Version Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg"

Transkript

1 Version.8 Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium Mikael Forsberg 8

2 Den här boken är typsatt av författaren med hjälp av L A TEX. Alla illustrationer är utförda av Mikael Forsberg med hjälp av xfig. Stockholm 6- c Mikael Forsberg

3 Innehåll Komplettering i linjär algebra. Om baser till vektorrum Baser för radrum, kolonnrum och nollrum till en matris. 4.. Ortogonala och ortonormala baser Matrisen som avbildning Linjära operatorer Isometrier Egenvärden och egenvektorer Användningar av egenteorin Blandade övningsuppgifter c Mikael Forsberg

4 ii INNEHÅLL c Mikael Forsberg

5 Figurer. Figur till exempel Ellipsen som ges av ekvation (.6), här återgiven med sina symmetriaxlar I de nya variablerna X och Y blir vår sneda ellips i stället en vanlig ellips som ligger symmetriskt kring de nya axlarna. Notera att de nya axlarna är symmetrisaxlarna till den sneda ellipsen som vi såg i figur c Mikael Forsberg

6 iv FIGURER c Mikael Forsberg

7 Kapitel Komplettering i linjär algebra. Om baser till vektorrum Om vi tar en vanlig vektor (a, b) så betyder denna att vi tar a steg längs x-axeln och b steg längs y-axeln. Eftersom dessa axlar har riktningar som vi beskriver med vektorerna e x = (, ) och e y = (, ) så kan vi skriva (a, b) = a(, ) + b(, ), och man säger att (a, b) är en linjärkombination av vektorerna e x och e y. Poängen är också att alla vektorer i planet kan beskrivas på detta sätt. Man säger att vektoruppsättningen S = {(, ), (, )} är en bas för planet. Just denna bas kallas för standardbasen för planet. På samma sätt bildar vektoruppsättningen S 3 = {(,, ), (,, ), (,, )} standardbasen för R 3. Nu är det emellertid så att det finns många baser så vi ska lära oss mer om vad en bas är och hur man kan avgöra om en vektoruppsättning är en bas eller inte. Definitionen fokuserar på två egenskaper som vi kan se hos ovanstående standardbaser. Dels så kan alla vektorer i rummet skrivas som en linjärkombination av basvektorerna men basvektorerna måste vara oberoende av varandra, ingen av de ingående vektorerna ska kunna fås genom att kombinera de övriga. Vi sammanfattar detta formellt i följande Definition... En uppsättning vektorer B = {b,..., b n } i ett vektorrum V kallas för en bas om följande gäller: i.) b,..., b n är linjärt oberoende, dvs ekvationen t b + + t n b n = (.) ska endast har den triviala lösningen t = t = = t n = c Mikael Forsberg

8 Komplettering i linjär algebra ii.) Alla vektorer v V kan skrivas som linjärkombination av vektorerna b,..., b n, dvs det finns tal a,..., a n (kallade koordinaterna för vektorn v med avseende på basen B) sådana att d.v.s. b,..., b n spänner upp vektorrummet V. v = a b +... a n b n, (.) Kommentar... Om en mängd vektorer inte är linjärt oberoende så säger man att de är linjärt beroende. Linjärt beroende betyder alltså att systemet (.), som formuleras nedan i ekvation (.3), har andra lösningar än den triviala lösningen. Man kan också formulera detta som att en av vektorerna kan uttryckas med hjälp av de övriga, vilket förtydligar att vektorerna är beroende av varandra. Kommentar..3. Om vi tittar på ekvation (.) så kan denna skrivas som en homogen matrisekvation Bt =, (.3) där B är matrisen som har vektorerna b i, i =,..., n som kolonner och t är kolonnmatrisen (t,..., t n ) T ( observera transponatet ). Denna skrivning ger oss möjlighet att tolka det linjära oberoendet för några olika fall.. Om vektorerna b i är m-dimensionella med m < n så är B en m n matris med färre rader än kolonner. Detta innebär att systemet (.3) är underbestämt och alltid har andra lösningar än den triviala. I detta fall (m < n) så kan B inte bli en bas. fler vektorer än rumsdimensionen kan aldrig bilda en bas eftersom de alltid är linjärt beroende. Om m > n så är systemet (.3) överbestämt, dvs vi har fler ekvationer än obekanta. Det är då möjligt att systemet bara har den triviala lösningen vilket betyder att Vektorerna b i bildar en bas för ett delrum till V, dvs en delmängd av V som är ett vektorrum i sig. Man kan säga att om vektorerna är linjärt oberoende så bildar de en bas för det rum de spänner upp. Exempel..5 visar en sådan här situation. 3. Det tredje och sista fallet är då m = n vilket innebär att matrisen B är kvadratisk. I detta fall så kan villkoret för linjär oberoende översättas med att säga att matrisen B skall vara inverterbar vilket innebär att determinanten för B ska vara nollskild. Exempel..4. Om vi tittar på följande mängd som består av tre tvådimensionella vektorer B = {b = (, ), b = (, ), b 3 = (a, b)} så är det direkt uppenbart att detta inte blir en bas eftersom den tredje vektorn kan skrivas c Mikael Forsberg

9 . Om baser till vektorrum 3 som en linjärkombination av de två första: (a, b) = a(, ) + b(, ). Det är detta som alltid händer i situationen som beskrivs i punkt i kommentaren ovan! Låt oss nu titta på hur systemet (.3) blir i detta fall [ ] [ t + ] [ a t + b ] [ t 3 = ] [ a b som ger lösningarna (t, t ) = (a, b)t 3 vilket ger många lösningar förutom den triviala lösningen. De tre vektorerna är alltså inte linjärt oberoende (utan linjärt beroende) och bildar alltså inte en bas. Notera dock att de tre vektorerna spänner upp R. För att vara en bas måste mängden innehålla så få vektorer som möjligt. Man kan visa att varje bas för samma vektorrum innehåller samma antal vektorer, det är detta antal vektorer i en bas som vi kallar för vektorrummets dimension. Exempel..5. I detta exempel tittar vi på vektormängden C = {c = (,, ), c = (,, )}. Bildar denna mängd en bas för R 3? Efter att ha läst föregående exempel så vet vi att antalet vektorer i en bas är lika med rummets dimension. I vårt fall krävs det alltså tre vektorer och vår mängd innehåller bara två. Vi kan nu fråga oss om de två vektorerna är linjärt oberoende och om de kan vara en bas för något tvådimensionellt rum (eftersom vi har två vektorer). För att undersöka det linjära beroendet så löser vi följande ekvationssystem t + t = Det följer direkt att detta system endast lösningarna t = t = vilket således bevisar vektorernas linjära oberoende. Vilket rum är C en bas för? För att vara en bas så måste vektorerna spänna upp rummet så om vi skriver upp en typisk linjärkombination så kan vi kanske få en idé: x(,, ) + y(,, ) = (x, y, ) Det ser alltså ut som våra vektorer spänner upp alla tredimensionella vektorer som har noll i sin tredje koordinat. Våra vektor spänner upp x y planet som är ett delrum av R 3. (Ett delrum av R 3 är antingen en linje eller ett plan som går genom origo.) Exempel..6. Undersök vilken av mängderna A = {(,, ), (,, ), (,, )} och B = {(,, 3), (, 3, ), (,, )} som bildar en bas för R 3. Vi använder oss av punkt 3 i kommentar..3 som säger att vi har en bas om och bara om matrisdeterminanten inte är noll. Vi får det = c Mikael Forsberg ],

10 4 Komplettering i linjär algebra och det 3 3 =. Detta innebär alltså att endast mängden A är en bas för R 3! Övning.. Visa att bildar en bas för R b = [ Övning.. Undersök om b =, b = bildar en bas för R 3. Övning.3. Förklara varför B = {, ] [, b = 3, ], b 3 =, inte bildar en bas för R 3. På vilket sätt kan vi enklast göra om B till en bas?.. Baser för radrum, kolonnrum och nollrum till en matris 3 } Radrummet Row(M) till en matris M är det rum som spänns upp av matrisens rader, dvs Row(M) = span( raderna till M) På samma sätt så definierar vi kolonnrummet Col(M) som det rum som spänns av matrisens kolonner, dvs Col(M) = span( kolonnerna till M) Radrummet och kolonnrummet till en matris har samma dimension och denna dimension kallas matrisens rang, som vi betecknar med Rang(M). Baser för rad och kolonnrummen kan beräknas mha Gausselimination på sätt som visas i följande exempel. Nollrummet Noll(M) till en matris M är lösningarna till det homogena systemet M x =. Rangen, nollrummets dimension samt antalet kolonner n i matrisen är kopplade via sambandet Rang(M) + dimension för Noll(M) = n, c Mikael Forsberg

11 . Om baser till vektorrum 5 som är ett viktigt resultat som kallas dimensionssatsen (rank theorem i Lay s bok) Exempel..7. Beräkna baser för rad, kolonn och nollrummen till matrisen 3 3 M = Gausseliminering av M ger oss matrisen 3 M 9 = De två nollskilda raderna i matrisen M bildar en bas för radrummet. För att få fram en bas för kolonnrummet så börjar vi med att identifiera i vilka kolonner som de ledande elementen står i. I vår matris har vi att de ledande elementen i M står i kolonn och. Nu går vi tillbaka till ursprungsmatrisen M och väljer i denna kolonn och, som då blir en bas för kolonnrummet till vår matris. Alltså bas för radrummet: och bas för kolonnrummet blir {(, 3,, ), (, 9,, )} 3 4, 3 6 Observera att de två första kolonnerna i M inte är en bas för kolonnrummet till M även om de är en bas för Col(M ). Problemet är att gausselimineringen, som ju involverar radoperationer visserligen bevarar radrummet medan samma radoperationer förstör kolonnrummet så att Col(M) Col(M ). c Mikael Forsberg

12 6 Komplettering i linjär algebra Från dimensionssatsen vet vi att nollrummet måste vara tvådimensionellt och vi ser också att vi har två fria variabler och detta ger att nollrummet faktiskt är tvådimensionellt. En bas för nollrummet får vi genom att identifiera de fria variablerna z = 9s och u = 9t (om vi sätter x T = (x, y, z, u) T i ekvationen Mx = ) Vi får då från rad i M att y = 9 9s 99t = s t och från rad att x = 3y u = 3s + 6t 9t = 3s 3t varför vi får att lösningen till Mx =, vilket ju är nollrummet, ges av x y z u = från detta är det uppenbart att B = är en bas för nollrummet s +, t.. Ortogonala och ortonormala baser Standardbaserna i föregående sektion har, förutom att de är baser, även andra viktiga egenskaper: för det första är vektorerna ömsesidigt ortogonala och för det andra så har varje vektor längden ett. Vi gör följande definition: Definition..8. n stycken vektorer o,..., o n i R n bildar en ortogonal bas om vektorerna är ömsesidigt ortogonala, dvs om o i o j =, om i j Om alla vektorerna dessutom har längden ett så säger vi har en ortonormal bas. En ortonormal bas brukar ofta kallas en ON bas. Detta kan uttryckas som { om i j o i o j = δ ij = om i = j, där δ ij, definierad av den andra likheten, brukar kallas för Kroneckers 3 delta En mängd vektorer kallas för en ortonormal mängd om de är ömsesidigt ortogonala och alla vektorer har längden. Att vi sätter z = 9s och u = 9t är bara för att slippa få bråk i basvektorerna 3 Kronecker, Leopold (83-89), tysk matematiker. c Mikael Forsberg

13 . Om baser till vektorrum 7 Exempel..9. Basen B = {b = (, ), b = (, )} är en ortogonal bas för R som inte är ortonormal eftersom båda vektorerna har längden. Det är lätt att göra om B till en ON-bas genom att normera de ingående vektorerna, dvs dividera vektorerna med deras längd. Detta betyder att är en ON-bas. B ON = {(/, / ), (/, / )} Definition... En kvadratisk matris är en ortogonal matris om dess kolonner bildar en ortonormal mängd. (Observera att vi faktiskt säger att matrisen är ortogonal och inte ortonormal som man kanske borde) Följande sats pekar ut några av de viktigaste egenskaperna för en ortogonal matris Theorem... Följande är ekvivalent för en n n-matris M i. M är ortogonal ii. M s kollonner bildar en ON-bas för R n iii. M s rader bildar en ortonormal mängd. iv. M s rader bildar en ON-bas för R n v. M = M t vi. M som linjär operator är en isometri (se följande sektioner) Notera att punkt ii. och v. gör att vi får fram ett användbart test för att undersöka om en bas är ortonormal eller inte. Observera att vi tack vare v. även har Korollarium... Om M är en ortogonal matris så är det M = ± Detta korolllarium gör att vi har ett test som avgör om en matris inte är ortogonal. Om determinantens belopp inte är ett så är matrisen inte ortogonal. Däremot finns det gott om matriser med determinant som inte är ortogonala: Exempel..3. Matrisen A = [ 3 ] har determinant men är ej en ortogonal matris eftersom kolonnerna inte ens är ortogonala och de har heller inte längden ett. c Mikael Forsberg

14 8 Komplettering i linjär algebra Exempel..4. Visa att B = {(,, ), (,, ), (,, )} är en ONbas. Vi ställer upp vektorerna som kolonner i en 3 3-matris och beräknar dess determinant: det = Eftersom determinanten är så säger satsen ovan att kolonnerna bildar ONbas för R 3.. Matrisen som avbildning Vi börjar med en definition som visar hur matrier kan uppfattas som avbildningar. Det är viktigt att förstå hur detta fungerar. Definition... Låt A vara en m n matris, där vi påminner om att m är antal rader och n antalet kolonner i matrisen. Då definierar matrisen en linjär avbildning från R n till R m genom R n x Ax R m, där produkten Ax är definierad om vi betraktar den n-dimensionella vektorn x som en n -matris. Vi påminner om att en avbildning L(x) mellan två vektorrum är linjär om följande gäller för två godtyckliga element x, y och två godtyckliga skalärer a och b i L s definitionsmängd: L(ax + by) = al(x) + bl(y). Orden avbildning är en synonym med begreppet funktion. Det är viktigt att förstå att definitionen av matrisprodukten Ax ger en m matris som på ett naturligt sätt tolkas som en m-dimensionell vektor. Låt oss titta på några exempel: Exempel... Låt oss studera 3-matrisen A = (a, b, c). Enligt definitionen ger denna matris en avbildning som går från R 3 till R och som definieras av R 3 x = x y z (a, b, c) x y z = ax + by + cz Den observante känner troligen igen det sista uttrycket som skalärprodukten av vektorerna (a, b, c) och (x, y, z). Vi kan alltså se på skalärprodukten, som en radvektor i en matris multiplicerat med en kolonnvektor i en annan matris. Detta är många gånger en användbar insikt. c Mikael Forsberg

15 . Matrisen som avbildning 9 Exempel..3. Låt A = 3 Då är A en avbildning A : R R 3 och kan, om vi skriver x = (u, v) R, skrivas x = u + v y = 3u + v, z = u + v där x, y och z är variablenamnen i R 3. Låt oss nu titta lite på geometriskt definierade linjära avbildningar och hur man går tillväga för att skriva dem på matrisform. Principen är att man ser hur avbildningen avbildar standardbasvektorerna. De resulterande vektorerna ställs upp som kolonner i en matris och då har vi fått den matris som avbildningen svarar mot. Låt oss illustrera detta i ett par exempel. Exempel..4. Ett av de enklare exemplen att starta med är den avbildning som speglar en tvådimensionell vektor i x-axeln. Denna avbildning kan formuleras som så att y-koordinaten byter tecken: S : R (x, y) (x, y) R. Om vi nu kollar vad som händer med standardbasvektorerna: S((, )) = (, ) och S((, )) = (, ). De resulterande vektorerna ställs nu upp som kolonner i en matris: [ ] A S = och vi kan verifiera att denna matris ger rätt avbildning: [ ] [ ] [ ] A S (x, y) t x x = =, y y vilket ju ser alldeles rätt ut! Notera att determinanten blir vilket är kännetecknande för en spegling. Exempel..5. Låt oss titta på en linjär avbildning som definieras geometriskt genom att alla vektorer roterar med centrum i origo en vinkel t. Situationen är som i figur.: Från figuren ser vi att standardbasvektorerna avbildas enligt R t ((, )) = (cos t, sin t), R t ((, )) = ( sin t, cos t) och då blir avbildningens matris [ cos t sin t A Rt = sin t cos t ] c Mikael Forsberg

16 Komplettering i linjär algebra t cos t sin t t - sin t cos t Figur.: Figur till exempel..5 som är en matris med determinanten + och detta är något som karakteriserar alla rotationer. Övning.4. Beräkna matrisen till den avbildning som geometriskt speglar alla vektorer i y-axeln. Övning.5. Beräkna matrisen för den avbildning som geometriskt är spegling i y-axeln åtföljd av en rotation med π/3, dvs med 6. Övning.6. a. Betrakta linjen y = x. Hitta matrisen för den avbildning som geometriskt är speglinen i denna linje b. Låt linjen y = x vara given. Hitta matrisen för den avbildning som geometriskt är speglingen i denna linje. (kan vara knepig...) c. Generalisera ovanstående till spegling i en allmän linje y = kx. (Detta är en utmanande uppgift!!).3 Linjära operatorer Vi börjar med denna sektions huvudbegrepp. Definition.3.. En linjär avbildning från R n till R n kallar vi för en linjär operator Exempel.3.. En matris ger en operator om och bara om matrisen är kvadratisk. c Mikael Forsberg

17 .3 Linjära operatorer Det viktiga här är alltså att avbildningen avbildar element från ett rum tillbaka till samma rum. Detta gör att vi kan direkt jämföra input med output och bilda oss t.ex. en uppfattning av vad avbildningen innebär geometriskt. Exempel.3.3. Låt oss titta på matrisen ( ) S = som ger oss avbildningen ( ) ( x y ) ( x y ) ( x = y ), dvs vi kan skriva S(x, y) = (x, y) och från detta ser vi att avbildningen byter tecken på y-koordinaten, dvs är en spegling i x-axeln. Vi kan notera att det S = som är kännetecknande för en spegling. En annan sak är att S(x, y) = x + y = (x, y) vilket innebär att S inte förändrar vektorers längder (m.a.o avstånd förändras inte genom denna avbildning). En operator som inte förändrar avstånd kallas för en isometri, vilket vi ska studera i nästa delavsnitt..3. Isometrier I exempel.3.3 såg vi det första exemplet på en isometri. 4 Låt oss nu definiera begreppet ordentligt Definition.3.4. En operator L : R n R n är en isometri om för alla x R n. x = L(x) Kommentar.3.5. Observera att vi i denna definition inte kräver att operatorn är linjär. Det går att visa (vilket ni kan se i separat dokument om isometrier) varje isometri är affin, dvs linjär så när på en translation. Varje isometri kan ges som en ortogonal matris plus en translation, vilket har betydelse för tillämpningar som tapetmönster och liknande. I det som följer ska vi bara studera de linjära isometrierna för att motivera punkt (vii.) i teorem... Theorem.3.6. En linjär operator är en isometri om och bara om dess tillhörande matris är ortogonal. Eftersom isometrier är ortogonala matriser så följer det att deras determinant antingen är + eller. De matriser som har positiv determinant kallas för Rotationer och är en jämn isometri. De som har negativ determinant är Udda isometri och geometriskt så är de speglingar. 4 Isometri kommer av Grekiskans isos =lik, lika och metron = mått c Mikael Forsberg

18 Komplettering i linjär algebra Exempel.3.7. Man kan visa att en rotation med en vinkel α ges av följande matris [ ] cos α sin α R α = sin α cos α Man får att det R α = cos α + sin α =.4 Egenvärden och egenvektorer När vi har en linjär operator så är det naturligt att jämföra input med output. Man kan t.ex. se i fallet spegling i x-axeln, som vi studerade i exempel..4, att det finns två riktningar som inte förändras. Den mest uppenbara är ju själva spegellinjen (x-axeln) men också y-axeln förändras inte (den vänds bara upp och ned). Sådana oföränderliga riktningar är väldigt viktiga eftersom de säger mycket om avbildningens natur. Det visar sig också att dessa riktningar faktiskt karakteriserar avbildningen vilket gör det fruktbart att studera detta. Följande definition ställer upp detta problem på ett sätt som kommer visa sig användbart: Definition.4.. Låt A vara en n n matris vilket betyder att A är matrisen för en linjär operator från R n till sig själv. När vi söker en riktning xsom inte förändras så söker man lösning till systemet Ax = λx, (.4) där λ kallas för ett egenvärde och x för en egenvektor som hör till egenvärdet λ. Kommentar.4.. Ekvation (.4) betyder geometriskt att vi förväntar oss att en längden för vektorn x kan ändras medan riktningen bibehålls. Ekvationen skrivs vanligen om på följande sätt = Ax λx = Ax λix = (A λi)x (.5) som alltså är ett homogent ekvationssystem. Det är uppenbart att x = är en lösning men den kallar vi för den triviala lösningen eftersom den inte ger någon information alls om avbildninen. Vi är i stället intresserade av de icketriviala lösningar som systemet har. Proposition.4.3. Egenvärdesproblemet i (.5) har icketriviala lösningar precis då matrisen A λi inte är inverterbar, dvs precis då det(a λi) = c(λ) = det(a λi) blir ett polynom i variabeln λ som vi kallar för det karakteristiska polynomet och egenvärdena är tydligen nollställen till detta polynom. Låt oss nu försöka lösa ett enkelt egenvärdesproblem: Exempel.4.4. Hitta egenvärden och egenvektorer till matrisen [ ] 3 4 A =. 4 3 c Mikael Forsberg

19 .4 Egenvärden och egenvektorer 3 Vi bestämmer först det karakteristiska polynomet: [ ] 3 λ 4 c(λ) = det(a λi) = det = (3 + λ)(3 λ) 6 = λ 5, 4 3 λ som har nollställena λ = ±5, vilket alltså är våra egenvärden. För att beräkna egenvektorerna så måste vi lösa ekvationssystemet (A λi)x = för båda våra egenvärden. Det blir alltså två ekvationssystem att lösa i detta fallet: λ = 5: (A 5I)x = blir [ ] Gausseliminering ger [ [ som har lösningen y = t godtycklig och x = t/ och om vi skriver detta på vektoriell parameterform får vi ( ) E λ=5 = s, där vi satt s = t för att få lite snyggare siffror. E λ=5 kallar vi för egenrummet till λ = 5. Egenrummet innehåller alla möjliga egenvektorer till det aktuella egenvärdet. Vektorn ( ) e λ=5 =, är då en egenvektor som hör till egenvärdet λ = 5 λ = 5: (A ( 5)I)x = blir [ ] Gausseliminerar vi detta system får vi [ ] som har lösningarna, sammanfattade som ett egenrum ( ) E λ= 5 = s, och en naturlig egenvektor blir i detta fall: ( e λ= 5 = ) c Mikael Forsberg

20 4 Komplettering i linjär algebra Notera att de båda egenvektorerna är ortogonala. Faktiskt är det så att alla vektorer i det ena egenrummet är ortogonala mot alla egenvektorer i det andra egenrummet. Man kan därför säga att egenrummen är ortogonala ortogonala egenrum. Detta gäller alltid om matrisen vi startade med är symmetrisk, dvs om A = A t Övning.7. Vad betyder matrisen A i exempel.4.4 geometriskt. Vad händer t.ex. med standardbasvektorerna och försök göra bilden fullständig m.h.a. dessa. Glöm inte bort att egenvektorerna pekar ut riktningar som inte förändras och representerar därför symmetriegenskaper för avbildningen som A definierar. Övning.8. Beräkna egenvärden, egenvektorer och egenrum för den symmetriska matrisen [ ] Varning: detta är en typisk situation där egenvärdena blir typiskt knepiga... Situationer med heltalsegenvärden är ovanliga. Svar : Övning.9. Beräkna egenvärden, egenvektorer och egenrum för den symmetriska matrisen A = Övning.. Beräkna symmetririktningar för matrisavbildningen [ ] 7 A = Användningar av egenteorin Vi har sett att egenvärden och egenvektorer ser ut att ha stor betydelse för en avbildnins egenskaper. Om tid ges så avser jag att komplettera detta avsnitt med exempel på hur man kan använda de symmetrier som egenvektorerna pekar ut för att skriva om avbildningarna på enklare sätt. Egenvektorerna till symmetriska matriserna kan beräknas så att de bildar en ON bas. Genom att göra ett koordinatbyte till denna bas så kan avbildningen skrivas på enklast möjliga sätt. Ett sätt att lösa övning.7 är att utföra en sådan beräkning. Exempel.4.5. Betrakta situationen i exempel.4.4 och frågeställningen i övning.7. Om vi normerar egenvektorerna e λ=±5 så får vi en ON-bas för R. Ställer vi upp dem som kolonner i en matris P så blir denna matris ortogonal enligt sats... Vi har alltså att P = [ / 5 / 5 / 5 / 5 c Mikael Forsberg ]

21 .4 Egenvärden och egenvektorer 5 och beräknar vi determinanten så ser vi att denna är + vilket gör att P geometriskt är en rotation (byter jag plats på egenvektorerna så byter determinanten tecken och vi får då i stället en spegling). Nu gör jag ett basbyte, eller variabelbyte/substitution, med hjälp av denna matris P. En följd av detta blir att jag multiplicerar A med P från vänster och med P från höger och vi får (kom ihåg att inversen till en ortogonal matris är lika med transponatet): P t AP = [ / 5 / 5 / 5 / 5 ] [ ] [ / 5 / 5 / 5 / 5 ] = [ 5 5 Notera att denna manöver gav oss en matris (som vi kallar för D ) med egenvärdena på diagonlen och nollor i övrigt. Vi kan nu se att denna diagonala matris representerar en spegling i y-axeln och en förstoring med en faktor 5 ty vi får att D(x, y) t = 5( x, y). ]. Exempel.4.6. Lösningarna till ekvationen 5x 4xy + 8y 36 = (.6) är geometriskt ellipsen i figur.. Notera att ellipsen är roterad i förhållande till koordinataxlarna. Det är den blandade termen 4xy som ger upphov till detta. Vi ska se hur vi kan hitta nya variabler i vilka ellipsen ligger oroterad och med x y Figur.: Ellipsen som ges av ekvation (.6), här återgiven med sina symmetriaxlar. dessa variabler kommer ellipsens ekvation att sakna blandad term. Så här gör man: i. Vi skriver vänster led av (.6) på matrisform: ( ) ( ) ( 5 x x y 8 y ) = 36 (.7) c Mikael Forsberg

22 6 Komplettering i linjär algebra Genom att sätta x = så kan vi skriva ekvation (.7) som ( x y ) x T Ax = 36 (.8), där A = ( 5 8 ) ii. Beräkna egenvärden och egenvektorer till matrisen A. Egenvärdena blir λ = 4 och λ = 9 och motsvarande normerade egenvektorer blir e λ=4 = 5 (, ) och e λ=9 = 5 (, ). iii. Bilda den ortogonala matrisen P som har dessa egenvektorer som kolonner: ) P = ( iv. Utför variabelbytet ( x x = y ) ( X = P Y ) = P X som ger att, där x T Ax = X T P T AP X = X T DX, (.9) P T AP = D = ( 4 9 ). v. När vi räknar ut vad som står i (.9) så får vi att ekvationen.8 så får vi ekvationen 4X + 9Y = 36, vilket illustreras i figur.3. Övning.. Utför beräkningarna av egenvärden och egenvektorer till matrisen A i exempel.4.6. Övning.. Verifiera att matrisen P i exempel.4.6 är en ortogonal matris. Är matrisen en rotation eller en spegling?.5 Blandade övningsuppgifter Övning.3. c Mikael Forsberg

23 .5 Blandade övningsuppgifter X Y Figur.3: I de nya variablerna X och Y blir vår sneda ellips i stället en vanlig ellips som ligger symmetriskt kring de nya axlarna. Notera att de nya axlarna är symmetrisaxlarna till den sneda ellipsen som vi såg i figur. c Mikael Forsberg

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor. TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på

Läs mer

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta?

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta? ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - LINJÄR ALGEBRA För att verkligen kunna förstå och tillämpa kvantmekaniken så måste vi veta något om den matematik som ligger till grund för formuleringen av vågfunktionen

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014 SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 214 Skrivtid: 14.-19. Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Roy Skjelnes Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

DN1230 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 2013

DN1230 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 2013 TILLÄMPAD LINJÄR ALGEBRA, DN123 1 DN123 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 213 Skrivtid: 8-13 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Anna-Karin Tornberg Betygsgränser: Betyg A B C D E

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Vektorer i planet och i rummet III Innehåll

Läs mer

För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a 2015 02 26. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31

För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a 2015 02 26. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31 ATM-Matematik Mikael Forsberg 074-4 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma04a 0 0 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)

Läs mer

M = c c M = 1 3 1

M = c c M = 1 3 1 N-institutionen Mikael Forsberg Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Deadline :: 8 9 4 Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta är en samling kompletterande uppgifter till Linjär Algebra II för lärare. Exemplen är av varierande svårighetsgrad och

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2005-08-26. DAG: Fredag 26 augusti 2005 TID: 8.30-12.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2005-08-26. DAG: Fredag 26 augusti 2005 TID: 8.30-12. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 5-8-6 DAG: Fredag 6 augusti 5 TID: 8.3-.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

Basbyte (variabelbyte)

Basbyte (variabelbyte) Basbyte (variabelbyte) En vektors koordinater beror på valet av bas! Tänk på geometriska vektorer här. v har längden 2 och pekar rakt uppåt i papprets plan. Kan vi då skriva v (, 2)? Om vi valt basvektorer

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003

Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Mikael Forsberg 12 augusti 2003 Innehåll 1 Kursbok 2 2 Kursinnehåll 2 2.1 Kursens uppläggning......................... 2 2.2 Målsättning..............................

Läs mer

där β R. Bestäm de värden på β för vilka operatorn är diagonaliserbar. Ange även för respektive av dessa värden en bas av egenvektorer till F.

där β R. Bestäm de värden på β för vilka operatorn är diagonaliserbar. Ange även för respektive av dessa värden en bas av egenvektorer till F. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA9 Linjär algebra Datum: 7 januari 04 Skrivtid:

Läs mer

2 1 1 s s. M(s) = (b) Beräkna inversen för det minsta positiva heltalsvärdet på s som gör matrisen inverterbar.

2 1 1 s s. M(s) = (b) Beräkna inversen för det minsta positiva heltalsvärdet på s som gör matrisen inverterbar. TM-Matematik Mikael Forsberg 7 Linjär algebra/matematik för ingenjörer maa, maa 5 6 Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel förutom pennor, sudd, linjal, gradskiva. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016 SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista

Läs mer

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan Fö 9: November 7, 5 Determinanter och ekvationssystem Betrakta ett linjärt ekvssystem A X = B, där A är en kvadratisk n n)-matris och X, B n )-matriser. Låt C = [A B] utökad matris ). Gausselimination

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

Linjär algebra på 2 45 minuter

Linjär algebra på 2 45 minuter Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom

Läs mer

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av

Läs mer

Linjär algebra. Lars-Åke Lindahl

Linjär algebra. Lars-Åke Lindahl Linjär algebra Lars-Åke Lindahl 2009 Fjärde upplagan c 2009 Lars-Åke Lindahl, Matematiska institutionen, Uppsala universitet Innehåll Förord................................. v 1 Linjära ekvationssystem

Läs mer

y z 3 = 0 z 5 16 1 i )

y z 3 = 0 z 5 16 1 i ) ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-433 Sören Hector 7-46686 Rolf Källström 7-6939 Ingenjörer, Lantmätare och Distansstuderande, mfl. Linjär Algebra ma4a 4 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer

Exempel :: Spegling i godtycklig linje.

Exempel :: Spegling i godtycklig linje. INNEHÅLL Exempel :: Spegling i godtycklig linje. c Mikael Forsberg :: 6 augusti 05 Sammanfattning:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som

Läs mer

Dagens ämnen. Repetition basbyten och linjära avbildningar Diagonalisering Kvadratiska former. Andragradskurvor

Dagens ämnen. Repetition basbyten och linjära avbildningar Diagonalisering Kvadratiska former. Andragradskurvor Seminarium 25 Dagens ämnen Repetition basbyten och linjära avbildningar Diagonalisering Kvadratiska former Matrisform Diagonalisering av kvadratiska former Andragradskurvor De olika kurvtyperna Rita graferna

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll

Läs mer

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn. KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =

Läs mer

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26 Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 4-5-6 DAG: Måndag 6 maj 4 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:

Läs mer

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För studenter på distans och campus Linjär algebra maa Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

Begrepp :: Determinanten

Begrepp :: Determinanten c Mikael Forsberg 2008 1 Begrepp :: Determinanten Rekursiv definition :: Kofaktorutveckling Låt oss börja definiera determinanten för en 1 1 matris A = (a). En sådan matris är naturligtvis bara ett vanligt

Läs mer

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra Geometri. Uppgifter, 25 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av linjära

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 JOHAN ASPLUND INNEHÅLL 1 Inre produktrum 1 2 Cauchy-Schwarz olikhet 3 3 Ortogonala projektioner och Gram-Schmidts process 3 4 Uppgifter 4 61:13(a) 4 61:23(a) 4 61:29 5 62:7

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination

Läs mer

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra 1 Föreläsningsanteckningar i linjär algebra Per Jönsson och Stefan Gustafsson Malmö 2013 2 Innehåll 1 Linjära ekvationssystem 5 2 Vektorer 11 3 Linjer och plan 21 4 Skalärprodukt 27 5 Vektorprodukt 41

Läs mer

Linjär algebra kurs TNA002

Linjär algebra kurs TNA002 Linjär algebra kurs TNA002 Lektionsanteckningar klass ED1 I detta dokument finns ett utdrag av de tavelanteckningar som uppkommit under lektionstid under kursen TNA002. Alltså kan detta dokument långt

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 UPPGIFT (1) Låt V vara mängden av vektorer (x 1, x 2, x 3 ) i R 3 som uppfyller

Läs mer

Objective:: Linjärt beroende och oberoende version 1.0

Objective:: Linjärt beroende och oberoende version 1.0 DEFINITIONEN AV LINJÄRT BEROENDE MED EXEMPEL Objective:: Linjärt beroende och oberoende version. Definitionen av linjärt beroende med exempel Vi börjar med ett inledande exempel för att motivera definitionen

Läs mer

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t SF624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag måndag, 3 mars 207 Betrakta vektorerna P =, Q = 3, u = Låt l vara linjen som går genom 2 0 P och Q och låt l 2 vara linjen som är parallell med u

Läs mer

Definition 1 Ett vektorrum M (över R) är en mängd element, vektorer, sådan att det finns en kommutativ operation + på mängden M som uppfyller

Definition 1 Ett vektorrum M (över R) är en mängd element, vektorer, sådan att det finns en kommutativ operation + på mängden M som uppfyller April 27, 25 Vektorrum Definition Ett vektorrum M (över R) är en mängd element, vektorer, sådan att det finns en kommutativ operation + på mängden M som uppfyller. x M och y M = x + y M. 2. x + y = y +

Läs mer

Uppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra

Uppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra Geometri. Uppgifter, 24 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt A = (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 Allmänt gäller följande: Om lösningen helt saknar förklarande text till beräkningar och formler ges högst två

Läs mer

LINJÄRA AVBILDNINGAR

LINJÄRA AVBILDNINGAR LINJÄRA AVBILDNINGAR Xantcha november 05 Linjära avbildningar Definition Definition En avbildning T : R Ñ R (eller R Ñ R ) är linjär om T pau ` bvq at puq ` bt pvq för alla vektorer u, v P R (eller u,

Läs mer

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) 2013 08 24, 14 19.

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) 2013 08 24, 14 19. LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra (TATA/TEN 8, 9. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. För godkänt räcker 9 poäng och minst uppgifter

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Repetera hur man nner bas för rum som spänns upp av några vektorer Reptetera hur man nner bas för summa och snitt av delrum. Reptetera

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A 1 a Bestäm de komplexa koefficienterna a, b och c så att polynomet Pz z 3 + az 2 + bz + c har nollställena

Läs mer

Lite Linjär Algebra 2017

Lite Linjär Algebra 2017 Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 8 Institutionen för matematik KTH 16 november 2016 Matriser och linjära avbildningar Dagens ämnen (kap 3.3 och 3.4): Exempel på linjära avbildningar Nollrum och Bildrum Dimensionssatsen / Rangsatsen

Läs mer

Isometrier och ortogonala matriser

Isometrier och ortogonala matriser Isometrier och ortogonala matriser (Delvis resultat som kunde kommit tidigare i kursen) För att slippa parenteser, betecknas linära avbildningar med A och bilden av x under en lin avbildn med Ax i stället

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 6 Institutionen för matematik KTH 11 november 2016 Feedback Innan vi börjar: En liten feedback-övning Vad menas med rangen av en matris? Vad menas med ett homogent linjärt ekvationssystem?

Läs mer

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A = 62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader

Läs mer

0 Allmänt. Följande delar behöver man kunna utöver avsnitten som beskrivs senare i dokumentet.

0 Allmänt. Följande delar behöver man kunna utöver avsnitten som beskrivs senare i dokumentet. Linja r algebra TATA (del) Allmänt Följande delar behöver man kunna utöver avsnitten som beskrivs senare i dokumentet. Matrisekvationer och Gauss-elimination o Parameterform Allmänt om vektorer o Räknelagar

Läs mer

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002.

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. Läsråd: Detta är ett stöd för dig som vill repetera inför en omtentamen. 1. Börja

Läs mer

Studieanvisningar. H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan. Wiley, 2005 (betecknas A nedan).

Studieanvisningar. H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan. Wiley, 2005 (betecknas A nedan). Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Linjär algebra och geometri I, 5 hp (distans) 2-3-7 Studieanvisningar. Kurslitteratur: H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan.

Läs mer

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Omfattning: Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll: Olika aspekter av linjära ekvationssystem: skärning mellan geometriska objekt, linjärkombination

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 9--6 DAG: Fredag 6 januari 9 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I Innehåll En liten tillbakablick:

Läs mer

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 3

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 3 Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 3 Kapitel 4, 9.2 och 5 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.) Välkommen

Läs mer

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0).

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0). TM-Matematik Mikael Forsberg Linjär algebra mk4a Övningstenta LA-. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x = (,, ), x = (,, ) och x = (,, ).. För alla värden på parametern

Läs mer

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen 86 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR 6.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen Definition 6.36. Låt F : V W vara en linjär avbildning.. Nollrummet till F definierar vi som mängden av alla u V som avbildas på nollvektorn,

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna

Läs mer

Linjära avbildningar. Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om. EX. Speglingar, rotationer, projektioner i R 3.

Linjära avbildningar. Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om. EX. Speglingar, rotationer, projektioner i R 3. Linjära avbildningar Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om F (v +v ) = F (v)+f (v ) och F (cv) = cf (v) för alla v, v V och alla skalärer c. EX. Speglingar, rotationer,

Läs mer

2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X = 2 0 1 2. 1 1 0 2

2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X = 2 0 1 2. 1 1 0 2 . Tisdagen 35 Igår visade vi att lösningsmängden W R 5 till ekvationssystemet 3x + x 2 + 3x 3 + 2x 4 x 5 = (..) 2x 2 + x 3 + 4x 4 + 2x 5 = 3x 3x 2 + x 3 6x 4 5x 5 = har bas u och u 2 och u 3 där 5 2 6

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade

Läs mer

Examination: En skriftlig tentamen den 15 mars samt möjlighet till en omtentamen. Tider och lokaler meddelas senare.

Examination: En skriftlig tentamen den 15 mars samt möjlighet till en omtentamen. Tider och lokaler meddelas senare. Kursprogram till Linjär algebra II, SF1604, för D1, vt12. Kursledare och föreläsare: Olof Heden Lindstedtsvägen 25 rum 3641 Tel:790 62 96 (mobil: 0730 547 891) e-post: olohed@math.kth.se Övningar: grupp

Läs mer

x 1 x 2 x 3 x 4 mera allmänt, om A är en (m n)-matris, då ger matrismultiplikationen en avbildning T A : R n R m.

x 1 x 2 x 3 x 4 mera allmänt, om A är en (m n)-matris, då ger matrismultiplikationen en avbildning T A : R n R m. Fredagen 006 Avbildningar Låt A vara matrisen () = 0 0 Till varje vektor X i R får vi vid matrismultiplikationen AX en vektor i R Mera explicit, om X = x x x x är en given punkt i R, då får vi punkten

Läs mer

Instuderingsuppgifter & Läsanvisningar till Linjär Algebra II för lärare

Instuderingsuppgifter & Läsanvisningar till Linjär Algebra II för lärare Instuderingsuppgifter & Läsanvisningar till Linjär Algebra II för lärare Per Alexandersson February 27, 2013 Abstract Här är läsanvisningar samt några kompletterande uppgifter till materialet i kursboken

Läs mer

1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer.

1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer. Ortogonalitet Man kan tala om vinkel mellan vektorer.. Skalär produkt Vi definierar längden (eller normen) av en vektor som ett reellt tal 0 (Se boken avsnitt.). Vi definierar skalär produkt (Inner product),

Läs mer

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0 Diagonalisering Anm. Begreppet diagonaliserbarhet är relevant endast för linjära avbildningar mellan rum av samma dimension, d.v.s. sådana som representeras av kvadratiska matriser. När vi i fortsättningen

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA HT2013. Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan.

LINJÄR ALGEBRA HT2013. Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan. LINJÄR ALGEBRA HT2013 JONAS WIKLUND Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan. 1. LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM OCH MATRISER 1.1 Introduktion. Till stor del bör du känna till ekvationslösning

Läs mer

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2015-04-18

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2015-04-18 Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 5-4-8 DAG: Lördag 8 april 5 TID: 8.3 -.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:

Läs mer

Basbyten och linjära avbildningar

Basbyten och linjära avbildningar Föreläsning 11, Linjär algebra IT VT2008 1 Basbyten och linjära avbildningar Innan vi fortsätter med egenvärden så ska vi titta på hur matrisen för en linjär avbildning beror på vilken bas vi använder.

Läs mer

Omtentamen i DV & TDV

Omtentamen i DV & TDV Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström (e-post wikstrom) Omtentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar för DV & TDV Tentamensdatum: 2005-06-07 Skrivtid: 9-15 Hjälpmedel: inga

Läs mer

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1 Omfattning Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll Olika aspekter av linjära ekvationssystem 1. skärning mellan geometriska

Läs mer

varandra. Vi börjar med att behandla en linjes ekvation med hjälp av figur 7 och dess bildtext.

varandra. Vi börjar med att behandla en linjes ekvation med hjälp av figur 7 och dess bildtext. PASS 8 EKVATIONSSYSTEM OCH EN LINJES EKVATION 8 En linjes ekvation En linjes ekvation kan framställas i koordinatsystemet Koordinatsystemet består av x-axeln och yaxeln X-axeln är vågrät och y-axeln lodrät

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd är att räkna upp de elementen i mängden, tex Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK Mat-11510 Grundkurs

Läs mer

17. Övningar ÖVNINGAR Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av. x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3

17. Övningar ÖVNINGAR Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av. x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3 192 17 ÖVNINGAR 17. Övningar 17.1. Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av F(eX) = ey = e x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3, G(eX) = e x 1 x 2 x 2 2 x 2 + x 3 Undersök

Läs mer

x 1 x 2 T (X) = T ( x 3 x 4 x 5

x 1 x 2 T (X) = T ( x 3 x 4 x 5 Lördagen 6 Nu vill vi fokusera på linjära avbildningar från vektorrum W Om T : R n R n är en linjär avbildning, och W R n ett vektorrum, då har vi en inducerad avbildning T W : W R m Och denna avbildning

Läs mer

KTH, Matematik. Övningar till Kapitel , 6.6 och Matrisframställningen A γ av en rotation R γ : R 2 R 2 med vinkeln γ är

KTH, Matematik. Övningar till Kapitel , 6.6 och Matrisframställningen A γ av en rotation R γ : R 2 R 2 med vinkeln γ är KTH, Matematik Övningar till Kapitel 5.5-5.6, 6.6 och 8.3-8.6. Matrisframställningen A γ av en rotation R γ : R R med vinkeln γ är ( cos(γ sin(γ. sin(γ cos(γ Då R α+β = R α R β, är matrisen ( cos(α + β

Läs mer

Problemsamling i Linjär Algebra II. Erik Darpö

Problemsamling i Linjär Algebra II. Erik Darpö Problemsamling i Linjär Algebra II Erik Darpö ii Notation Inklusion Samma som A B Matriserna A och B är radekvivalenta I n Enhetsmatrisen av storlek n n R n Vektorrummet av alla kolonnvektorer av storlek

Läs mer

Linjär Algebra 764G01: Kommentarer och läsanvisningar till kursboken

Linjär Algebra 764G01: Kommentarer och läsanvisningar till kursboken Linjär Algebra 764G01: Kommentarer och läsanvisningar till kursboken Här följer kommentarer om sånt i boken som kan behövas förtydligas samt anvisningar om vad som ska läsas, eller snarare vilka delar

Läs mer

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA 5 LINJÄR ALGEBRA 5 Linjär algebra En kul gren av matematiken som inte fått speciellt mycket utrymme i gymnasiet men som har många tillämpningsområden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi, samhällsplanering

Läs mer

Tentamen i Linjär algebra , 8 13.

Tentamen i Linjär algebra , 8 13. LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: ETE5 Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra 5 8, 8. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. Resultatet meddelas vi e-post. För godkänt räcker

Läs mer

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion VEKTORRUMMET R n RYSZARD RUBINSZTEIN 28--8. Introdktion Låt n vara ett heltal. Med R n kommer vi att beteckna mängden vars element är alla n-tipplar av reella tal (a, a 2,..., a n ), R n = { (a, a 2,...,

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris Krister Svanberg, mars 2012 1 De fyra fundamentala underrummen till en matris 1.1 Definition av underrum En given delmängd M av IR n säges vara ett underrum i IR n om följande gäller: För varje v 1 M,

Läs mer

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA.

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel. Skriv följande vektorsummor som en vektor a AB + BC b BC + CD + DA..2 Sök i nedanstående figur de vektorer som har samma längd och samma riktning som vektorn

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer II Innehåll

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Riktade sträckor och Geometriska vektorer En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

Matematik för ingenjörer. Version fortsättningskurs, 3mi32a. Föreläsningar, VT Mikael Forsberg

Matematik för ingenjörer. Version fortsättningskurs, 3mi32a. Föreläsningar, VT Mikael Forsberg Matematik för ingenjörer fortsättningskurs, 3mi32a Föreläsningar, VT 26 Mikael Forsberg Version.4 VT 26 2 Stockholm 26 c Mikael Forsberg Innehåll Förord v Talföljder och serier. Talföljder................................2

Läs mer

Extraövningar, linjär algebra

Extraövningar, linjär algebra Extraövningar, linjär algebra Uppgifter markerade med * kan innehålla något moment som är kursivt, medan uppgifter markerade med ** kan vara av det svårare slaget och innehålla något moment som inte ingår

Läs mer