SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A"

Transkript

1 SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3 9x 4 =, x + 2x 2 + 3x 3 + 7x 4 = 3. (3) (b) Bestäm villkoret på a, b och c för att det ska finnas lösningar till ekvationssystemet Lösning x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = a, 3x + 6x 2 x 3 9x 4 = b, x + 2x 2 + 3x 3 + 7x 4 = c. a) Vi använder Gauss-Jordanelimination på totalmatrisen för systemet, dvs 2 r r 2 3r 2 2 r r r 3 r r 3 + r 2 2 r r 2 r 2 r Vi har två fria variabler eftersom det saknas ledande etta i andra och fjärde kolonnen. För dessa variabler får vi införa parametrar,x 2 = s och x 4 = t. Sedan kan vi använda första ekvationen för att lösa ut x och x = 3 2x 2 + 2x 4 = 3 2s + 2t och den andra ekvationen för att lösa ut x 3 som Alltså ges lösningsmängden av x 3 = 2 3x 4 = 2 3t. (x, x 2, x 3, x 4 ) = (3,, 2, ) + s( 2,,, ) + t(2,, 3, ) ()

2 2 SF624 Algebra och geometri - Modelltentamenentamen där s och t är reella parametrar. b) För att se vilka högerled som fungerar behöver vi utföra samma radoperationer på (a, b, c) t. Det finns lösingar till systemet precis då den tredje raden blir helt noll när vänsterledet blir noll. a b c r 2 r 2 3 r 2 r 3 r 2 a 2 b + 3a 4 8 c + b a 3a a 2 b 3 a 2 c a 2 = a 2 b + 3a 4 8 c + b 5a 2 4 Villkoret för att det ska finnas lösningar är alltså att vilket också kan skrivas som att c + 2 b 5 4 a =, 5a 2b 4c =. r r 4 2 r 3 + r 2 2 Svar: a) Lösningsmängden ges av (x, x 2, x 3, x 4 ) = (3,, 2, )+s( 2,,, )+t(2,, 3, ), där s och t är reella parametrar. b) Villkoret för att det ska finnas lösningar ges av 5a 2b 4c =.

3 SF624 Algebra och geometri - Modelltentamen 3 (2) Ett områdeω i planet R 2 avbildas genom den linjära avbildningen T med standardmatris ( ) 4 A = på parallellogrammen med hörn i punkterna (, ), (5, ), (4, 2) och (9, 3). (a) Bestäm området Ω. (Använd egenskaperna hos linjära avbildningar, exempelvis att linjestycken avbildas på linjestycken.) (3) (b) Jämför arean av Ω med arean av bilden T(Ω). () y x FIGUR. Bilden, T(Ω), av området Ω under avbildningen T. Lösning. a) Eftersom linjestycken avbildas på linjestycken genom en linjär avbildning räcker det att ta reda på var hörnen avbildas. En linjär avbildning avbildar nollvektorn på nollvektorn. Dessutom är (9, 3) summan av vektorerna (5, ) och (4, 2) i en parallellogram. Det innebär att vi bara beöver ta reda på vad urbilderna av (5, ) och (4, 2) är. Vi ställer upp detta som ett ekvationssystem med två högerled och får då totalmatrisen ( ) och med Gausselimination får vi ( ) [ ] r ( 2 ) r 2 [ + r r + 4 r ] 3 2 ( ) r Vi har kommit fram till att ( ) ( ) 3 5 T = 2 och T ( 4 2 ) ( ) 4 = 2 Alltså måsteω ges av parallellogrammen med hörn i punktern (, ), (3, 2), (4, 2) och (3, 2) + (4, 2) = (7, 4).

4 4 SF624 Algebra och geometri - Modelltentamenentamen Vi kan också lösa uppgiften genom att bestämma matrisen för den omvända avbildningen, dvs matrisen för T, som är inversmatrisen av A. Med hjälp av kofaktorerna kan vi skriva upp A som A = ( ) 4 = ( ) 4 det A 3 eftersom det(a) = ( ) 4 ( ) = + 4 = 3 och vi kan sedan beräkna ( ) 5 T = ( ) ( ) 4 5 = ( ) ( ) = och T ( 4 2 ) = 3 ( 4 ) ( 2 2 ) = 3 y ( ) = ( 4 2 ). x FIGUR 2. Det ursprungliga området Ω. b) Arean av parallellogrammen T(Ω) kan beräknas som beloppet av determinanten av matrisen med vektorerna (5, ) och (4, 2) som kolonnvektorer. Arean är alltså ( ) 5 4 det = = 4 = 6 2 areaenheter. Matrisen A har determinant 3 och därmed förstoras arean med en faktor 3 genom T, vilket vi också kan se genom att arean av paralellogrammen Ω ges av determinanten ( ) 3 4 det = 3 ( 2) 4 ( 2) = = Svar: a) Området Ω är parallellogrammen med hörn i (, ), (3, 2), (4, 2) och (7, 4). b) Området T(Ω) har area 6 areaenheter och är tre gånger så stort somω i och med att determinanten för A är 3.

5 SF624 Algebra och geometri - Modelltentamen 5 (3) Den vinkelräta projektionen på planet som ges av ekvationen x 2y +3z = är en linjär avbildning och kan därmed beskrivas med hjälp av en matris. Bestäm standardmatrisen för denna projektion genom att se på hur den verkar på standardbasvektorerna. (4) Lösning. En normalvektor för planet ges av koefficienterna i ekvationen och vi får n = (, 2, 3). Vi kan projicera de tre standardbasvektorerna på planet genom att dra bort projektionen på normalen. När vi projicerar på normalen får vi Proj n e = e n n n n = (,, )t (, 2, 3) t (, 2, 3) t (, 2, 3) t(, 2, 3)t = (, 2, 3)t 4 Proj n e 2 = e 2 n n n n = (,, )t (, 2, 3) t (, 2, 3) t (, 2, 3) t(, 2, 3)t = 2 (, 2, 3)t 4 och Proj n e 3 = e 3 n n n n = (,, )t (, 2, 3) t (, 2, 3) t (, 2, 3) t(, 2, 3)t = 3 (, 2, 3)t 4 Om vi nu låter T vara projektionen på planet får vi att och T(e ) = e Proj n e = (,, ) t 4 (, 2, 3)t = (3, 2, 3)t 4 T(e 2 ) = e 2 Proj n e 2 = (,, ) t 2 4 (, 2, 3)t = (2,, 6)t 4 T(e 3 ) = e 3 Proj n e 3 = (,, ) t 3 4 (, 2, 3)t = 4 ( 3, 6, 5)t. Alltså ges matrisen för projektionen av A = Svar: Matrisen för projektionen ges av A =

6 6 SF624 Algebra och geometri - Modelltentamenentamen DEL B (4) Betrakta matrisen A = (a) Bestäm en bas för radrummet till A med hjälp av Gausselimination. (3) (b) Använd relationen mellan dimensionerna för radrum och nollrum 2 för att med hjälp av resultatet från 4a också bestämma dimensionen av nollrummet till A. () Lösning. a) När vi utför radoperationer i Gausselimination ändras inte radrummet i matrisen. När vi väl har kommit till trappstegsform vet vi att de nollskilda raderna är linjärt oberoende och de utgör dämed en bas för radrummet. 2 8 r r 2 2r r 3 r r 4 2r r 4 r 2 r r 2 r 4 Därmed utgör de två vektorerna (, 2,, 8) och (,,, 4) en bas för nollrummet till A. b) Summan av dimensionerna av nollrum och radrum är lika med antalet kolonner, eftersom nollrummets dimension ges av antalet kolonner som saknar ledande ettor i trappstegsformen. Eftersom radrummet har dimension 2 får vi därmed att nollrummet dimension 4 2 = 2. Svar: a) En bas för radrummet ges av vektorerna (, 2,, 8) och (,,, 4). b) Nollrummets dimension är 2. Radrummet är det delrum som spänns upp av radvektorerna i matrisen. 2 Nollrummet till A är lösningsmängden till ekvationen Ax =.

7 SF624 Algebra och geometri - Modelltentamen 7 (5) En triangulär skärm ska sättas upp i ett hörn av ett rum där väggar och tak är vinkelräta mot varandra. Använd vektorprodukten 3 för att bestämma ett uttryck för skärmens area om skärmens tre hörnpunkter har avstånd a cm, b cm, respektive c cm från hörnet. (4) FIGUR 3. Skärmens placering vid taket i ett av rummets hörn. Lösning. Vi inför ett rätvinkligt koordinatsystem med rummets hörn som origo och de positiva axlarna utmed skärninge av väggar och tak. Därmed får vi att skärmens hörnpunkter får koordinater (a,, ), (, b, ) och (,, c). För att beräkna skärmens area kan vi använda vektorprodukten eftersom längden av vektorn u v är arean av den parallellogram som spänns upp av u och v. Triangelns area blir hälften av parallellogrammens area. Vi kan beräkna vektorer utefter triangelns sidor som u = (, b, ) (a,, ) = ( a, b, ) och v = (,, c) (a,, ) = ( a,, b). Vi beräknar kryssprodukten som u v = ( a, b, ) ( a,, c) = (b c, ( a) ( a) c, ( a) b ( a)) = (bc, ac, ab). Det är längden av denna vektor som ger arean av parallellogrammen och vi får därmed att triangelns area är 2 u v cm2 = 2 (bc, ac, ab) cm2 = b2 c a 2 c 2 + a 2 b 2 cm 2. Svar: Skärmens area är 2 b2 c 2 + a 2 c 2 + a 2 b 2 cm 2. 3 Vektorprodukten kallas också för kryssprodukt.

8 8 SF624 Algebra och geometri - Modelltentamenentamen (6) (a) Förklara varför det i allmänhet är enkelt att bestämma egenvärdena för övertriangulära matriser. () (b) Bestäm om möjligt en basbytesmatris P som diagonaliserar den övertriangulära matrisen A = Lösning. a) I och med att determinanten för en övertriangulär matris ges av produkten av diagonalelementen kommer det karaktäristiska polynomet, det(a λi) att vara lika med (a λ)(a 22 λ) (a nn λ) om A är en övertriangulär n n-matris. Egenvärdena som är nollställena till det karaktäristiska polynomet blir därmed lika med diagonalelementen, a, a 22,...,a nn. b) För att finna en basbytesmatris som diagonaliserar P behöver vi finna egenvektorerna. Vi har redan hittat egenvärdena som enligt del a) är lika med, 4 och 6. För att finna egenvektorerna behöver vi lösa de homogena ekvationssystemen som svarar mot (A λi)x = för dessa egenvärden. Vi börjar med λ = och får med Gausselimination (3) r r r r r 2r 2 r 3 r vilket ger lösningen (x, x 2, x 3 ) = t(,, ) eftersom x 2 = x 3 = och vi kan låte x = t för en reell parameter t. För λ = 4 får vi r 5 r 2 r r och lösningen ges av (x, x 2, x 3 ) = t(2, 3, ) eftersom x 3 = och vi kan låtax 2 = 3t för en reell parameter t. Till slut får vi för λ = 6 5 r 2 r 2 r r r 2 r 2 r och lösningen ges av (x, x 2, x 3 ) = t(6, 25, ) eftersom vi kan låta x 3 = t för en reell parameter t. Vi kan få den sökta basbytesmatrisen genom att välja egenvektorerna som kolonner och kan därmed välja

9 SF624 Algebra och geometri - Modelltentamen 9 P = Det går att kontrollera att räkningarna stämmer genom att invertera P och beräkna produkten P AP och se att det blir en diagonalmatris med elementen, 4 och 6 på diagonalen. Vi får P = 3 P AP = 2 3 Svar: b) Matrisen P = = = 4 6 är en basbytesmatris som diagonaliserar A. Var god vänd!

10 SF624 Algebra och geometri - Modelltentamenentamen DEL C (7) När vi med den minsta-kvadratmetoden försöker hitta den ellips med ekvation ax 2 + bxy + cy 2 = () (2) som bäst passar till punkterna (2, 2), ( 2, ), (, 2) och (2, ) leds vi till ekvationen a b = c som har lösningen a =,, b =,5 och c =,3. (a) Utför beräkningarna som leder fram till ekvationen (2). (Gausseliminationen av ekvationssystemet (2) behöver inte utföras.) (3) (b) Förklara vad som menas med att lösningen a =,, b =,5 och c =,3 är bäst i minsta-kvadratmening. () Lösning. a) Vi ställer först upp de ekvationer som skulle vara uppfyllda om alla fyra punkter låg på ellipsen. Då skulle vi ha a b c 2 2 =, a ( 2) 2 + b ( 2) + c 2 =, a ( ) 2 + b ( ) ( 2) + c ( 2) 2 =, a b 2 ( ) + c ( ) 2 =. dvs uttryckt som matrisekvation Normalekvationen ges nu av dvs a b =. c a b = c a b = c

11 SF624 Algebra och geometri - Modelltentamen b) Att lösningen är bäst i minsta-kvadratmening betyder att skillnaden mellan högerled och vänsterled i den ursprungliga ekvationen är vinkelrät mot det rum som spänns upp av kolonnerna. Därmed är längden av denna vektor så liten som möjligt, vilket betyder att summan av kvadraterna av avvikelserna är så liten som möjligt. (I det här fallet ligger de fyra punkterna på en ellips, så skillnaden mellan högerled och vänsterled är (,,, ) när a =,, b =,5 och c =,3 och summan av kvadraterna är därmed också.)

12 2 SF624 Algebra och geometri - Modelltentamenentamen (8) Låt Q a vara den kvadratiska formen som ges av Q a (x, y, z) = a(x 2 + y 2 + z 2 ) + 2xy + 2yz där a är en reell parameter. (a) Bestäm för vilka värden på parametern a som Q a är positivt definit. 4 (3) (b) Låta vara det minsta värdet för vilket Q a är positivt semidefinit. 5 Bestäm det största värde Q a antar på enhetssfären x 2 + y 2 + z 2 =. () Lösning. a) Den symmetriska matrisen svarar mot Q a (x, y, z) = a(x 2 + y 2 + z 2 ) + 2xy + 2yz är A = a a a För att se på omq a är positivt definit behöver vi se om alla egenvärden är positiva. Vi får egenvärdena som lösningarna till den karaktäristiska ekvationen det(a λi) =. det a λ a λ ( a λ ) ( ) a λ = (a λ) det det a λ a λ = (a λ)((a λ) 2 ) ) = (a λ)((a λ) 2 2) Därmed har vi egenvärdena λ = a, λ = a + 2 och λ = a 2. Det minsta egenvärdet är a 2 och för att detta ska vara positivt krävs att a > 2. b) Om a < 2 finns ett negativt egenvärde, så a = 2 är det minsta värde på a som gör att a är positivt semidefinit. Vi har då att det största egenvärdet är λ = 2 2 och det minsta λ = 2 2 =. Därmed gäller att Q a (x, y, z) 2 2 för alla x, y, z med x 2 + y 2 + z 2 =. Om vi har ordnat egenvärdena i storleksordning λ λ 2 λ 3 får vi efter diagonalisering att Q a (x, y, z) = λ x 2 + λ y 2 + λ 3 z 2 λ 3 (x 2 + y 2 + z 2 ) = λ 3 för punkter på enhetssfären. Det största värdet uppnås när (x, y, z) är en egenvektor med egenvärde 2 2. Svar: a) Q a är positivt definit om a > 2. b) Det största värdet Q 2 (x, y, z) antar på enhetssfären är Q är positivt definit om Q(x, y, z) > för alla (x, y, z) (,, ). 5 Q är positivt semidefinit om Q(x, y, z) för alla (x, y, z).

13 SF624 Algebra och geometri - Modelltentamen 3 (9) För varje naturligt tal n 2 kan vi se på det delrum V av R n som ges av lösningarna till ekvationen x + x x n =. (a) Visa att vektorerna f = e e 2, f 2 = e 2 e 3,...,f n = e n e n utgör en bas för V om e, e 2,...,e n är standardbasvektorerna för R n. (2) (b) Använd Gram-Schmidts metod för att utifrån den givna basen för V skapa en ortogonal bas för V med avseende på den euklidiska inre produkten pår n. (2) Lösning. a) För att bestämma dimensionen för V kan vi se att matrisen som beskriver ekvationssystemet för V består av en enda nollskild rad. Detta betyder att radrummet har dimension och eftersom antalet kolonner är n kommer nollrummet, dvs V, att ha dimension n. Alla de n vektorerna f, f 2,...,f n ligger i V eftersom de har en koordinat som är, en som är och resten är noll. Därmed återstår bara att visa att f, f 2,...,f n är linjärt oberoende. Antag att a f + a 2 f a n f n =. Vi får då att = a (e e 2 ) + a 2 (e 2 e 3 ) + + a n (e n e n ) = a e + (a 2 a )e (a n a n 2 )e n a n e n. Eftersom e, e 2,..., e n utgör en bas för R n innebär detta att a = a 2 a = = a n a n 2 = a n =. Den första ekvationen innebär att a = och när vi sätter in detta i den andra får vi a 2 =. Till slut får vi att a = a 2 = = a n = och vi drar slutsatsen att f, f 2,...,f n är linjärt oberoende och därmed bildar en bas för V. b) Vi ska bygga upp en ortogonal bas för V som består av vektorer g, g 2,...,g n. Det första steget är att låta g = f = e e 2. Vi bildar sedan nästa vektor genom att ta f 2 oh dra bort projektionen av f 2 på e och vi får då g 2 = f 2 Proj g f 2 = e 2 e 3 (e 2 e 3 ) (e e 2 ) (e (e e 2 ) (e e 2 ) e 2 ) = e 2 e 3 (e 2 e 2 ) = e 2 + e 2 2 e 3. Vi kan gå vidare ett steg och får då eftersom f 3 = e 3 e 4 att f 3 g = och f 3 g 2 =. Vidare är g 2 g 2 = + + = 3 vilket ger g 3 = f 3 Proj g f 3 Proj g2 f 3 = f 3 3/2 g 2 = e 3 e ( 2 e + 2 e 2 e 3 ) = 3 e + 3 e e 3 e 4 Vi kan nu ana ett mönster och kan försöka visa att g i = i e + i e i e i e i+, för i =, 2,..., n. Vi ser att en vektor v = (x, x 2,...,x n ) är ortogonal mot f i precis om v f i = x i x i+ =, dvs om i-koordinaten är lika med (i + )-koordinaten. Därmed får vi att vektorn g i som ska vara ortogonal mot W i = span{g, g 2,..., g i } =

14 4 SF624 Algebra och geometri - Modelltentamenentamen span{f, f 2,..., f i } måste ha alla de första i koorinaterna lika. Den (i + )- koordinaten måste vara lika med (i + )-koordinaten för f i eftersom alla vektorer i W i har (i + )-koordinat noll. Därmed ser vi att g i = k(e + e e i ) e i+ för något talk. Eftersom g i ska ligga i delrummet V måste summan av koordinaterna vara noll, vilket ger k i =, dvs k = /i. Alltså har vi visat att g i = i e + i e i e i e i+, för i =, 2,..., n. Svar: b) Den ortogonala bas G = {g, g 2,...,g n } som fås via Gram-Schmidt metod ges av g i = i e + i e i e i e i+ för i =, 2,..., n.

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 200 DEL A ( Betrakta det komplexa talet w = i. (a Skriv potenserna w n på rektangulär form, för n = 2,, 0,, 2. ( (b Bestäm

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2 SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 4--4 DEL A. I rummet R har vi punkterna P = (,, 4) och Q = (,, ), samt linjen L som ges av vektorerna på formen t t, t där t är en reell parameter.

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2011-06-09 DEL A (1) Betrakta ekvationssystemet x y 4z = 2 2x + 3y + z = 2 3x + 2y 3z = c där c är en konstant och x, y och z är de tre obekanta.

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A 1 a Bestäm de komplexa koefficienterna a, b och c så att polynomet Pz z 3 + az 2 + bz + c har nollställena

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 04-05-0 DEL A. Planet P innehåller punkterna (,, 0), (0, 3, ) och (,, ). (a) Bestäm en ekvation, på formen ax + by + cz + d = 0, för planet P. (

Läs mer

Preliminärt lösningsförslag

Preliminärt lösningsförslag Preliminärt lösningsförslag v4, 9 augusti 4 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 4-8-6 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri SF1624 Algebra och geometri Tjugofemte föreläsningen Mats Boij Institutionen för matematik KTH 10 december, 2009 Tentamens struktur Tentamen består av tio uppgifter uppdelade på två delar, Del A och Del

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen DEL A (1) a) Definiera begreppen rektangulär form och polär form för komplexa tal och ange sambandet mellan dem. (2) b) Ange rötterna till

Läs mer

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 Allmänt gäller följande: Om lösningen helt saknar förklarande text till beräkningar och formler ges högst två

Läs mer

. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?

. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning? Repetition, Matematik 2, linjär algebra 10 Lös ekvationssystemet 5 x + 2 y + 2 z = 7 a x y + 3 z = 8 3 x y 3 z = 2 b 11 Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet 2 x + 3 y z = 3 x 2

Läs mer

Vektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot

Vektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot Kursen bedöms med betyg,, eller underkänd, där är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 533 DEL A Planet H ges av ekvationen 3x y + 5z + a) Bestäm en linje N som är vinkelrät mot H ( p) b) Bestäm en linje L som inte skär planet H ( p)

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l.

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l. SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 5.6. DEL A. Betrakta följande punkter i rummet: A = (,, ), B = (,, ) och C = (,, ). (a) Ange en parametrisk ekvation för linjen l som går genom B

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 14129 DEL A 1 (a) Bestäm linjen genom punkterna A = (,, 1) och B = (2, 4, 1) (1 p) (b) Med hjälp av projektion kan man bestämma det kortaste avståndet

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. ATM-Matematik Mikael Forsberg 34-4 3 3 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra mag4 6 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010 SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning Måndagen den 29 november, 200 UPPGIFT () Betrakta det linjära ekvationssystemet x + x 2 + x 3 = 7, x x 3 + x 4

Läs mer

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t SF624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag måndag, 3 mars 207 Betrakta vektorerna P =, Q = 3, u = Låt l vara linjen som går genom 2 0 P och Q och låt l 2 vara linjen som är parallell med u

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 202-2-3 DEL A Betrakta punkterna A = (2, 2) och B = (6, 4) och linjen (, 3) + t(2, ) i planet (a) Det finns exakt en punkt P på linjen så att triangeln

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor. TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016 SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen

Läs mer

A = (3 p) (b) Bestäm alla lösningar till Ax = [ 5 3 ] T.. (3 p)

A = (3 p) (b) Bestäm alla lösningar till Ax = [ 5 3 ] T.. (3 p) SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag fredag, 21 oktober 216 1 Låt A = [ ] 4 2 7 8 3 1 (a) Bestäm alla lösningar till det homogena systemet Ax = [ ] T (3 p) (b) Bestäm alla lösningar

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2018-04-24 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm

Läs mer

2x + y + 3z = 4 x + y = 1 x 2y z = 3

2x + y + 3z = 4 x + y = 1 x 2y z = 3 ATM-Matematik Pär Hemström 7 6572 Sören Hector 7 4686 Mikael Forsberg 74 42 För studerande i linjär algebra Linjär algebra ma4a 225 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 201-0-0 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.

Läs mer

Linjär algebra/matematik. TM-Matematik Mikael Forsberg ma014a, ma031a

Linjär algebra/matematik. TM-Matematik Mikael Forsberg ma014a, ma031a TM-Matematik Mikael Forsberg 074 41 1 Linjär algebra/matematik för ingenjörer ma014a, ma01a 011 0 8 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel förutom pennor, sudd, linjal, gradskiva. Lösningarna skall vara

Läs mer

Preliminärt lösningsförslag

Preliminärt lösningsförslag Preliminärt lösningsförslag v7, 7 januari 6 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 5--7 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF604, den 7 april 200 kl 09.00-4.00. DEL I. En triangel i den tredimensionella rymden har sina hörn i punkterna

Läs mer

ax + y + 4z = a x + y + (a 1)z = 1. 2x + 2y + az = 2 Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många.

ax + y + 4z = a x + y + (a 1)z = 1. 2x + 2y + az = 2 Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Linjär algebra 8 kl 4 9 INGA HJÄLPMEDEL. För alla uppgifterna, utom 3, förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl. Alla baser får antas

Läs mer

Uppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra

Uppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra Geometri. Uppgifter, 24 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt A = (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Fredagen den 22 oktober, 2010

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Fredagen den 22 oktober, 2010 SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Fredagen den 22 oktober, 2010 Allmänt gäller följande: Om lösningen helt saknar förklarande text till beräkningar och formler ges högst två

Läs mer

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra Geometri. Uppgifter, 25 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av linjära

Läs mer

Preliminärt lösningsförslag

Preliminärt lösningsförslag Preliminärt lösningsförslag v4, 9 april 5 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 5--7 kl 8- Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdag, 13 januari 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdag, 13 januari 2016 SF624 Algebra och geometri Tentamen Onsdag, 3 januari 206 Skrivtid: 08:00 3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del

Läs mer

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För studenter på distans och campus Linjär algebra maa Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

Linjär algebra på 2 45 minuter

Linjär algebra på 2 45 minuter Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom

Läs mer

y z 3 = 0 z 5 16 1 i )

y z 3 = 0 z 5 16 1 i ) ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-433 Sören Hector 7-46686 Rolf Källström 7-6939 Ingenjörer, Lantmätare och Distansstuderande, mfl. Linjär Algebra ma4a 4 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna

Läs mer

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn. KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016 SF624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 26 Skrivtid: 8: 3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på

Läs mer

För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a 2015 02 26. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31

För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a 2015 02 26. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31 ATM-Matematik Mikael Forsberg 074-4 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma04a 0 0 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 1 2015 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista

Läs mer

Modul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer

Modul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer Modul : Komplexa tal och Polynomekvationer. Skriv på formen a + bi, där a och b är reella, a. (2 + i)( 2i) 2. b. + 2i + 3i 3 4i + 2i 2. Lös ekvationerna a. (2 i)z = 3 + i. b. (2 + i) z = + 3i c. ( 2 +

Läs mer

(d) Mängden av alla x som uppfyller x = s u + t v + (1, 0, 0), där s, t R. (e) Mängden av alla x som uppfyller x = s u där s är ickenegativ, s 0.

(d) Mängden av alla x som uppfyller x = s u + t v + (1, 0, 0), där s, t R. (e) Mängden av alla x som uppfyller x = s u där s är ickenegativ, s 0. TM-Matematik Mikael Forsberg, 734-4 3 3 Rolf Källström, 7-6 93 9 För Campus och Distans Linjär algebra mag4 och ma4a 6 5 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KandMa, MatemA -9-6 Sammanfattning av föreläsningarna 3-7 Föreläsningarna 3 7, 8/ 5/ : Det viktigaste är här att du lär dig att reducera

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 22--6 DEL A Planet H ges av ekvationen x + 2y + z =, och planet W ges på parameterform som 2t 4s, t + 2s där s och t är reella parametrar (a) Bestäm

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 UPPGIFT (1) Låt V vara mängden av vektorer (x 1, x 2, x 3 ) i R 3 som uppfyller

Läs mer

1 basen B = {f 1, f 2 } där f 1 och f 2 skall uttryckas i koordinater i standardbasen.

1 basen B = {f 1, f 2 } där f 1 och f 2 skall uttryckas i koordinater i standardbasen. Akademin för teknik och miljö Rolf Källström telefonkontakt med examinator via tentamensvakten Matematiktentamen Ingenjörer, lärare, m fl Linjär algebra maa. 5 6 Skrivtid: 9... Inga hjälpmedel. Lösningarna

Läs mer

Lösningar till MVE021 Linjär algebra för I

Lösningar till MVE021 Linjär algebra för I Lösningar till MVE Linjär algebra för I 7-8-9 (a Vektorer är ortogonala precis när deras skalärprodukt är Vi har u v 8 5h + h h 5h + 6 (h (h När h och när h (b Låt B beteckna basen {v, v } Om vi sätter

Läs mer

x 2y + z = 1 (1) 2x + y 2z = 3 (2) x + 3y z = 4 (3)

x 2y + z = 1 (1) 2x + y 2z = 3 (2) x + 3y z = 4 (3) TM-Matematik Sören Hector :: 7-46686 Mikael Forsberg :: 74-4 kurser:: Linjär Algebra ma4a Matematik för ingenjörer maa 8 5 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta

Läs mer

3. Lös det överbestämda systemet nedan på bästa sätt i minsta kvadratmening. x + y = 1 x + 2y = 3 x + 3y = 4 x + 4y = 6

3. Lös det överbestämda systemet nedan på bästa sätt i minsta kvadratmening. x + y = 1 x + 2y = 3 x + 3y = 4 x + 4y = 6 TM-Matematik Sören Hector :: 7-46686 Mikael Forsberg :: 734-433 kurser:: Linjär Algebra ma4a Matematik för ingenjörer ma3a 5 4 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och

Läs mer

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0).

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0). TM-Matematik Mikael Forsberg Linjär algebra mk4a Övningstenta LA-. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x = (,, ), x = (,, ) och x = (,, ).. För alla värden på parametern

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 017-05-09 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm

Läs mer

(a) Bestäm för vilka värden på den reella konstanten c som ekvationssystemet är lösbart. (b) Lös ekvationssystemet för dessa värden på c.

(a) Bestäm för vilka värden på den reella konstanten c som ekvationssystemet är lösbart. (b) Lös ekvationssystemet för dessa värden på c. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Jörgen Östensson Prov i matematik X, geo, frist, lärare LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 200 0 08 Skrivtid: 8.00.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer. Linjär Algebra F15. Pelle

Egenvärden och egenvektorer. Linjär Algebra F15. Pelle Egenvärden och egenvektorer Linjär Algebra F1 Egenvärden och egenvektorer Pelle 2016-03-07 Egenvärde och egenvektor Om A är en n n matris så kallas ett tal λ egenvärde och en kolonnvektor v 0 egenvektor

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014 SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 214 Skrivtid: 14.-19. Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Roy Skjelnes Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8 Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8 8. Alla vektorer som är normaler till planet, d v s vektorer på formen (0 0 z) t, avbildas på nollvektorn. Dessa kommer därför att vara egenvektorer med egenvärdet

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Repetera hur man nner bas för rum som spänns upp av några vektorer Reptetera hur man nner bas för summa och snitt av delrum. Reptetera

Läs mer

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av

Läs mer

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

Del 1: Godkäntdelen. TMV142 Linjär algebra Z

Del 1: Godkäntdelen. TMV142 Linjär algebra Z MATEMATIK Hjälpmedel: ordlistan från kurswebbsidan, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 130313 kl 0830 1230 Tentamen Telefonvakt: Christoffer Standar 0703-088304 TMV142 Linjär algebra Z Tentan

Läs mer

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0).

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0). N-institutionen Mikael Forsberg 06-64 89 6 Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra mk06a Testtenta. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x = (,, 5),

Läs mer

Crash Course Algebra och geometri. Ambjörn Karlsson c januari 2016

Crash Course Algebra och geometri. Ambjörn Karlsson c januari 2016 Crash Course Algebra och geometri Ambjörn Karlsson c januari 2016 ambjkarlsson@gmail.com 1 Contents 1 Projektion och minsta avstånd 4 2 Geometriska avbildningar och avbildningsmatriser 5 3 Kärnan 6 3.1

Läs mer

TMV142/186 Linjär algebra Z/TD

TMV142/186 Linjär algebra Z/TD MATEMATIK Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 2018-08-27 kl 1400 1800 Tentamen Telefonvakt: Anders Hildeman ank 5325 TMV142/186 Linjär algebra Z/TD Skriv

Läs mer

Del 1: Godkäntdelen. TMV141 Linjär algebra E

Del 1: Godkäntdelen. TMV141 Linjär algebra E Var god vänd! MATEMATIK Hjälpmedel: ordlistan från kurswebbsidan, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 26083 kl 0830 230 Tentamen Telefonvakt: Christoffer Standar 0703-088304 TMV4 Linjär algebra

Läs mer

1. (a) (1p) Undersök om de tre vektorerna nedan är linjärt oberoende i vektorrummet

1. (a) (1p) Undersök om de tre vektorerna nedan är linjärt oberoende i vektorrummet 1 Matematiska Institutionen, KTH Lösningar till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, för CDA- TE, CTFYS och vissa CL, fredagen den 13 mars 015 kl 08.00-13.00. Examinator: Olof Heden. OBS:

Läs mer

Övningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.

Övningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n. Övningar Linjära rum 1 Låt v 1,, v m vara vektorer i R n Ge bevis eller motexempel till följande påståenden Satser ur boken får användas a) Om varje vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v

Läs mer

2 1 1 s s. M(s) = (b) Beräkna inversen för det minsta positiva heltalsvärdet på s som gör matrisen inverterbar.

2 1 1 s s. M(s) = (b) Beräkna inversen för det minsta positiva heltalsvärdet på s som gör matrisen inverterbar. TM-Matematik Mikael Forsberg 7 Linjär algebra/matematik för ingenjörer maa, maa 5 6 Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel förutom pennor, sudd, linjal, gradskiva. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta

Läs mer

LÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA kl 8 13 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. 1. Volymen med tecken ges av determinanten.

LÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA kl 8 13 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. 1. Volymen med tecken ges av determinanten. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA 2018-08-29 kl 8 1 1 Volymen med tecken ges av determinanten a 2 2 2 4 2 1 2a 1 = a 2 2 2 0 4 2 = 4(a 2)(1 a) 0 2a 1 Parallellepipedens volym

Läs mer

Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA

Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Volodymyr Mazorchuk Ryszard Rubinsztein Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA 007 08 16 Skrivtid:

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Svar till tentan. Del A. Prov i matematik Linj. alg. o geom

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Svar till tentan. Del A. Prov i matematik Linj. alg. o geom Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Prov i matematik Linj. alg. o geom. 1 2011-05-07 Svar till tentan. Del A 1. För vilka värden på a är ekvationssystemet { ax + y 1 2x + (a 1y 2a lösbart?

Läs mer

= ( 1) ( 1) = 4 0.

= ( 1) ( 1) = 4 0. MATA15 Algebra 1: delprov 2, 6 hp Fredagen den 17:e maj 2013 Skrivtid: 800 1300 Matematikcentrum Matematik NF Lösningsförslag 1 Visa att vektorerna u 1 = (1, 0, 1), u 2 = (0, 2, 1) och u 3 = (2, 2, 1)

Läs mer

Lösningar till några övningar inför lappskrivning nummer 3 på kursen Linjär algebra för D, vt 15.

Lösningar till några övningar inför lappskrivning nummer 3 på kursen Linjär algebra för D, vt 15. 1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar inför lappskrivning nummer 3 på kursen Linjär algebra för D, vt 15. 1. Undersök om vektorn (1,, 1, ) tillhör span{(1,, 3, 4), (1, 0, 1, 1),

Läs mer

29 november, 2016, Föreläsning 21. Ortonormala baser (ON-baser) Gram-Schmidt s ortogonaliseringsprocess

29 november, 2016, Föreläsning 21. Ortonormala baser (ON-baser) Gram-Schmidt s ortogonaliseringsprocess 29 november, 2016, Föreläsning 21 Tillämpad linjär algebra Innehåll: Ortonormala baser (ON-baser) Gram-Schmidt s ortogonaliseringsprocess Minsta-kvadratmetoden - exempel 1. Uppgift. Tentamen 19/1-15, uppgift

Läs mer

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg Version.8 Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium Mikael Forsberg 8 Den här boken är typsatt av författaren med hjälp av L A TEX. Alla illustrationer är utförda av Mikael Forsberg med hjälp av

Läs mer

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, den 15 mars 2012 kl

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, den 15 mars 2012 kl Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF604, den 5 mars 202 kl 08.00-3.00. Examinator: Olof Heden. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 1 016 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1.

Läs mer

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl 1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl 08.00-1.00. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Bonuspoäng

Läs mer

LYCKA TILL! kl 8 13

LYCKA TILL! kl 8 13 LUNDS TEKNISK HÖGSKOL MTEMTIK TENTMENSSKRIVNING Linjär algebra 0 0 kl 8 3 ING HJÄLPMEDEL Förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl Om inget annat anges är koordinatsystemen ortonormerade

Läs mer

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

Del 1: Godkäntdelen. TMV142 Linjär algebra Z

Del 1: Godkäntdelen. TMV142 Linjär algebra Z MATEMATIK Hjälpmedel: ordlistan från kurswebbsidan, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 26083 kl 0830 230 Tentamen Telefonvakt: Christoffer Standar 0703-088304 TMV42 Linjär algebra Z Tentan

Läs mer

LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK

LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA 2017-10-2 1 Om vi skriver ekvationssystemet på matrisform AX = Y, så vet vi att systemet har en entydig lösning X = A 1 Y då det A 0 Om det A

Läs mer

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002.

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. Läsråd: Detta är ett stöd för dig som vill repetera inför en omtentamen. 1. Börja

Läs mer

2x + y + 3z = 1 x 2y z = 2 x + y + 2z = 1

2x + y + 3z = 1 x 2y z = 2 x + y + 2z = 1 ATM-Matematik Sören Hector 7 46686 Mikael Forsberg 734 433 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 3 5 Skrivtid: :-5:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa.

Läs mer

M = c c M = 1 3 1

M = c c M = 1 3 1 N-institutionen Mikael Forsberg Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Deadline :: 8 9 4 Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny

Läs mer

8(x 1) 7(y 1) + 2(z + 1) = 0

8(x 1) 7(y 1) + 2(z + 1) = 0 Matematiska Institutionen KTH Lösningsförsök till tentamensskrivningen på kursen Linjär algebra, SF60, den juni 0 kl 08.00-.00. Examinator: Olof Heden. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.

Läs mer

3x + y z = 0 4x + y 2z = 0 2x + y = Lös det överbestämda systemet nedan på bästa sätt i minsta kvadratmening. x = 1 x + y = 1 x + 2y = 2

3x + y z = 0 4x + y 2z = 0 2x + y = Lös det överbestämda systemet nedan på bästa sätt i minsta kvadratmening. x = 1 x + y = 1 x + 2y = 2 TM-Matematik Sören Hector :: 7-46686 Mikael Forsberg :: 734-433 kurser:: Linjär Algebra ma4a Matematik för ingenjörer ma3a 3 7 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och

Läs mer

Lite Linjär Algebra 2017

Lite Linjär Algebra 2017 Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund

Läs mer

Övningstenta 001. Alla Linjär Algebra. TM-Matematik Sören Hector Mikael Forsberg. 1. x 2y z + v = 0 z + u + v = 3 x + 2y + 2u + 2v = 4 z + 2u + 5v = 0

Övningstenta 001. Alla Linjär Algebra. TM-Matematik Sören Hector Mikael Forsberg. 1. x 2y z + v = 0 z + u + v = 3 x + 2y + 2u + 2v = 4 z + 2u + 5v = 0 TM-Matematik Sören Hector Mikael Forsberg Alla Linjär Algebra Övningstenta. x z + v z + u + v 3 x + + u + v 4 z + u + 5v. (a) Bestäm storleken (absolutbeloppet) och argumentet till z i. (b) Uttrck på formen

Läs mer

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA.

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel. Skriv följande vektorsummor som en vektor a AB + BC b BC + CD + DA..2 Sök i nedanstående figur de vektorer som har samma längd och samma riktning som vektorn

Läs mer

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1 Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel. Vi utnyttjar definitionen av skalärprodukt som ger att u v u v, där α är (minsta) vinkeln mellan u v. I vårt fall så får vi 7 =. Alltså är den sökta vinkeln

Läs mer

Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma014a ATM-Matematik Mikael Forsberg

Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma014a ATM-Matematik Mikael Forsberg ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje n uppgift

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta är en samling kompletterande uppgifter till Linjär Algebra II för lärare. Exemplen är av varierande svårighetsgrad och

Läs mer

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Omfattning: Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll: Olika aspekter av linjära ekvationssystem: skärning mellan geometriska objekt, linjärkombination

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer