SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A"

Transkript

1 SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3 9x 4 =, x + 2x 2 + 3x 3 + 7x 4 = 3. (3) (b) Bestäm villkoret på a, b och c för att det ska finnas lösningar till ekvationssystemet Lösning x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = a, 3x + 6x 2 x 3 9x 4 = b, x + 2x 2 + 3x 3 + 7x 4 = c. a) Vi använder Gauss-Jordanelimination på totalmatrisen för systemet, dvs 2 r r 2 3r 2 2 r r r 3 r r 3 + r 2 2 r r 2 r 2 r Vi har två fria variabler eftersom det saknas ledande etta i andra och fjärde kolonnen. För dessa variabler får vi införa parametrar,x 2 = s och x 4 = t. Sedan kan vi använda första ekvationen för att lösa ut x och x = 3 2x 2 + 2x 4 = 3 2s + 2t och den andra ekvationen för att lösa ut x 3 som Alltså ges lösningsmängden av x 3 = 2 3x 4 = 2 3t. (x, x 2, x 3, x 4 ) = (3,, 2, ) + s( 2,,, ) + t(2,, 3, ) ()

2 2 SF624 Algebra och geometri - Modelltentamenentamen där s och t är reella parametrar. b) För att se vilka högerled som fungerar behöver vi utföra samma radoperationer på (a, b, c) t. Det finns lösingar till systemet precis då den tredje raden blir helt noll när vänsterledet blir noll. a b c r 2 r 2 3 r 2 r 3 r 2 a 2 b + 3a 4 8 c + b a 3a a 2 b 3 a 2 c a 2 = a 2 b + 3a 4 8 c + b 5a 2 4 Villkoret för att det ska finnas lösningar är alltså att vilket också kan skrivas som att c + 2 b 5 4 a =, 5a 2b 4c =. r r 4 2 r 3 + r 2 2 Svar: a) Lösningsmängden ges av (x, x 2, x 3, x 4 ) = (3,, 2, )+s( 2,,, )+t(2,, 3, ), där s och t är reella parametrar. b) Villkoret för att det ska finnas lösningar ges av 5a 2b 4c =.

3 SF624 Algebra och geometri - Modelltentamen 3 (2) Ett områdeω i planet R 2 avbildas genom den linjära avbildningen T med standardmatris ( ) 4 A = på parallellogrammen med hörn i punkterna (, ), (5, ), (4, 2) och (9, 3). (a) Bestäm området Ω. (Använd egenskaperna hos linjära avbildningar, exempelvis att linjestycken avbildas på linjestycken.) (3) (b) Jämför arean av Ω med arean av bilden T(Ω). () y x FIGUR. Bilden, T(Ω), av området Ω under avbildningen T. Lösning. a) Eftersom linjestycken avbildas på linjestycken genom en linjär avbildning räcker det att ta reda på var hörnen avbildas. En linjär avbildning avbildar nollvektorn på nollvektorn. Dessutom är (9, 3) summan av vektorerna (5, ) och (4, 2) i en parallellogram. Det innebär att vi bara beöver ta reda på vad urbilderna av (5, ) och (4, 2) är. Vi ställer upp detta som ett ekvationssystem med två högerled och får då totalmatrisen ( ) och med Gausselimination får vi ( ) [ ] r ( 2 ) r 2 [ + r r + 4 r ] 3 2 ( ) r Vi har kommit fram till att ( ) ( ) 3 5 T = 2 och T ( 4 2 ) ( ) 4 = 2 Alltså måsteω ges av parallellogrammen med hörn i punktern (, ), (3, 2), (4, 2) och (3, 2) + (4, 2) = (7, 4).

4 4 SF624 Algebra och geometri - Modelltentamenentamen Vi kan också lösa uppgiften genom att bestämma matrisen för den omvända avbildningen, dvs matrisen för T, som är inversmatrisen av A. Med hjälp av kofaktorerna kan vi skriva upp A som A = ( ) 4 = ( ) 4 det A 3 eftersom det(a) = ( ) 4 ( ) = + 4 = 3 och vi kan sedan beräkna ( ) 5 T = ( ) ( ) 4 5 = ( ) ( ) = och T ( 4 2 ) = 3 ( 4 ) ( 2 2 ) = 3 y ( ) = ( 4 2 ). x FIGUR 2. Det ursprungliga området Ω. b) Arean av parallellogrammen T(Ω) kan beräknas som beloppet av determinanten av matrisen med vektorerna (5, ) och (4, 2) som kolonnvektorer. Arean är alltså ( ) 5 4 det = = 4 = 6 2 areaenheter. Matrisen A har determinant 3 och därmed förstoras arean med en faktor 3 genom T, vilket vi också kan se genom att arean av paralellogrammen Ω ges av determinanten ( ) 3 4 det = 3 ( 2) 4 ( 2) = = Svar: a) Området Ω är parallellogrammen med hörn i (, ), (3, 2), (4, 2) och (7, 4). b) Området T(Ω) har area 6 areaenheter och är tre gånger så stort somω i och med att determinanten för A är 3.

5 SF624 Algebra och geometri - Modelltentamen 5 (3) Den vinkelräta projektionen på planet som ges av ekvationen x 2y +3z = är en linjär avbildning och kan därmed beskrivas med hjälp av en matris. Bestäm standardmatrisen för denna projektion genom att se på hur den verkar på standardbasvektorerna. (4) Lösning. En normalvektor för planet ges av koefficienterna i ekvationen och vi får n = (, 2, 3). Vi kan projicera de tre standardbasvektorerna på planet genom att dra bort projektionen på normalen. När vi projicerar på normalen får vi Proj n e = e n n n n = (,, )t (, 2, 3) t (, 2, 3) t (, 2, 3) t(, 2, 3)t = (, 2, 3)t 4 Proj n e 2 = e 2 n n n n = (,, )t (, 2, 3) t (, 2, 3) t (, 2, 3) t(, 2, 3)t = 2 (, 2, 3)t 4 och Proj n e 3 = e 3 n n n n = (,, )t (, 2, 3) t (, 2, 3) t (, 2, 3) t(, 2, 3)t = 3 (, 2, 3)t 4 Om vi nu låter T vara projektionen på planet får vi att och T(e ) = e Proj n e = (,, ) t 4 (, 2, 3)t = (3, 2, 3)t 4 T(e 2 ) = e 2 Proj n e 2 = (,, ) t 2 4 (, 2, 3)t = (2,, 6)t 4 T(e 3 ) = e 3 Proj n e 3 = (,, ) t 3 4 (, 2, 3)t = 4 ( 3, 6, 5)t. Alltså ges matrisen för projektionen av A = Svar: Matrisen för projektionen ges av A =

6 6 SF624 Algebra och geometri - Modelltentamenentamen DEL B (4) Betrakta matrisen A = (a) Bestäm en bas för radrummet till A med hjälp av Gausselimination. (3) (b) Använd relationen mellan dimensionerna för radrum och nollrum 2 för att med hjälp av resultatet från 4a också bestämma dimensionen av nollrummet till A. () Lösning. a) När vi utför radoperationer i Gausselimination ändras inte radrummet i matrisen. När vi väl har kommit till trappstegsform vet vi att de nollskilda raderna är linjärt oberoende och de utgör dämed en bas för radrummet. 2 8 r r 2 2r r 3 r r 4 2r r 4 r 2 r r 2 r 4 Därmed utgör de två vektorerna (, 2,, 8) och (,,, 4) en bas för nollrummet till A. b) Summan av dimensionerna av nollrum och radrum är lika med antalet kolonner, eftersom nollrummets dimension ges av antalet kolonner som saknar ledande ettor i trappstegsformen. Eftersom radrummet har dimension 2 får vi därmed att nollrummet dimension 4 2 = 2. Svar: a) En bas för radrummet ges av vektorerna (, 2,, 8) och (,,, 4). b) Nollrummets dimension är 2. Radrummet är det delrum som spänns upp av radvektorerna i matrisen. 2 Nollrummet till A är lösningsmängden till ekvationen Ax =.

7 SF624 Algebra och geometri - Modelltentamen 7 (5) En triangulär skärm ska sättas upp i ett hörn av ett rum där väggar och tak är vinkelräta mot varandra. Använd vektorprodukten 3 för att bestämma ett uttryck för skärmens area om skärmens tre hörnpunkter har avstånd a cm, b cm, respektive c cm från hörnet. (4) FIGUR 3. Skärmens placering vid taket i ett av rummets hörn. Lösning. Vi inför ett rätvinkligt koordinatsystem med rummets hörn som origo och de positiva axlarna utmed skärninge av väggar och tak. Därmed får vi att skärmens hörnpunkter får koordinater (a,, ), (, b, ) och (,, c). För att beräkna skärmens area kan vi använda vektorprodukten eftersom längden av vektorn u v är arean av den parallellogram som spänns upp av u och v. Triangelns area blir hälften av parallellogrammens area. Vi kan beräkna vektorer utefter triangelns sidor som u = (, b, ) (a,, ) = ( a, b, ) och v = (,, c) (a,, ) = ( a,, b). Vi beräknar kryssprodukten som u v = ( a, b, ) ( a,, c) = (b c, ( a) ( a) c, ( a) b ( a)) = (bc, ac, ab). Det är längden av denna vektor som ger arean av parallellogrammen och vi får därmed att triangelns area är 2 u v cm2 = 2 (bc, ac, ab) cm2 = b2 c a 2 c 2 + a 2 b 2 cm 2. Svar: Skärmens area är 2 b2 c 2 + a 2 c 2 + a 2 b 2 cm 2. 3 Vektorprodukten kallas också för kryssprodukt.

8 8 SF624 Algebra och geometri - Modelltentamenentamen (6) (a) Förklara varför det i allmänhet är enkelt att bestämma egenvärdena för övertriangulära matriser. () (b) Bestäm om möjligt en basbytesmatris P som diagonaliserar den övertriangulära matrisen A = Lösning. a) I och med att determinanten för en övertriangulär matris ges av produkten av diagonalelementen kommer det karaktäristiska polynomet, det(a λi) att vara lika med (a λ)(a 22 λ) (a nn λ) om A är en övertriangulär n n-matris. Egenvärdena som är nollställena till det karaktäristiska polynomet blir därmed lika med diagonalelementen, a, a 22,...,a nn. b) För att finna en basbytesmatris som diagonaliserar P behöver vi finna egenvektorerna. Vi har redan hittat egenvärdena som enligt del a) är lika med, 4 och 6. För att finna egenvektorerna behöver vi lösa de homogena ekvationssystemen som svarar mot (A λi)x = för dessa egenvärden. Vi börjar med λ = och får med Gausselimination (3) r r r r r 2r 2 r 3 r vilket ger lösningen (x, x 2, x 3 ) = t(,, ) eftersom x 2 = x 3 = och vi kan låte x = t för en reell parameter t. För λ = 4 får vi r 5 r 2 r r och lösningen ges av (x, x 2, x 3 ) = t(2, 3, ) eftersom x 3 = och vi kan låtax 2 = 3t för en reell parameter t. Till slut får vi för λ = 6 5 r 2 r 2 r r r 2 r 2 r och lösningen ges av (x, x 2, x 3 ) = t(6, 25, ) eftersom vi kan låta x 3 = t för en reell parameter t. Vi kan få den sökta basbytesmatrisen genom att välja egenvektorerna som kolonner och kan därmed välja

9 SF624 Algebra och geometri - Modelltentamen 9 P = Det går att kontrollera att räkningarna stämmer genom att invertera P och beräkna produkten P AP och se att det blir en diagonalmatris med elementen, 4 och 6 på diagonalen. Vi får P = 3 P AP = 2 3 Svar: b) Matrisen P = = = 4 6 är en basbytesmatris som diagonaliserar A. Var god vänd!

10 SF624 Algebra och geometri - Modelltentamenentamen DEL C (7) När vi med den minsta-kvadratmetoden försöker hitta den ellips med ekvation ax 2 + bxy + cy 2 = () (2) som bäst passar till punkterna (2, 2), ( 2, ), (, 2) och (2, ) leds vi till ekvationen a b = c som har lösningen a =,, b =,5 och c =,3. (a) Utför beräkningarna som leder fram till ekvationen (2). (Gausseliminationen av ekvationssystemet (2) behöver inte utföras.) (3) (b) Förklara vad som menas med att lösningen a =,, b =,5 och c =,3 är bäst i minsta-kvadratmening. () Lösning. a) Vi ställer först upp de ekvationer som skulle vara uppfyllda om alla fyra punkter låg på ellipsen. Då skulle vi ha a b c 2 2 =, a ( 2) 2 + b ( 2) + c 2 =, a ( ) 2 + b ( ) ( 2) + c ( 2) 2 =, a b 2 ( ) + c ( ) 2 =. dvs uttryckt som matrisekvation Normalekvationen ges nu av dvs a b =. c a b = c a b = c

11 SF624 Algebra och geometri - Modelltentamen b) Att lösningen är bäst i minsta-kvadratmening betyder att skillnaden mellan högerled och vänsterled i den ursprungliga ekvationen är vinkelrät mot det rum som spänns upp av kolonnerna. Därmed är längden av denna vektor så liten som möjligt, vilket betyder att summan av kvadraterna av avvikelserna är så liten som möjligt. (I det här fallet ligger de fyra punkterna på en ellips, så skillnaden mellan högerled och vänsterled är (,,, ) när a =,, b =,5 och c =,3 och summan av kvadraterna är därmed också.)

12 2 SF624 Algebra och geometri - Modelltentamenentamen (8) Låt Q a vara den kvadratiska formen som ges av Q a (x, y, z) = a(x 2 + y 2 + z 2 ) + 2xy + 2yz där a är en reell parameter. (a) Bestäm för vilka värden på parametern a som Q a är positivt definit. 4 (3) (b) Låta vara det minsta värdet för vilket Q a är positivt semidefinit. 5 Bestäm det största värde Q a antar på enhetssfären x 2 + y 2 + z 2 =. () Lösning. a) Den symmetriska matrisen svarar mot Q a (x, y, z) = a(x 2 + y 2 + z 2 ) + 2xy + 2yz är A = a a a För att se på omq a är positivt definit behöver vi se om alla egenvärden är positiva. Vi får egenvärdena som lösningarna till den karaktäristiska ekvationen det(a λi) =. det a λ a λ ( a λ ) ( ) a λ = (a λ) det det a λ a λ = (a λ)((a λ) 2 ) ) = (a λ)((a λ) 2 2) Därmed har vi egenvärdena λ = a, λ = a + 2 och λ = a 2. Det minsta egenvärdet är a 2 och för att detta ska vara positivt krävs att a > 2. b) Om a < 2 finns ett negativt egenvärde, så a = 2 är det minsta värde på a som gör att a är positivt semidefinit. Vi har då att det största egenvärdet är λ = 2 2 och det minsta λ = 2 2 =. Därmed gäller att Q a (x, y, z) 2 2 för alla x, y, z med x 2 + y 2 + z 2 =. Om vi har ordnat egenvärdena i storleksordning λ λ 2 λ 3 får vi efter diagonalisering att Q a (x, y, z) = λ x 2 + λ y 2 + λ 3 z 2 λ 3 (x 2 + y 2 + z 2 ) = λ 3 för punkter på enhetssfären. Det största värdet uppnås när (x, y, z) är en egenvektor med egenvärde 2 2. Svar: a) Q a är positivt definit om a > 2. b) Det största värdet Q 2 (x, y, z) antar på enhetssfären är Q är positivt definit om Q(x, y, z) > för alla (x, y, z) (,, ). 5 Q är positivt semidefinit om Q(x, y, z) för alla (x, y, z).

13 SF624 Algebra och geometri - Modelltentamen 3 (9) För varje naturligt tal n 2 kan vi se på det delrum V av R n som ges av lösningarna till ekvationen x + x x n =. (a) Visa att vektorerna f = e e 2, f 2 = e 2 e 3,...,f n = e n e n utgör en bas för V om e, e 2,...,e n är standardbasvektorerna för R n. (2) (b) Använd Gram-Schmidts metod för att utifrån den givna basen för V skapa en ortogonal bas för V med avseende på den euklidiska inre produkten pår n. (2) Lösning. a) För att bestämma dimensionen för V kan vi se att matrisen som beskriver ekvationssystemet för V består av en enda nollskild rad. Detta betyder att radrummet har dimension och eftersom antalet kolonner är n kommer nollrummet, dvs V, att ha dimension n. Alla de n vektorerna f, f 2,...,f n ligger i V eftersom de har en koordinat som är, en som är och resten är noll. Därmed återstår bara att visa att f, f 2,...,f n är linjärt oberoende. Antag att a f + a 2 f a n f n =. Vi får då att = a (e e 2 ) + a 2 (e 2 e 3 ) + + a n (e n e n ) = a e + (a 2 a )e (a n a n 2 )e n a n e n. Eftersom e, e 2,..., e n utgör en bas för R n innebär detta att a = a 2 a = = a n a n 2 = a n =. Den första ekvationen innebär att a = och när vi sätter in detta i den andra får vi a 2 =. Till slut får vi att a = a 2 = = a n = och vi drar slutsatsen att f, f 2,...,f n är linjärt oberoende och därmed bildar en bas för V. b) Vi ska bygga upp en ortogonal bas för V som består av vektorer g, g 2,...,g n. Det första steget är att låta g = f = e e 2. Vi bildar sedan nästa vektor genom att ta f 2 oh dra bort projektionen av f 2 på e och vi får då g 2 = f 2 Proj g f 2 = e 2 e 3 (e 2 e 3 ) (e e 2 ) (e (e e 2 ) (e e 2 ) e 2 ) = e 2 e 3 (e 2 e 2 ) = e 2 + e 2 2 e 3. Vi kan gå vidare ett steg och får då eftersom f 3 = e 3 e 4 att f 3 g = och f 3 g 2 =. Vidare är g 2 g 2 = + + = 3 vilket ger g 3 = f 3 Proj g f 3 Proj g2 f 3 = f 3 3/2 g 2 = e 3 e ( 2 e + 2 e 2 e 3 ) = 3 e + 3 e e 3 e 4 Vi kan nu ana ett mönster och kan försöka visa att g i = i e + i e i e i e i+, för i =, 2,..., n. Vi ser att en vektor v = (x, x 2,...,x n ) är ortogonal mot f i precis om v f i = x i x i+ =, dvs om i-koordinaten är lika med (i + )-koordinaten. Därmed får vi att vektorn g i som ska vara ortogonal mot W i = span{g, g 2,..., g i } =

14 4 SF624 Algebra och geometri - Modelltentamenentamen span{f, f 2,..., f i } måste ha alla de första i koorinaterna lika. Den (i + )- koordinaten måste vara lika med (i + )-koordinaten för f i eftersom alla vektorer i W i har (i + )-koordinat noll. Därmed ser vi att g i = k(e + e e i ) e i+ för något talk. Eftersom g i ska ligga i delrummet V måste summan av koordinaterna vara noll, vilket ger k i =, dvs k = /i. Alltså har vi visat att g i = i e + i e i e i e i+, för i =, 2,..., n. Svar: b) Den ortogonala bas G = {g, g 2,...,g n } som fås via Gram-Schmidt metod ges av g i = i e + i e i e i e i+ för i =, 2,..., n.

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A 1 a Bestäm de komplexa koefficienterna a, b och c så att polynomet Pz z 3 + az 2 + bz + c har nollställena

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna

Läs mer

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För studenter på distans och campus Linjär algebra maa Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a 2015 02 26. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31

För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a 2015 02 26. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31 ATM-Matematik Mikael Forsberg 074-4 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma04a 0 0 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

y z 3 = 0 z 5 16 1 i )

y z 3 = 0 z 5 16 1 i ) ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-433 Sören Hector 7-46686 Rolf Källström 7-6939 Ingenjörer, Lantmätare och Distansstuderande, mfl. Linjär Algebra ma4a 4 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014 SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 214 Skrivtid: 14.-19. Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Roy Skjelnes Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0).

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0). TM-Matematik Mikael Forsberg Linjär algebra mk4a Övningstenta LA-. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x = (,, ), x = (,, ) och x = (,, ).. För alla värden på parametern

Läs mer

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg Version.8 Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium Mikael Forsberg 8 Den här boken är typsatt av författaren med hjälp av L A TEX. Alla illustrationer är utförda av Mikael Forsberg med hjälp av

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta är en samling kompletterande uppgifter till Linjär Algebra II för lärare. Exemplen är av varierande svårighetsgrad och

Läs mer

M = c c M = 1 3 1

M = c c M = 1 3 1 N-institutionen Mikael Forsberg Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Deadline :: 8 9 4 Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 9--6 DAG: Fredag 6 januari 9 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

där β R. Bestäm de värden på β för vilka operatorn är diagonaliserbar. Ange även för respektive av dessa värden en bas av egenvektorer till F.

där β R. Bestäm de värden på β för vilka operatorn är diagonaliserbar. Ange även för respektive av dessa värden en bas av egenvektorer till F. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA9 Linjär algebra Datum: 7 januari 04 Skrivtid:

Läs mer

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Omfattning: Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll: Olika aspekter av linjära ekvationssystem: skärning mellan geometriska objekt, linjärkombination

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd är att räkna upp de elementen i mängden, tex Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK Mat-11510 Grundkurs

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

(1, 3, 2, 5), (0, 2, 0, 8), (2, 0, 1, 0) och (2, 2, 1, 8)

(1, 3, 2, 5), (0, 2, 0, 8), (2, 0, 1, 0) och (2, 2, 1, 8) 1 Matematiska Institutionen KTH Tentamen på kursen SF1604 (och B1109, för D1, Mars 9, 008, kl: 9:00-14:00 Inga hjälpmedel ät tillåtna 1 poäng totalt eller mer ger minst omdömet Fx 1 poäng totalt eller

Läs mer

Examination: En skriftlig tentamen den 15 mars samt möjlighet till en omtentamen. Tider och lokaler meddelas senare.

Examination: En skriftlig tentamen den 15 mars samt möjlighet till en omtentamen. Tider och lokaler meddelas senare. Kursprogram till Linjär algebra II, SF1604, för D1, vt12. Kursledare och föreläsare: Olof Heden Lindstedtsvägen 25 rum 3641 Tel:790 62 96 (mobil: 0730 547 891) e-post: olohed@math.kth.se Övningar: grupp

Läs mer

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1 Omfattning Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll Olika aspekter av linjära ekvationssystem 1. skärning mellan geometriska

Läs mer

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0 Diagonalisering Anm. Begreppet diagonaliserbarhet är relevant endast för linjära avbildningar mellan rum av samma dimension, d.v.s. sådana som representeras av kvadratiska matriser. När vi i fortsättningen

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 8

Linjär Algebra, Föreläsning 8 Linjär Algebra, Föreläsning 8 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Linjärkombinationer (repetition) Låt v 1, v 2,..., v n vara vektorer i ett vektorrum V. Givet skalärer λ 1, λ 2,..., λ n R så kallas λ

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del I

Mat Grundkurs i matematik 1, del I Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK) Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd

Läs mer

ALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift

ALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift Vecka ALA-c 6 Innehåll Linearization and Stability RÄKNEÖVNING VECKA. Uppgift 9........................................ Uppgift 9.5...................................... 5 Egenvärdesproblemet 9. Uppgift

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 JOHAN ASPLUND INNEHÅLL 1 Inre produktrum 1 2 Cauchy-Schwarz olikhet 3 3 Ortogonala projektioner och Gram-Schmidts process 3 4 Uppgifter 4 61:13(a) 4 61:23(a) 4 61:29 5 62:7

Läs mer

Objective:: Linjärt beroende och oberoende version 1.0

Objective:: Linjärt beroende och oberoende version 1.0 DEFINITIONEN AV LINJÄRT BEROENDE MED EXEMPEL Objective:: Linjärt beroende och oberoende version. Definitionen av linjärt beroende med exempel Vi börjar med ett inledande exempel för att motivera definitionen

Läs mer

Mer om analytisk geometri

Mer om analytisk geometri 1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare

Läs mer

2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X = 2 0 1 2. 1 1 0 2

2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X = 2 0 1 2. 1 1 0 2 . Tisdagen 35 Igår visade vi att lösningsmängden W R 5 till ekvationssystemet 3x + x 2 + 3x 3 + 2x 4 x 5 = (..) 2x 2 + x 3 + 4x 4 + 2x 5 = 3x 3x 2 + x 3 6x 4 5x 5 = har bas u och u 2 och u 3 där 5 2 6

Läs mer

Linjär Algebra 764G01: Kommentarer och läsanvisningar till kursboken

Linjär Algebra 764G01: Kommentarer och läsanvisningar till kursboken Linjär Algebra 764G01: Kommentarer och läsanvisningar till kursboken Här följer kommentarer om sånt i boken som kan behövas förtydligas samt anvisningar om vad som ska läsas, eller snarare vilka delar

Läs mer

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2015-04-18

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2015-04-18 Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 5-4-8 DAG: Lördag 8 april 5 TID: 8.3 -.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:

Läs mer

Explorativ övning Vektorer

Explorativ övning Vektorer Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken

Läs mer

Lösningar till tentan i 5B1760 Linjär och kvadratisk optimering, 17 december 2003.

Lösningar till tentan i 5B1760 Linjär och kvadratisk optimering, 17 december 2003. Lösningar till tentan i 5B7 Linjär och kvadratisk optimering, 7 december 3 Uppgift (a) 3 Vi använder Gauss-Jordans metod för att överföra A 3 5 till trappstegsform 3 7 Addition av ( ) gånger första raden

Läs mer

x 1 x 2 x 3 x 4 mera allmänt, om A är en (m n)-matris, då ger matrismultiplikationen en avbildning T A : R n R m.

x 1 x 2 x 3 x 4 mera allmänt, om A är en (m n)-matris, då ger matrismultiplikationen en avbildning T A : R n R m. Fredagen 006 Avbildningar Låt A vara matrisen () = 0 0 Till varje vektor X i R får vi vid matrismultiplikationen AX en vektor i R Mera explicit, om X = x x x x är en given punkt i R, då får vi punkten

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

Tentamen i Linjär algebra , 8 13.

Tentamen i Linjär algebra , 8 13. LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: ETE5 Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra 5 8, 8. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. Resultatet meddelas vi e-post. För godkänt räcker

Läs mer

Isometrier och ortogonala matriser

Isometrier och ortogonala matriser Isometrier och ortogonala matriser (Delvis resultat som kunde kommit tidigare i kursen) För att slippa parenteser, betecknas linära avbildningar med A och bilden av x under en lin avbildn med Ax i stället

Läs mer

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt1 2015 Erik Darpö ii 0. Förberedelser Nedanstående uppgifter är avsedda att användas som ett självdiagnostiskt test. Om du har problem med att lösa

Läs mer

Minsta kvadratmetoden

Minsta kvadratmetoden Minsta kvadratmetoden där Överbestämda ekvationssystem Det är lämpligt att uppfatta matrisen A som bestående av n kolonnvektorer: A a a a n a a a n a n a n a nn a j a j a nj a a a n j n Då kan vi skriva

Läs mer

DN1230 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 2013

DN1230 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 2013 TILLÄMPAD LINJÄR ALGEBRA, DN123 1 DN123 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 213 Skrivtid: 8-13 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Anna-Karin Tornberg Betygsgränser: Betyg A B C D E

Läs mer

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 3-II

Mat Grundkurs i matematik 3-II Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II G. Gripenberg Aalto-universitetet 23 november 2010 1 Matriser....................... 4 Grundläggande definitioner.............. 4 LU-uppdelningen..................

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta kompendie är främst avsett som ett komplement till Tengstrands Linjär algebra med vektorgeometri, [Ten05]. Materialet innehåller

Läs mer

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris Krister Svanberg, mars 2012 1 De fyra fundamentala underrummen till en matris 1.1 Definition av underrum En given delmängd M av IR n säges vara ett underrum i IR n om följande gäller: För varje v 1 M,

Läs mer

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26 Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 4-5-6 DAG: Måndag 6 maj 4 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:

Läs mer

3. Lös ekvationen 3 + z = 3 2iz och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

3. Lös ekvationen 3 + z = 3 2iz och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA Grundläggande vektoralgebra TEN4 Datum:

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 8+9

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 8+9 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 8+9 JOHAN ASPLUND Innehåll. Kvadratiska former. Allmänna linjära avbildningar Matriser för allmänna linjära avbildningar. Uppgifter Extrauppgift från tenta Extrauppgift från tenta

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 1 Institutionen för matematik KTH 31 oktober 2016 Kurstart för Algebra och geometri Välkomen till kursen, CELTE och CMETE och COPEN!, kursansvarig LFN@KTH.SE Idag ska vi se hur kursen funkar

Läs mer

reella tal x i, x + y = 2 2x + z = 3. Här har vi tre okända x, y och z, och vi ger dessa okända den naturliga

reella tal x i, x + y = 2 2x + z = 3. Här har vi tre okända x, y och z, och vi ger dessa okända den naturliga . Lösningsmängden till homogena ekvationssystem I denna första föreläsning börjar vi med att repetera det grunnläggande begreppet inom linjär algebran. Linjär algebra är studiet av lösningsmängden till

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 3-II

Mat Grundkurs i matematik 3-II Mat-53 Grundkurs i matematik 3-II G Gripenberg Aalto-universitetet december Ekvationssytem och matrisräkning 3 Gauss metod, LU-uppdelning 3 Egenvärden 4 Projektioner 9 Principalkomponenter Differentialekvationssystem

Läs mer

Basbyte (variabelbyte)

Basbyte (variabelbyte) Basbyte (variabelbyte) En vektors koordinater beror på valet av bas! Tänk på geometriska vektorer här. v har längden 2 och pekar rakt uppåt i papprets plan. Kan vi då skriva v (, 2)? Om vi valt basvektorer

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2005-08-26. DAG: Fredag 26 augusti 2005 TID: 8.30-12.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2005-08-26. DAG: Fredag 26 augusti 2005 TID: 8.30-12. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 5-8-6 DAG: Fredag 6 augusti 5 TID: 8.3-.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem Avsnitt Linjära ekvationssystem Elementära radoperationer Gausseliminering Exempel Räkneschema Exempel med exakt en lösning Exempel med parameterlösning Exempel utan lösning Slutschema Avläsa lösningen

Läs mer

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2 Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2 Kapitel 2 och 3 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.) I detta avsnitt

Läs mer

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion VEKTORRUMMET R n RYSZARD RUBINSZTEIN 28--8. Introdktion Låt n vara ett heltal. Med R n kommer vi att beteckna mängden vars element är alla n-tipplar av reella tal (a, a 2,..., a n ), R n = { (a, a 2,...,

Läs mer

MAA123 Grundläggande vektoralgebra

MAA123 Grundläggande vektoralgebra Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen 10.08.25 08.30 11.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet B e 3 e 2 A e 1 C Figur 3.16 Vi har ritat de riktade sträckor som representerar e 1, e 2, e 3 och v och som har utgångspunkten A. Vidare har vi skuggat planet Π

Läs mer

Kvadratiska former. Betydelse. Definition

Kvadratiska former. Betydelse. Definition Kvadratiska former Definition Definition En kvadratisk form i 2 variabler är ett polynom i 2 variabler av typen q (x, y) = ax 2 + bxy + cy 2, a, b, c konstanter Definition 2 En kvadratisk form i 3 variabler:

Läs mer

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra 1 Föreläsningsanteckningar i linjär algebra Per Jönsson och Stefan Gustafsson Malmö 2013 2 Innehåll 1 Linjära ekvationssystem 5 2 Vektorer 11 3 Linjer och plan 21 4 Skalärprodukt 27 5 Vektorprodukt 41

Läs mer

Proof. Se uppgifterna. Definition 1.6. Två vektorer u och v är vinkelräta (ortogonala) om < u, v >= 0.

Proof. Se uppgifterna. Definition 1.6. Två vektorer u och v är vinkelräta (ortogonala) om < u, v >= 0. 1. Punkt och Linjer När du läser denna text är det bra om du ritar bilder för att exemplifiera innehållet. Det är lite komplicerad med i.tex, och därför avstår jag från att lägga vid illustrationer även

Läs mer

1 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor

1 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor Krister Svanberg, april 0 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor I detta kapitel behandlas följande kvadratiska optimeringsproblem under linjära likhetsbivillkor: xt Hx + c T x + c 0 då Ax

Läs mer

LINKÖPINGS TEKNISKA HÖGSKOLA Matematiska institutionen Ulf Janfalk 18 september 2014

LINKÖPINGS TEKNISKA HÖGSKOLA Matematiska institutionen Ulf Janfalk 18 september 2014 LINKÖPINGS TEKNISKA HÖGSKOLA Matematiska institutionen 18 september 2014 Kursinformation Linjär Algebra för I1 och Ii1. Examinator: Kurslitteratur: Janfalk, Ulf: Linjär algebra, 2014 Examination: Efter

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Vektorer i planet och i rummet III Innehåll

Läs mer

1 Vektorer i koordinatsystem

1 Vektorer i koordinatsystem 1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en

Läs mer

MAA123 Grundläggande vektoralgebra

MAA123 Grundläggande vektoralgebra Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen 2011.08.11 08.30 11.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

Avsnitt 4, Matriser ( =

Avsnitt 4, Matriser ( = Avsnitt Matriser W Beräkna AB då ( a A ( - b A B B ( 8 7 6 ( - - - och Först måste vi försäkra oss om att matrismultiplikationen verkligen går att utföra För att det ska gå måste antalet kolumner i den

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 6 Institutionen för matematik KTH 11 november 2016 Feedback Innan vi börjar: En liten feedback-övning Vad menas med rangen av en matris? Vad menas med ett homogent linjärt ekvationssystem?

Läs mer

MAA123 Grundläggande vektoralgebra

MAA123 Grundläggande vektoralgebra Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen TEN4 Lösningsförslag 2012.06.07 08.30 10.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva

Läs mer

Algebrans fundamentalsats

Algebrans fundamentalsats School of Science and Technology SE-701 8 Örebro, Sweden Algebrans fundamentalsats Ett linjäralgebraiskt bevis Andreas Thore Örebro Universitet Akademin för naturvetenskap och teknik Matematik C, 61 75

Läs mer

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67-8-5 DAG: Onsdag 5 augusti TID: 8.3 -.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:

Läs mer

Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i.

Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Fredrik Strömberg och Leo Larsson Prov i matematik Fristående kurs Matematik MN 00-0-0 Skrivtid: 9.00 4.00 Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel:

Läs mer

Kapitel 7, 9.5-9.7 och 8 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.)

Kapitel 7, 9.5-9.7 och 8 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.) Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 5 Kapitel 7, 9.5-9.7 och 8 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.) Välkommen

Läs mer

Dagens ämnen. Repetition basbyten och linjära avbildningar Diagonalisering Kvadratiska former. Andragradskurvor

Dagens ämnen. Repetition basbyten och linjära avbildningar Diagonalisering Kvadratiska former. Andragradskurvor Seminarium 25 Dagens ämnen Repetition basbyten och linjära avbildningar Diagonalisering Kvadratiska former Matrisform Diagonalisering av kvadratiska former Andragradskurvor De olika kurvtyperna Rita graferna

Läs mer

2. Avgör om x och z är implicit definierade som funktion av y via följande ekvationssystem. x 3 + xy + y 2 + z 2 = 0 x + x 3 y + xy 3 + xz 3 = 0

2. Avgör om x och z är implicit definierade som funktion av y via följande ekvationssystem. x 3 + xy + y 2 + z 2 = 0 x + x 3 y + xy 3 + xz 3 = 0 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För distans och campus Flervariabelanalys ma1b 14 1 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel, förutom den bifogade formelsamlingen. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2010 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 7 Uppgift 1................................. 7 Uppgift 2.................................

Läs mer

Att beräkna:: Avstånd

Att beräkna:: Avstånd Att beräkna:: Avstånd Mikael Forsberg :: 27 november 205 Innehåll Punkter, linjer och plan, en sammanställning 2. Punkter i två och tre dimensioner....................... 2.2 Räta linjer i två och tre

Läs mer

Linjer och plan Låt ABCD vara en fyrhörning i planet. Om A väljs till origo och

Linjer och plan Låt ABCD vara en fyrhörning i planet. Om A väljs till origo och Linjer oh plan Läs Sparr, avsn. 3. Många läroböker likställer koordinatsystem med rätvinkligt koordinatsystem, närmare bestämt: med ett ortonormerat system (ON-system). O:et står för ortogonal = rätvinklig,

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Måndag 14 januari 2002 TID:

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Måndag 14 januari 2002 TID: Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 --4 DAG: Måndag 4 januari TID: 8.45 -.45 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 (ankn. 94) Förfrågningar:

Läs mer

Extraövningar, linjär algebra

Extraövningar, linjär algebra Extraövningar, linjär algebra Uppgifter markerade med * kan innehålla något moment som är kursivt, medan uppgifter markerade med ** kan vara av det svårare slaget och innehålla något moment som inte ingår

Läs mer

Extraövningar, linjär algebra

Extraövningar, linjär algebra Extraövningar, linjär algebra Uppgifter markerade med * kan innehålla något moment som är kursivt, medan uppgifter markerade med ** kan vara av det svårare slaget och innehålla något moment som inte ingår

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Lördag 26 maj 2001 TID:

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Lördag 26 maj 2001 TID: Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 2-5-26 DAG: Lördag 26 maj 2 TID: 8.45-2.45 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 772 94 (ankn. 94) Förfrågningar:

Läs mer

Linjär algebra. Lars-Åke Lindahl

Linjär algebra. Lars-Åke Lindahl Linjär algebra Lars-Åke Lindahl 2009 Fjärde upplagan c 2009 Lars-Åke Lindahl, Matematiska institutionen, Uppsala universitet Innehåll Förord................................. v 1 Linjära ekvationssystem

Läs mer

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta?

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta? ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - LINJÄR ALGEBRA För att verkligen kunna förstå och tillämpa kvantmekaniken så måste vi veta något om den matematik som ligger till grund för formuleringen av vågfunktionen

Läs mer

Vektoralgebra. En inledning Hasse Carlsson

Vektoralgebra. En inledning Hasse Carlsson Vektoralgebra En inledning Hasse Carlsson Matematiska institutionen Göteborgs universitet och Chalmers tekniska högskola Version 2005 Innehåll 1 Inledning 2 2 Geometriska vektorer 2 2.1 Definition av vektorer.......................

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Riktade sträckor och Geometriska vektorer En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

TENTAMEN. Linjär algebra och analys Kurskod HF1006. Skrivtid 8:15-13:00. Onsdagen 17 november 2010. Tentamen består av 3 sidor

TENTAMEN. Linjär algebra och analys Kurskod HF1006. Skrivtid 8:15-13:00. Onsdagen 17 november 2010. Tentamen består av 3 sidor TENTAMEN Linjär algebra och analys Kurskod HF1006 Skrivtid 8:15-13:00 Onsdagen 17 november 2010 Tentamen består av 3 sidor Hjälpmedel: Mathematica samt allt tryckt material Tentamen består av 12 uppgifter,

Läs mer

1. Ekvationer 1.1. Ekvationer och lösningar. En linjär ekvation i n variabler x 1,..., x n är en ekvation på formen. 2x y + z = 3 x + 2y = 0

1. Ekvationer 1.1. Ekvationer och lösningar. En linjär ekvation i n variabler x 1,..., x n är en ekvation på formen. 2x y + z = 3 x + 2y = 0 1. Ekvationer 1.1. Ekvationer och lösningar. En linjär ekvation i n variabler x 1,..., x n är en ekvation på formen a 1 x 1 + a 2 x 2 + a n x n = b, med givna tal a 1,..., a n och b. Ett linjärt ekvationssystem

Läs mer

Vektorn w definieras som. 3. Lös ekvationssystemet algebraiskt: (2p) 4. Förenkla uttrycket så långt det går. (2p)

Vektorn w definieras som. 3. Lös ekvationssystemet algebraiskt: (2p) 4. Förenkla uttrycket så långt det går. (2p) 1. Linjerna y=2x+4, y=4 och x=3 innesluter tillsammans en triangel. Linjen y=5,5 skär triangeln i två punkter. Beräkna sträckan mellan dessa två punkter. 2. Vektorn w definieras som w = 2u v där u = (7,1)

Läs mer

Laboration 0: Del 2. Benjamin Kjellson Introduktion till matriser, vektorer, och ekvationssystem

Laboration 0: Del 2. Benjamin Kjellson Introduktion till matriser, vektorer, och ekvationssystem Laboration 0: Del 2 Benjamin Kjellson 2016 03 21 Introduktion till matriser, vektorer, och ekvationssystem I den här filen får ni en kort introduktion till hur man hanterar och räknar med matriser i R,

Läs mer

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende. Institutionen för matematik KTH MOELLTENTAMEN Tentamensskrivning, år månad dag, kl. x. (x + 5).. 5B33, Analytiska metoder och linjär algebra. Uppgifterna 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga

Läs mer

A. Grundläggande matristeori

A. Grundläggande matristeori A. Matristeori A. Grundläggande matristeori A.1 Definitioner A.1.1 Matriser och vektorer En matris är en rektangulär tabell av element ordnade i rader och kolonner (kolumner). Elementen i en matris kan

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning

Läs mer

Begrepp:: Kort om Kryssprodukt

Begrepp:: Kort om Kryssprodukt Begrepp:: Kort om Kryssprodukt Introduktion till kryssprodukten Namnet kryssprodukt kommer av att produktsymbolen skrivs som ett kryss. Kryssprodukten av två vektorer u och v skrivs då u v. input = vektorer

Läs mer

6. a) Visa att följande vektorer är egenvektorer till matrisen A = 0 2 0 0 0 0 1 1, och ange motsvarande

6. a) Visa att följande vektorer är egenvektorer till matrisen A = 0 2 0 0 0 0 1 1, och ange motsvarande MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Erik Darpö TENTAMEN I MATEMATIK MAA5 Vektoralgebra TEN2 Datum: juni 25 Skrivtid: 3

Läs mer

MATEMATIK, LINJÄR ALGEBRA för E1, lp 1 2000

MATEMATIK, LINJÄR ALGEBRA för E1, lp 1 2000 MATEMATIK, LINJÄR ALGEBRA för E1, lp 1 2000 Kurschef Gunnar Mossberg (GM). Träffas under lp 1 i anslutning till föreläsningar och seminarieövningar enligt nedan. Dessutom torsdagar kl 12.15 12.45 i rum

Läs mer

Anmärkning: Härledning av ovanstående formel finns i slutet av stencilen.

Anmärkning: Härledning av ovanstående formel finns i slutet av stencilen. VSTÅNDSERÄKNING I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERT KOORDINTSYSTEM ) vstånet mellan två punkter Låt = x, och = x, y, z ) vara två punkter i rummet vstånet mellan och är x) + y y) + z ) = = x z ===================================================

Läs mer

K 4-1. Introduktion till Egenvärden och SVD. Egenvärdesproblemet. Egenvektorn. Egenskaper

K 4-1. Introduktion till Egenvärden och SVD. Egenvärdesproblemet. Egenvektorn. Egenskaper Introduktion till Egenvärden och SVD Har detta något egenvärde? Egenvärdesproblemet Lösning till system av ODE s Egenvärdena är den viktigaste egenskapen i praktiskt taget alla dynamiska system, ofta med

Läs mer

4.2. Vektorprodukt i koordinater

4.2. Vektorprodukt i koordinater 4 Vektorprodukt i koordinater 5 4 Vektorprodukt i koordinater Nästa sats visar hur vi kan räkna med vektorprodukt i en ON-bas Satsen följer av Definition 4 samt räknelagrna i Sats 44 Sats 45 Låt e = {e,

Läs mer

Linjär algebra med MATLAB

Linjär algebra med MATLAB INGENJÖRSHÖGSKOLAN Matematik Fredrik Abrahamsson, Anders Andersson Innehåll Linjär algebra med MATLAB 1 Grundläggande begrepp 1 1.1 Introduktion...................................... 1 1.2 Genomförande

Läs mer