MAA123 Grundläggande vektoralgebra

Transkript

1 Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen TEN4 Lösningsförslag Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Del A ger maximalt 10 poäng. Del B ger maximalt 12 poäng. För betyg 3 fordras minst 6 poäng varav minst 5 från A-delen. För betyg 4 fordras minst 11 poäng varav minst 5 från A-delen och minst 3 från B-delen. För betyg 5 fordras minst 17 poäng. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon Övriga anvisningar: Skriv läsbart.förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara.se till att det framgår vad svaret på frågan är.om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng. A-del 1. Vi har planetπ : (x, y, z) = ( 6, 2, 4)+ s( 2, 3, 1)+t(2, 7, 1) och vektorn v=( 5, 2, 4) i samma ON-system. Är v vinkelrät motπ? Motivera! (2p) En vektor som är vinkelrät mot planet är vinkelrät mot dess riktningsvektorer. Vinkelräthet kan kontrolleras med skalärprodukt: ( 5, 2, 4) ( 2, 3, 1)= =0 ( 5, 2, 4) (2, 7, 1)= = 0 Svar: Ja, vektorn är vinkelrät mot planet. (Man kan också ta vektorprodukten av riktningsvektorerna; den är ( 10, 4, 8) och konstatera att den är en multipel av v. Eller skriva om planet till ekvationsform 5x 2y+4z+ 50=0, läsa ut normalvektorn och konstatera att den är en multipel av v.) Rättningsnorm: Helt vattentätt resonemang: 2p. Påbörjat men ej avslutat en fungerande analys: 1p. 2. En parallellogram har hörn i punkterna P 1 : ( 4, 5), P 3 : (1, 4), P 2 : (2, 1) och P 4 : ( 3, 2) i ett ON-system. Bestäm parallellogrammens area. (2p) Vi bör börja med att rita parallellogrammen, eftersom det ingenting står om hur hörnen ligger i förhållande till varandra: P P 3 P P

2 MAA123 Tentamen TEN4 Lösning Sida 2 (av 8) Metod 1: Beloppet av determinanten för en 2 2-matris motsvarar arean av den parallellogram i ett ON-system som har radvektorerna som kantvektorer. P 1 P 3 = (5, 1) P 1 P 4 = (1, 3) Area= = 14 =14 areaenheter Metod 2: Bygg ut koordinaterna med en z-koordinat så att vi får ett 3D-problem. Normen för vektorprodukten av två vektorer motsvarar arean av den parallellogram de spänner upp: P 1 P 3 P 1 P 4 = (5, 1, 0) (1, 3, 0) = (0, 0, 14) = 14 a.e. Metod 3: Arean av en parallellogram är basen gånger höjden. Höjden motsvarar avståndet mellan P 4 och linjen genom P 1 och P 3. Beräknas med någon av metoderna för avstånd punkt-linje, och är 98/13 längdenhet. Basen är P 1 P 3 = 26 längdenheter. Ger arean 98/13 26= 196=14 areaenheter. Metod 4: Bygg om parallellogrammen till en rektangel: Den erhållna rektangeln har basen 5 l.e. och höjden 2,8 l.e. och därmed arean 5 2,8)= 14 a.e. Rättningsnorm: Helt korrekt beräkning: 2p. Fungerande metod med allvarligt räknefel eller avbruten innan svar: 1p. 3. Lös ekvationen z 3 = 8 fullständigt. (Ingen poäng om du inte hittar alla svar.) (2p) Det är en 3:e-gradsekvation, så det finns 3 svar. Snabblösning: Ett av svaren är z=2, eftersom 2 3 = 8. Ekvationen är binomisk, vilket innebär att svaren ligger jämnt fördelade som ekrarna i ett hjul:

3 MAA123 Tentamen TEN4 Lösning Sida 3 (av 8) 2i 1i i 2i Ur bilden kan vi utläsa att de resterande lösningarna är z=2(cos 2π 3 + i sin 2π 3 )= 1+ 3 och z=2(cos 4π 3 + i sin 4π 3 )= 1 3. Standardlösning: Ansätt z=r(cosθ+i sinθ), vilket (enligt De Moivres formel) ger z 3 = r 3 (cos 3θ+i sin 3θ). Högerledet kan skrivas på polär form genom inspektion: 8=8(cos 0+i sin 0). r 3 (cos 3θ+i sin 3θ)=8(cos 0+i sin 0) ger att r 3 = 8, vilket ger r= 3 8=2 och att 3θ=0+n2π, vilket gerθ=0+2nπ/3. Genom att sätta in n=0, n=1och n=2 erhålla samma lösningar som i den andra varianten. Rättningsnorm: Allt korrekt: 2p. Påbörjad men ej avslutad fungerande lösningsmetod: 1p. Bara hittat lösningen z=2: 0p 4. Skriv upp tre räkneregler för skalärprodukt och/eller vektorprodukt. (En räkneregel är något som alltid gäller. a+b=b+a är ett exempel på en räkneregel för addition av tal.) 2/3 poäng för korrekt regel, 2/3 poäng för felaktig regel. Summan avrundas till närmsta ickenegativa heltal. Några förslag: u v=v u (au) v=a (u v) u (v+w)=u v+u w u 0=0 u v=0 om och endast om u v u u= u 2 u v= (v u) u (v w) (u v) w (au) v=a(u v) u (av)=a(u v) u (v+w)=u v+u w u 0=0 utom i undantagsfall u v=0 om och endast om u v u u = 0 (specialfall av ovanstående) Rättningsnorm: Sådant som inte går att tolka och sådant som över huvud taget inte är regler (som u v och inget mer) ges 0p.

4 MAA123 Tentamen TEN4 Lösning Sida 4 (av 8) 5. Vi har linjerna l 1 : (x, y, z)=( 10, 4, 5)+t(4, 5, 3) l 2 : (x, y, z)=(15, 7, 5)+t( 8, 1, 6) i ett ON-system. Bestäm avståndet mellan linjerna. (2p) Döp om parametrarna till t 1 och t 2. Kalla punkterna som ligger närmast varandra för Q 1 och Q 2. Sträckan mellan dem är vinkelrät mot båda riktningsvektorerna. Ger: Q 1 Q 2 = ( (15, 7, 5)+ t 2 ( 8, 1, 6) ) ( ( 10, 4, 5)+ t 1 (4, 5, 3) ) = (25 4t 1 8t 2, 11+5t 1 + t 2, 3t 1 6t 2 ) Q 1 Q 2 r 1 = 50t 1 55t =0 Q 1 Q 2 r 2 = 55t t 2 211=0 Lösning av ekvationssystemet ger 50t 1 55t 2 = t t 2 = 211 t 1 = 2 t 2 = 1 Avståndet är därför Q 1 Q 2 = (9, 0, 12) = 3 (3, 0, 4) = 15 l.e Man kan också ta sträckan mellan linjernas utgångspunkter och projicera den på vektorprodukten av riktningsvektorerna. Rättningsnorm: Helt rätt: 2p. Påbörjad fungerande lösning, som ej ledde till rätt svar: 1p. (Inget avdrag för rena räknefel.) Var god vänd!

5 MAA123 Tentamen TEN4 Lösning Sida 5 (av 8) B-del 6. Vi har punkterna P 1 : ( 1, 2,λ), P 2 : (λ+1, 1, 1), P 3 := ( 7,λ 4, λ 4) och P 4 : ( 3, 2, λ 2) (angivna i samma koordinatsystem). För vilket/vilka värden påλligger punkterna i samma plan? Bestäm också ett uttryck för planet. (4p) Om de fyra punkterna ligger i samma plan är vektorerna P 1 P 2, P 1 P 3 och P 1 P 4 parallella med detta plan. I så fall är de linjärt beroende, och i så fall är determinanten för matrisen med dessa vektorer som kolumner noll. Se efter för vilka värden påλsom den är det: P 1 P 2 = (λ, 3,λ 1) P 1 P 3 = ( 8,λ 2, 4) P 1 P 4 = ( 4, 0, 2) λ λ 2 0 = =2aλ 2 8λ+8=2(λ 2) 2 λ Determinanten blir noll dåλ=2 (och inget annat). Med informationen på den här formen är det enklast att ange planet på parameterform (det sägs ju ingenting om vilken form det ska ges på): Π : (x, y, z)=( 1, 2, 2) + s(2, 3, 1) + t( 8, 0, 4) P 1 P 1 P 3 P 1 P 2 Annars är ekvationsformen x 2y+5=0 Rättningsnorm: Fullständig lösning: 4p. Gjort så pass mycket att det går att urskilja en tanke: 1p. I övrigt poäng efter hur stor del av den fullständiga lösningen man fått ihop. 7. Vi har den högerorienterade ON-basen B 1 ={e 1, e 2 }. u 1 = ( 2, 3), u 2 = (2, 2) i denna bas. (a) Rita en bild av hur vektorerna e 1, e 2, u 1 och u 2 förhåller sig till varandra. (1p) Lösningen till denna uppgift i svart:

6 MAA123 Tentamen TEN4 Lösning Sida 6 (av 8) v e 2 e 1 u 2 w u 1 Rättningsnorm: Kan nog bara bli rätt eller fel. (b) Vektorn v har koordinaterna ( 1, 2) i basen B 2 ={u 1, u 2 }. Vad har v för koordinater i basen B 1? (1p) Grafisk lösning i figuren i orange/rött: Rita v= u 1 2u 2 och läs av koordinaterna ur rutnätet. De är ( 2, 1). Analytisk lösning: v= 1u 1 2u 2 = 1( 2, 3) 2(2, 2)=( 2, 1) i B 1 Rättningsnorm: Kan nog bara bli rätt eller fel. (c) Vektorn w har koordinaterna (3, 1) i basen B 1. Vad har w för koordinater i basen B 2? (2p) Grafisk lösning i figuren i cyan/blått: Rita in w=3e 1 +1e 2. Dra en linje i u 1 :s riktning från w:s början och en i u 2 :s riktning från w:s slut. Läs av skärningspunkten. Om man går 2u 1 följt av 3,5u 2 så får man w, som alltså har koordinaterna (2, 3,5). Analytisk lösning: Anta att koordinaterna är (x, y) och se vad detta har för konsekvenser:

7 MAA123 Tentamen TEN4 Lösning Sida 7 (av 8) w= xu 1 + yu 2 = x( 2e 1 3e 2 )+y(2e 1 + 2e 2 ) Separera till ett ekvationssystem, och lös: 2x+2y=3 x=2 3x+2y=1 y=3,5 = ( 2x+ 2y)e 1 + ( 3x+2y)e 2 = 3e 1 + 1e 2 Rättningsnorm: Kommit till rätt svar: 2p. Gjort så pass mycket att det går att se att tanken är rätt: 1p. Om man löser (c) på (b) och tvärtom ges 1p för uppgifterna sammantaget. 8. En matris A kallas idempotent om A 2 = A. (Med A 2 menas matrisen multiplicerad med sig själv.) Enhetsmatrisen I är idempotent, eftersom II = I. (a) Hitta tre andra 2 2-matriser än enhetsmatrisen som är idempotenta. (2p) Om man sneglar på nästa fråga inser man att det måste röra sig om icke inverterbara matriser. Nollmatrisen är ju en uppenbar kandidat, eftersom nollmatris gånger nollmatris blir nollmatris. Två andra fungerande förslag är följande mellanting mellan nollmatriser och enhetsmatriser: Rättningsnorm: En eller två fungerande matriser: 1p. Tre fungerande matriser: 2p (b) Visa att den enda matris som är både idempotent och inverterbar är enhetsmatrisen. (Du kan om du vill nöja dig med att visa det för 2 2-matriser.) (2p) Snabblösning: Om AA=Aoch A 1 existerar så kan vi multiplicera ekvationen med inversen, vilket ger (med alla detaljer utskrivna) AA=A A 1 (AA)=A 1 A (A 1 A)A=I IA=I A=I Omfattande lösning: Sätt A= a b c d A 2 = a2 + bc ab+bd ac+cd bc+d 2 Identifiering av element ger följande ickelinjära ekvationssystem: a 2 + bc= a ab+bd=b ac+cd= c bc+d 2 = d Ekvation 2 ger (a+d)=1 eller b=0. 0-alternativet gör om översta ekvationen till a 2 = a. Den ekvationen har två lösningar, a=0 och a=1. 0:alternativet ger

8 MAA123 Tentamen TEN4 Lösning Sida 8 (av 8) matrisen en nollrad, och då är den inte inverterbar. Så om b = 0 måste a = 1. Samma resonemang på bottenraden ger motsvarande resultat. Då har vi enhetsmatrisen. Får vi något annat om (a + d) = 1? Vi byter ut alla d mot 1 a, och ser vad vi får: a 2 + bc = a b=b c=c a 2 + bc=a Löser vi den översta/nedersta ekvationen får vi a=(1± 1 4bc)/2. Om man tar plusroten till a så blir d uttrycket med minusroten. En matris med formen (1+ 1 4bc)/2 b c (1 1 4bc)/2 är alltså idempotent, och detta är enda möjliga alternativa uppbyggnaden till enhetsmatrisen och nollmatrisen (förutom varianten med omvända tecken på rötterna). Är denna matris inverterbar? Kolla determinanten: (1+ 1 4bc)/2 b c (1 1 4bc)/2 = bc 2 = 1 (1 4bc) bc 2 bc=0 bc Inte inverterbar! Kommentarer: Idempotens är ett begrepp från den abstrakta algebran (och dess tillämpningsområde datatekniken). En operation är idempotent om det blir samma slutresultat om man gör den många gånger som om man gör den en. Ett exempel är att sortera i bokstavsordning: sorterar man något i bokstavsordning en gång så blir det ordnat. Gör man det en gång till omedelbart efter så blir det ingen skillnad; grejerna är fortfarande i bokstavsordning. I fallet med en idempotent matris A så spelar det ingen roll om man multiplicerar en eller flera gånger med A; produkten blir densamma. Notera också att det finns betydligt fler än två lösningar till andragradsmatrisekvationen A 2 = A. Det där att andragradsekvationer med tal har just två lösningar är en konsekvens av nollfaktorlagen, som ju inte gäller för matriser. Rättningsnorm: Kortversionen (som nog bara kan bli rätt eller fel) får 2p. För långversionen gäller att man får 1p om man kommit till det första ekvationssystemet, och 2p om man kommit till slutet. =