2. Find, for each real value of β, the dimension of and a basis for the subspace

Transkript

1 MÄLARDALEN UNIVERSITY School of Education, Culture and Communication Department of Applied Mathematics Examiner: Lars-Göran Larsson EXAMINATION IN MATHEMATICS MAA50 Vector Algebra, TEN Date: Write time: hours Aid: Writing materials, ruler This examination is intended for the examination part TEN. The examination consists of five randomly ordered problems each of which is worth at maximum 5 points. The pass-marks, 4 and 5 require a minimum of, 6 and points respectively. The minimum points for the ECTS-marks E, D, C, B and A are,, 6, 0 and 4 respectively. If the obtained sum of points is denoted S, and that obtained at examination TEN S, the marks for a completed course are determined according to S, S and S + S 47 S, S and S + S 8 E S, S and 48 S + S 6 4 S, S and 9 S + S 47 D 6 S + S 5 S, S and 48 S + S 59 C S, S and 60 S + S 7 B 7 S + S A Solutions are supposed to include rigorous justifications and clear answers. All sheets of solutions must be sorted in the order the problems are given in.. The linear transformations F : E E and G : E E are such that F rotates vectors one eighth turn counterclockwise, while G by the factors and / rescales the first and the second of the coordinates respectively of vectors. Find the standard matrices of the compositions F G and G F. (E is the vector space R equipped with the standard inner product.). Find, for each real value of β, the dimension of and a basis for the subspace M β = span{( 7, 5, 8), (6, 9, 4), (, β, 6)} of R. Also, find all values of β for which the vector v = (5, 6, 0) belongs to the subspace, and state for these β the coordinates of v relative to the chosen bases respectively.. The linear operator F : R R has the matrix A = 0 0 relative to the standard basis. Find a basis for each eigenspace of F, and conclude whether F is diagonalizable or not. 4. Find the orthogonal projection of the vector (5,, ) on the vector space M defined according to M = {(x, x, x ) E : x + x + x = 0}, where E is the vector space R equipped with the standard inner product. 5. Solve the equation z = 8 i and give in the complex plane an illustration of the solution set. Om du föredrar uppgifterna formulerade på svenska, var god vänd på bladet.

2 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA50 Vektoralgebra, TEN Datum: Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Skrivdon, linjal Denna tentamen är avsedd för examinationsmomentet TEN. Provet består av fem stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maximalt 5 poäng. För godkänd-betygen, 4 och 5 krävs erhållna poängsummor om minst, 6 respektive poäng. Om den erhållna poängen benämns S, och den vid tentamen TEN erhållna S, bestäms graden av ett sammanfattningsbetyg på en slutförd kurs enligt S, S och S + S 47 S, S och 48 S + S S + S 5 Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade i den ordning som uppgifterna är givna i.. De linjära avbildningarna F : E E och G : E E är sådana att F roterar vektorer en åttondels varv moturs, medan G med faktorerna och / skalar om den första respektive den andra av koordinaterna för vektorer. Bestäm standardmatriserna för sammansättningarna F G och G F. (E är vektorrummet R utrustat med standardskalärprodukten.). Bestäm, för varje reellt värde på β, dimensionen av och en bas för delrummet M β = span{( 7, 5, 8), (6, 9, 4), (, β, 6)} till R. Bestäm även alla värden på β för vilka vektorn v = (5, 6, 0) tillhör delrummet, och ange för dessa β koordinaterna för v relativt respektive av de valda baserna.. Den linjära operatorn F : R R har matrisen A = 0 0 relativt standardbasen. Bestäm en bas för varje egenrum till F, och avgör huruvida F är diagonaliserbar eller inte. 4. Bestäm den ortogonala projektionen av vektorn (5,, ) på vektorrummet M definierat enligt M = {(x, x, x ) E : x + x + x = 0}, där E är vektorrummet R utrustat med standardskalärprodukten. 5. Lös ekvationen z = 8 i och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden. If you prefer the problems formulated in English, please turn the page.

3

4

5 MÄLARDALEN UNIVERSITY School of Education, Culture and Communication Department of Applied Mathematics Examiner: Lars-Göran Larsson Final examination TEN The standard matrix of FF GG is and that of GG FF is EXAMINATION IN MATHEMATICS MAA50 Vector algebra EVALUATION PRINCIPLES with POINT RANGES Academic year: 07/8 Maximum points for subparts of the problems in the final examination p: Correctly found the standard matrix of FF p: Correctly found the standard matrix of GG p: Correctly found the standard matrix of FF GG p: Correctly found the standard matrix of GG FF if ββ = 9. dim(mm ββ ) = if ββ 9 A basis for MM ββ is e.g. uu, uu if ββ = 9 and uu, uu, uu if ββ 9, where the vectors are those listed in the spandefinition of MM ββ.the coordinates of vv relative to the chosen bases are, if ββ = 9,, 0 if ββ 9 p: Correctly found the dimension of MM ββ for each value of ββ p: Correctly found a basis for MM ββ for each value of ββ p: Correctly found that vv MM ββ for every value of ββ p: Correctly found the coordinates of vv relative the chosen basis as ββ = 9 p: Correctly found the coordinates of vv relative the chosen basis as ββ 9. Bases for the eigenspaces of FF are e.g. (,0,0), (0,, ) corresponding to the eigenvalue, and e.g. (,,) corresponding to the eigenvalue 4. FF is diagonalizable since the geometric multiplicities of the eigenvalues equals their algebraic multiplicies respectively p: Correctly found the eigenvalues of FF p: Correctly found a basis for the eigenspace corresponding to the eigenvalue p: Correctly found a basis for the eigenspace corresponding to the eigenvalue 4 p: Correctly concluded that FF is diagonalizable 4. proj MM (5,,) = (, 4,) p: Correctly found a basis for MM p: Correctly orthogonalized the chosen basis for MM as a proper preparation for finding of the orthogonal projection of the vector (5,,) on MM p: Correctly found the orthogonal projection asked for 5. The roots of the equation are zz nn = ee ii ππ 6 +nn ππ, nn = 0,,, p: Correctly reformulated the equation as zz 4 = 6ee ππππ p: Correctly substituted zz by rree iiii for solving the equation by the use of polar coordinates, and correctly found (by taking the absolute values of the LH and the RH sides of the equation) that rr = p: Correctly from the remaining equation ee 4iiii = ee ππππ concluded that 4θθ = ππ + nnππ, where nn is an integer p: Correctly summarized the four roots (irrespective of form) p: Correctly illustrated the solution set ()