Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,

Transkript

1 LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra (TATA/TEN 8, 9. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. För godkänt räcker 9 poäng och minst uppgifter med eller poäng. Godkänd kontrollskrivning ( p ht ger poäng på uppgift (som alltså inte behöver lösas och 6p eller mer ger poäng på uppgift. Markera detta genom att skriva G respektive G+ i rutan för uppgift. Fullständiga motiveringar krävs. Lösningar läggs ut efter skrivtidens slut på uljan/kurser/tata/ Resultat meddelas via e-post inom arbetsdagar. Alla koordinater för vektorer och punkter är, om ej annat anges, givna med avseende på ett positivt orienterat ON-system, R n är ett euklidiskt rum med standardskalärprodukten och standardbasen ett positivt orienterat ON-system.. Låt planet Π R ges av ekvationen x x + x, och linjen L R ges på parameterform av (x,x,x (t,t,, t R. (p (p (p (p (a Bestäm skärningspunkten mellan Π och L. (b Bestäm en ekvation på parameterform för den linje som ligger i Π och skär L ortogonalt. (c Rita en figur som beskriver situationen i uppgift (a och (b. Sätt speciellt ut de beteckningar du inför för att lösa uppgifterna ovan.. Låt v (,,, R U [(,,,,(,,,,(,,,] R Bestäm en ON-bas i U. Bestäm det u U som ligger närmast v och beräkna min u U v u. (p. Låt α R och F α :R R vara en linjär avbildning som standardbasen har matrisen α A α. α För det/de α sådana att dimn(f α >, bestäm en bas i V(F α och avgör om (,α, V(F α VÄND!

2 (p. Visa att polynomen p +x, p +x+x, p +x, p +x+x spänner upp P. Välj ur p, p, p, p ut en bas för P och bestäm koordinaterna för x i den bas du valt. 5. Låt F:R R vara en linjär avbildning som standardbasen har matrisen a A b 7 c 5. d 5 (p (p (p (a Bestäm a,b,c,d R så att (,,, blir en egenvektor med egenvärde till F. (b För de värden på a,b,c och d som du fick i (a, avgör om F är diagonaliserbar. 6. (a Lös nedanstående system av differensekvationer (n heltal { an 8a n + 6b n b n 9a n 7b n, { a b 5. (p (b Verifiera att din lösning (troligen stämmer genom att beräkna 8a n +6b n och se att detta blir a n. 7. Låt F:R R vara den sammansatta linjära avbildning som fås genom att först ortogonalprojicera i planet x y +z och sedan sträcka resultatet en faktor. (p (p (a Bestäm F:s matris i standardbasen. (b Verifiera ditt resultat genom att, med hjälp av nyss beräknade matris, (i beräkna F(n där n är planets normal, (ii beräkna F(u där u är en vektor planet (räcker med en.

3 Lösningsförslag till TATA, Linjär algebra, 8. (a Insättning av L i Π ger t-värdet för skärningspunkten P t (t t OP e. (b Den sökta linjen L går genom P och är ortogonal mot planets normal n och L:s riktningsvektor v, d v s parallell med deras kryssprodukt v e e e L : e x x x e +te (c P L Π n L v v. Sätt u (,,,,u (,,,,u (,,,. Vi börjar med att observera att u u u och att u u. Normering av u och u ger då en ON-bas i U: f e, f e. Sökt u U är u v U (v f f +(v f f e e e + e e e e + e 6 e 9 9 +e 6 e 5

4 v U v v U 6 e avståndet 6 6 e v U e. N(F α beräknas genom att lösa ekvationen A α X. Om dimn(f α > så skall ekvationen A α X ha icke-triviala lösningar. Sats.6. (d, sid 9 ger då att deta α. α α k k k k α α (α α ± α α ((α+(α + dvsnollrummetharpositivdimensionförα ±Studeranuberoendeekvationenför V(F samt linjärkombination av kolonnerna (,α,. Vi får då ekvationerna r +r r +r r α : 5 r r 5. 5 Ur detta ser vi att beroendeekvationen har lösningen λ,λ,λ 5, dvs k + k + 5k och vi kan utse k till löjligt element och därmed är k,k en bas i V(F. Vidare är ekvationen linjärkombination av kolonnerna (,α, lösbar för α, dvs (,, V(F. Samma upplägg för α ger α : r r r r r 5r Samma resonemang som i fallet med α ger att vi kan utse k till löjligt element och därmed är k,k en bas i V(F. Här är ekvationen linjärkombination av kolonnerna (,α, inte lösbar för α, dvs (,, /V(F.. Skriv ekvationen linjärkombination godtyckligt polynom på matrisform och lös på vanligt sätt, x ( x x. Är ekvationen lösbar oberoende av högerledet så spänner de givna polynomen upp P. λ p +λ p +λ p +λ p λ x +λ x +λ x +λ x λ... x λ a λ a +a x+a x x a a λ

5 a a r r r r a a a a a a a a a a. r +r Då systemet ovan är lösbart oberoende av vad som står i högerledet spänner de fyra givna polynomen upp P. Sätter vi a a a får vi beroendeekvationen för de fyra och vi ser att de är linjärt beroende. Löser vi beroendeekvationen fås λ λ λ λ s p p +p vilket visar att vi kan utse p till löjligt element. Satsen om rätt antal element ger sedan att {p,p,p } är en bas i P. Slutligen, för att bestämma koordinaterna för x i basen p ( p p p stryker vi p ur ekvationerna ovan och sätter a, a och a i det erhållna systemet och löser det. Vi får λ λ λ r r r r x x p +p p p dvs koordinaterna för x i basen {p,p,p } är,,. 5. Beräkning av F(,,, genom multiplikation med matrisen ger a a+ F(,,, e b 7 c 5 e b+5 c+7 e d 5 d+7, a b c d Sätt in dessa värden på a,b,c,d i matrisen och beräkna övriga egenvärden på vanligt sätt: λ r 7 λ r λ k r r λ 5 λ λ +k k +k λ 5 5 λ λ+ λ.

6 (λ (λ+ 6 λ 6 λ 5 (λ (λ+ 6 λ 6 λ (λ (λ+ ( (λ 6 λ, (dubbel, 8. Sats 8.., sid 9 ger att F är diagonaliserbar om egenrummet till dubbelegenvärdet har dimension. Vi får systemet r r r λ : r r r som bara har en-parametrig lösning. Följaktligen har vi för få linjärt oberoende egenvektorer för att få en bas av egenvektorer. Därmed är avbildningen inte diagonaliserbar. 6. (a Skriv ekvationen på matrisform och beräkna egenvärden och egenvektorer till A ( ( ( an 8 6 an X n AX b n 9 7 b n... A n X n det(a λi 8 λ λ (λ 8(λ+7+5 λ λ λ : λ : (λ (λ+ λ, ( ( ( 6 6 X 9 9 t, t R ( ( ( 9 6 X 9 6 t, t R. I avsnitt 9.6, sid 6ff, visas att lösningen har formen ( ( X n C n +C ( n. Insättning av n ger ( ( X C 5 ( ( ( ( C C 5 ( ( X n n +9 ( n. (b Ur (a fås ( ( +C ( 5 ( C ( 9 C a n n 8 ( n, b n n +7 ( n

7 8a n +6b n 8 ( n 8 ( n +6 ( n +7 ( n n (8 6+9 ( n ( 6+8 n 8 ( n a n 7. Låt n (,, beteckna planets normal. Då blir F(u (u u n. Beräkna sedan basvektorbilderna: F(e (e (e nn F(e (e (e nn F(e (e (e nn e e e e +e e e e e (a Ovanstående kalkyl ger att F:s matris i standardbasen e blir A e., (b Har vi räknat rätt skall F(n och F(u u för varje vektor i planet: F(n e e, tex F(,, e e e,..