x (t) = 2 1 u = Beräkna riktnings derivatan av f i punkten a i riktningen u, dvs.

Transkript

1 MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen -8-8, kl TMV6 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Adam Andersson, telefon: Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna. För full poäng krävs fullständiga lösningar. Strukturera dina lösningar väl, skriv tydligt och motivera dina påståenden! Betygsgränser: 9 p. ger betyget, 9 p. ger betyget 4, 4 5 p. ger betyget 5. Lösningar läggs ut på kurshemsidan senast första arbetsdagen efter tentamenstillfället. Resultat meddelas via epost från LADOK.. Beräkna volymen av området som ligger ovanför kvadraten Q {(x, y) R ; x, y } i xy-planet och under grafen till funktionen f(x, y) x y 4.. Bestäm den lösning till systemet av differentialekvationer [ 4 x (t) x(t), som uppfyller x() [ T. (6p). Låt f(x, y, z) vara funktionen f(x, y, z) x sin(y z ) och låt a vara punkten a (,, ). a) Med utgångspunkt i a, i vilken riktning växer f fortast? (p) b) Låt u vara enhetsvektorn u / / / Beräkna riktnings derivatan av f i punkten a i riktningen u, dvs. beräkna D u f(a). c) Skriv upp ekvationen för tangentplanet till nivåytan Y {(x, y, z) R ; x sin(y z ) } i punkten a.. (p) (p)

2 4. Låt D R vara området som i polära koordinater definieras av r, θ π/4. Beräkna dubbelintegralen (6p) ( y ) + dxdy. x D 5. Låt A vara matrisen A. a) Skriv upp karaktäristiska ekvationen för A. (p) b) Beräkna alla egenvärden samt tre linjärt oberoende egenvektorer till A. (4p) 6. Beräkna minsta-kvadratlösningen till ekvationssystemet 5 x. 7. Bestäm största och minsta värde av funktionen f(x, y) x + x(y ) på området D {(x, y) R ; x + y }. 8. Låt F (F, F ) vara vektorfältet F ( y/(x + y ), x/(x + y ) ) och låt C vara kurvan som startar i punkten (, ) och slutar i (, ) och däremella är övre delen av cirkeln som är centrerad i (, ) och har radie. Beräkna kurvintegralen F dr. C 9. Bevisa att en n n-matris M är diagonaliserbar om och endast om M har n stycken linjärt oberoende egenvärden. (Att en matris M är diagonaliserbar betyder att den kan skrivas M P DP, där D är en diagonalmatris.) (6p) Liten formelsamling: (tan θ) + tan θ, (arctan θ) /( + θ ). Lycka till!

3 Lösningsförslag, tenta: -8-8 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C. Eftersom x + y 4 om x och y så ligger grafen till f(x, y) x y 4 ovanför kvadraten Q i xy-planet. Enligt tolkningen av dubbelintegral kan den önskade volymen beräknas som f(x, y) dxdy x y 4 dxdy Q y y y x [x x / xy 4 x dy / y 4 dy [y/ y 5 /5 88/5.. Egenvärden och tillhörande egenvektorer till matrisen [ 4 beräknas på standardsätt (se även uppg. 5). Man får [ λ, v, λ, v [ Allmänna lösningen till systemet av differentialekvationer blir alltså [ [ x(t) C e t + C e t. Konstanterna C och C bestäms av begynnelsevillkoret x() [ T. Det ger ekvationssystemet [ [ [ C, som har lösning C, C. Lösningen till begynnelsevärdesproblemet är alltså [ [ x(t) e t + e t. C.

4 . a) Funktionen växer fortast i gradientens riktning. Gradienten av f är f ( f/ x, f/ y, f/ z) (sin(y z ), xy cos(y z ), xz cos(y z )). I punkten a (,, ) blir alltså gradienten f(a) (,, ). Den normaliserade riktning i vilken f växer fortast är (,, )/. b) Eftersom u har längd kan den sökta riktningsderivatan beräknas enligt D u f(a) f(a) u / + / / /. c) Ytan Y är nivåytan till f i punkten a så f(a) är vinkelrät mot det sökta tangentplanet. Ekvationen för tangentplanet kan därför skrivas f(a) (x a) (x ) + (y ) (z ), som kan förenklas till y z. 4. Vi byter till polära koordinater: r x + y, θ arctan(y/x). Då är y /x tan θ och dxdy rdrdθ. Så dubbelintegralen blir ( y ) π/4 + dxdy ( + tan θ)rdrdθ x D r r r θ [ r tan θ π/4 θ dr rdr [ r / r /. 5. a) Karaktäristiska ekvationen för A är det(a λi), som i vårt fall blir λ det λ λ ( λ) ( ( λ)( λ) + 6 ) λ(λ + )(λ ). b) Egenvärdena till A fås genom att lösa den karaktäristiska ekvationen och är alltså λ, λ, λ. Egenrummet hörande till λ i beräknas genom att lösa det linjära ekvationssystemet (A λ i I)x. Efter radreduktion får vi att egenrummen hörande till λ, λ och λ respektive är Span{ }, Span{ }, Span{ }.

5 6. Låt Eftersom egenvektorer hörande till olika egenvärden är linjärt oberoende är t.ex.,, tre stycken linjärt oberoende egenvektorer till A. A, b Minsta-kvadratlösningen till ekvationssystemet Ax b är lösningen till normalekvationerna, A T Ax A T b. () Vi räknar: A T A A T b [ [ Normalekvationerna () blir alltså [ [ 4 x som löses t.ex. med radreduktion. Lösningen blir [ x. 5. [ 7 4 [ 4 7. Vi börjar med att leta efter kritiska punkter till f i D, dvs. punkter i vilka f. Vi har att f (4x + y, xy), så vi skall lösa ekvationssystemet 4x + y xy.,.,

6 Den andra ekvationen betyder att x eller y. Om x säger den första ekvationen att y ±, vilket ger punkterna (, ±) som ligger på randen av D; randpunkter bryr vi oss inte om ännu. Om däremot y säger den första ekvationen att x /4, vilket ger oss den kritiska punkten (/4, ). Vi undersöker nu randen till D. Randen parametriseras av (cos t, sin t), t < π, så vi söker kritiska punkter till g(t) f(cos t, sin t) cos t + cos t(sin t ) cos t cos t, på intervallet t [, π). I sådana punkter är g (t), dvs. 4 cos t sin t + cos t sin t cos t sin t(4 cos t). Alltså måste cos t (dvs. t π/, π/4) eller sin t (dvs. t, π) eller cos t 4/, som saknar lösning. De kritiska randpunkterna blir (cos, sin ) (, ), (cos π/, sin π/) (, ), (cos π, sin π) (, ), (cos π/4, sin π/4) (, ). Tillsammans med den inre kritiska punkten (/4, ) har vi alltså fem kandidater till max- resp. minpunkter: f(/4, ) /8, f(, ), f(, ), f(, ), f(, ). Vi ser att största värdet är och att minsta värdet är /8. 8. Låt γ vara linjestycket som börjar i (, ) och slutar i (, ). Då är C + γ en kurva, genomlöpt medurs, som innesluter ett område D R. Enligt Greens formel gäller F F dr C+γ D x F y dxdy ( x ) ( y ) dxdy D x x + y y x + y... räkna.... Alltså är C F dr F dr F dr. () γ γ

7 Kurvan γ kan parametriseras som x t, y, där t. Sista integralen i () kan då beräknas enligt γ F dr dx (F dt + F 9. Se beviset av sats 5.:5 i Lay. dy dt ) dt t + dt [ arctan t π/.