ] Nu vet vi baserna av vilka vi kan skapa vektorer som ingår i vektorrummet. Vi vill alltså hitta ett villkor för dessa vektorer. Detta görs genom att ställa upp en matrisekvation. Teori: Alla vektorer i vektorrummet kan skapas genom de tre vektorerna som spänner upp höljet. En godtycklig vektor v kan alltså skapas genom kombination av v, v och v. Detta ger ekvationen: λ v + λ v + λ v = v Den godtyckliga vektorn v kan uttryckas v =. Detta gör att vi kan ställa upp följande x x matrisekvation: x x x x λ λ = x λ x x x ~ x x x x x x x x x För alla vektorer man kan skapa med baserna gäller alltså villkoret x x x x =, vilket motsvarar villkoret för lösningsrummet. Svar: V = e, e e = {x R : x x x x = } Sida av

4 , Linjärt beroende/oberoende När man pratar om mängder och höljen är den centralt att titta på om vektorerna är linjärt beroende eller linjärt oberoende. Vektorer som är linjärt beroende kan uttryckas med varandra, vilket inte går med vektorer som är linjärt oberoende. Definition Vektorer är linjärt oberoende om beroendeekvationen λ v + λ v + + λ n v n = endast har den triviala lösningen λ = λ =... = λ n = Om beroende ekvationen ar fler lösningar är vektorerna linjärt beroende. Förklaring Poängen med beroende ekvationen är att se om det finns flera möjligheter att skapa nollvektorn. Om den enda möjligheten att skapa nollvektorn är att alla vektorer är noll innebär det att vektorerna är linjärt oberoende då ingen kan uttryckas med någon annan. Om det är möjligt att skapa nollvektorn som en kombination av de olika vektorerna är vektorerna linjärt beroende. Sida av

5 Euklidiska rum Ett euklidiskt rum är ett reellvärt vektorrum där en skalärprodukt är definierad., ON-baser För att baser ska kallas ON-baser måste de uppfylla två kriterier: Vara ortonormala till varandra Ha längden (absolutbeloppet). Gram-Schmidts-Ortogonaliseringsprocess Exempel: Bestäm en ON-bas till vektorrummet V = {x R : x + x + x + x = }. Fyll därefter ut till en bas för hela R. Först skriver vi om lösningsrummet till ett hölje av vektorer. Dessa vektorer är baser för vektorrummet, men inte nödvändigtvis ON-baser. x + x + x + x = x = x + x + x x x + x + x r + s + t x = r = r = r + s + t x s s x t t V= e, e e, vilket är baser för vektorrummet. Med dessa vektorer kan man skapa alla vektorer som uppfyller ekvationen från lösningsrummet. Baserna är dock inte ortonormala. För att bestämma ON-bas för vektorrummet använder man sig av Gram-Schmidts ortogonaliseringsprocess. Sida av

6 Steg I. Normera Vi väljer den första vektorn från höljet och normerar. II. Fyll ut Vi väljer nästa vektor och fyller ut det vi redan har. III. Projicera Projicerar u på f för att få den parallella sträckan. IV. Subtrahera Använder sambandet u = u + u för att få det ortonormala komplementet. Uträkning u = e f = e V = [f ] V = [f, u ] u f = (u f )f = e e e = 6 e = e 9 u = u u = e e = e e = e I. Normera u = e f = e II. Fyll ut V = [f, u ] V = [f, f, u ] III. Projicera u [f,f ] = (u f )f + (u f )f = e e e + e e + e = e + e = 7 e e = IV. Subtrahera I. Normera 9/ /7 6/ = e / /7 6 / + e /7 = e / = e 7 = e 7 u [f,f ] = u u [f,f ] = e e = e e 7 u = 7 e 6 7 f = 6 6 = e e 6 7 Obs! Kontrollera att vektorerna är ortonormala mot varandra (skalärprodukten ska vara noll). Sida 6 av

7 , Minstakvadrat-metoden Minstakvadrat-metoden är en lösningsmetod för ekvationer utan lösningar, med andra ord: Man tar fram den bästa möjliga lösningen (approximationen). Definition: Minsta kvadrat lösningen till ekvationen AX = Y ges av A t AX = A t Y Betydelse: Ger de värden där ey eax blir så litet som möjligt. (Jämför: AX = Y AX Y = ). Sida 7 av

8 Modellproblem Minstakvadrat-metoden kan användas för att approximera en linje/funktion utifrån data, då metoden ger lösningarna som stämmer bäst överens med kriterierna. Exempel: (Uppgift 6,, i häftet) Ange den andragradskurva y = ax + bx + c som i minstakvadratmening bäst ansluter till värdena i tabellen. x y Lösning:. Uttryck y enligt funktionsmodell en.. Ställ upp matrisekvation. x y ax + bx + c a b + c a b + c c a + b + c a + b + c a b + c a b + c c a + b + c a + b + c = a b = c AX = Y. Lös med minstakvadratmetoden. Svar: A t AX = A t Y A = A t = A t A = = A t Y = = 9 a A t AX = A t Y b = c ~ ~ 7 ~ a 7 b = c 76 y = 7 x + x + 76 Sida 8 av

9 Minsta avstånd-problem Då minstakvadrat-metoden ger närmaste lösningen till en olöslig ekvation kan den användas för att ta fram den minsta avståndet mellan två vektorer/plan/vektorrum som inte skär varandra. Idén är att man ställer upp en ekvation om att de ska skära varandra, och genom minsta kvadratmetoden får man fram det minsta avståndet (bästa möjliga lösning). Exempel: (Uppgift från tenta -8-8, uppgift ). Låt v = (,,,, ) och låt U vara lösningsrummet till ekvationssystemet x x x + x + x = x x = Bestäm (minsta) avståndet mellan v och U, dvs. min u U v u Teori: Idén är att ställa upp en ekvation som skulle innebära att v finns i lösningsrummet. Ekvationen blir olöslig (v finns ju inte i lösningsrummet) men genom att lösa problemet med minstakvadratmetoden får man fram den bästa möjliga anpassningen, med andra ord v U. Det minsta möjliga avståndet, min u U v u, är v:s ortogonala komposant mot U: min u U v u = v U, vilket man kan ta fram genom sambandet v = v U + v U (komposantuppdelning av vektorer). Lösning:. Skriv om lösningsrummet till ett hölje av baser (parametrisera).. Ställ upp ekvation enligt idén.. Ställ upp ekvationen i matrisform. x x + x x x r + s t s x r r x = s = s = r + s + t x t t x x s U= e, e, e = [u, u, u ] Idé: Om v hade funnits i lösningsrummet hade det kunnat skrivas som en linjärkombination av baserna: λ u + λ u + λ u = v Ekvationen saknar lösningar, men genom minstakvadrat-metoden får man bästa möjiga anpassning: λ u + λ u + λ u = v U (= v anpassat efter U) λ u + λ u + λ u = v λ + λ + λ λ λ = λ AX = Y =. Lös ekvationen med minstakvadratmetoden. Eftersom systemet är olösbart, vektorn v ligger ju inte i A = A t = Sida 9 av

10 lösningsrummet. Svaret kommer ge koefficienterna till en linjärkombination som beskriver v U. A t A = = A t 8 Y = = λ 8 A t AX = A t Y λ = λ ~ ~ ~ ~ λ λ = / λ /6. Ta fram v U 6 /6 /6 λ v U = (u + u + u ) λ = / = / = / λ /6 /6 /6 / / v U = Ta fram v U v U = v v U v U = 6 = 6 6 = 6 9 = Beräkna avståndet: min u U v u = v U min u U v u = v U = = = 6 = = 8. Svar: min u U v u = Sida av

11 Linjära avbildningar, Linjära avbildningar Syfte En linjär avbildning innebär att man förändrar något efter ett givet villkor. Linjärt innebär att allt är proportionerligt. Linjära avbildningar kan t.ex. vara Förstorning/Förminskning Spegling Vridning Linjär avbildning kan t.ex. och vara att man tittar på ett fåtal riktningar av en vektor, t.ex. att man endast vill se hur en rät linje rör sig i x-led. Matriser Linjära avbildningar brukar beskrivas som vektorn multiplicerat med en avbildningsmatris. F(u) = Au Avbildningsmatrisen anger hur vektorn kommer att avbildas. Kolonnerna i matrisen står för vad avbildningen gör med respektive basvektor. Exempel: F: R R A = F(e ) F(e ) F(e ) Avbildning Matris Vektorn u (blå) Avbildade vektorn, F(u) (grön) Identitetsavbildning A = (avbildar en identisk vektor) - - Skalning: Två gånger i alla A = riktningar. Rotation med vinkeln α cos α sin α A = sin α cos α α Projektion på x-axeln Projektion på y-axeln Spegling i x-led: Alla y-koordinater multipliceras med Spegling i y-led: Alla x-koordinater multipliceras med A = N(F)=e A = A = A = V(F)=e Sida av

12 Räknelagar linjär avbildningar Definition Förklaring F(u + v) = F(u) + F(v) Den linjära avbildningen av summan av två vektorer är samma som summan av den linjära avbildningen för vektorerna var för sig. F(λu) = λf(u) Användbart knep om man behöver dela upp en vektor och ta fram avbildningen i två steg. Linjära avbildningen för en konstant gånger en vektor är samma som konstanten gånger avbildningen för vektorn. Om man tänker geometriskt ter sig lagen ganska logisk., Basbyten Givet att T = f f f ges sambanden f = et X e = TX f Obs! För att ställa upp transformationsmatrisen behövs att basen f uttrycks i basen e. Exempel: f = e, f = e. Ange vektorn v = e i basen f.. Ta fram transformationsmatrisen: T = f f =. Använd bas-sambandet: f = et T = et T = ft. Ta fram inversen till transformationsmatrisen: T = 7. Sätt in uttrycket: v = e = ft = f 7 = f = f 7 7 = f Svar: v = f Sida av

13 , Värderum och nollrum Definition Förklaring F: U V N(F) = {u U: F(u) = } Alla vektorer som blir noll efter att de avbildas. V(F) = {F(u) V: u U} Alla vektorer som får ett värde efter att de avbildas. dim N(F) + dim V(F) = dim U Dimensionen för nollrummet plus dimensionen för värderummet motsvarar dimensionen för vektorrummet (där vi startade). Med andra ord: Nollrummet består av vektorer som uppfyller ekvationen AX = Värderummet är alla vektorer som uppfyller AY = X Exempel: (Uppgift från boken). Bestäm nollrum och värderum för den linjära avbildningen F: R R A = 6 7 Nollrum bestäms: AX = 6 7 Värderum bestäms: AY = X 6 7 x x x x x x ~ x 7 x x x x - x + x ~ x x x x x x + x + x x x + x x x x x + x ~ x x x x x x + x ~ x x 6 x x x x + x x x Nollrum 6 x x x 6x x X = = x x x s x t s t X = s t = s + t s t Svar: N(F) = e, e, dim N(F) = Värderum 6 x x x x + x + x x x + x Ekvationer som ska gälla för att vektorn ska anta ett värde efter avbildningen. Svar: V(F) = x R x : + x + x = x x + x = dim V(F) = Sida av

14 Matrisframställning Ibland när man ställer upp matrisen för en linjäravbildning blir man lite lurad av skrivsättet. Exempel: (Uppgift från tenta -8-8, uppgift ). Den linjära avbildning F: R R definieras av F(x, x, x, x ) = (x + x + x + x, x x, x x x, x + x + x ) Bestäm F:s matris i standardbasen och bestäm bas och dimension för noll- respektive värderum. Lösning: För att ställa upp matrisen tittar vi och jämför med definition för en linjär avbildning: x x x x x x x F(u) = Au F x = x x x x = x x x x x x x x Nollrummet erhålls av lösningarna till ekvationen AX =. Värderummet består höljet som spänner upp matrisen. AX = x x X = x = t t = t x t x x x = x, vilket då är en bas för nollrummet. ~ ~ Värderummet består av matrisens hölje. Från lösningen ser man att det finns ett löjligt element. Beroende ekvationen ger: u + u u + u = u = u + u, dvs. u är ett löjligt element. Värderummet blir då höljet av u, u, u : V(F) = e e e Sida av

15 Spektralteori, Egenvärde och egenvektorer Definition u är en egenvektor om F(u) = λu, En egenvektor blir efter en avbildning sig själv gånger där λ kallas egenvektorns egenvärde. en konstant; med andra ord förlängd eller förkortad. Sekularpolynomet: det(a λi) Sekularekvationen används för att beräkna egenvärdena för en matris. Sekularekvationen: det(a λi) = Följdsatser: Har en matris A till funktionen F lika många olika egenvärden som vektorrummet har dimension blir: o Egenvektorerna linjärt oberoende rätt antal, alltså en bas. o Funktionen F diagonaliserbar. Om matrisen A till funktione F är symmetrisk är egenvektorerna till egenvärdena ortogonala. o F är symmetrisk Det finns en ON-bas bestående av egenvektorer till F Exempel: Bestäm egenvektorer och egenvärden till matrisen A =. Ställ upp och lös sekularekvationen.. Lös ekvationerna (A λi)x = a. λ = (A I)X = b. λ = (A I)X =. Kontroll. Per definition ska egenvektorn gånger matrisen bli sig själv gånger en konstant. det(a λi) = λ λ = ( λ)( λ) ( ) = λ + λ = λ λ + = (λ )(λ ) = λ = λ = ~ ~ X = t t = t. Egenvektor till egenvärdet λ = är u = e ~ ~ X = t = t t. Egenvektor till egenvärdet λ = är u = e Kontroll, λ =. F(u) = Au = = + = Kontroll, λ = F(u) = Au = = = = + Svar: Egenvektorerna är e och e. Anmärkning: Då matrisen A är symmetrisk är egenvektorerna är ortogonala. Sida av

16 , Matrispotenser Matrispotenser är i regel bökiga att beräkna. De enda matrispotenser som är rimliga att beräkna är de diagonala. Om A = a b så blir An = an b n För att kunna beräkna matrispotenser är målet att skriva om matrisen till en diagonalmatris. Detta görs i regel med hjälp av egenvärden. Följande samband gäller: Exempel: (Exempel 8.. från boken). A = 7. Bestäm A7. A e = TA f T A e n = TA f n T Teori: Genom att beräkna egenvärden och egenvektorer kan man ta fram en diagonal matris i basen f. Transformationsmatrisen T ställs upp med baserna. Obs! Alla matriser är inte diagonaliserbara, då blir det problem Lösning:. Beräkna egenvärden för matrisen.. Beräkna egenvektorer: a. λ = (A I)X = b. λ = (A I)X =. Ställ upp transformationsmatri sen och dess invers.. Ställ upp matris i den nya basen.. Utför beräkningen: 6. Svar: λ det(a λi) = 7 λ = ( λ)(7 λ) ( ) = 8 λ + λ + = λ λ + = (λ )(λ ) = λ = λ = 7 ~ 6 ~ ~ X = t/ = t t Egenvektor till egenvärdet λ = är f = e 7 ~ 6 ~ ~ X = t/ = t t Egenvektor till egenvärdet λ = är f = e T = (f f ) = e T = = 6 A f = λ = λ A n e = TA n f T A 7 = TA 7 f T = 7 7 A 7 e = 7 A 7 e = 7 7 = A e 7 = Sida 6 av

17 Tillämpningar av spektralteorin, Andragradsformer Med medelpunkt i origo Med medelpunkt (x, y ) Cirkel x + y = c (x x ) + (y y ) = c Ellips Hyperbel x a + y b x a y b = x x a = ± x x a + y y = b y y = ± b Teckenkaraktär När man ska avgöra hur andragradsformer beter sig är det smidigast att undersöka egenvärdena. Teckenkaraktär Signatur Egenvärden Positiv definit (,, ) Positiva Negativ definit (-,, -) Negativa Positiv semidefinit :or, minst en :a Något positivt, något =. Negativ semidefinit -:or, minst en :a Något negativt, något =. Indefinit Minst en :a, minst en -:a. Något positivt, något negativt. När man arbetar med andragradsformer är det fantastiskt smidigt att göra ett basbyte. Syftet är att lägga koordinatsystemet enligt andragradsformens symmetriaxlar. Detta görs genom att beräkna matrisens egenvärden. Symmetriaxlar = Egenriktningar När man har skvit om andragradsformen till bas av egenvektorer ges koefficienterna av egenvärdena. Då koefficienterna anger hur kurvan beter sig uppstår följande samband: λ min u Q(u) λ max u Likheten gäller om u är egenvektorn till tillhörande egenvärde. Minsta värdet ges av det minsta egenvärdet och erhålls då u är egenvektorn för motsvarande egenvärde. Maximala värdet ges av det största egenvärdet och erhålls då u är egenvektorn för motsvarande egenvärde. Obs! För att använda knepet krävs det att man vet ett värde på u. Metod för att beräkna största och minsta värde för en andragradsform (givet ett värde på u ).. Ställ upp i matrisform. Beräkna egenvärden. Beräkna egenvektor för det minsta egenvärdet.. Beräkna egenvektor för det största egenvärdet.. Minsta värde = minsta egenvärdet motsvarande egenvektor. 6. Största värde = största egenvärdet motsvarande egenvektor. Sida 7 av

18 Exempel: (Uppgift från tenta --, uppgift ). Vilken typ av kurva i R definieras av uttrycket Q(x, x ) = x + 8x x + x = 9 Rita kurvan [ ] i förhållande till x x -systemet. Ange också koordinaterna, i x x -systemet för de punkter som ligger närmast origa. Teori: För att kunna se typen av kurva vill vi se kurvan i förhållande till dess symmetriaxlar. För att göra detta ställer vi upp uttrycket i matrisform och beräknar matrisens egenvärde och egenvektorer(just eftersom symmetriaxlar = egenriktningar). Lösning:. Skriver upp uttrycket i matrisform. Q(x, x ) = x + 8x x + x = (x x )A x x A = 8/ = 8/. Beräkna egenvärden för matrisen. det(a λi) = λ λ = ( λ)( λ) 6 = λ + λ 6 = λ λ + 9 = (λ )(λ 9) = λ = λ = 9. Beräkna egenvektorer. a. λ = (A I)X = X = t t = t b. λ = 9 (A 9I)X = 9 ~ ~ 9 ~ ~ X = t t = t. Definiera ON-bas. f = e, f = e. Skriv om uttrycket. Då vi har vridit koordinatsystemet efter uttryckets symmetriaxlar innebär det att vi inte längre behöver ta hänsyn till förskjutningen (tidigare mittentermen, 8x x ). Egenvärdena till matrisen motsvarar koefficienterna till kvadrattermerna. Vi kallar det nya koordinatsystemet för y y. 6. Rita kurvan. Q(y, y ) = y + 9y = 9 y x y f = e f = e x 7. Ta fram minsta avstånd till origo. 8. Svara i x x -systemet (basen e). Enligt figuren ser man att minsta avstånden mellan ellipsen och origo finns då ellipsen skär y -axeln, alltså då y =. Q(y, y ) = y + 9y = 9, y = 9y = 9 y = ± f f = e ± e Sida 8 av

19 , Differentialekvationer Differentialekvation är ett samband mellan en funktion och dess derivata/derivator. Metoden är att Skriva om ekvationen till matrisform Beräkna egenvärden/egenvektorer Skriva upp lösnigen på formen X(t) = (f f ) C e λ t C e λ (Förutsatt att det var två t ekvationer) Nedan visas två exempel: Först ett där hela härledningen visas och därefter ett där endast snabbregeln visas. Exempel: (Uppgift 9,, från boken). x (t) = x (t) 7x (t) x (t) = x (t) x (t), x () = 8 x () = Sida 9 av

20 Lösning (fullständig):. Skriv om till matrisform.. Beräkna egenvärden.. Beräkna egenvektorer a. λ = (A + I)X = b. λ = (A I)X =. Ställ upp T och T. Skriv om till bas av egenvektorer. 6. Sätt in matriserna och multiplicera ihop. 7. Koppla isär ekvationerna. 8. Använd begynnelsevillkor: Byt först till rätt bas och beräkna därefter konstanterna C 9. Byt tillbaka till rätt bas. X (t) = x (t) = 7 x (t) x (t) = AX(t) x (t) Problemet är att vi har två funktioner beroende av två variabler vardera, alltså för många variabler för att kunna lösa. Lösningen innebär att skriva om det till en bas av egenvektorer, varav man bortser från förskjutningar. det(a λi) = λ 7 λ = ( λ)( λ) ( 7) = λ + λ + = λ λ = + λ 6 = (λ )(λ + ) = λ = ~ 7 ~ X = t t = te = f 7 7 ~ 7 7 ~ X = 7t/ = te 7 t = f Anmärkning: Två skilda egenvektorer till en matris med dimension två innebär att matrisen är diagonliserbar. f = e 7 7 T = T = 7 7 = 7 X (t) = A e X(t) Y (t) = A f Y(t) Y (t) = T A e TY(t) A e = TA f T T A e T = Y (t) = Y(t) Y (t) = 7 Y(t) Y (t) = Y(t) = Y(t) Y (t) = y (t) y (t) = y (t) y (t) Y (t) = y (t) = y (t) y (t) = y (t) y (t) = C e t y (t) = C e t Y() = T X() y () y () = 7 8 = = Y() = C e = C e = C = C = y (t) = e t y (t) = e t ex(t) = fy(t) = f e t 7 t = e e ex(t) = e e t + 7e t e t t + e e t t e A f Obs! Från uppgiften: x () = 8 x () = f = e 7, se punkt.. Skriv svar. x (t) = x (t) 7x (t) x (t) = x (t) x (t) x (t) = e t + 7e t x (t) = e t + e t Sida av

21 Om man tittar tillbaka ser man att lösningen har formen: X(t) = (f f ) C e λ t C e λ t = C e λt f + C e λt f Där f och f är egenvektorer med egenvärdena λ och λ. Detta gäller alltid. Exempel: (Uppgift 9,, a) från häftet). Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationssystemet: Lösning (kort variant): x = x + x x = x + x. Ställer upp i matrisform.. Beräkna egenvärden.. Beräkna egenvektorer. a. λ = b. λ =. Skriv upp matriser.. Svar: X (t) = AX(t) = x x det(a λi) = λ λ = ( λ)( λ) 8 = λ + λ 8 = λ λ = (λ )(λ + ) = λ = λ = + + ~ ~ X = e = f ~ ~ X = e = f X(t) = (f f ) C e λ t C e λ X(t) = t C e t C e X(t) = C e t + C e t C e t + C e t t Sida av

22 6 Sammanfattning Formler och samband som är skönt att kunna utantill Formel/Samband Blandat f = et det T = Vridning det T = Spegling/vridning X e = TX f A e = TA f T v u v u = u u v U = v [f,f ] = (v f )f + (v f )f v = v U + v U = v U + v U Lösning till differentialekvationen X (t) = AX(t): X(t) = (f f ) C e λ t C e λ t = C e λt f + C e λt f Kommentar Basbytesformeln. Kontrollera vid framtagning av ny ON-bas. Koordinatsambandet. Matrissambandet. Anmärkning: Slipper dela på absolutbeloppet i kvadrat då f och f är normerade. Användbart samband. AX = Y A t AX = A t Y Minstakvadrat-metoden. A n e = TA n f T Matrispotenser Härleds från matrissambandet. Obs! Endast vettig om A är diagonaliserbar. min u U v u = v U Minsta avstånd mellan två vektorer som ej ligger i samma vektorrum motsvarar det ortogonala komplementet mellan dessa. Matriser A + B = B + A Addera/subtrahera position för position. AB BA Vid ekvationslösning gäller det att flytta om från rätt håll. AA = A A = I Determinanten är nollskild, det A (AB) = B A Matriserna byter position. (AB) T = B T A T Matriserna byter position Determinanter För ekvationen AX = Y gäller att Om det A har ekvationen en entydig lösning. Om det A = gäller antingen att o Systemet saknar lösning o Systemet har oändligt antal lösningar. Linjära avbildningar F(u) = Au F(λu) = λf(u) F(u + v) = F(u) + F(v) Med resonemanget kan man även sluta sig till att ekvationssystemet AX = har oändligt antal lösningar om det A =. Räknelagar för linjära avbildningar. Kan vara användbara vid svåra uppgifter. A symmetrisk ON bas av egenvektorer Spegling i ett plan: F(u) = u u n Obs! Matrisen kommer vara diagonal i en bas av egenvektorer (tänk: en egenvektor motsvarar normalen, de två andra spänner upp planet.) n u F(u) = u u n Sida av

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll

Läs mer

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002.

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. Läsråd: Detta är ett stöd för dig som vill repetera inför en omtentamen. 1. Börja

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

Dagens ämnen. Kvadratiska former. Andragradskurvor. Matrisform Diagonalisering av kvadratiska former Max/min Teckenkaraktär

Dagens ämnen. Kvadratiska former. Andragradskurvor. Matrisform Diagonalisering av kvadratiska former Max/min Teckenkaraktär Dagens ämnen Kvadratiska former Matrisform Diagonalisering av kvadratiska former Max/min Teckenkaraktär Andragradskurvor De olika kurvtyperna Rita graferna i rätt bas Kvadratiska former a 1 x 1 + a x +

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor. TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)

Läs mer

17. Övningar ÖVNINGAR Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av. x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3

17. Övningar ÖVNINGAR Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av. x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3 192 17 ÖVNINGAR 17. Övningar 17.1. Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av F(eX) = ey = e x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3, G(eX) = e x 1 x 2 x 2 2 x 2 + x 3 Undersök

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer

Lite Linjär Algebra 2017

Lite Linjär Algebra 2017 Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista

Läs mer

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen 86 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR 6.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen Definition 6.36. Låt F : V W vara en linjär avbildning.. Nollrummet till F definierar vi som mängden av alla u V som avbildas på nollvektorn,

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016 SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen

Läs mer

Tentamen i Linjär algebra , 8 13.

Tentamen i Linjär algebra , 8 13. LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: ETE5 Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra 5 8, 8. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. Resultatet meddelas vi e-post. För godkänt räcker

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av

Läs mer

Linjär algebra på 2 45 minuter

Linjär algebra på 2 45 minuter Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna

Läs mer

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra Geometri. Uppgifter, 25 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av linjära

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

Problemsamling i Linjär Algebra II. Erik Darpö

Problemsamling i Linjär Algebra II. Erik Darpö Problemsamling i Linjär Algebra II Erik Darpö ii Notation Inklusion Samma som A B Matriserna A och B är radekvivalenta I n Enhetsmatrisen av storlek n n R n Vektorrummet av alla kolonnvektorer av storlek

Läs mer

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn. KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med

Läs mer

Uppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra

Uppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra Geometri. Uppgifter, 24 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt A = (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av

Läs mer

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM 94 8 EUKLIDISKA RUM 8. Euklidiska rum Definition 8.. En skalärprodukt på vektorrummet V är en funktion som till varje par av element u och v i V ordnar ett reellt tal u v eller u v med följande egenskaper:.

Läs mer

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg Version.8 Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium Mikael Forsberg 8 Den här boken är typsatt av författaren med hjälp av L A TEX. Alla illustrationer är utförda av Mikael Forsberg med hjälp av

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 Allmänt gäller följande: Om lösningen helt saknar förklarande text till beräkningar och formler ges högst två

Läs mer

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I Innehåll En liten tillbakablick:

Läs mer

Kursprogram kursen ETE325 Linjär Algebra, 8 hp, vt 2016.

Kursprogram kursen ETE325 Linjär Algebra, 8 hp, vt 2016. LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Vladimir Tkatjev Kursprogram kursen ETE325 Linjär Algebra, 8 hp, vt 2016. Kursperiod: 18 januari 18 maj Examinator och föreläsare: Vladimir Tkatjev: B-huset,

Läs mer

Exempel :: Spegling i godtycklig linje.

Exempel :: Spegling i godtycklig linje. INNEHÅLL Exempel :: Spegling i godtycklig linje. c Mikael Forsberg :: 6 augusti 05 Sammanfattning:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som

Läs mer

16. Linjära avbildningar

16. Linjära avbildningar 6. Linjära avbildningar 6.. Linjär avbildning Exempel 6.. Betrakta funktionen f : R R, sådan att där a är en konstant. Då gäller att. f(x + y) = a(x + y) = ax + ay = f(x) + f(y). 2. f(λx) = a(λx) = aλx

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 9--6 DAG: Fredag 6 januari 9 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Repetera hur man nner bas för rum som spänns upp av några vektorer Reptetera hur man nner bas för summa och snitt av delrum. Reptetera

Läs mer

M = c c M = 1 3 1

M = c c M = 1 3 1 N-institutionen Mikael Forsberg Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Deadline :: 8 9 4 Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 20

Linjär Algebra, Föreläsning 20 Linjär Algebra, Föreläsning 20 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Symmetriska avbildningar, repetition F : E E sägs vara symmetrisk om (F (u) v) = (u F (v)) gäller för all u, v i det Euklidiksa rummet

Läs mer

12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v

12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v . SINGULÄRA VÄRDEN Vårt huvudresultat sen tidigare är Sats.. Varje n n matris A kan jordaniseras, dvs det finns en inverterbar matris S sån att S AS J där J är en jordanmatris. Om u och v är två kolonnvektorer

Läs mer

Instuderingsuppgifter & Läsanvisningar till Linjär Algebra II för lärare

Instuderingsuppgifter & Läsanvisningar till Linjär Algebra II för lärare Instuderingsuppgifter & Läsanvisningar till Linjär Algebra II för lärare Per Alexandersson February 27, 2013 Abstract Här är läsanvisningar samt några kompletterande uppgifter till materialet i kursboken

Läs mer

där β R. Bestäm de värden på β för vilka operatorn är diagonaliserbar. Ange även för respektive av dessa värden en bas av egenvektorer till F.

där β R. Bestäm de värden på β för vilka operatorn är diagonaliserbar. Ange även för respektive av dessa värden en bas av egenvektorer till F. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA9 Linjär algebra Datum: 7 januari 04 Skrivtid:

Läs mer

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För studenter på distans och campus Linjär algebra maa Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

14. Minsta kvadratmetoden

14. Minsta kvadratmetoden 58 MINSTA KVADRATMETODEN. Minsta kvadratmetoden Eempel.. Det är inte så svårt att komma åt en trasig lampa på golvet för att byta den. Det är bara att gå fram till den. Hur är det om lampan hänger i taket?

Läs mer

För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a 2015 02 26. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31

För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a 2015 02 26. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31 ATM-Matematik Mikael Forsberg 074-4 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma04a 0 0 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:

Läs mer

KTH, Matematik. Övningar till Kapitel , 6.6 och Matrisframställningen A γ av en rotation R γ : R 2 R 2 med vinkeln γ är

KTH, Matematik. Övningar till Kapitel , 6.6 och Matrisframställningen A γ av en rotation R γ : R 2 R 2 med vinkeln γ är KTH, Matematik Övningar till Kapitel 5.5-5.6, 6.6 och 8.3-8.6. Matrisframställningen A γ av en rotation R γ : R R med vinkeln γ är ( cos(γ sin(γ. sin(γ cos(γ Då R α+β = R α R β, är matrisen ( cos(α + β

Läs mer

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t SF624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag måndag, 3 mars 207 Betrakta vektorerna P =, Q = 3, u = Låt l vara linjen som går genom 2 0 P och Q och låt l 2 vara linjen som är parallell med u

Läs mer

Linjär algebra kurs TNA002

Linjär algebra kurs TNA002 Linjär algebra kurs TNA002 Lektionsanteckningar klass ED1 I detta dokument finns ett utdrag av de tavelanteckningar som uppkommit under lektionstid under kursen TNA002. Alltså kan detta dokument långt

Läs mer

16. Linjära avbildningar

16. Linjära avbildningar 66 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR 6. Linjära avbildningar 6.. Linjär avbildning Exempel 6.. Betrakta funktionen f : R R, sådan att där a är en konstant. Då gäller att. f(x + y) =a(x + y) =ax + ay = f(x)+f(y)..

Läs mer

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 009-08-7 DAG: Torsdag 7 augusti 009 TID: 8.30 -.30 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 0

Läs mer

LINJÄRA AVBILDNINGAR

LINJÄRA AVBILDNINGAR LINJÄRA AVBILDNINGAR Xantcha november 05 Linjära avbildningar Definition Definition En avbildning T : R Ñ R (eller R Ñ R ) är linjär om T pau ` bvq at puq ` bt pvq för alla vektorer u, v P R (eller u,

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 9

Linjär Algebra, Föreläsning 9 Linjär Algebra, Föreläsning 9 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Euklidiska rum Vi ska nu införa en extra struktur på vektorrum, en så kallad skalärprodukt, vilken vi kan använda för att definiera längd

Läs mer

2 1 1 s s. M(s) = (b) Beräkna inversen för det minsta positiva heltalsvärdet på s som gör matrisen inverterbar.

2 1 1 s s. M(s) = (b) Beräkna inversen för det minsta positiva heltalsvärdet på s som gör matrisen inverterbar. TM-Matematik Mikael Forsberg 7 Linjär algebra/matematik för ingenjörer maa, maa 5 6 Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel förutom pennor, sudd, linjal, gradskiva. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta

Läs mer

Basbyten och linjära avbildningar

Basbyten och linjära avbildningar Föreläsning 11, Linjär algebra IT VT2008 1 Basbyten och linjära avbildningar Innan vi fortsätter med egenvärden så ska vi titta på hur matrisen för en linjär avbildning beror på vilken bas vi använder.

Läs mer

Basbyte (variabelbyte)

Basbyte (variabelbyte) Basbyte (variabelbyte) En vektors koordinater beror på valet av bas! Tänk på geometriska vektorer här. v har längden 2 och pekar rakt uppåt i papprets plan. Kan vi då skriva v (, 2)? Om vi valt basvektorer

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014 SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 214 Skrivtid: 14.-19. Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Roy Skjelnes Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA HT2013. Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan.

LINJÄR ALGEBRA HT2013. Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan. LINJÄR ALGEBRA HT2013 JONAS WIKLUND Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan. 1. LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM OCH MATRISER 1.1 Introduktion. Till stor del bör du känna till ekvationslösning

Läs mer

Gripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning,

Gripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning, Mat-. Grundkurs i matematik Tentamen och mellanförhörsomtagning,..23 Skriv ditt namn, nummer och övriga uppgifter på varje papper! Räknare eller tabeller får inte användas i detta prov! Gripenberg. Skriv

Läs mer

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0).

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0). TM-Matematik Mikael Forsberg Linjär algebra mk4a Övningstenta LA-. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x = (,, ), x = (,, ) och x = (,, ).. För alla värden på parametern

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 8

Linjär Algebra, Föreläsning 8 Linjär Algebra, Föreläsning 8 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Linjärkombinationer (repetition) Låt v 1, v 2,..., v n vara vektorer i ett vektorrum V. Givet skalärer λ 1, λ 2,..., λ n R så kallas λ

Läs mer

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen 20-0-, kl. 4.00-8.00 TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Richard Lärkäng, telefon: 0703-088304 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna.

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta är en samling kompletterande uppgifter till Linjär Algebra II för lärare. Exemplen är av varierande svårighetsgrad och

Läs mer

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Omfattning: Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll: Olika aspekter av linjära ekvationssystem: skärning mellan geometriska objekt, linjärkombination

Läs mer

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,

Läs mer

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta?

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta? ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - LINJÄR ALGEBRA För att verkligen kunna förstå och tillämpa kvantmekaniken så måste vi veta något om den matematik som ligger till grund för formuleringen av vågfunktionen

Läs mer

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning.

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. Slappdefinition En vektor är en riktad sträcka som får parallellförflyttas. Tänk på vektorn som en pil. Betecknar vektorer med små bokstäver

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 8 Institutionen för matematik KTH 16 november 2016 Matriser och linjära avbildningar Dagens ämnen (kap 3.3 och 3.4): Exempel på linjära avbildningar Nollrum och Bildrum Dimensionssatsen / Rangsatsen

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A 1 a Bestäm de komplexa koefficienterna a, b och c så att polynomet Pz z 3 + az 2 + bz + c har nollställena

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA TOMAS SJÖDIN

LINJÄR ALGEBRA TOMAS SJÖDIN LINJÄR ALGEBRA TOMAS SJÖDIN Innehåll 0 Notation 2 1 Linjära Ekvationssystem 2 2 Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 4 21 Rummen R n och M n 1 7 22 Skalärprodukt 8 3 Linjer 11 31 Linjer på parameterform

Läs mer

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A = 62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt1 2015 Erik Darpö ii 0. Förberedelser Nedanstående uppgifter är avsedda att användas som ett självdiagnostiskt test. Om du har problem med att lösa

Läs mer

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 3

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 3 Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 3 Kapitel 4, 9.2 och 5 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.) Välkommen

Läs mer

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2015-04-18

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2015-04-18 Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 5-4-8 DAG: Lördag 8 april 5 TID: 8.3 -.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA & GEOMETRI

LINJÄR ALGEBRA & GEOMETRI LINJÄR ALGEBRA & GEOMETRI Seriöst, de här e fan allting. DE HÄR ÄR ALLT SKIT DU BEHÖVER, SKIT I ALLT ANNAT. STÅR DE INTE HÄR ÄR DE ONÖDIGT Contents Räkneregler för Vektorer... 2 Multiplikation mellan skalär

Läs mer

Vektorrum. EX. Plan och linjer i rummet genom origo. Allmänt; mängden av lösningar till AX = 0.

Vektorrum. EX. Plan och linjer i rummet genom origo. Allmänt; mängden av lösningar till AX = 0. Vektorrum Denna kurs handlar till stor del om s k linjära rum eller vektorrum. Dessa kan ses som generaliseringar av R n. Skillnaden består främst i att teorin nu blir mer abstrakt. Detta är själva poängen;

Läs mer

(1, 3, 2, 5), (0, 2, 0, 8), (2, 0, 1, 0) och (2, 2, 1, 8)

(1, 3, 2, 5), (0, 2, 0, 8), (2, 0, 1, 0) och (2, 2, 1, 8) 1 Matematiska Institutionen KTH Tentamen på kursen SF1604 (och B1109, för D1, Mars 9, 008, kl: 9:00-14:00 Inga hjälpmedel ät tillåtna 1 poäng totalt eller mer ger minst omdömet Fx 1 poäng totalt eller

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 Institutionen för Matematik LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F Göteborg --9 TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 OBS! NYA KURSEN DAG: Tisdag 9 januari TID: 8.45 -.45 SAL: V Ansvarig:

Läs mer

ALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift

ALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift Vecka ALA-c 6 Innehåll Linearization and Stability RÄKNEÖVNING VECKA. Uppgift 9........................................ Uppgift 9.5...................................... 5 Egenvärdesproblemet 9. Uppgift

Läs mer

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1 Omfattning Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll Olika aspekter av linjära ekvationssystem 1. skärning mellan geometriska

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 JOHAN ASPLUND INNEHÅLL 1 Inre produktrum 1 2 Cauchy-Schwarz olikhet 3 3 Ortogonala projektioner och Gram-Schmidts process 3 4 Uppgifter 4 61:13(a) 4 61:23(a) 4 61:29 5 62:7

Läs mer

Dagens ämnen. Repetition basbyten och linjära avbildningar Diagonalisering Kvadratiska former. Andragradskurvor

Dagens ämnen. Repetition basbyten och linjära avbildningar Diagonalisering Kvadratiska former. Andragradskurvor Seminarium 25 Dagens ämnen Repetition basbyten och linjära avbildningar Diagonalisering Kvadratiska former Matrisform Diagonalisering av kvadratiska former Andragradskurvor De olika kurvtyperna Rita graferna

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta är en samling kompletterande uppgifter till Linjär Algebra II för lärare. Exemplen är av varierande svårighetsgrad och

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA. {x M : P (x)} = {x : P (x)}, TOMAS SJÖDIN. k j=1 Ofta betecknas mängder på följande sätt:

LINJÄR ALGEBRA. {x M : P (x)} = {x : P (x)}, TOMAS SJÖDIN. k j=1 Ofta betecknas mängder på följande sätt: LINJÄR ALGEBRA TOMAS SJÖDIN Innehåll 0 Notation 1 1 Linjära Ekvationssystem 2 2 Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 3 3 Skalärprodukt, Vektorprodukt, Volymprodukt 7 4 Linjer och plan 10 5 Matriser

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning

Läs mer

LINKÖPINGS TEKNISKA HÖGSKOLA Matematiska institutionen Ulf Janfalk 18 september 2014

LINKÖPINGS TEKNISKA HÖGSKOLA Matematiska institutionen Ulf Janfalk 18 september 2014 LINKÖPINGS TEKNISKA HÖGSKOLA Matematiska institutionen 18 september 2014 Kursinformation Linjär Algebra för I1 och Ii1. Examinator: Kurslitteratur: Janfalk, Ulf: Linjär algebra, 2014 Examination: Efter

Läs mer

y z 3 = 0 z 5 16 1 i )

y z 3 = 0 z 5 16 1 i ) ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-433 Sören Hector 7-46686 Rolf Källström 7-6939 Ingenjörer, Lantmätare och Distansstuderande, mfl. Linjär Algebra ma4a 4 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna

Läs mer

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA.

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel. Skriv följande vektorsummor som en vektor a AB + BC b BC + CD + DA..2 Sök i nedanstående figur de vektorer som har samma längd och samma riktning som vektorn

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta kompendie är främst avsett som ett komplement till Tengstrands Linjär algebra med vektorgeometri, [Ten05]. Materialet innehåller

Läs mer

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan Fö 9: November 7, 5 Determinanter och ekvationssystem Betrakta ett linjärt ekvssystem A X = B, där A är en kvadratisk n n)-matris och X, B n )-matriser. Låt C = [A B] utökad matris ). Gausselimination

Läs mer

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26 Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 4-5-6 DAG: Måndag 6 maj 4 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:

Läs mer

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion VEKTORRUMMET R n RYSZARD RUBINSZTEIN 28--8. Introdktion Låt n vara ett heltal. Med R n kommer vi att beteckna mängden vars element är alla n-tipplar av reella tal (a, a 2,..., a n ), R n = { (a, a 2,...,

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Riktade sträckor och Geometriska vektorer En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003

Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Mikael Forsberg 12 augusti 2003 Innehåll 1 Kursbok 2 2 Kursinnehåll 2 2.1 Kursens uppläggning......................... 2 2.2 Målsättning..............................

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 3-II

Mat Grundkurs i matematik 3-II Mat-11532 Grundkurs i matematik 3-II G Gripenberg Aalto-universitetet 2 december 21 G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-11532 Grundkurs i matematik 3-II 2 december 21 1 / 39 1 Ekvationssytem och matrisräkning

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =

Läs mer

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0 Diagonalisering Anm. Begreppet diagonaliserbarhet är relevant endast för linjära avbildningar mellan rum av samma dimension, d.v.s. sådana som representeras av kvadratiska matriser. När vi i fortsättningen

Läs mer