3. Lös ekvationen 3 + z = 3 2iz och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

Transkript

1 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA Grundläggande vektoralgebra TEN4 Datum: 4 januari 0 Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen TEN4 består av fem stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maximalt 4 poäng. För godkänd-betygen, 4, och 5 krävs erhållna poängsummor om minst 9, respektive 7 poäng. Om den erhållna poängen benämns S 4, och den vid tentamen TEN erhållna S, bestäms graden av sammanfattningsbetyg på en slutförd kurs enligt S, S 4 9 och S + S 4 4 S, S 4 9 och 4 S + S S + S Betygen 4 eller 5 tilldelas även den som vid sitt ordinarie kurstillfälle och vid sina motsvarande ordinarie tentamina uppnått resultatet 9 S + S 4 50 respektive S + S 4 5, och som på examinationsmomentet INL uppnått betyget vg. Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade i den ordning som uppgifterna är givna i.. Bestäm på parameterfri form ekvationen för det plan π som är vinkelrätt mot såväl planet π : (x, y, z) = (r + s, s, r) som planet π : x y + z 4 = 0, och som innehåller punkten Q : (,, ). (HON-system). Vektorerna f, f och f är definierade enligt f = u + u + u, f = u + ωu + u, f = u + 4u + ωu, där uppsättningen vektorer u är linjärt oberoende. För vilka ω utgör uppsättningen vektorer f, f, f en bas i rummet?. Lös ekvationen + z = iz och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden. 4. Punkten P : (,, ) speglas i linjen λ : (x, y, z) = (4 t, t, 5 + 4t). Bestäm koordinaterna för spegelbilden av P. (ON-system) 5. Beräkna determinanten

2

3

4 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA Grundläggande vektoralgebra BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN Läsår: 0/ Tentamen TEN : x 0y 8z Scenario för övriga tre poäng p: Korrekt på parameterform formulerat ekvationen för planet p: Korrekt eliminerat en av parametrarna från två av ekv:na p: Korrekt eliminerat den andra parametern från en av ekv:na, och korrekt renskrivit ekvationen för planet. Vektorerna f, f, f är en bas om och endast om ( ) ( 5). z ( i) 5, dvs en cirkel med medelpunkten i och radien 5 POÄNGSPANN (maxpoäng) för olika delmoment i uppgifter p: Korrekt funnit att t.ex. e e e är en normalvektor n till planet, och att t.ex. e e e är en normalvektor n till planet Scenario för övriga tre poäng p: Korrekt genom ett visst determinanvillkor formulerat ekvationen för planet p: Korrekt utvecklat determinanten p: Korrekt renskrivit ekvationen för planet Scenario för övriga tre poäng p: Korrekt noterat att vektorprodukten av (de icke-parallella) vektorerna n och n är en normalvektor till planet, och sedan korrekt utvecklat nämnda vektorprodukt p: Korrekt som en skalärprodukt formulerat ekvationen för planet p: Korrekt utvecklat skalärprodukten och renskrivit ekvationen för planet p: Korrekt formulerat en testekvation för huruvida de tre vektorerna f, f, f är linjärt beroende eller ej, korrekt grupperat termerna vektor för vektor av de tre linjärt oberoende vektorerna u, och korrekt dragit slutsatsen att var och en av koefficienterna till de tre linjärt oberoende vektorerna u måste vara lika noll eftersom u är linjärt oberoende p: Korrekt successivt eliminerat i det uppkomna ekvationssystemet p: Korrekt från det uppkomna ekvationssystemet, efter successiv eliminering (eller determinantberäkning), dragit slutsatsen att endast om ( ) ( 5) så är de tre vektorerna f, f, f linjärt oberoende och därmed en bas i rummet p: Korrekt ansatt z som x iy, där x, y R, och sedan korrekt tolkat ekvationen som ekvivalent med ekvationen ( x) y ( y) ( x p: Korrekt omskrivit ekvationen till en mer tolkningsbar form, dvs till ( x ) ( y ) ( 5) z ( i) 5 p: Korrekt deltolkning: En cirkel med radien 5 p: Korrekt deltolkning: Medelpunkten i, samt skiss ) ()

5 ~ 8 4. P : (,, ), där P ~ är spegelbilden av P p: Korrekt bestämt en vektor u som kan representeras av den riktade sträckan P 0 P där P 0 är en punkt på linjen, och korrekt identifierat en vektor v som är parallell med linjen, allt med syfte att bestämma den ortogonala projektionen av u på v p: Korrekt bestämt den ortogonala projektionen av u på v p: Korrekt bestämt den vektor som kan representeras av den riktade sträckan P P ~ p: Korrekt bestämt koordinaterna för spegelbilden till P Ett möjligt scenario p: Korrekt omskrivit determinanten så att raderna -5 har en varsin nolla i kolonn p: Korrekt omskrivit determinanten så att raderna -5 har nollor i kolonnerna - p: Korrekt omskrivit determinanten så att raderna 4-5 har nollor i kolonnerna - p: Korrekt omskrivit determinanten så att rad 5 har nollor i kolonnerna -4 (och därmed slutligen att determinanten har nollor på alla positioner under diagonalen), och därefter korrekt utvecklat determinanten som produkten av diagonalelementen Övriga scenarier Poängsättning i övriga lösningsscenarier görs genom att i görligaste mån identifiera de poängkriterier som svarar mot de i ovanstående lista. ()