8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM"

Transkript

1 94 8 EUKLIDISKA RUM 8. Euklidiska rum Definition 8.. En skalärprodukt på vektorrummet V är en funktion som till varje par av element u och v i V ordnar ett reellt tal u v eller u v med följande egenskaper:. u v = v u 2. u λv = λu v, λ R 3. u v + w = u v + u w, w V 4. u u 0 med likhet precis då u = 0 Ett rum försett med någon skalärprodukt kallas för ett euklidiskt rum. Anmärkning 8.2. Beteckningen f g kommer att användas för f g om V är ett funktionsrum. Exempel 8.3. Låt V = R n med standardskalärprodukten x y x 2 x y = y 2 = x y + x 2 y x n y n. 8.2 x n y n Vidare gäller också x x = x 2 + x x 2 n 0 med likhet endast om alla x j = 0. Villkoren i Definition 8. följer direkt av motsvarande egenskaper hos reella tal. Definition 8.4. Vi låter rummet E n beteckna rummet R n med standardskalärprodukten definierat i 8.2. Anmärkning 8.5. Standardskalärprodukten kan också skrivas som en matrisprodukt: y y 2 x y = x y + x 2 y x n y n = x,x 2,...,x n = xt y, y n dvs x y = x t y.

2 95 Exempel 8.6. Inför en skalärprodukt på V = Ca,b genom f g = b a ftgt dt. Villkoren -3 i Definition 8. följer av räknelagarna för integraler. Vidare är f f = Eftersom av kontinuitet följer att f f = villkor 4 uppfyllt. b a b f 2 tdt 0. a f 2 tdt = 0 bara om ft 0 så är även Anmärkning 8.7. Några av de intressanta följderna i rummet V = Ca,b är {cos jt} j=0 respektive {x n } n=0 som används i ljudteknik respektive approximationsteori. I ett euklidiskt rum kan vi införa begrepp som norm eller längd, avstånd och ortogonalitet. Definition 8.8. Låt V vara ett euklidiskt rum och låt elementen u,v V. Vi definierar. Normen eller längden av elementet u som 2. Avståndet mellan u och v som 3. Elementen u och v är ortogonala om u = u u u v u v = 0 Anmärkning 8.9. För att undvika förväxlingen med absolutbelopps beteckningen kommer norm och avstånd att beteckningas f respektive f g om V är ett funktionsrum. Exempel 8.0. Låt u =,,, t och v =,,, t vara två vektorer i E 4. Normen av u ges av u = = 2. Avståndet mellan u och v ges av Dessutom är dvs u och v är ortogonala. u v = 0, 2, 2,0 t = 2 2. u v = = 0,

3 96 8 EUKLIDISKA RUM Exempel 8.. Låt sint och cos t vara två element i C,π.. Funktionerna sint och cos t är ortogonala i C,π, ty sin t cos t = 2. Normen av sin t respektive cos t ges av sin t = sin 2 t dt = respektive cos t = cos 2 t dt = sin t cos t dt = 2 [sin2 t] π = 0. π cos 2tdt = cos 2tdt = [ 2 [ + sin2t 2 2 sin 2t ] π 2 = π ] π = π. 3. Avståndet mellan sin t och cos t ges av π π π sin t cos t = sin t cos t 2 dt = 2sin t cos tdt = dt = 2π. Alltså är avståndet mellan sint och cos t lika med 2π. Definition 8.2. Låt V vara ett euklidiskt rum.. En ON-mängd är en mängd {e,e 2,...,e n } V sådan att {, om i = j, e i e j = 0, om i j. dvs, sådan att e j :na är inbördes ortogonala och har norm. 2. Om ON-mängden dessutom spänner upp genererar V kallas mängden en ON-bas för det euklidiska rummet V. Exempel 8.3. Mängden {f,f 2 }, där f = 3,2,2t och f 2 = 3 2,, 2t är en ONmängd i E 3, ty f och f 2 är ortogonala, dvs f f 2 = 0 och normerade, dvs f = f 2 =. Vi fyller ut mängden med f 3 = 3 2, 2,t som är ortogonal mot både f och f 2 och är normerad, så att den nya mängden {f,f 2,f 3 } blir en ON-bas i E 3.

4 97 Sats 8.4. Låt {e,e 2,...,e n } vara en mängd i ett euklidiskt rum V. Då gäller följande:. Om {e,e 2,...,e n } är en ON-mängd, så är {e,e 2,...,e n } linjärt oberoende. 2. Om {e,e 2,...,e n } är dessutom en ON-bas och u V, så är u = u e e + u e 2 e u e n e n. Bevis:. Vi visar att ON-mängden {e,e 2,...,e n } är linjärt oberoende, dvs att ekvationen λ e + λ 2 e λ j e j + + λ n e n = har endast den triviala lösningen λ j = 0, j =,2,...,n. Eftersom mängden är ON, dvs e i e j = 0 för i j och e j e j = för i = j, får vi om vi tar skalärprodukten av uttrycket i 8.3 med e j att λ e e j + λ 2 e 2 e j + + λ j e j e j + + λ n e n e j = 0 e j λ 0 + λ λ j + + λ n 0 = 0 λ j = 0. Detta visar att alla λ j = 0, j =,2,...,n och därmed är mängden linjärt oberoende. 2. Om ON-mängden är dessutom en bas för V, så är varje vektor u V en linjärkombination av mängden med koordinaterna u = λ,λ 2,...,λ n t, dvs Tar vi skalärprodukten med e j får vi u = λ e + λ 2 e λ j e j + + λ n e n. u e j = λ e e j + λ 2 e 2 e j + + λ j e j e j + + λ n e n e j u e j = λ 0 + λ λ j + λ n 0 = 0 λ j = u e j. Således ges den j:te koordinaten av och därför gäller att Figur 8.5. λ j = u e j, j =,2,...,n u = u e e + u e 2 e u e n e n.

5 98 8 EUKLIDISKA RUM Exempel 8.6. Vi har i Exempel 8.3 sett att mängden {f,f 2,f 3 }, där f = 3,2,2t, f 2 = 3 2,, 2t och f 3 = 3 2, 2,t, är en ON-bas i E 3. Uttryck u =,2,3 t i {f,f 2,f 3 }. Lösning:

6 99 Definition 8.7. Låt {e,e 2,...,e k } vara en ON-mängd i ett euklidiskt rum V och låt W = [e,e 2,...,e k ] V. Vektorn u W = k u e j e j j= kallas för u:s ortogonala projektion i W. Figur 8.8. k = : k = 2: k 3:

7 00 8 EUKLIDISKA RUM Sats 8.9. Antag att {e,e 2,...,e k } är en ON-mängd i ett euklidiskt rum V och att k W = [e,e 2,...,e k ] V. Låt nu u V vara godtycklig och sätt u W = u e j e j. Då är vektorn u W = u u W. ortogonal mot alla e j :na. 2. ortogonal mot W. j= Bevis:. Eftersom mängden är ON får vi om vi tar skalärprodukten mellan u W och e m där m k, att u W e m = Därmed får vi att k u e j e j e m j= = u e e e m + + u e m e m e m + + u e k e k e m = u e m. u W e m = u e m u W e m = u e m u e m = 0 2. Låt nu u W = [e,e 2,...,e k ], dvs u är en linjärkombination k u = λ j e j där λ j R, j =,2,...,k. Skalärprodukten k k k u W u = u W λ j e j = λ j u W e j = λ j 0 = 0 j= j= j= j= visar att u W är ortogonal mot varje godtyckligt u W, dvs mot W. Figur 8.20.

8 0 Exempel 8.2. Betrakta mängden {e,e 2,e 3 } E 4, där e = 3,2,2,0t, e 2 = 2, 2,,0t 3 och e 3 = 3 2,, 2,0t. a Visa att mängden {e,e 2,e 3 } är en ON-mängd i E 4. b Bestäm en ekvation för linjära höljet W = [e,e 2,e 3 ] i E 4. c Fyll ut mängden till en ON-bas i E 4. d Bestäm koordinaterna för u = 6,3,3,2 t i denna bas. e Dela upp vektorn u = 6,3,3,2 t i summan av två vektorer där den ena ligger i W och den andra är ortogonal mot W dvs i W. Lösning:

9 02 8 EUKLIDISKA RUM Sats Låt {e,e 2,...,e k } vara en ON-mängd i ett euklidiskt rum V och låt W = [e,e 2,...,e k ] V.. Om {e,e 2,...,e k } inte spänner upp V, dvs W V, så finns ett f V sådant att f 0 och som är ortogonalt mot W. Vi säger att f W. 2. En ON-mängd i V t.ex. tomma mängden kan fyllas ut till en ON-bas för V. 3. V har en ON-bas. Bevis:. Antag att dimv = n. Om {e,e 2,...,e k } inte spänner upp V, så gäller att dim W = k < n = dim V. Det finns därför en vektor u / W som kan delas upp enligt Sats 8.9, så att u W = u u W, där u W är ortogonal mot W. Vi sätter f = u W W och beviset är därmed klart. 2. Om {e,e 2,...,e k } spänner upp V, så är vi klara. Annars finns enligt. ovan ett element f som vi kan normera och därmed kunna konstruera ytterligare en basvektor e k+ = f f. Vi fortsätter denna process tills ON-mängden har antal basvektorer lika med n = dim V. 3. Följer av 2. ovan. Figur 8.23.

10 03 Anmärkning Vi har i Sats 8.22 ovan använt beteckningen W. Låt oss ta en närmare titt på detta rum. För ett underrum W = [e,e 2,...,e k ] i ett euklidiskt rum V definierar vi det ortogonala komplementet W till W via W = {f V ; f v = 0 för alla v W }. Sats 8.22 säger också att om {f,f 2,...,f m } är en bas för W, så kan varje vektor u V på ett och endast ett sätt skrivas u = u W + u W, där u W W, u W = u W W, dvs u = λ e + λ 2 e λ k e }{{ k + µ } f + µ 2 f µ m f m. }{{} u W u W Figur Alltså är {e,e 2,...,e k,f,f 2,...,f m } är en bas för V och det följer att dim W + dimw = dim V, k + m = n. Vidare följer Pythagoras sats som säger att om u W och u W är ortogonala, så u 2 = u W 2 + u W 2. Låt nu w W vara godtycklig. Då gäller att u w W och därmed är vektorerna u w och u W ortogonala. Pythagaoras sats ger att u w 2 = u W +u W w = u W w+u W = u W w 2 + u W 2 u W 2 = u u W 2. Figur Detta betyder att av alla vektorer i W ligger vektorn u närmast vektorn u. Avståndet från u till underrummet W ges därmed av u u W 2 = u W 2.

11 04 8 EUKLIDISKA RUM 8.. Gram-Schmidt ortogonaliseringsprocess Exempel G-S process. Låt {v,v 2,...,v n } vara en bas i V. Ur denna bas ska vi nedan konstruera en ON-bas {e,e 2,...,e n } i V. Lösning:. För att bestämma första bas vektorn e bildar vi en hjälpvektor f = v som vi sen normerar och sätter därefter Figur e = f f. Obs. [e ] = [v ] 2. Vi projicerar nu v 2 på [e ] och bildar hjälpvektorn f 2 genom att sätta f 2 = v 2 v 2 e e. Enligt tidigare satser, så är f 2 ortogonal mot [e ]. Återstår att normera. Därför sätter vi Figur e 2 = f 2 f 2. Obs. [e,e 2 ] = [v,v 2 ] 3. Vi konstruerar e 3 genom att projicerar v 3 på [e,e 2 ]. Vi sätter f 3 = v 3 v 3 e e v 3 e 2 e 2, och låter Figur e 3 = f 3 f 3. Obs. [e,e 2,e 3 ] = [v,v 2,e 3 ] Antag nu att vi har konstruerat den j:te basvektorn e j, och skall konstruera e j+. Som tidigare projicerar vi v j+ nu på underrummet av höljet [e,e 2,...,e j ] genom att bilda och därmed får vi att Figur 8.3. f j+ = v j+ v j+ e e v j+ e 2 e v j+ e j e j e j+ = f j+ f j+. Obs. [e,e 2,...,v n ] = [v,v 2,...,v n ]

12 8. Gram-Schmidt ortogonaliseringsprocess 05 Exempel Låt W = [v,v 2,v 3 ] E 4, där v =,,0,0 t, v 2 =,0,,0 t och v 3 =,0,0, t.. Bestäm en ON-bas i W. 2. Utvidga ON-basen i W till en ON-bas för hela E Dela upp vektorn u =,,, t i u = u W + u W, där u W W och u W W. Lösning:

13 06 8 EUKLIDISKA RUM 8.2. Tillämpningar Exempel Betrakta rummet P 2 = [,x,x 2 ] på intervallet [,] med skalärprodukten pxqx dx. Mängden {,x,x 2 } är som bekant en bas i P 2 men inte en ON-bas, ty polynomen q 0 x =, q x = x och q 3 x = x 2 är varken ortogonala eller normerade. T.ex. gäller att q 0 q 2 = q 0 xq 2 xdx = x 2 dx = Vi använder G-S processen på mängden {q 0,q,q 2 } för att konstruera en ON-bas. Normen av första hjälppolynomet r 0 = q 0 ges av r 0 = r 0 r 0 = dx = 2. Första baspolynomet får vi till: Vi bildar hjälppolynomet Eftersom så är Normen av r x = x, ges av p 0 x = Således, är andra baspolynomet Vidare gäller att r0 r 0 r 0x = =. 2 2 r x = q x q p 0 p 0. q p 0 = x 2 dx = 0, r x = q x q p 0 p 0 = x 0 r = r r = p x = x 2 dx = 2 = x r r r x = x = x. 2 2 så att q 2 p 0 = 2 x 2 dx = samt q 2 p = 3 2 x 3 dx = 0, r 2 x = q 2 x q 2 p 0 p 0 q 2 p p = x x = x

14 8.2 Tillämpningar 07 Normen av r 2 är r 2 = r 2 r 2 = x dx = Sätt p 2 x = x 2 { 3 45 och mängden {p 0,p,p 2 } = 2, x, x 2 } blir en ON-bas i P 2. Exempel Betrakta funktionen fx = e x på intervallet [,]. Från analysen vet vi att maclaurinpolynomet qx = + x + x2 2 är det polynom q P 2 som bäst approximerar fx = e x kring punkten x = 0. Om vi beräknar avtåndet dvs felet från f till q, får vi f q = f q f q = fx qx 2 dx = I Exempel 8.33 ovan konstruerade vi ON-basen {p 0,p,p 2 } = e x x x2 2 dx { 3 2, x, 2 45 x 2 } 3 8 i P 2. Funktionen fx = e x / P 2 kan projiceras ortogonalt på P 2 i syfte att ta fram det polynom p P 2 som bäst approximerar e x på [,], dvs har kortast avstånd och därmed också minst fel till e x. Ortogonala projektionen av e x på [p 0,p,p 2 ] ges enligt Definition 8.7 av polynomet px = e x p 0 p 0 + e x p p + e x p 2 p Eftersom och e x p 2 = e x p 0 = e x p = e x e x e x dx = e e, xdx = 2e, x e dx = e. 3 så får vi om vi sätter in dessa koefficienter i polynomet px i 8.4 och förenklar: Avståndet blir då px = 3e e 4 + 3e x + 5e 7e x 2. 4 f p = e x px 2 dx Felet här är klart mindre än när vi approximerade med taylorpolynomet qx. Detta har sin förklaring i att taylorpolynomet qx tar hänsyn till f endast lokalt, dvs bara i närheten av x = 0, medan px tar hänsyn till f globalt, dvs på hela intervallet [,].

15 08 8 EUKLIDISKA RUM Figur fx=e x e x px P 2 p 2 x p x px qx p 0 x Figur y e x px x

16 8.2 Tillämpningar 09 Trigonometriska funktioner är lämpliga att approximera med i situationer där vågor förekommer; dessa kan vara ljud och svängningssystem m.m. En annan fördel som trigonometriska funktioner har gentemot t.ex taylorpolynom är om man vill approximera en funktion med taylorpolynom av grad n så krävs av funktionen att vara n gånger kontinuerligt deriverbar. Nedan ska vi approximera en funktion som inte ens är kontinuerlig. Exempel Betrakta rummet av kontinuerliga funktioner C, π med skalärprodukten fxgx dx. Vi har tidigare visat att följden {cos jx} j=0 är linjärt oberoende C,π. Man kan på samma sätt visa att även följden {sin jx} j=0 är linjärt oberoende C,π. Det gäller faktiskt mer än så. Enligt Exempel 8., så är cos x och sin x ortogonala. Detta är ingen slump. I själva verket är mängden {,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x,cos 3x,...} ortogonal och normerad ser den ut enligt { 2π, π cos x, π sin x, π cos 2x, π sin2x, } cos 3x,.... π Låt oss bevisa detta. Ortogonala:. cos x = 2. sin x = 3. j ±k: 4. j ±k: cos xdx = 0. sin xdx = 0. cos jx cos kx = cos jxcos kxdx = cosj kx + cosj + kxdx 2 = [ sinj kx sinj + kx ] π + 2 j k j + k = 0. sin jx sin kx = 2 5. j ±k: sin jx cos kx = 2 = cosj kx cosj+kxdx [ sinj kx sinj + kx ] π + 2 j k j + k = 0. = sinj kx+sinj+kxdx [ cosj kx cosj + kx ] π + 2 j k j + k = j = k: sin kx cos kx = 2 sin 2kxdx = 0.

17 0 8 EUKLIDISKA RUM Normerade om j = ±k:. π cos jx cos jx = π π π sin jx sin jx = π π cos 2 jxdx = 2π 2. sin 2 jxdx = 2π Betrakta nu periodiska fyrkantsvågen fx = Figur cos 2jxdx =. cos 2jxdx =., 0 < x < π, 0, x = 0,, < x < 0, med perioden 2π. y π x Projicerar vi nu f på linjära höljet av ON-mängden [ 2π, π cos x, π sinx, π cos 2x, π sin 2x, ] cos 3x,... π får vi att ortogonala projektionen g av f ges enligt: gx = f + f cos x cos x + f sinx sinx cos 2x cos 2x + f π 2π π π π π π π Eftersom f är udda följer att fx cos jx är udda över det symmetriska intervallet [, π], och därmed gäller cos jx f = π π så att ortogonala projektionen g i 8.5 är reducerad till fxcos jxdx = 0 j = 0,,2,..., gx = f sin x sin x sin 2x sin 2x + f + f sin3x sin 3x + = π π π π π π f sinjx sin jx. π π j= 8.6

18 8.2 Tillämpningar Vidare gäller att fxsin jx är jämn och då sin jx f π = π fxsin jxdx = 2 π = {j 0} = 2 [cos jx] π π j 0 = 2 cos jπ π j Vi ser att om j är jämnt, dvs j = 2k, så är Om j är udda, dvs j = 2k +, så sin 2kx f = 2 2k π π 2k sin2k + x f = 2 2k+ π π 2k + 0 fxsin jxdx = 2 π = 2 π 2k = 0. = 2 j. π j = 2 π 2k + = 2 π 2 2k +. Utnyttjar vi detta i 8.6 får vi att ortogonala projektionen g är alltså gx = 4 π k=0 sin2k + x. 2k + 0 sin jxdx Figur Figurerna nedan visar hur g approximerar f då g är a 2 termer, b 4 termer, c 6 termer, d 8 termer

19 2 8 EUKLIDISKA RUM Utvecklingen av en funtion f som den i 8.5 kallas för Fourierserie. Som ni ser i figurerna så approximerar inte trigonometriskaserien g funktionen f i varje punkt utan g har minst avstånd fel till f vilket mäts i norm, dvs lim N fx 4 π N k=0 Vi säger också att g konvergerar mot f i norm. 2k + sin2k + x = 0. En stor klass av funktioner, styckvis kontinuerliga, kan fourieserieutvecklas: fx a a n cos nx + b n sin nx, n= där a n = π b n = π fxcos nxdx, n = 0,,2,..., fxsin nxdx, n =,2,.... Mer om fourierserier kommer vi träffa på i kurser som bildbehandling, reglerteknik, signalbehandling och transformteori.

20 3 9. Minsta kvadratmetoden Exempel 9.. Det är inte så svårt att komma åt en trasig lampa på golvet för att byta den. Det är bara att gå fram till den. Hur är det om lampan hänger upp i taket? Var ställer man sig för att komma så nära lampan som möjligt. Lösning: Låt oss välja en av rummets punkter till origo och låt vektorerna u = v = och spänna upp golvet. Antag att lampan befinner sig i en punkt med ortsvektorn b. Då kan problemet formuleras matematiskt som att söka lösning till ekvationssystemet x u + x 2 v = b. Om lampan ligger på golvet, dvs b är en linjärkombination av u och v, så har ekvationssystemet en lösning. Då är det bara att gå fram till lampan. Figur 9.2. v b u Om däremot lampan hänger högt upp i taket, betyder det att vektorn b inte är en linjärkombination av u och v, dvs ekvationssystemet 0 0 x u+x 2 v = b x 0 +x 2 = 0 x = Ax = b x saknar lösning. Man söker självklart att minimera avståndet Ax b, dvs man ställer sig naturligtvis rakt under lampan.

21 4 9 MINSTA KVADRATMETODEN Vi ska i det här avsnittet försöka ge svar på följande frågeställning: Problem: Sök x så att Ax blir närmaste vektorn till b, dvs minimera avståndet felet Ax b. Figur 9.3. b b AX * v Ax * Ax u Enligt Sats 8.22 och Anmärkning 8.24 löser tydligen den ortogonala projektionen av b på planet vårt problem, ty den har kortast avstånd till b. Vi väljer x så att vektorn b Ax är ortogonal mot planet, dvs { u Ax b = 0 v Ax b = 0 Vi skriver om skalärprodukten som en matrisprodukt i stället: { u t Ax b = 0 v t Ax b = 0 dvs u t v t Ax b = 0. I den första parentesen står alltså A :s kolonner u t och v t omställda som rader, dvs A t Ax b = 0 A t Ax = A t b.

22 5 Definition 9.4. Sambandet A t Ax = A t b 9.3 kallas för normalekvationen och x för en minsta kvadratlösning till Ax = b. Observera: Matrisen A t A är symmetrisk. Vi går tillbaka till Exempel 9. och löser normalekvationen: 0 A t Ax = A t 0 0 b 0 x 0 0 = 0 0 x Förenkling ger 0 0 x x 2 = Minsta kvadratlösningen till ekvationssystemet 9.2 är då x = Vi beräknar också felet. Eftersom b Ax = = 0 0,.. blir felet Ax b =.

23 6 9 MINSTA KVADRATMETODEN Exempel 9.5. Bestäm i minsta kvadratmening en lösning till Lösning: Man vill lösa ekvationen 2 x x 2 = x + x 2 = 6 2x + x 2 = 9 x 2x 2 = Lös normalekvationen A t Ax = A t b, så fås en minsta kvadratlösning, dvs Ax = b. x x 2 = 7 4. Exempel 9.6. Avgör för vilka värden på konstanten a som ekvationssystemet x + y + z = 0 x + ay + 2z = x + 2y + az = saknar lösning. Bestäm för dessa värden på a en minsta kvadratlösning till ekvationssystemet. Lösning: a 2 2 a = 0 a = 0, a = 2. Systemet har alltså entydig lösning för a 0,2. För a = 0 har systemet oändligt många lösningar. Medan för a = 2 saknar systemet lösning. För detta a = 2 bestämmer vi en minsta kvadratlösning till ekvationen Ax = b, 0 dvs en lösning till normalekvationen A t Ax = A t b där A = 2 2 och b =. 2 2 Minsta kvadratlösningen är x, y, z = t0,,.

24 7 Exempel 9.7. Anpassa en rät linje, y = kx+m, på bästa möjliga sätt till följande mätdata: x y Lösning: Sätter vi in mätdata i linjens ekvation får vi ekvationsystemet: 2k + m = 2 k + m = 5 0k + m = 2 dvs 0 k 5 = k + m = 7 m 2 dvs Ax = b. 7 2k + m = Lös normalekvationen A t Ax = A t b så fås x = y = 0 3 x + 5. Figur 9.8. y k m y=0x/3+5 = dvs bästa linjen är x

25 8 9 MINSTA KVADRATMETODEN Exempel 9.9. Bestäm i minsta kvadratmening en lösning till x + y + z = x + y z = x y + z = x + y + z =. Beräkna också felet. Lösning:

26 9 Exempel 9.0. Rita den linje som i minsta kvadratmening bäst ansluter till punkterna x y Beräkna också felet. Lösning:

27 20 9 MINSTA KVADRATMETODEN Exempel 9.. Sätt W = [v,v 2 ] E 4, där v =,,,0 t, v 2 =,,0, t. Ange en ON-bas i W. Skriv u = u + u, där u W och u W. Välj sedan w så att u w är minimalt. Ange också minimum. Lösning:

14. Minsta kvadratmetoden

14. Minsta kvadratmetoden 58 MINSTA KVADRATMETODEN. Minsta kvadratmetoden Eempel.. Det är inte så svårt att komma åt en trasig lampa på golvet för att byta den. Det är bara att gå fram till den. Hur är det om lampan hänger i taket?

Läs mer

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 JOHAN ASPLUND INNEHÅLL 1 Inre produktrum 1 2 Cauchy-Schwarz olikhet 3 3 Ortogonala projektioner och Gram-Schmidts process 3 4 Uppgifter 4 61:13(a) 4 61:23(a) 4 61:29 5 62:7

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 9

Linjär Algebra, Föreläsning 9 Linjär Algebra, Föreläsning 9 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Euklidiska rum Vi ska nu införa en extra struktur på vektorrum, en så kallad skalärprodukt, vilken vi kan använda för att definiera längd

Läs mer

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002.

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. Läsråd: Detta är ett stöd för dig som vill repetera inför en omtentamen. 1. Börja

Läs mer

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen 86 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR 6.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen Definition 6.36. Låt F : V W vara en linjär avbildning.. Nollrummet till F definierar vi som mängden av alla u V som avbildas på nollvektorn,

Läs mer

Isometrier och ortogonala matriser

Isometrier och ortogonala matriser Isometrier och ortogonala matriser (Delvis resultat som kunde kommit tidigare i kursen) För att slippa parenteser, betecknas linära avbildningar med A och bilden av x under en lin avbildn med Ax i stället

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer

8 Minsta kvadratmetoden

8 Minsta kvadratmetoden Nr, april -, Amelia Minsta kvadratmetoden. Ekvationssystem med en lösning, -fallet Ett linjärt ekvationssystem, som ½ +7y = y = har en entydig lösning om koefficientdeterminanten, här 7, är skild från

Läs mer

17. Övningar ÖVNINGAR Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av. x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3

17. Övningar ÖVNINGAR Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av. x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3 192 17 ÖVNINGAR 17. Övningar 17.1. Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av F(eX) = ey = e x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3, G(eX) = e x 1 x 2 x 2 2 x 2 + x 3 Undersök

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

16. Linjära avbildningar

16. Linjära avbildningar 66 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR 6. Linjära avbildningar 6.. Linjär avbildning Exempel 6.. Betrakta funktionen f : R R, sådan att där a är en konstant. Då gäller att. f(x + y) =a(x + y) =ax + ay = f(x)+f(y)..

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I Innehåll En liten tillbakablick:

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j. 34 3 SKALÄPRODUKT 3. Skaläprodukt Definition 3.. Skalärprodukten mellan två vektorer u och v definieras där θ är vinkeln mellan u och v. u v = u v cos θ, Anmärkning 3.. Andra beteckningar för skalärprodukt

Läs mer

0 Allmänt. Följande delar behöver man kunna utöver avsnitten som beskrivs senare i dokumentet.

0 Allmänt. Följande delar behöver man kunna utöver avsnitten som beskrivs senare i dokumentet. Linja r algebra TATA (del) Allmänt Följande delar behöver man kunna utöver avsnitten som beskrivs senare i dokumentet. Matrisekvationer och Gauss-elimination o Parameterform Allmänt om vektorer o Räknelagar

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

16. Linjära avbildningar

16. Linjära avbildningar 6. Linjära avbildningar 6.. Linjär avbildning Exempel 6.. Betrakta funktionen f : R R, sådan att där a är en konstant. Då gäller att. f(x + y) = a(x + y) = ax + ay = f(x) + f(y). 2. f(λx) = a(λx) = aλx

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning

Läs mer

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion VEKTORRUMMET R n RYSZARD RUBINSZTEIN 28--8. Introdktion Låt n vara ett heltal. Med R n kommer vi att beteckna mängden vars element är alla n-tipplar av reella tal (a, a 2,..., a n ), R n = { (a, a 2,...,

Läs mer

1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer.

1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer. Ortogonalitet Man kan tala om vinkel mellan vektorer.. Skalär produkt Vi definierar längden (eller normen) av en vektor som ett reellt tal 0 (Se boken avsnitt.). Vi definierar skalär produkt (Inner product),

Läs mer

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A = 62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader

Läs mer

Lösningar av uppgifter hörande till övning nr 5.

Lösningar av uppgifter hörande till övning nr 5. Lösningar av uppgifter hörande till övning nr 5. H.7 a) Antag att p är ett polynom med grad p < n. Då kan p skrivas som en linjärkombination av ortogonalpolynomen p k, där k < n. Alltså är p c k p k, m

Läs mer

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Måndag 14 januari 2002 TID:

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Måndag 14 januari 2002 TID: Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 --4 DAG: Måndag 4 januari TID: 8.45 -.45 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 (ankn. 94) Förfrågningar:

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll

Läs mer

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan Fö 9: November 7, 5 Determinanter och ekvationssystem Betrakta ett linjärt ekvssystem A X = B, där A är en kvadratisk n n)-matris och X, B n )-matriser. Låt C = [A B] utökad matris ). Gausselimination

Läs mer

Minsta kvadratmetoden

Minsta kvadratmetoden Minsta kvadratmetoden där Överbestämda ekvationssystem Det är lämpligt att uppfatta matrisen A som bestående av n kolonnvektorer: A a a a n a a a n a n a n a nn a j a j a nj a a a n j n Då kan vi skriva

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 9--6 DAG: Fredag 6 januari 9 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Elementa Årgång 49, 966 Årgång 49, 966 Första häftet 2555. Visa att 4 n + n + 8 ej kan vara primtal för något heltal n 0. 2556. Man vill göra en behållare utan lock, som rymmer m 3, i form av en rätvinklig

Läs mer

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0).

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0). TM-Matematik Mikael Forsberg Linjär algebra mk4a Övningstenta LA-. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x = (,, ), x = (,, ) och x = (,, ).. För alla värden på parametern

Läs mer

Lite Linjär Algebra 2017

Lite Linjär Algebra 2017 Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund

Läs mer

Exempel :: Spegling i godtycklig linje.

Exempel :: Spegling i godtycklig linje. INNEHÅLL Exempel :: Spegling i godtycklig linje. c Mikael Forsberg :: 6 augusti 05 Sammanfattning:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a Elementa Årgång 50, 967 Årgång 50, 967 Första häftet 2603. Låt ξ, ξ 2,..., ξ n vara stokastiska variabler med väntevärden E[ξ i ], i =, 2,..., n. Visa att E[max(ξ, ξ 2,..., ξ n )] max(e[ξ ], E[ξ 2 ],...,

Läs mer

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris Krister Svanberg, mars 2012 1 De fyra fundamentala underrummen till en matris 1.1 Definition av underrum En given delmängd M av IR n säges vara ett underrum i IR n om följande gäller: För varje v 1 M,

Läs mer

1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper

1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper Krister Svanberg, april 2012 1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper Ett optimeringsproblem är i viss mening godartat om det tillåtna området är en konvex mängd och den målfunktion som ska

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna

Läs mer

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning.

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. Slappdefinition En vektor är en riktad sträcka som får parallellförflyttas. Tänk på vektorn som en pil. Betecknar vektorer med små bokstäver

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade

Läs mer

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t SF624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag måndag, 3 mars 207 Betrakta vektorerna P =, Q = 3, u = Låt l vara linjen som går genom 2 0 P och Q och låt l 2 vara linjen som är parallell med u

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 8+9

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 8+9 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 8+9 JOHAN ASPLUND Innehåll. Kvadratiska former. Allmänna linjära avbildningar Matriser för allmänna linjära avbildningar. Uppgifter Extrauppgift från tenta Extrauppgift från tenta

Läs mer

Problemsamling i Linjär Algebra II. Erik Darpö

Problemsamling i Linjär Algebra II. Erik Darpö Problemsamling i Linjär Algebra II Erik Darpö ii Notation Inklusion Samma som A B Matriserna A och B är radekvivalenta I n Enhetsmatrisen av storlek n n R n Vektorrummet av alla kolonnvektorer av storlek

Läs mer

Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I

Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Se slide 1: det är i rymden oftast lättast att jobba med parametrar för linjer och ekvationer för plan. Exempel: Låt l : (x, y, z) = (1 t, 3 + t, 4t), t R och

Läs mer

4.2. Vektorprodukt i koordinater

4.2. Vektorprodukt i koordinater 4 Vektorprodukt i koordinater 5 4 Vektorprodukt i koordinater Nästa sats visar hur vi kan räkna med vektorprodukt i en ON-bas Satsen följer av Definition 4 samt räknelagrna i Sats 44 Sats 45 Låt e = {e,

Läs mer

1. Inledning. x y z. u = xe 1 + ye 2 + ze 3 = e

1. Inledning. x y z. u = xe 1 + ye 2 + ze 3 = e . Inledning I Linjär algebra kommer vi att stdera olika objekt samt deras egenskaper. Dessa objekt kan ha geometrisk tolkning såsom geometriska vektorer men också inte som t.e. matriser. Vi har tidigare

Läs mer

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2 DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt

Läs mer

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen 20-0-, kl. 4.00-8.00 TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Richard Lärkäng, telefon: 0703-088304 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna.

Läs mer

Lineära system av differentialekvationer

Lineära system av differentialekvationer Föreläsning 8 Lineära system av differentialekvationer 8.1 Aktuella avsnitt i läroboken (5.1) Matrices and Linear Systems. (5.2) The Eigenvalue Method for Homogeneous Systems. (5.3) Second-Order Systems

Läs mer

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................

Läs mer

DN1230 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 2013

DN1230 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 2013 TILLÄMPAD LINJÄR ALGEBRA, DN123 1 DN123 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 213 Skrivtid: 8-13 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Anna-Karin Tornberg Betygsgränser: Betyg A B C D E

Läs mer

Modul 1 Mål och Sammanfattning

Modul 1 Mål och Sammanfattning Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation

Läs mer

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26 Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 4-5-6 DAG: Måndag 6 maj 4 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:

Läs mer

Vektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning.

Vektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning. Vektorer. 3 / 18 Vektorer är ett mycket viktigt och användbart verktyg för att kunna beskriva sammanhang som innehåller riktade storheter, t.ex. kraft och hastighet. Vektoriella storheter skiljer sig på

Läs mer

Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22

Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22 Moment 5.3, 4.2.9 Viktiga exempel 5.13, 5.14, 5.15, 5.17, 4.24, 4.25, 4.26 Handräkning 5.35, 5.44a, 4.31a, 4.34 Datorräkning Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom

Läs mer

Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt

Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT2008 1 Skalärprodukt Denition 1 Låt u oh v vara två vektorer oh låt α vara minsta vinkeln mellan dem Då denierar vi skalärprodukten u v genom u v = u v os α Exempel 1

Läs mer

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant. Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 19 december 216 kl 8: - 13: För godkänt (betyg E krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För att

Läs mer

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1 Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall

Läs mer

Vektorrum. EX. Plan och linjer i rummet genom origo. Allmänt; mängden av lösningar till AX = 0.

Vektorrum. EX. Plan och linjer i rummet genom origo. Allmänt; mängden av lösningar till AX = 0. Vektorrum Denna kurs handlar till stor del om s k linjära rum eller vektorrum. Dessa kan ses som generaliseringar av R n. Skillnaden består främst i att teorin nu blir mer abstrakt. Detta är själva poängen;

Läs mer

Repetitionsuppgifter

Repetitionsuppgifter MVE5 H5 MATEMATIK Chalmers Repetitionsuppgifter Integraler och tillämpningar av integraler. (a) Beräkna (b) Avgör om den generaliserade integralen arctan(x) ( + x) dx. dx x x är konvergent eller divergent.

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =

Läs mer

Basbyten och linjära avbildningar

Basbyten och linjära avbildningar Föreläsning 11, Linjär algebra IT VT2008 1 Basbyten och linjära avbildningar Innan vi fortsätter med egenvärden så ska vi titta på hur matrisen för en linjär avbildning beror på vilken bas vi använder.

Läs mer

LINJÄRA AVBILDNINGAR

LINJÄRA AVBILDNINGAR LINJÄRA AVBILDNINGAR Xantcha november 05 Linjära avbildningar Definition Definition En avbildning T : R Ñ R (eller R Ñ R ) är linjär om T pau ` bvq at puq ` bt pvq för alla vektorer u, v P R (eller u,

Läs mer

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt1 2015 Erik Darpö ii 0. Förberedelser Nedanstående uppgifter är avsedda att användas som ett självdiagnostiskt test. Om du har problem med att lösa

Läs mer

Tentamen i Linjär algebra , 8 13.

Tentamen i Linjär algebra , 8 13. LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: ETE5 Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra 5 8, 8. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. Resultatet meddelas vi e-post. För godkänt räcker

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 8

Linjär Algebra, Föreläsning 8 Linjär Algebra, Föreläsning 8 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Linjärkombinationer (repetition) Låt v 1, v 2,..., v n vara vektorer i ett vektorrum V. Givet skalärer λ 1, λ 2,..., λ n R så kallas λ

Läs mer

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

Gripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning,

Gripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning, Mat-. Grundkurs i matematik Tentamen och mellanförhörsomtagning,..23 Skriv ditt namn, nummer och övriga uppgifter på varje papper! Räknare eller tabeller får inte användas i detta prov! Gripenberg. Skriv

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016 SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen

Läs mer

8.5 Minstakvadratmetoden

8.5 Minstakvadratmetoden 8.5 Minstakvadratmetoden 8.5. Ett exempel Man ville bestämma ett approximativt värde på tyngdaccelerationen g: En sten slängdes från en hög byggnad och man noterade med hjälp av fotoceller placerade på

Läs mer

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

Linjär algebra och geometri I

Linjär algebra och geometri I UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Anders Johansson Linjär algebra och geometri I för Energi, Ma-kand., Frist. Höstterminen 2010 Kurslitteratur H. Anton, C. Rorres, Elementary Linear Algebra

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som

Läs mer

2 Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner

2 Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner Nr, feb -5, Amelia Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner.1 Funktioner från R n till R m Vi har i tidigare föreläsningar sett olika tolkningar av funktioner från R n till

Läs mer

Linjär algebra och geometri 1

Linjär algebra och geometri 1 UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Ryszard Rubinsztein Oswald Fogelklou Linjär algebra och geometri 1 för K1, W1, KandKe1 Höstterminen 2008 Kurslitteratur H.Anton, C.Rorres, Elementary Linear

Läs mer

Linjära avbildningar. Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om. EX. Speglingar, rotationer, projektioner i R 3.

Linjära avbildningar. Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om. EX. Speglingar, rotationer, projektioner i R 3. Linjära avbildningar Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om F (v +v ) = F (v)+f (v ) och F (cv) = cf (v) för alla v, v V och alla skalärer c. EX. Speglingar, rotationer,

Läs mer

Moment Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning.

Moment Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning. Moment 4.2.7 Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning Figur 1: fig 6 Skalärprodukt Först fastslår vi att två vektorer i planet eller

Läs mer

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Omfattning: Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll: Olika aspekter av linjära ekvationssystem: skärning mellan geometriska objekt, linjärkombination

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Riktade sträckor och Geometriska vektorer En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

KTH, Matematik. Övningar till Kapitel , 6.6 och Matrisframställningen A γ av en rotation R γ : R 2 R 2 med vinkeln γ är

KTH, Matematik. Övningar till Kapitel , 6.6 och Matrisframställningen A γ av en rotation R γ : R 2 R 2 med vinkeln γ är KTH, Matematik Övningar till Kapitel 5.5-5.6, 6.6 och 8.3-8.6. Matrisframställningen A γ av en rotation R γ : R R med vinkeln γ är ( cos(γ sin(γ. sin(γ cos(γ Då R α+β = R α R β, är matrisen ( cos(α + β

Läs mer

Explorativ övning Vektorer

Explorativ övning Vektorer Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken

Läs mer

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra Studiehandledning till MAA13 Grundläggande vektoralgebra vid kurstillfället i period 4 läsåret 013/14 Version 014-05- Information om kursen MAA13 Avsikt Avsikten med kursen MAA13 Grundläggande vektoralgebra

Läs mer

BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM

BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM Större delen av de rekommenderade uppgifterna i boken är beräkningsuppgifter. Det är emellertid även viktigt att utveckla en begreppsmässig förståelse för materialet. Syftet med

Läs mer

Kurvanpassning. Kurvanpassning jfr lab. Kurvanpassning jfr lab

Kurvanpassning. Kurvanpassning jfr lab. Kurvanpassning jfr lab Kurvanpassning jfr lab Kurvanpassning Beräkningsvetenskap II Punktmängd approximerande funktion Finns olika sätt att approximera med polynom Problem med höga gradtal kan ge stora kast Kurvanpassning jfr

Läs mer

Ht Läsanvisningar till Hilbertrum och partiella differentialekvationer. Del 1. Ur Anton, Rorres; Elementary Linear Algebra

Ht Läsanvisningar till Hilbertrum och partiella differentialekvationer. Del 1. Ur Anton, Rorres; Elementary Linear Algebra Ht-2010 Umeå universitet Institutionen för matematik och matematisk statistik PAB Läsanvisningar till Hilbertrum och partiella differentialekvationer Del 1 Ur Anton, Rorres; Elementary Linear Algebra 10.1-10.

Läs mer

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 Institutionen för Matematik LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F Göteborg --9 TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 OBS! NYA KURSEN DAG: Tisdag 9 januari TID: 8.45 -.45 SAL: V Ansvarig:

Läs mer

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet B e 3 e 2 A e 1 C Figur 3.16 Vi har ritat de riktade sträckor som representerar e 1, e 2, e 3 och v och som har utgångspunkten A. Vidare har vi skuggat planet Π

Läs mer

TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen.

TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen. TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen. 2008 10 14 A. Talsystemen. (Adams P.1. Anteckningar från introkursen.) N de naturliga talen Z de hela talen Q de rationella

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 UPPGIFT (1) Låt V vara mängden av vektorer (x 1, x 2, x 3 ) i R 3 som uppfyller

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x. Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)

Läs mer

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just

Läs mer

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra Geometri. Uppgifter, 25 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av linjära

Läs mer