Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) , 8 13.

Transkript

1 Linköpings universitet Matematiska institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: TEN (p) (p) (p) Tentamen i Linjär algebra (TATA/TEN) 8 4, 8. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. För godkänt räcker 9 poäng och minst uppgifter med eller poäng. Godkänd kontrollskrivning ( p) ht7 ger poäng på uppgift (som alltså inte behöver lösas) och 6p eller mer ger 4 poäng på uppgift. Markera detta genom att skriva G respektive G+ i rutan för uppgift. Fullständiga motiveringar krävs. Lösningar läggs ut efter skrivtidens slut på Resultat meddelas via e-post inom arbetsdagar. Alla koordinater för vektorer och punkter är, om ej annat anges, givna med avseende på ett positivt orienterat ON-system, R n är ett euklidiskt rum med standardskalärprodukten och standardbasen ett positivt orienterat ON-system.. (a) Beräkna avståndet mellan punkten P (7,5,6) och planet Π: x+y +z 5. (b) Låt A,B,C och X vara matriser av sådana format att ekvationen A XB XB +C är meningsfull. Lös ut X som ett uttryck i A,B och C (de matrisinverser som behövs förutsätts existera). (c) Beräkna π π e e eπ e. π. Den linjära avbildningen F:P P har i basen x ( x x ) matrisen A a. 7 b Bestäm a,b R så att p +x blir en egenvektor. För dessa värden på a och b, angeegenvärdet till+x samtövrigaegenvärdenochegenvektorer (som polynom).. Bestäm minsta-kvadratlösningarna till ekvationssystemet x + x x + x x + x. x + 4x 5 x + x Utnyttja sedan resultatet till att bestämma ortogonalprojektionen av v (,,,5, ) på underrummet U [(,,,,),(,,,4,)] R 5.

2 4. Den linjära avbildningen F:R 5 R 4 definieras genom F(x,x,x,x 4,x 5 ) (x +x x 4 x 5, x +x +x +x 4 +x 5, x +x +x 4 +x 5, x x x 5 ). Bestäm matrisen till F med avseende på standardbaserna i R 5 och R 4. Ange baser i noll- och värderum samt deras respektive dimension.(obs! Det konstiga skrivsättet beror endast på att uttrycket blev för långt för att få plats på en rad.) 5. Låt e vara standardbasen i R, u (x,x,x ) ex och Q(u) Q(eX) x +x +x x x 6x x 6x x. (p) (p) (a) Bestäm det största respektive minsta värdet som Q(u) kan anta då u samt ange i vilka punkter som dessa extremvärden antas. (b) Bestäm minsta avståndet från origo till en punkt på ytan som definieras av Q(u). 6. Låtα RochF α :R R varaenlinjäravbildning somistandardbasenharmatrisen α 4 A α α. För vilka α är dimn(f) >? För det/dessa α, avgör om (,,α) V(F α ). För det/de α som (,,α) V(F α ), ange alla u R sådana att F(u) (,,α). 7. Låt F:R 4 R 4 definieras av att F(v) v U där U [(,,,),(,,,)]. Bestäm F:s matris i standardbasen. Verifiera att din matris är korrekt genom att med hjälp av matrisen beräkna F(,,,), F(,,,), F(v ) och F(v ) där v,v är två av dig valda lämpliga vektorer. Förklara varför resultaten av dina kontroller måste bli som de blir.

3 Lösningsförslag till TATA, Linjär algebra, 8 4. (a) Tag en punkt i Π, tex P (,,). Sökt avstånd är då är planets normal. Vi får 7 5 P P OP OP e 5 e e 5, 6 5 P P n ( n P P n ) n 5 e 5 e e 4 5 P P n 4 e 4 e P P n där n (,,) 4 e (b) Räkna som vanligt men håll ordning på från vilket håll du multiplicerar. A XB XB +C A XB XB ( A I ) XB C ( A I ) X CB X ( A I ) CB (c) Räknelagarna för determinanter ger π [ ] π Bryt ut e ur rad e e eπ e e( ) + ( π) Utveckla efter rad π [ ] eπ 8 Utveckla efter rad ( ) + eπ 8 8eπ, r r. Låt x ( x x ) vara standardbasen i P och använd definitionen av egenvärde och egenvektor (Definition 8.., sid 5). Vi får F(+x )F x x a λx +a λx 7 b 7+b λ, a, b 8. Beräkna nu egenvärden och egenvektorer på vanligt sätt. 5 λ 8 6 λ k +k λ 8 6 λ r r λ 8 6 λ 7 8 λ λ 8 λ λ ( λ) λ+ λ ( λ)((λ+)(λ )+6) ( λ)( λ +λ ) λ,±

4 λ : λ : r r r,r X t r r r /,r / 7 9 X t r +5r r +7r, t R, r +r r +7r, t R, r r r r 4 dvs och är egenvärden och +x x är en egenvektor till och x+x en egenvektor till.. Skriv på matrisform och ställ upp normalekvationerna, A t AX A t Y. x + x x + x ( ) x + x x A t A A t Y x + 4x 5 x + x ( 4 ( 4 ( A t AX 4 X ( ) ( X 4 4 ) ( ) 4 4 }{{} A ) 4 ) 5 ) A t Y ( x }{{} X 5 }{{} Y ( ) ( ) ( ) ( ) )( ) ( ). 4 Enligt Sats 6.4., sid 6 gäller att om X är en lösning till normalekvationerna så är eax ortogonalprojektionen av Y på A:s kolonnrum U i detta fall. Följaktligen gäller att ey U e 5 U e 4 ( ) e

5 4. Låt e 5 vara standardbasen i R 5 och e 4 vara standardbasen i R 4. Då fås x F(x,x,x,x 4,x 5 ) F e x 5 x x 4 (x +x x 4 x 5,x +x +x +x 4 +x 5, x +x +x 4 +x 5, x x x 5 ). x 5 x x +x x 4 x 5 e 4 x +x +x +x 4 +x 5 x +x +x 4 +x 5 e x 4 x x x x x 5 4 }{{} x 5 A För att beräkna en bas i N(F) löser vi AX på vanligt sätt. r r x x x x 4 x 5 s t s t s s t r r r 4 +r s +t r r r 4 +r, s,t R. Följaktligen är (,,,,) och (,,,,) en bas i N(F) och dimn(f). Enligt Sats 7.5.4, sid 8 är V(F) höljet av A:s kolonnvektorer, k,...,k 5, och vi ställer därför upp beroendeekvationen för att hitta löjliga element, λ k +λ k +λ k +λ 4 k 4 +λ 5 k 5. Då detta är precis den ekvation vi just löst får vi. s, t : k k +k +k 4 k 4 k +k k s, t : k k +k 5 k 5 k +k. Följaktligen kan k 4 och k 5 strykas enligt Satsen om löjliga element (Sats 5..6, sid ). Vi får V(F) [k,k,k,k 4,k 5 ] [k,k,k ] så att (,,,),(,,, ),(,,, ) är en bas i V(F) och dimv(f).

6 5. Skriv Q på matrisform och bestäm egenvärdena. Q(u) Q(eX) x +x +x x x 6x x 6x x ( ) 8 x x x x 8 x, 8 8 x }{{} A λ 8 det(a λi) λ 8 r r λ 8 λ λ k +k 8 8 λ 8 8 λ λ 8 (λ ) 6 8 λ (λ ) λ 8 6 λ (λ )(( λ)( λ) 8) (λ ) ( λ λ 8 ) λ,6± 6,,8. Vi behöver endast bestämma egenvektorerna till 6 och r r r λ 6 : 7 8 /8 7 8 r+r r 7r X 6 t 7 8 r r r λ 8 : 7 8 /8, r X 8 t f e,f e , t R, r r r 7r, t R,,f f f Q(u) Q(f X f ) 6y +y +8y. (a) Med u ger Sats 9.., sid λ min u 6 54 Q(u) λ max u 8 6 med likhet i respektive olikhet för en egenvektor av rätt längd till rätt egenvärde. Följaktligen är maxq(u) 68 för u ±f ±(,, ), u min Q(u) 54 för u ±f ± (,,) ± u 6 r +r r /6 ( ),, 6. r +r r /9

7 (b) Vi betraktar nu alla u sådana att Q(u). Återanvändning av Sats 9.., sid 7 ger i denna situation Q(u) 8 u u 8 6 u 6 med likhet då u är en egenvektor till 8 av längd precis / 6. Följaktligen, för de punkter P ± på ytan som ligger närmast origo gäller OP ± ± f ± e ± 6 6 e, dvs ( P ±,, ) och minsta avståndet är / N(F α ) beräknas genom att lösa ekvationen A α X. Om dimn(f α ) > så skall ekvationen A α X ha icke-triviala lösningar. Sats 4.7. (d), sid 9 ger då att deta α. α 4 α r +r r +r α+6 4+α α 7 +α ( )( )+ α+6 4+α 7 +α (α+6)(+α) 7(4+α) α +7α α + 7 α α ± ± 6 7±, 6. dvs nollrummet har positiv dimension för α och /. Studera nu F(u) (,,α) för α och / var för sig. Vi får systemen / 4 α / : / r,r,r 9 r r 6 6 r +r r +r / r /8 r / 9 / / dvs för α / gäller att u (,, /) /V(F). r 4 +r r +r r α : r r r X 8t+/ 7t /+t 6t / 7t lösning saknas, t 6 7, t R,

8 dvs för α gäller att u (,,) V(F) och F e +te 6 7 e för alla t R. 7. Sätt u (,,,) och u (,,,). Vi börjar med att bestämma en ON-bas, f,f i U. Låt f û och ortogonalisera u. u f (u f )f e e e e, u f u u f e e e f eftersom u f. Vi kan då använda ON-basen till att beräkna F(v) v U (v f )f +(v f )f. Enligt Sats 7.., sid 74 består avbildningsmatrisens kolonner av koordinaterna för det som F gör med de aktuella basvektorerna, i detta fall standardbasen. Vi får F(e ) e U (e f )f +(e f )f e e e + e e e 4 e +e e F(e ) e U (e f )f +(e f )f e e e + e e e 4 e e e

9 och studerar man kalkylen ovan så ser man att F(e ) F(e ) och F(e 4 ) F(e ) så att F:s matris i standardbasen blir A. Slutligen, eftersom u ochu U så är juf(u ) u U u ochf(u ) u U u ; F(u ) F e e F(u ) F e e Som v och v 4 väljer vi två ( dimr 4 dimu dimu ) vektorer ur U, tex v (,,,) och v 4 (,,, ). Då de tillhör U följer det att båda måste avbildas på. Uträkning med hjälp av avbildningsmatrisen ger F(,,,) F e e e F(,,, ) F e e e Eftersom u,u är en bas i U och v,v 4 är en bas i U har vi kontrollerat matrisen mot en bas i R 4 och fått det förväntade resultatet. Därmed har vi verifierat att avbildningsmatrisen är den rätta.,..