8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM

Transkript

1 94 8 EUKLIDISKA RUM 8. Euklidiska rum Definition 8.. En skalärprodukt på vektorrummet V är en funktion som till varje par av element u och v i V ordnar ett reellt tal u v eller u v med följande egenskaper:. u v = v u 2. u λv = λu v, λ R 3. u v + w = u v + u w, w V 4. u u 0 med likhet precis då u = 0 Ett rum försett med någon skalärprodukt kallas för ett euklidiskt rum. Anmärkning 8.2. Beteckningen f g kommer att användas för f g om V är ett funktionsrum. Exempel 8.3. Låt V = R n med standardskalärprodukten x y x 2 x y = y 2 = x y + x 2 y x n y n. 8.2 x n y n Vidare gäller också x x = x 2 + x x 2 n 0 med likhet endast om alla x j = 0. Villkoren i Definition 8. följer direkt av motsvarande egenskaper hos reella tal. Definition 8.4. Vi låter rummet E n beteckna rummet R n med standardskalärprodukten definierat i 8.2. Anmärkning 8.5. Standardskalärprodukten kan också skrivas som en matrisprodukt: y y 2 x y = x y + x 2 y x n y n = x,x 2,...,x n = xt y, y n dvs x y = x t y.

2 95 Exempel 8.6. Inför en skalärprodukt på V = Ca,b genom f g = b a ftgt dt. Villkoren -3 i Definition 8. följer av räknelagarna för integraler. Vidare är f f = Eftersom av kontinuitet följer att f f = villkor 4 uppfyllt. b a b f 2 tdt 0. a f 2 tdt = 0 bara om ft 0 så är även Anmärkning 8.7. Några av de intressanta följderna i rummet V = Ca,b är {cos jt} j=0 respektive {x n } n=0 som används i ljudteknik respektive approximationsteori. I ett euklidiskt rum kan vi införa begrepp som norm eller längd, avstånd och ortogonalitet. Definition 8.8. Låt V vara ett euklidiskt rum och låt elementen u,v V. Vi definierar. Normen eller längden av elementet u som 2. Avståndet mellan u och v som 3. Elementen u och v är ortogonala om u = u u u v u v = 0 Anmärkning 8.9. För att undvika förväxlingen med absolutbelopps beteckningen kommer norm och avstånd att beteckningas f respektive f g om V är ett funktionsrum. Exempel 8.0. Låt u =,,, t och v =,,, t vara två vektorer i E 4. Normen av u ges av u = = 2. Avståndet mellan u och v ges av Dessutom är dvs u och v är ortogonala. u v = 0, 2, 2,0 t = 2 2. u v = = 0,

3 96 8 EUKLIDISKA RUM Exempel 8.. Låt sint och cos t vara två element i C,π.. Funktionerna sint och cos t är ortogonala i C,π, ty sin t cos t = 2. Normen av sin t respektive cos t ges av sin t = sin 2 t dt = respektive cos t = cos 2 t dt = sin t cos t dt = 2 [sin2 t] π = 0. π cos 2tdt = cos 2tdt = [ 2 [ + sin2t 2 2 sin 2t ] π 2 = π ] π = π. 3. Avståndet mellan sin t och cos t ges av π π π sin t cos t = sin t cos t 2 dt = 2sin t cos tdt = dt = 2π. Alltså är avståndet mellan sint och cos t lika med 2π. Definition 8.2. Låt V vara ett euklidiskt rum.. En ON-mängd är en mängd {e,e 2,...,e n } V sådan att {, om i = j, e i e j = 0, om i j. dvs, sådan att e j :na är inbördes ortogonala och har norm. 2. Om ON-mängden dessutom spänner upp genererar V kallas mängden en ON-bas för det euklidiska rummet V. Exempel 8.3. Mängden {f,f 2 }, där f = 3,2,2t och f 2 = 3 2,, 2t är en ONmängd i E 3, ty f och f 2 är ortogonala, dvs f f 2 = 0 och normerade, dvs f = f 2 =. Vi fyller ut mängden med f 3 = 3 2, 2,t som är ortogonal mot både f och f 2 och är normerad, så att den nya mängden {f,f 2,f 3 } blir en ON-bas i E 3.

4 97 Sats 8.4. Låt {e,e 2,...,e n } vara en mängd i ett euklidiskt rum V. Då gäller följande:. Om {e,e 2,...,e n } är en ON-mängd, så är {e,e 2,...,e n } linjärt oberoende. 2. Om {e,e 2,...,e n } är dessutom en ON-bas och u V, så är u = u e e + u e 2 e u e n e n. Bevis:. Vi visar att ON-mängden {e,e 2,...,e n } är linjärt oberoende, dvs att ekvationen λ e + λ 2 e λ j e j + + λ n e n = har endast den triviala lösningen λ j = 0, j =,2,...,n. Eftersom mängden är ON, dvs e i e j = 0 för i j och e j e j = för i = j, får vi om vi tar skalärprodukten av uttrycket i 8.3 med e j att λ e e j + λ 2 e 2 e j + + λ j e j e j + + λ n e n e j = 0 e j λ 0 + λ λ j + + λ n 0 = 0 λ j = 0. Detta visar att alla λ j = 0, j =,2,...,n och därmed är mängden linjärt oberoende. 2. Om ON-mängden är dessutom en bas för V, så är varje vektor u V en linjärkombination av mängden med koordinaterna u = λ,λ 2,...,λ n t, dvs Tar vi skalärprodukten med e j får vi u = λ e + λ 2 e λ j e j + + λ n e n. u e j = λ e e j + λ 2 e 2 e j + + λ j e j e j + + λ n e n e j u e j = λ 0 + λ λ j + λ n 0 = 0 λ j = u e j. Således ges den j:te koordinaten av och därför gäller att Figur 8.5. λ j = u e j, j =,2,...,n u = u e e + u e 2 e u e n e n.

5 98 8 EUKLIDISKA RUM Exempel 8.6. Vi har i Exempel 8.3 sett att mängden {f,f 2,f 3 }, där f = 3,2,2t, f 2 = 3 2,, 2t och f 3 = 3 2, 2,t, är en ON-bas i E 3. Uttryck u =,2,3 t i {f,f 2,f 3 }. Lösning:

6 99 Definition 8.7. Låt {e,e 2,...,e k } vara en ON-mängd i ett euklidiskt rum V och låt W = [e,e 2,...,e k ] V. Vektorn u W = k u e j e j j= kallas för u:s ortogonala projektion i W. Figur 8.8. k = : k = 2: k 3:

7 00 8 EUKLIDISKA RUM Sats 8.9. Antag att {e,e 2,...,e k } är en ON-mängd i ett euklidiskt rum V och att k W = [e,e 2,...,e k ] V. Låt nu u V vara godtycklig och sätt u W = u e j e j. Då är vektorn u W = u u W. ortogonal mot alla e j :na. 2. ortogonal mot W. j= Bevis:. Eftersom mängden är ON får vi om vi tar skalärprodukten mellan u W och e m där m k, att u W e m = Därmed får vi att k u e j e j e m j= = u e e e m + + u e m e m e m + + u e k e k e m = u e m. u W e m = u e m u W e m = u e m u e m = 0 2. Låt nu u W = [e,e 2,...,e k ], dvs u är en linjärkombination k u = λ j e j där λ j R, j =,2,...,k. Skalärprodukten k k k u W u = u W λ j e j = λ j u W e j = λ j 0 = 0 j= j= j= j= visar att u W är ortogonal mot varje godtyckligt u W, dvs mot W. Figur 8.20.

8 0 Exempel 8.2. Betrakta mängden {e,e 2,e 3 } E 4, där e = 3,2,2,0t, e 2 = 2, 2,,0t 3 och e 3 = 3 2,, 2,0t. a Visa att mängden {e,e 2,e 3 } är en ON-mängd i E 4. b Bestäm en ekvation för linjära höljet W = [e,e 2,e 3 ] i E 4. c Fyll ut mängden till en ON-bas i E 4. d Bestäm koordinaterna för u = 6,3,3,2 t i denna bas. e Dela upp vektorn u = 6,3,3,2 t i summan av två vektorer där den ena ligger i W och den andra är ortogonal mot W dvs i W. Lösning:

9 02 8 EUKLIDISKA RUM Sats Låt {e,e 2,...,e k } vara en ON-mängd i ett euklidiskt rum V och låt W = [e,e 2,...,e k ] V.. Om {e,e 2,...,e k } inte spänner upp V, dvs W V, så finns ett f V sådant att f 0 och som är ortogonalt mot W. Vi säger att f W. 2. En ON-mängd i V t.ex. tomma mängden kan fyllas ut till en ON-bas för V. 3. V har en ON-bas. Bevis:. Antag att dimv = n. Om {e,e 2,...,e k } inte spänner upp V, så gäller att dim W = k < n = dim V. Det finns därför en vektor u / W som kan delas upp enligt Sats 8.9, så att u W = u u W, där u W är ortogonal mot W. Vi sätter f = u W W och beviset är därmed klart. 2. Om {e,e 2,...,e k } spänner upp V, så är vi klara. Annars finns enligt. ovan ett element f som vi kan normera och därmed kunna konstruera ytterligare en basvektor e k+ = f f. Vi fortsätter denna process tills ON-mängden har antal basvektorer lika med n = dim V. 3. Följer av 2. ovan. Figur 8.23.

10 03 Anmärkning Vi har i Sats 8.22 ovan använt beteckningen W. Låt oss ta en närmare titt på detta rum. För ett underrum W = [e,e 2,...,e k ] i ett euklidiskt rum V definierar vi det ortogonala komplementet W till W via W = {f V ; f v = 0 för alla v W }. Sats 8.22 säger också att om {f,f 2,...,f m } är en bas för W, så kan varje vektor u V på ett och endast ett sätt skrivas u = u W + u W, där u W W, u W = u W W, dvs u = λ e + λ 2 e λ k e }{{ k + µ } f + µ 2 f µ m f m. }{{} u W u W Figur Alltså är {e,e 2,...,e k,f,f 2,...,f m } är en bas för V och det följer att dim W + dimw = dim V, k + m = n. Vidare följer Pythagoras sats som säger att om u W och u W är ortogonala, så u 2 = u W 2 + u W 2. Låt nu w W vara godtycklig. Då gäller att u w W och därmed är vektorerna u w och u W ortogonala. Pythagaoras sats ger att u w 2 = u W +u W w = u W w+u W = u W w 2 + u W 2 u W 2 = u u W 2. Figur Detta betyder att av alla vektorer i W ligger vektorn u närmast vektorn u. Avståndet från u till underrummet W ges därmed av u u W 2 = u W 2.

11 04 8 EUKLIDISKA RUM 8.. Gram-Schmidt ortogonaliseringsprocess Exempel G-S process. Låt {v,v 2,...,v n } vara en bas i V. Ur denna bas ska vi nedan konstruera en ON-bas {e,e 2,...,e n } i V. Lösning:. För att bestämma första bas vektorn e bildar vi en hjälpvektor f = v som vi sen normerar och sätter därefter Figur e = f f. Obs. [e ] = [v ] 2. Vi projicerar nu v 2 på [e ] och bildar hjälpvektorn f 2 genom att sätta f 2 = v 2 v 2 e e. Enligt tidigare satser, så är f 2 ortogonal mot [e ]. Återstår att normera. Därför sätter vi Figur e 2 = f 2 f 2. Obs. [e,e 2 ] = [v,v 2 ] 3. Vi konstruerar e 3 genom att projicerar v 3 på [e,e 2 ]. Vi sätter f 3 = v 3 v 3 e e v 3 e 2 e 2, och låter Figur e 3 = f 3 f 3. Obs. [e,e 2,e 3 ] = [v,v 2,e 3 ] Antag nu att vi har konstruerat den j:te basvektorn e j, och skall konstruera e j+. Som tidigare projicerar vi v j+ nu på underrummet av höljet [e,e 2,...,e j ] genom att bilda och därmed får vi att Figur 8.3. f j+ = v j+ v j+ e e v j+ e 2 e v j+ e j e j e j+ = f j+ f j+. Obs. [e,e 2,...,v n ] = [v,v 2,...,v n ]

12 8. Gram-Schmidt ortogonaliseringsprocess 05 Exempel Låt W = [v,v 2,v 3 ] E 4, där v =,,0,0 t, v 2 =,0,,0 t och v 3 =,0,0, t.. Bestäm en ON-bas i W. 2. Utvidga ON-basen i W till en ON-bas för hela E Dela upp vektorn u =,,, t i u = u W + u W, där u W W och u W W. Lösning:

13 06 8 EUKLIDISKA RUM 8.2. Tillämpningar Exempel Betrakta rummet P 2 = [,x,x 2 ] på intervallet [,] med skalärprodukten pxqx dx. Mängden {,x,x 2 } är som bekant en bas i P 2 men inte en ON-bas, ty polynomen q 0 x =, q x = x och q 3 x = x 2 är varken ortogonala eller normerade. T.ex. gäller att q 0 q 2 = q 0 xq 2 xdx = x 2 dx = Vi använder G-S processen på mängden {q 0,q,q 2 } för att konstruera en ON-bas. Normen av första hjälppolynomet r 0 = q 0 ges av r 0 = r 0 r 0 = dx = 2. Första baspolynomet får vi till: Vi bildar hjälppolynomet Eftersom så är Normen av r x = x, ges av p 0 x = Således, är andra baspolynomet Vidare gäller att r0 r 0 r 0x = =. 2 2 r x = q x q p 0 p 0. q p 0 = x 2 dx = 0, r x = q x q p 0 p 0 = x 0 r = r r = p x = x 2 dx = 2 = x r r r x = x = x. 2 2 så att q 2 p 0 = 2 x 2 dx = samt q 2 p = 3 2 x 3 dx = 0, r 2 x = q 2 x q 2 p 0 p 0 q 2 p p = x x = x

14 8.2 Tillämpningar 07 Normen av r 2 är r 2 = r 2 r 2 = x dx = Sätt p 2 x = x 2 { 3 45 och mängden {p 0,p,p 2 } = 2, x, x 2 } blir en ON-bas i P 2. Exempel Betrakta funktionen fx = e x på intervallet [,]. Från analysen vet vi att maclaurinpolynomet qx = + x + x2 2 är det polynom q P 2 som bäst approximerar fx = e x kring punkten x = 0. Om vi beräknar avtåndet dvs felet från f till q, får vi f q = f q f q = fx qx 2 dx = I Exempel 8.33 ovan konstruerade vi ON-basen {p 0,p,p 2 } = e x x x2 2 dx { 3 2, x, 2 45 x 2 } 3 8 i P 2. Funktionen fx = e x / P 2 kan projiceras ortogonalt på P 2 i syfte att ta fram det polynom p P 2 som bäst approximerar e x på [,], dvs har kortast avstånd och därmed också minst fel till e x. Ortogonala projektionen av e x på [p 0,p,p 2 ] ges enligt Definition 8.7 av polynomet px = e x p 0 p 0 + e x p p + e x p 2 p Eftersom och e x p 2 = e x p 0 = e x p = e x e x e x dx = e e, xdx = 2e, x e dx = e. 3 så får vi om vi sätter in dessa koefficienter i polynomet px i 8.4 och förenklar: Avståndet blir då px = 3e e 4 + 3e x + 5e 7e x 2. 4 f p = e x px 2 dx Felet här är klart mindre än när vi approximerade med taylorpolynomet qx. Detta har sin förklaring i att taylorpolynomet qx tar hänsyn till f endast lokalt, dvs bara i närheten av x = 0, medan px tar hänsyn till f globalt, dvs på hela intervallet [,].

15 08 8 EUKLIDISKA RUM Figur fx=e x e x px P 2 p 2 x p x px qx p 0 x Figur y e x px x

16 8.2 Tillämpningar 09 Trigonometriska funktioner är lämpliga att approximera med i situationer där vågor förekommer; dessa kan vara ljud och svängningssystem m.m. En annan fördel som trigonometriska funktioner har gentemot t.ex taylorpolynom är om man vill approximera en funktion med taylorpolynom av grad n så krävs av funktionen att vara n gånger kontinuerligt deriverbar. Nedan ska vi approximera en funktion som inte ens är kontinuerlig. Exempel Betrakta rummet av kontinuerliga funktioner C, π med skalärprodukten fxgx dx. Vi har tidigare visat att följden {cos jx} j=0 är linjärt oberoende C,π. Man kan på samma sätt visa att även följden {sin jx} j=0 är linjärt oberoende C,π. Det gäller faktiskt mer än så. Enligt Exempel 8., så är cos x och sin x ortogonala. Detta är ingen slump. I själva verket är mängden {,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x,cos 3x,...} ortogonal och normerad ser den ut enligt { 2π, π cos x, π sin x, π cos 2x, π sin2x, } cos 3x,.... π Låt oss bevisa detta. Ortogonala:. cos x = 2. sin x = 3. j ±k: 4. j ±k: cos xdx = 0. sin xdx = 0. cos jx cos kx = cos jxcos kxdx = cosj kx + cosj + kxdx 2 = [ sinj kx sinj + kx ] π + 2 j k j + k = 0. sin jx sin kx = 2 5. j ±k: sin jx cos kx = 2 = cosj kx cosj+kxdx [ sinj kx sinj + kx ] π + 2 j k j + k = 0. = sinj kx+sinj+kxdx [ cosj kx cosj + kx ] π + 2 j k j + k = j = k: sin kx cos kx = 2 sin 2kxdx = 0.

17 0 8 EUKLIDISKA RUM Normerade om j = ±k:. π cos jx cos jx = π π π sin jx sin jx = π π cos 2 jxdx = 2π 2. sin 2 jxdx = 2π Betrakta nu periodiska fyrkantsvågen fx = Figur cos 2jxdx =. cos 2jxdx =., 0 < x < π, 0, x = 0,, < x < 0, med perioden 2π. y π x Projicerar vi nu f på linjära höljet av ON-mängden [ 2π, π cos x, π sinx, π cos 2x, π sin 2x, ] cos 3x,... π får vi att ortogonala projektionen g av f ges enligt: gx = f + f cos x cos x + f sinx sinx cos 2x cos 2x + f π 2π π π π π π π Eftersom f är udda följer att fx cos jx är udda över det symmetriska intervallet [, π], och därmed gäller cos jx f = π π så att ortogonala projektionen g i 8.5 är reducerad till fxcos jxdx = 0 j = 0,,2,..., gx = f sin x sin x sin 2x sin 2x + f + f sin3x sin 3x + = π π π π π π f sinjx sin jx. π π j= 8.6

18 8.2 Tillämpningar Vidare gäller att fxsin jx är jämn och då sin jx f π = π fxsin jxdx = 2 π = {j 0} = 2 [cos jx] π π j 0 = 2 cos jπ π j Vi ser att om j är jämnt, dvs j = 2k, så är Om j är udda, dvs j = 2k +, så sin 2kx f = 2 2k π π 2k sin2k + x f = 2 2k+ π π 2k + 0 fxsin jxdx = 2 π = 2 π 2k = 0. = 2 j. π j = 2 π 2k + = 2 π 2 2k +. Utnyttjar vi detta i 8.6 får vi att ortogonala projektionen g är alltså gx = 4 π k=0 sin2k + x. 2k + 0 sin jxdx Figur Figurerna nedan visar hur g approximerar f då g är a 2 termer, b 4 termer, c 6 termer, d 8 termer

19 2 8 EUKLIDISKA RUM Utvecklingen av en funtion f som den i 8.5 kallas för Fourierserie. Som ni ser i figurerna så approximerar inte trigonometriskaserien g funktionen f i varje punkt utan g har minst avstånd fel till f vilket mäts i norm, dvs lim N fx 4 π N k=0 Vi säger också att g konvergerar mot f i norm. 2k + sin2k + x = 0. En stor klass av funktioner, styckvis kontinuerliga, kan fourieserieutvecklas: fx a a n cos nx + b n sin nx, n= där a n = π b n = π fxcos nxdx, n = 0,,2,..., fxsin nxdx, n =,2,.... Mer om fourierserier kommer vi träffa på i kurser som bildbehandling, reglerteknik, signalbehandling och transformteori.

20 3 9. Minsta kvadratmetoden Exempel 9.. Det är inte så svårt att komma åt en trasig lampa på golvet för att byta den. Det är bara att gå fram till den. Hur är det om lampan hänger upp i taket? Var ställer man sig för att komma så nära lampan som möjligt. Lösning: Låt oss välja en av rummets punkter till origo och låt vektorerna u = v = och spänna upp golvet. Antag att lampan befinner sig i en punkt med ortsvektorn b. Då kan problemet formuleras matematiskt som att söka lösning till ekvationssystemet x u + x 2 v = b. Om lampan ligger på golvet, dvs b är en linjärkombination av u och v, så har ekvationssystemet en lösning. Då är det bara att gå fram till lampan. Figur 9.2. v b u Om däremot lampan hänger högt upp i taket, betyder det att vektorn b inte är en linjärkombination av u och v, dvs ekvationssystemet 0 0 x u+x 2 v = b x 0 +x 2 = 0 x = Ax = b x saknar lösning. Man söker självklart att minimera avståndet Ax b, dvs man ställer sig naturligtvis rakt under lampan.

21 4 9 MINSTA KVADRATMETODEN Vi ska i det här avsnittet försöka ge svar på följande frågeställning: Problem: Sök x så att Ax blir närmaste vektorn till b, dvs minimera avståndet felet Ax b. Figur 9.3. b b AX * v Ax * Ax u Enligt Sats 8.22 och Anmärkning 8.24 löser tydligen den ortogonala projektionen av b på planet vårt problem, ty den har kortast avstånd till b. Vi väljer x så att vektorn b Ax är ortogonal mot planet, dvs { u Ax b = 0 v Ax b = 0 Vi skriver om skalärprodukten som en matrisprodukt i stället: { u t Ax b = 0 v t Ax b = 0 dvs u t v t Ax b = 0. I den första parentesen står alltså A :s kolonner u t och v t omställda som rader, dvs A t Ax b = 0 A t Ax = A t b.

22 5 Definition 9.4. Sambandet A t Ax = A t b 9.3 kallas för normalekvationen och x för en minsta kvadratlösning till Ax = b. Observera: Matrisen A t A är symmetrisk. Vi går tillbaka till Exempel 9. och löser normalekvationen: 0 A t Ax = A t 0 0 b 0 x 0 0 = 0 0 x Förenkling ger 0 0 x x 2 = Minsta kvadratlösningen till ekvationssystemet 9.2 är då x = Vi beräknar också felet. Eftersom b Ax = = 0 0,.. blir felet Ax b =.

23 6 9 MINSTA KVADRATMETODEN Exempel 9.5. Bestäm i minsta kvadratmening en lösning till Lösning: Man vill lösa ekvationen 2 x x 2 = x + x 2 = 6 2x + x 2 = 9 x 2x 2 = Lös normalekvationen A t Ax = A t b, så fås en minsta kvadratlösning, dvs Ax = b. x x 2 = 7 4. Exempel 9.6. Avgör för vilka värden på konstanten a som ekvationssystemet x + y + z = 0 x + ay + 2z = x + 2y + az = saknar lösning. Bestäm för dessa värden på a en minsta kvadratlösning till ekvationssystemet. Lösning: a 2 2 a = 0 a = 0, a = 2. Systemet har alltså entydig lösning för a 0,2. För a = 0 har systemet oändligt många lösningar. Medan för a = 2 saknar systemet lösning. För detta a = 2 bestämmer vi en minsta kvadratlösning till ekvationen Ax = b, 0 dvs en lösning till normalekvationen A t Ax = A t b där A = 2 2 och b =. 2 2 Minsta kvadratlösningen är x, y, z = t0,,.

24 7 Exempel 9.7. Anpassa en rät linje, y = kx+m, på bästa möjliga sätt till följande mätdata: x y Lösning: Sätter vi in mätdata i linjens ekvation får vi ekvationsystemet: 2k + m = 2 k + m = 5 0k + m = 2 dvs 0 k 5 = k + m = 7 m 2 dvs Ax = b. 7 2k + m = Lös normalekvationen A t Ax = A t b så fås x = y = 0 3 x + 5. Figur 9.8. y k m y=0x/3+5 = dvs bästa linjen är x

25 8 9 MINSTA KVADRATMETODEN Exempel 9.9. Bestäm i minsta kvadratmening en lösning till x + y + z = x + y z = x y + z = x + y + z =. Beräkna också felet. Lösning:

26 9 Exempel 9.0. Rita den linje som i minsta kvadratmening bäst ansluter till punkterna x y Beräkna också felet. Lösning:

27 20 9 MINSTA KVADRATMETODEN Exempel 9.. Sätt W = [v,v 2 ] E 4, där v =,,,0 t, v 2 =,,0, t. Ange en ON-bas i W. Skriv u = u + u, där u W och u W. Välj sedan w så att u w är minimalt. Ange också minimum. Lösning: