MAA123 Grundläggande vektoralgebra

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "MAA123 Grundläggande vektoralgebra"

Transkript

1 Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Del 1 3 ger maximalt 8 poäng vardera. För godkänt fordras minst 5 poäng. Del 4 ger maximalt 12 poäng. Förutsatt att du är godkänd på de andra delarna av tentamen ger minst 5 poäng här betyg 4 och minst 9 poäng betyg 5. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. OBS! De första tre delarna av tentamen gäller också som examination av kursmomenten ÖVN1, ÖVN2 respektive ÖVN3. Om du redan är godkänd på något av dessa moment så ska du inte skriva motsvarande del av tentan. (Du är godkänd på ett moment om du blev godkänd på motsvarande test under kursens gång eller på motsvarande del i oktober eller januari.)

2 MAA123 Tentamen Sida 2 (av 6) Del 1 Denna del ska inte skrivas av de som redan är godkända på ÖVN1. 1 (a) Beräkna inversen för nedanstående matris: (b) Lös nedanstående ekvationssystem: x 2y+ 8z=2 2x 4y+15z=1 x+3y 11z=0 Se till att det klart och tydligt framgår vad lösningen är! 2 Här har vi en lista på ett antal räkneregler. En del av dem är korrekta, andra är felaktiga. (En regel är korrekt om den alltid gäller.) Ange för varje regel om den är rätt eller fel. (a) A(BC)=(AB)C (b) AI=A 1 (c) AB = BA (d) AM 0 = M 0 (e) Om AB= M 0 så måste A= M 0 eller B= M 0 (±0,4p) (±0,4p) (±0,4p) (±0,4p) (±0,4p) Alla bokstäver står för matriser, och matrisernas storlek är sådan att operationerna är möjliga att genomföra. M 0 är nollmatrisen. Motivering behövs ej. Obs! Ett felaktigt svar ger minuspoäng. Totalpoängen för uppgiften blir dock aldrig lägre än noll, och avrundas till heltal. 3 Nedanstående tre matriser representerar tre ekvationssystem. Skriv upp systemens lösningsmängder på formen x=..., y=..., z=..., eller förklara varför lösning saknas: (a) (b) (c) (Poängsumman avrundas till heltal.) Var god vänd!

3 MAA123 Tentamen Sida 3 (av 6) 4 Vi har matriserna A= B= [ ] Matrisen X uppfyller XA= B Vad är X?

4 u 1 u 2 MAA123 Tentamen Sida 4 (av 6) Del 2 Denna del ska inte skrivas av de som redan är godkända på ÖVN2. 5 (a) Vad är en vektor för något? Ge en förklaring som du själv skulle ha kunnat förstå innan du läste den här kursen. (b) Vad är en skalär för något? (Samma instruktion i övrigt.) 6 Vi har nedanstående tre matriser: A= 2 0 B= 1 1 C= Beräkna det(abc) 7 I nedanstående bild har vi ritat representanter för fem vektorer. Om vi använder basen B={u 1, u 2 }, vilka koordinater har då (a) v 1? (b) v 2? (c) v 3? (Summan avrundas till närmsta heltal.) v 3 v 1 v 2 8 Vi har vektorerna u=(4, 2, 3) och v=( 8, 4, 6) (angivna i samma bas). Är vektorerna linjärt oberoende? Motivera!

5 MAA123 Tentamen Sida 5 (av 6) Del 3 Denna del ska inte skrivas av de som redan är godkända på ÖVN3. 9 Vi har linjerna l 1 : (x, y, z)=( 5, 2, 0)+t( 3, 1, 2) l 2 : (x, y, z)=(1, 0, 4)+t(3, 1, 2) (angivna i samma koordinatsystem). Ärl 1 ochl 2 två olika linjer eller samma linje? Motivera! 10 Då man arbetar med vektorer använder man bland annat skalärprodukt (dot product) och vektorprodukt (cross product). Dessa räknesätt har likartade räkneregler, men de är inte helt lika. (a) Skriv upp någon räkneregel som är i princip likadan för skalärprodukt och för vektorprodukt. (b) Skriv upp någon räkneregel som inte är likadan för skalärprodukt och för vektorprodukt. 11 En triangel har hörn i punkterna P 1 : ( 3, 4, 2), P 2 : ( 1, 4, 5) och P 3 : ( 3, 7, 1). Bestäm triangelns area. (ON-system.) 12 Vi har linjen och planet l : (x, y, z)=( 3, 4, 1)+t(1, 0, 1) Π : 2x+y+z 5=0 Bestäm vinkeln mellan linjen och planet. Om de är parallella, bestäm istället avståndet. (ON-system.)

6 MAA123 Tentamen Sida 6 (av 6) Del 4 Den här delen kan du enbart tillgodoräkna dig om du också har klarat de andra delarna. Om du inte redan är godkänd på delarna 1 till 3 ska du i första hand satsa på dem. 13 Vi har ekvationssystemet λx+y+5z=4 x+y+3z=λ x+λy+4z=λ Lös ekvationssystemet för alla värden påλ. (4p) 14 u, v och z är tre olika komplexa tal. De uppfyller uz=v 2 uv=z 2 Visa att talen ligger som hörn i en liksidig triangel i det komplexa talplanet. (4p) 15 Vi har en 3 3-matris A med följande egenskaper: Om vi tar en punkt P : (x, y, z) så kommer x A y z att ge oss koordinaterna för den punkt i planetπ : x+2y+3z=0 som ligger närmast P. Vad är matrisen A? (4p)

7 Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Test Detta test är examination på ÖVN1. Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Detta test ger maximalt 8 poäng. För godkänt fordras minst 5 poäng. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. 1.1 Vi har här två matriser: A = B = Beräkna, eller förklara varför det är omöjligt: (a) A + B (b) AB 1.2 (a) Lös nedanstående ekvationssystem med Gauss-Jordans metod: x + 4y = 2 2x 7y = 4 3x + 10y = 6 Se till att det klart och tydligt framgår vad lösningen är! (b) Visa att din lösning är korrekt. Om systemet saknar lösning, förklara hur du såg det. 1.3 Din kompis har löst en matrisekvation så här: XA = B XAA 1 = A 1 B XI = A 1 B X = A 1 B Han har nu räknat ut A 1 och tagit fram X. Men svaret stämmer inte då han sätter in det i ursprungsekvationen. Han ber dig om hjälp. Vad har han gjort för fel, och hur ska han rätta till det? Var god vänd!

8 MAA123 Sida 2 (av 2) 1.4 (a) Beräkna inversen till nedanstående matris (förutsatt att det är möjligt): A = Se till att det klart och tydligt framgår vad svaret är! (b) Visa att den beräknade inversen är korrekt eller förklara hur du såg att det inte finns någon.

9 Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Test Detta test är examination på ÖVN2. Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Detta test ger maximalt 8 poäng. För godkänt fordras minst 5 poäng. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. 2.1 Vi har vektorerna u=(1, 4, 2), v=( 3, 2, 4) och w=( 1, 5, 8) (angivna i samma bas). Skriv w som linjärkombination av u och v, om det är möjligt. Förklara annars varför det inte går. 2.2 Har nedanstående ekvationssystem entydig lösning? 7x 2z= 5 3x+y+4z= 8 4x 2z= 3 Motivera! 2.3 Nedan har vi ritat representanter för ett antal vektorer i planet: u 3 u 4 u 2 u 1 Nu vill vi ha en bas. (a) Kan man använda{u 1, u 2 } som bas för vektorerna i planet? (b) Kan man använda{u 1, u 3 } som bas för vektorerna i planet? (c) Kan man använda{u 2, u 3, u 4 } som bas för vektorerna i planet? Motivering behövs ej, men är inte förbjuden. Poängsumman avrundas till närmsta heltal. Var god vänd!

10 MAA123 Sida 2 (av 2) 2.4 Vi har följande matriser: A= 5 2 B= 1 1 C= Beräkna det(abc)

11 Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Test Detta test är examination på TEN2 del A. Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Detta test ger maximalt 8 poäng. För godkänt fordras minst 5 poäng. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. OBS! Om du blir godkänd (dvs. får minst 5 poäng) så kan du skriva del B vid tentatillfället 1 november. Detta kan ge dig högre betyg på kursen. (Om du inte blir godkänd nu får du skriva om del A då.) 3.1 Vi har punkterna P 1 : (4, 0, 1) P 2 : (2, 2, 3) P 3 : ( 1, 3, 2) Ta fram den parameterfria ekvationen för det plan som innehåller punkterna. 3.2 Här har vi en lista på ett antal räkneregler. En del av dem är korrekta, andra är felaktiga. (En regel är korrekt om den alltid gäller.) Ange för varje regel om den är rätt eller fel. (a) u v = u v cos α (där α är vinkeln mellan u och v) (b) u v = u v sin α (c) u 0 = 0 (d) Om u v = 0 så måste någon av u och v vara 0 (e) u (v + w) = u v + u w (±0,4p) (±0,4p) (±0,4p) (±0,4p) (±0,4p) Alla bokstäver står för vektorer. Motivering behövs ej, men se till att det klart framgår vad som är svar på vilken fråga. Obs! Ett felaktigt svar ger minuspoäng. (Inget svar alls ger 0 p.) Totalpoängen för uppgiften blir dock aldrig lägre än noll, och avrundas till heltal. 3.3 Punkterna P 1, P 2, P 3 och P 4 är hörn på en parallellogram, och ligger i den ordningen. De första punkternas koordinater är: P 1 : (6, 4, 3), P 2 : (5, 2, 3), P 3 : (4, 2, 0). Bestäm parallellogrammens area. (ON-system) 3.4 Vi har planen Π 1 : 3x 2y + 4z = 6 och Π 2 : 2x + 3y + 3z = 1 (angivna i samma ONsystem). Bestäm vinkeln mellan planen. Om de är parallella, bestäm istället avståndet.

12 Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Information finns på de respektive delskrivningarna. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. OBS! Del 1 och 2 är omexamination av kursmomenten ÖVN1 och ÖVN2. Om du redan är godkänd på något av dessa moment så ska du inte skriva motsvarande del av tentan. Del 3 är omexamination TEN2 del A, som gavs 18 oktober. Om du fick minst 5 poäng då eller är godkänd på ÖVN3 sedan föregående läsår så ska du inte skriva denna del. Del 4 är TEN2 del B, den del som kan ge överbetyg. Den är frivillig.

13 MAA123 Tentamen Sida 2 (av 5) Del 1: ÖVN 1 Denna del är är omexamination av ÖVN1 och ska inte skrivas av de som redan är godkända på ÖVN1. För godkänt fordras minst 5 poäng. 1 (a) Beräkna inversen till nedanstående matris (förutsatt att det är möjligt): A= Se till att det klart och tydligt framgår vad svaret är! (b) Visa att den beräknade inversen är korrekt eller förklara hur du såg att det inte finns någon. 2 (a) Lös nedanstående ekvationssystem med Gauss-Jordans metod: x 4y+ 2z+5w= 0 x+5y+ z 6w= 6 2x 6y+10z+8w= 10 Se till att det klart och tydligt framgår vad lösningen är! (b) Visa att din lösning är korrekt. Om systemet saknar lösning, förklara hur du såg det. 3 (a) Vilken typ av linjära ekvationssystem är det som kan ha icke-triviala lösningar? (b) Vad är en icke-trivial lösning för något? 4 Vi har matriserna 1 2 A= B= 6 2 Vi vet att B= AX Vad är matrisen X?

14 MAA123 Tentamen Sida 3 (av 5) Del 2: ÖVN2 Denna del är omexamination av ÖVN2 och ska inte skrivas av de som redan är godkända på ÖVN2. För godkänt fordras minst 5 poäng. 5 Vi har vektorerna u=(0, 3, 2), v=(2, 2, 1) och w=(6, 0, 1) (angivna i samma bas). Skriv w som linjärkombination av u och v, om det är möjligt. Förklara annars varför det inte går. 6 (a) Beräkna determinanten för nedanstående matris: (b) Är matrisen inverterbar? Motivera! 7 (a) Om man säger vektorerna u, v och w är en linjärt oberoende mängd, exakt vad menar man med det? (Vi söker alltså den formella definitionen.) (b) Hur brukar man rent praktiskt göra för att avgöra om mängden är linjärt oberoende eller inte? 8 I nedanstående bild har vi ritat representanter för fem vektorer. v 2 v 1 w u 2 u 1 (a) Ange koordinaterna för w i basen B 1 ={u 1, u 2 }. (b) Ange koordinaterna för w i basen B 2 ={v 1, v 2 }.

15 MAA123 Tentamen Sida 4 (av 5) Del 3: TEN2 del A Denna del är omexamination av TEN2 del A och ska inte skrivas av de som fick minst 5 p på skrivningen 18 oktober, och inte heller av de som läste kursen förra läsåret och som är godkända på ÖVN3. För godkänt fordras minst 5 poäng. 9 (a) Vad menas med en riktningsvektor för en linje? (b) Vad menas med en normalvektor till ett plan? Rita gärna figur! 10 Vi har två vektorer, u och v. u =4, v =3. Vinkeln mellan dem är 150. Bestäm (a) u v (b) u v För full poäng måste svaren ges på enklast möjliga form. 11 Vi har planenπ 1 : (x, y, z)=(0, 3, 2)+ s( 4, 0, 3)+t(1, 5, 2) ochπ 2 : 3x y+4z+11=0 (angivna i samma ON-system). ÄrΠ 1 ochπ 2 två olika plan eller samma plan? Motivera! 12 Vi har linjerna l 1 : (x, y, z)=( 2, 1, 3)+t(1, 0, 2) l 2 : (x, y, z)=(7, 6, 2)+t(1, 4, 1) (angivna i samma ON-system). Bestäm avståndet mellan dem.

16 MAA123 Tentamen Sida 5 (av 5) Del 4: TEN2 del B Om du är godkänd på del 3 så kan den här delen ge dig överbetyg på kursen. Det är frivilligt att skriva den. Väljer du att inte göra det så får du slutbetyg poäng här ger betyg 4 och 9 12 poäng ger betyg 5 på tentan. 13 En elementär matris är en matris som man fått genom att göra exakt en elementär radoperation på enhetsmatrisen. Om man multiplicerar en matris med en elementär matris (från vänster) så blir slutresultatet att man har genomfört radoperationen på matrisen ifråga. Alla inverterbara matriser kan skrivas som produkt av elementära matriser (ungefär som att alla heltal större än ett kan skrivas som produkt av primtal, med skillnaden att det med matriserna går att göra på flera olika sätt). Skriv matrisen A= som produkt av elementära matriser. (4p) 14 Om man vet vad u v och u w är, och dessutom känner v och w, räcker detta för att ta reda på u? Om ja: hur gör man? Om nej: exakt vad kan man få reda på, och vad skulle man behöva veta mer för att entydligt bestämma u? (4p) 15 Anta att z 1, z 2 och z 3 är tre olika komplexa tal som uppfyller z 1 z 2 = i(z 3 z 2 ). Beräkna z 1 z 3 z 1 z 2 (4p)

17 Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra ÖVN1, ÖVN2, TEN Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Information finns på de respektive delskrivningarna. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. OBS! Del 1 och 2 är omexamination av kursmomenten ÖVN1 och ÖVN2. Om du redan är godkänd på något av dessa moment så ska du inte skriva motsvarande del av tentan. Del 3 är omexamination TEN2 del A. Om du är godkänd på TEN2 eller på ÖVN3 sedan föregående läsår så ska du inte skriva denna del. Del 4 är TEN2 del B, den del som kan ge överbetyg. Den är frivillig, men kan bara skrivas av de som inte redan är godkända på TEN2.

18 MAA123 Tentamen Sida 2 (av 6) Del 1: ÖVN 1 Denna del är är omexamination av ÖVN1 och ska inte skrivas av de som redan är godkända på ÖVN1. För godkänt fordras minst 5 poäng. 1 Vi har här två matriser: 2 1 A= 0 4 B= Beräkna, eller förklara varför det är omöjligt: (a) A+ B (b) AB 2 Lös nedanstående tre ekvationssystem på ett effektivt sätt: 2x+5y=4 2a+5b=25 2s+5t= 18 x+2y=1 a+2b=10 s+2t= 7 Se till att det klart och tydligt framgår vad lösningen är! (För full poäng måste lösningsmetoden vara väl vald.) 3 Matrismultiplikation är ett räknesätt som på många sätt påminner om vanlig multiplikation av tal. Många räkneregler och principer är likadana. Men det överensstämmer inte helt och hållet. (a) Säg något (räkneregel, princip, problemlösningsmetod) som är precis likadant för vanlig multiplikation och matrismultiplikation. (b) Säg något som inte är precis likadantför vanlig multiplikation och matrismultiplikation. 4 (a) Beräkna inversen till nedanstående matris, om det är möjligt: A= Se till att det framgår vad svaret är! (b) Hur många lösningar har nedanstående ekvationssystem? y+5z= 123 3x+9y 5z= 456 x+3y 2z= 789 Motivera!

19 MAA123 Tentamen Sida 3 (av 6) Del 2: ÖVN2 Denna del är omexamination av ÖVN2 och ska inte skrivas av de som redan är godkända på ÖVN2. För godkänt fordras minst 5 poäng. 5 Vad innebär det att en bas är ortonormerad? (Vi vill ha själva definitionen.) 6 Vi har två 3 3-matriser, A och B. det(a)=5, det(b)= 2. Kan man med denna information beräkna (a) det(3a) (b) det(ba) Om ja, vad blir det? Om nej, förklara varför inte. 7 Vi har vektorerna u=(3, 0, 4), v=(1, 3, 2) och w=( 2, 0, 4) (angivna i samma bas). Är vektorerna linjärt oberoende? Motivera! 8 Denna uppgift ska lösas på nästa blad av skrivningen. Bladet ska rivas av och lämnas in med de övriga lösningspappren.

20 Kod: Code Kurskod: Course code Bladnr: Page nr Uppgift nr: Task nr Kursnamn: Course title 8 Detta papper ska rivas av och lämnas in tillsammans med de övriga lösningspappren. Glöm inte att fylla i sidhuvudet! I figuren har vi ritat representanter för vektorerna u 1 och u 2. Rita in representanter för de vektorer som i basen{u 1, u 2 } har följande koordinater: (a) (0, 4) (b) (3, 5) (c) ( 4, 2) Se till att det klart framgår vilket svar som hör till vilken fråga! Poängen avrundas till närmsta heltal. u 1 u 2

21 MAA123 Tentamen Sida 5 (av 6) Del 3: TEN2 del A Denna del är omexamination av TEN2 del A och ska inte skrivas av de som redan är godkända på TEN2 och inte heller av de som läste kursen förra läsåret och som är godkända på ÖVN3. För godkänt fordras minst 5 poäng. 9 Vi har punkten P : (5, 5, 7), linjenl : (x, y, z)=( 4, 1, 3)+t(3, 2, 1) och planet Π : x+y+z=8 (angivna i samma koordinatsystem). (a) Ligger P pål? Motivera! (b) Ligger P iπ? Motivera! 10 Vi har vektorerna u = (1, 3, 5) och v = ( 2, 4, 6) (angivna i samma ON-bas). (a) Ange en vektor som är vinkelrät mot både u och v. (b) Ange någon annan vektor som också är vinkelrät mot både u och v. 11 (a) Rita en bild som visar vad som menas med projektionen av vektorn v på vektorn u, proj u v. Se till att det klart framgår vilken vektor som är vilken! Rättningsnorm: Det måste verkligen framgå vilken vektor i bilden som är vilken. Och bilden ska föreställa projektionen på u och inte på v. (b) Med vilken formel kan man beräkna proj u v? (Motivering behövs ej.) 12 Ta fram skärningslinjen mellan planenπ 1 : x+2y 8z=0 ochπ 2 : 2x+y 10z= 3 (angivna i samma ON-system). Om det inte finns någon skärningslinje, bestäm istället avståndet.

22 MAA123 Tentamen Sida 6 (av 6) Del 4: TEN2 del B Denna del kan endast skrivas av de som inte redan har betyg på TEN2. Om du skriver godkänt på del 3 så kan den här delen ge dig överbetyg på kursen. Det är frivilligt att skriva den. Väljer du att inte göra det så får du slutbetyg poäng här ger betyg 4 och 9 12 poäng ger betyg 5 på tentan. 13 Vi har vektorerna u = (1, 2, 2) och v = (1, 1, 0) (angivna i samma ON-bas). Bestäm en vektor w som uppfyller följande: (a) Vinkeln mellan u och w är 60. (b) Vinkeln mellan v och w är 45. (c) Normen för w är 2. (4p) 14 Anledningen till att man använder polär form för komplexa tal är att man får det trevliga sambandet produktens belopp är lika med produkten av beloppen, produktens argument är lika med summan av argumenten. Bevisa att detta verkligen stämmer! (4p) 15 Hitta alla 2 2-matriser A som uppfyller A 2 = M 0 där M 0 är nollmatrisen. (A 2 betyder A gånger A.) (4p)

23 Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Test Detta test är examination på ÖVN1. Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Detta test ger maximalt 8 poäng. För godkänt fordras minst 5 poäng. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. 1.1 Vi har här två matriser: A = B = Beräkna, eller förklara varför det är omöjligt: (a) A + B (b) AB 1.2 (a) Lös nedanstående ekvationssystem med Gauss-Jordans metod: 3x 15y + 9z = 21 3x + 6y 9z = 21 2x + 10y 6z = 14 Uträkningen ska finnas med, och svaret ska ges på formen x =..., y =..., z =... eller bestå av ordet olösligt. (b) Visa att din lösning är korrekt. Om systemet saknar lösning, förklara hur du såg det. 1.3 (a) Vad är transponatet till en matris A? Ange beteckning och formell definition. (b) Vad är inversen till en matris A? Ange beteckning och formell definition. 1.4 Matrisen X uppfyller X = [ 9 15 ] Vad är X?

24 Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Test Detta test är examination på ÖVN1. Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Detta test ger maximalt 8 poäng. För godkänt fordras minst 5 poäng. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. 2.1 Vi har vektorerna u=(5, 2, 3), v=(2, 4, 2) och w=(4, 8, 0) (angivna i samma bas). Skriv w som linjärkombination av u och v, om det är möjligt. Förklara annars varför det inte går. 2.2 Vi har matrisen A= (a) Beräkna det A. (b) Är A inverterbar? Motivera! 2.3 Vi har vektorerna u och v, där u =10 och v =15. Mellan vilka gränser ligger u+v? 2.4 Denna uppgift ska lösas på nästa sida av skrivningen. Sidan ska rivas av och lämnas in med de övriga lösningspappren.

25 Kod: Code Kurskod: Course code Bladnr: Page nr Uppgift nr: Task nr Kursnamn: Course title 2.4 Denna sida ska rivas av och lämnas in tillsammans med de övriga lösningspappren. Glöm inte att fylla i sidhuvudet! I figuren har vi ritat representanter för vektorerna u 1 och u 2. Rita in representanter för de vektorer som i basen{u 1, u 2 } har följande koordinater: (a) v 1 = (4, 3) (b) v 2 = ( 3, 4) (c) v 3 = (5, 1) Se till att det klart framgår vilket svar som hör till vilken fråga! Poängen avrundas till närmsta heltal. u 1 u 2

26 Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Test Detta test är examination på ÖVN3. Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Detta test ger maximalt 8 poäng. För godkänt fordras minst 5 poäng. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. 3.1 Vi har linjerna l 1 : (x, y, z) = ( 4, 2, 3) + t(3, 0, 2) och l 2 : (x, y, z) = (2, 2, 7)+t( 3, 0, 2) (i samma koordinatsystem). Är dessa linjer olika eller samma? Motivera! 3.2 En triangel har hörn i punkterna P : (3, 4, 0), Q : (3, 2, 5) och R : (4, 4, 7). Bestäm triangelns area. (ON-system) 3.3 Skalärprodukt är ett räknesätt som har stora likehter med vanlig multiplikation. Men det är inte precis likadant. (a) Säg något (räkneregel, princip, problemlösningsmetod) som fungerar precis likadant för skalärprodukt och vanlig multiplikation. (b) Säg något som inte fungerar likadant för skalärprodukt och vanlig multiplikation. 3.4 Vi har planen Π 1 : x + 2y 2z = 0 och Π 2 : x 2y + 2z = 18. Om planen skär varandra, bestäm vinkeln mellan dem. Bestäm i annat fall avståndet. (ONsystem)

27 Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Information finns på de respektive delskrivningarna. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. OBS! Del 1 och 2 är omexamination av kursmomenten ÖVN1 och ÖVN2. Om du redan är godkänd på något av dessa moment så ska du inte skriva motsvarande del av tentan. Del 3 är omexamination TEN2 del A, som gavs 25 maj. Om du fick minst 5 poäng då eller är godkänd på ÖVN3 sedan föregående läsår så ska du inte skriva denna del. Del 4 är TEN2 del B, den del som kan ge överbetyg. Den är frivillig.

28 MAA123 Tentamen Sida 2 (av 5) Del 1: ÖVN 1 Denna del är är omexamination av ÖVN1 och ska inte skrivas av de som redan är godkända på ÖVN1. För godkänt fordras minst 5 poäng. 1 (a) Beräkna inversen till nedanstående matris (förutsatt att det är möjligt): A= Se till att det klart och tydligt framgår vad svaret är! (b) Visa att den beräknade inversen är korrekt eller förklara hur du såg att det inte finns någon. 2 Matrisen X uppfyller 1 0 X 3 1 =[ 1 2 ] 0 2 Vad är X? 3 (a) Lös nedanstående ekvationssystem med Gauss-Jordans metod: x 7y+2z+ 3w= 4 2x+11y+5z 12w= 8 x 5y 4z+ 7w= 0 Uträkningen ska finnas med, och svaret ska ges på formen x=..., y=..., z=..., w=... eller bestå av ordet olösligt. (b) Visa att din lösning är korrekt. Om systemet saknar lösning, förklara hur du såg det. 4 Vi har en m n-matris A och en p q-matrix B. (a) Vad krävs av talen m, n, p och q för att A+ B ska gå att beräkna, och vilken storlek får A+ B? (b) Vad krävs av talen m, n, p och q för att AB ska gå att beräkna, och vilken storlek får AB?

29 MAA123 Tentamen Sida 3 (av 5) Del 2: ÖVN2 Denna del är omexamination av ÖVN2 och ska inte skrivas av de som redan är godkända på ÖVN2. För godkänt fordras minst 5 poäng. 5 Vi har vektorerna u=(4, 2, 5), v=(2, 2, 6) och w=( 3, 1, 2) (angivna i samma bas). Är vektorerna linjärt oberoende? Motivera! 6 A är en 3 3-matris. det A=4. Ange (a) det( 2A) (b) det(a 1 ) (c) det(a T ) (Poängsumman avrundas till närmsta heltal.) 7 Nedanstående bild innehåller representanter för vektorerna u och v. Rita av den på ditt skrivpapper. u v Illustrera hur man tar fram en representant för (a) u+v (b) u v OBS! Lösningen ska vara grafisk. Det ska alltså inte finnas med någon beräkning, utan det ska framgå hur man med enbart penna och linjal tar fram en bild av svaret. Se också till att det framgår vad som är svaret! 8 (a) Vad fordras för att en grupp vektorer ska gå att använda som en bas för rummet? (b) Vad använder man en bas till?

30 MAA123 Tentamen Sida 4 (av 5) Del 3: TEN2 del A Denna del är omexamination av TEN2 del A och ska inte skrivas av de som fick minst 5 p på skrivningen 23 maj, och inte heller av de som läst kursen tidigare och som är godkända på ÖVN3 eller TEN2. För godkänt fordras minst 5 poäng. 9 u =10, v =2 och vinkeln mellan vektorerna är 135. Bestäm (a) u v (b) u v 10 PlanetΠkan på parameterform skrivasπ : (x, y, z)=( 5, 2, 4)+ s( 1, 3, 0)+ t(2, 5, 1). SkrivΠpå ekvationsform (utan parameterar). Du kan utgå från ONsystem. 11 Två av de fyra nedan givna uttrycken är felaktiga. Tala om vilka två och vad det är för fel på dem. (i) (u v) w (ii) (u v) w (iii) au+bv (iv) u v v Se till att det framgår vilket uttryck som hör ihop med vilken förklaring. 12 Skär linjerna l 1 : (x, y, z) = ( 5, 1, 7)+t(3, 1, 2) och l 2 : (x, y, z) = ( 6, 8, 7) + t( 4, 2, 3) varandra, och i så fall vardå?

31 MAA123 Tentamen Sida 5 (av 5) Del 4: TEN2 del B Om du är godkänd på del 3 så kan den här delen ge dig överbetyg på kursen. Det är frivilligt att skriva den. Väljer du att inte göra det så får du slutbetyg poäng här ger betyg 4 och 9 12 poäng ger betyg 5 på TEN2. (Om du redan har betyg på TEN2 så kan du inte skriva den här delen.) 13 Lös nedanstående matrisekvation, eller förklara varför den är olösbar: X X= (4p) 14 (a) Beskriv någon metod för att bestämma avståndet mellan en punkt och ett plan. Beskrivningen ska vara så tydlig att en kurskamrat som inte läst just det avsnittet (men har läst allt annat i kursen) skulle kunna lösa ett problem med hjälp av din beskrivning. Det ska också framgå varför metoden ger rätt svar. (3p) (b) Beskriv någon annan metod att lösa samma problem. Här räcker det att beskrivningen är så pass tydlig att en lärare kan förstå vad du menar. 15 De komplexa talen 0, z och w är hörnpunkter på en triangel i det komplexa talplanet. Visa att denna triangel är liksidig om och endast om z 2 = w 2 = 2 Re(zw). (4p)

MAA123 Grundläggande vektoralgebra

MAA123 Grundläggande vektoralgebra Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen 2011.08.11 08.30 11.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA123 Algebra för ingenjörer Tentamen 10.08.25 08.30 11.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial (gradskiva tillåten). Poängfördelning

Läs mer

MAA123 Grundläggande vektoralgebra

MAA123 Grundläggande vektoralgebra Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen TEN4 Lösningsförslag 2012.01.09 14.30 16.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva

Läs mer

MAA123 Grundläggande vektoralgebra

MAA123 Grundläggande vektoralgebra Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen TEN4 Lösningsförslag 2012.06.07 08.30 10.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva

Läs mer

MAA123 Grundläggande vektoralgebra

MAA123 Grundläggande vektoralgebra Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen Lösningsförslag 2011.08.11 08.30 11.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva

Läs mer

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra Studiehandledning till MAA13 Grundläggande vektoralgebra vid kurstillfället i period 4 läsåret 013/14 Version 014-05- Information om kursen MAA13 Avsikt Avsikten med kursen MAA13 Grundläggande vektoralgebra

Läs mer

1. Beräkna determinanten

1. Beräkna determinanten MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA3 Grundläggande vektoralgebra, TEN6 alt.

Läs mer

3. Lös ekvationen 3 + z = 3 2iz och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

3. Lös ekvationen 3 + z = 3 2iz och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA Grundläggande vektoralgebra TEN4 Datum:

Läs mer

2. Lös ekvationen z i = 2 z + 1 och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

2. Lös ekvationen z i = 2 z + 1 och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA3 Grundläggande vektoralgebra, TEN6 alt.

Läs mer

{ (1 + i)z iw = 2, iz + (2 + i)w = 5 + 2i, där i är den imaginära enheten. Ange rötterna z och w på rektangulär form.

{ (1 + i)z iw = 2, iz + (2 + i)w = 5 + 2i, där i är den imaginära enheten. Ange rötterna z och w på rektangulär form. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA13 Grundläggande vektoralgebra Datum: 7

Läs mer

Bestäm den matris B som löser ekvationen = 1 2

Bestäm den matris B som löser ekvationen = 1 2 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA Grundläggande vektoralgebra, TEN5 alt.

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning

Läs mer

1 Vektorer i koordinatsystem

1 Vektorer i koordinatsystem 1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer III Innehåll

Läs mer

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

October 9, Innehållsregister

October 9, Innehållsregister October 9, 017 Innehållsregister 1 Vektorer 1 1.1 Geometrisk vektor............................... 1 1. Vektor och koordinatsystem.......................... 1 1.3 Skalär produkt (dot eller inner product)...................

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt1 2015 Erik Darpö ii 0. Förberedelser Nedanstående uppgifter är avsedda att användas som ett självdiagnostiskt test. Om du har problem med att lösa

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0.08.06 08.0 0.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014 SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 214 Skrivtid: 14.-19. Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Roy Skjelnes Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

M = c c M = 1 3 1

M = c c M = 1 3 1 N-institutionen Mikael Forsberg Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Deadline :: 8 9 4 Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny

Läs mer

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A = 62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer II Innehåll

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.08.09 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN3 Lösningsförslag 0.03.30 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag.8. 8.. Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna tentamen

Läs mer

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn. KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med

Läs mer

Explorativ övning Vektorer

Explorativ övning Vektorer Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j. 34 3 SKALÄPRODUKT 3. Skaläprodukt Definition 3.. Skalärprodukten mellan två vektorer u och v definieras där θ är vinkeln mellan u och v. u v = u v cos θ, Anmärkning 3.. Andra beteckningar för skalärprodukt

Läs mer

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Omfattning: Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll: Olika aspekter av linjära ekvationssystem: skärning mellan geometriska objekt, linjärkombination

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.

Läs mer

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1 Omfattning Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll Olika aspekter av linjära ekvationssystem 1. skärning mellan geometriska

Läs mer

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning.

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. Slappdefinition En vektor är en riktad sträcka som får parallellförflyttas. Tänk på vektorn som en pil. Betecknar vektorer med små bokstäver

Läs mer

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R 1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på geometri och vektorer inför lappskrivning nummer 2 på kursen Linjär algebra II, SF1604, vt11. 1. En triangel har hörn i punkterna (1, 2,

Läs mer

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,

Läs mer

Linjär algebra och geometri 1

Linjär algebra och geometri 1 UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Ryszard Rubinsztein Oswald Fogelklou Linjär algebra och geometri 1 för K1, W1, KandKe1 Höstterminen 2008 Kurslitteratur H.Anton, C.Rorres, Elementary Linear

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I Innehåll En liten tillbakablick:

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................

Läs mer

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61 Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska

Läs mer

Övningstentammen 1. 3x 2 3x+a = 0 ax 2 2ax+5 = 0

Övningstentammen 1. 3x 2 3x+a = 0 ax 2 2ax+5 = 0 Övningstentammen 1 Här kommer den första av en mängd övningstentor. Lösningarna är exempel på hur du ska formulera dina lösningar på den riktiga tentamen. Lösningarna ska alltså bifogas på papper. Inga

Läs mer

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

Linjär algebra och geometri I

Linjär algebra och geometri I UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Anders Johansson Linjär algebra och geometri I för Energi, Ma-kand., Frist. Höstterminen 2010 Kurslitteratur H. Anton, C. Rorres, Elementary Linear Algebra

Läs mer

Tentamen i Linjär algebra , 8 13.

Tentamen i Linjär algebra , 8 13. LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: ETE5 Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra 5 8, 8. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. Resultatet meddelas vi e-post. För godkänt räcker

Läs mer

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För studenter på distans och campus Linjär algebra maa Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016 SF624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 26 Skrivtid: 8: 3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på

Läs mer

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 MATEMATIK Karlstads universitet 2010-11-02, kl 8.15-13.15 Hjälpmedel: Inga Ansvarig lärare: Håkan Granath Tel: 2181, alt. 0735-37 37 34 Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 För uppgift 1 skall endast

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor. TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på

Läs mer

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet B e 3 e 2 A e 1 C Figur 3.16 Vi har ritat de riktade sträckor som representerar e 1, e 2, e 3 och v och som har utgångspunkten A. Vidare har vi skuggat planet Π

Läs mer

Mer om analytisk geometri

Mer om analytisk geometri 1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare

Läs mer

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende. Institutionen för matematik KTH MOELLTENTAMEN Tentamensskrivning, år månad dag, kl. x. (x + 5).. 5B33, Analytiska metoder och linjär algebra. Uppgifterna 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga

Läs mer

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA 5 LINJÄR ALGEBRA 5 Linjär algebra En kul gren av matematiken som inte fått speciellt mycket utrymme i gymnasiet men som har många tillämpningsområden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi, samhällsplanering

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0.0.05 08.0 0.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

kan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut.

kan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut. vsnitt 2, Vektorer kan vi uttrycka med a, b och c. W109 är basytan (en kvadrat) i en regelbunden fyrsidig pyramid med spetsen. Låt = a, = b och = c. eräkna. Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste

Läs mer

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just

Läs mer

Linjär algebra på 2 45 minuter

Linjär algebra på 2 45 minuter Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom

Läs mer

Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I

Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Se slide 1: det är i rymden oftast lättast att jobba med parametrar för linjer och ekvationer för plan. Exempel: Låt l : (x, y, z) = (1 t, 3 + t, 4t), t R och

Läs mer

Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt

Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT2008 1 Skalärprodukt Denition 1 Låt u oh v vara två vektorer oh låt α vara minsta vinkeln mellan dem Då denierar vi skalärprodukten u v genom u v = u v os α Exempel 1

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =

Läs mer

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA.

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel. Skriv följande vektorsummor som en vektor a AB + BC b BC + CD + DA..2 Sök i nedanstående figur de vektorer som har samma längd och samma riktning som vektorn

Läs mer

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X = 2 0 1 2. 1 1 0 2

2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X = 2 0 1 2. 1 1 0 2 . Tisdagen 35 Igår visade vi att lösningsmängden W R 5 till ekvationssystemet 3x + x 2 + 3x 3 + 2x 4 x 5 = (..) 2x 2 + x 3 + 4x 4 + 2x 5 = 3x 3x 2 + x 3 6x 4 5x 5 = har bas u och u 2 och u 3 där 5 2 6

Läs mer

Att beräkna:: Avstånd

Att beräkna:: Avstånd Att beräkna:: Avstånd Mikael Forsberg :: 27 november 205 Innehåll Punkter, linjer och plan, en sammanställning 2. Punkter i två och tre dimensioner....................... 2.2 Räta linjer i två och tre

Läs mer

x 1 x 2 x 3 x 4 mera allmänt, om A är en (m n)-matris, då ger matrismultiplikationen en avbildning T A : R n R m.

x 1 x 2 x 3 x 4 mera allmänt, om A är en (m n)-matris, då ger matrismultiplikationen en avbildning T A : R n R m. Fredagen 006 Avbildningar Låt A vara matrisen () = 0 0 Till varje vektor X i R får vi vid matrismultiplikationen AX en vektor i R Mera explicit, om X = x x x x är en given punkt i R, då får vi punkten

Läs mer

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet

Läs mer

Subtraktion. Räkneregler

Subtraktion. Räkneregler Matriser En matris är en rektangulär tabell av tal, 1 3 17 4 3 2 14 4 0 6 100 2 Om matrisen har m rader och n kolumner så säger vi att matrisen har storlek m n Index Vi indexerar elementen i matrisen genom

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta kompendie är främst avsett som ett komplement till Tengstrands Linjär algebra med vektorgeometri, [Ten05]. Materialet innehåller

Läs mer

(1, 3, 2, 5), (0, 2, 0, 8), (2, 0, 1, 0) och (2, 2, 1, 8)

(1, 3, 2, 5), (0, 2, 0, 8), (2, 0, 1, 0) och (2, 2, 1, 8) 1 Matematiska Institutionen KTH Tentamen på kursen SF1604 (och B1109, för D1, Mars 9, 008, kl: 9:00-14:00 Inga hjälpmedel ät tillåtna 1 poäng totalt eller mer ger minst omdömet Fx 1 poäng totalt eller

Läs mer

Övningstenta 8. ax+2y+z = 2a 2x (a+2)y = 4 2(a+1)x 13y 2z = 16. Problem 3. Lös matrisekvationen AX BX = C. då A = 0 1

Övningstenta 8. ax+2y+z = 2a 2x (a+2)y = 4 2(a+1)x 13y 2z = 16. Problem 3. Lös matrisekvationen AX BX = C. då A = 0 1 Övningstenta 8 Problem 1. Bestäm avståndet mellan planen 2x 3y+z+1 = 0 och 4x+6y 2z+13 = 0 Problem 2. Lös ekvationssystemet för de värden på a där det finns en lösning ax+2y+z = 2a 2x (a+2y = 4 2(a+1x

Läs mer

MMA127 Differential och integralkalkyl II

MMA127 Differential och integralkalkyl II Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA127 Differential och integralkalkyl II Tentamen Lösningsförslag 211.8.11 14.3 17.3 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial (gradskiva

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016 SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2010 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 7 Uppgift 1................................. 7 Uppgift 2.................................

Läs mer

LINJÄRA AVBILDNINGAR

LINJÄRA AVBILDNINGAR LINJÄRA AVBILDNINGAR Xantcha november 05 Linjära avbildningar Definition Definition En avbildning T : R Ñ R (eller R Ñ R ) är linjär om T pau ` bvq at puq ` bt pvq för alla vektorer u, v P R (eller u,

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.06.5 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

Vektorer för naturvetare. Kjell Elfström

Vektorer för naturvetare. Kjell Elfström Vektorer för naturvetare Kjell Elfström Copyright c Kjell Elfström 2015 Första upplagan, mars 2015 Innehållsförteckning 1 Vektorer 5 1.1 Vektorbegreppet......................... 5 1.2 Operationer på vektorer.....................

Läs mer

Begrepp:: Kort om Kryssprodukt

Begrepp:: Kort om Kryssprodukt Begrepp:: Kort om Kryssprodukt Introduktion till kryssprodukten Namnet kryssprodukt kommer av att produktsymbolen skrivs som ett kryss. Kryssprodukten av två vektorer u och v skrivs då u v. input = vektorer

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010 SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning Måndagen den 29 november, 200 UPPGIFT () Betrakta det linjära ekvationssystemet x + x 2 + x 3 = 7, x x 3 + x 4

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)

Läs mer

Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22

Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22 Moment 5.3, 4.2.9 Viktiga exempel 5.13, 5.14, 5.15, 5.17, 4.24, 4.25, 4.26 Handräkning 5.35, 5.44a, 4.31a, 4.34 Datorräkning Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer

Vektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning.

Vektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning. Vektorer. 3 / 18 Vektorer är ett mycket viktigt och användbart verktyg för att kunna beskriva sammanhang som innehåller riktade storheter, t.ex. kraft och hastighet. Vektoriella storheter skiljer sig på

Läs mer

Lite Linjär Algebra 2017

Lite Linjär Algebra 2017 Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund

Läs mer

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av

Läs mer

En kortfattad redogörelse för Determinantbegreppet

En kortfattad redogörelse för Determinantbegreppet En kortfattad redogörelse för Determinantbegreppet Göran Starius, goran@chalmers.se Matematiska vetenskaper Chalmers/GU 2009 1 Introduktion Vi skall till varje kvadratisk matris A ordna ett tal, som kallas

Läs mer

Studieanvisningar. H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan. Wiley, 2005 (betecknas A nedan).

Studieanvisningar. H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan. Wiley, 2005 (betecknas A nedan). Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Linjär algebra och geometri I, 5 hp (distans) 2-3-7 Studieanvisningar. Kurslitteratur: H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan.

Läs mer

y z 3 = 0 z 5 16 1 i )

y z 3 = 0 z 5 16 1 i ) ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-433 Sören Hector 7-46686 Rolf Källström 7-6939 Ingenjörer, Lantmätare och Distansstuderande, mfl. Linjär Algebra ma4a 4 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna

Läs mer

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra Geometri. Uppgifter, 25 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av linjära

Läs mer

Moment 4.3.1, Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument

Moment 4.3.1, Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument Moment 4.3.1, 4.3.2 Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument Planet Ett plan i rummet är bestämt då två icke parallella

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:

Läs mer

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 1. Linjär Algebra och Avbildningar Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion I denna övning skall

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll

Läs mer