Moment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34. Planet Ett plan i rummet är bestämt då

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Moment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34. Planet Ett plan i rummet är bestämt då"

Transkript

1 Moment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34 Planet Ett plan i rummet är bestämt då två icke parallella riktningar, v 1 och v 2, och en punkt P 1 i planet är givna. en riktning v 1 och två punkter P 1 och P 2 i planet är givna. tre punkter P 1, P 2 och P 3, som inte ligger på en rät linje, i planet är givna. På ett liknande sätt som för linjen kan vi föra ett resonemang som leder fram till planets ekvation på vektorform r = r 0 + v 1 s+ v 2 t För varje par av värden på s och t får vi en ny punkt i planet. Den snarlika framställningen av planet på parameterform ser ut så här x = x 0 +α 1 s+α 2 t y = y 0 +β 1 s+β 2 t z = z 0 +γ 1 s+γ 2 t Här är P 0 = (x 0,y 0,z 0 ) en punkt i planet och vektorerna v 1 = (α 1,β 1,γ 1 ) och v 2 = (α 2,β 2,γ 2 ) riktningar parallella med planet. Det kanske vanligaste sättet att återge ett plan är på normalform. Betraktar vi parameterframställningen som ett ekvationssystem med de obekanta s, t och z, kommer lösningen på z att bli ett uttryck i x och y. Vi skriver om detta på formen Ax+By+Cz+D = 0 och kallar framställningen planets ekvation på normalform. Vi ska nu titta närmare på vektorn n = (A,B,C) som vi konstruerar med hjälp av koefficienterna från planets ekvation Ax + By + Cz + D = 0. Genom att bestämma x och y kan vi beräkna z och på det sättet finna punkter som ligger i planet. Med de tre punkterna P 1 = (x 1,y 1, (D+Ax 1 +By 1 )/C) P 2 = (x 2,y 2, (D+Ax 2 +By 2 )/C) P 3 = (x 3,y 3, (D+Ax 3 +By 3 )/C) Håkan Strömberg 1 KTH Syd

2 kan vi bestämma två riktningar som är parallella med planet. v 1 = P 1 P 2 och v 2 = P 1 P 3. När vi nu väljer att beräkna n v 1 och n v 2 får vi v 1 = P 1 P 2 = (P 1 P 2 ) = (x 1 x 2,y 1 y 2,(D+Ax 2 +By 2 D Ax 1 By 1 )/C). Denna vektor skalärt med n ger (x 1 x 2,y 1 y 2,(Ax 2 +By 2 Ax 1 By 1 )/C) (A,B,C) = A(x 1 x 2 )+B(y 1 y 2 )+(Ax 2 +By 2 Ax 1 By 1 ) = Ax 1 Ax 2 +By 1 By 2 +Ax 2 +By 2 Ax 1 By 1 = 0 På samma sätt finner vi att n v 2 = 0. Detta betyder att n är vinkelrät mot två vektorer v 1 och v 2 i planet, vilket betyder att n är vinkelrät mot alla vektorer i planet och därmed är vinkelrät mot planet! Sats 1. Vektorn n = (A, B, C), är en normalvektor till planet Ax+By+Cz+D = 0 Exempel 1. Tre punkter P 1 = (1,4,2), och P 2 = (0,2,1) och P 3 = (1,0,1) är givna. Tre punkter som inte ligger på en rät linje bestämmer ett plan. Med punkterna som hjälp, kan vi bilda två riktningar som är parallella med planet. v 1 = P 1 P 2 = (1,4,2) (0,2,1) = (1,2,1) och v 2 = P 1 P 3 = (1,4,2) (1,0,1) = (0,4,1). Vi kan nu skriva planets ekvation på vektorform r = (1,4,2) +(1,2,1)s+(0,4,1)t Som du förstår finns det många olika val att göra denna framställning på. Det kan ibland vara svårt att se om två olika framställningar av ett plan på parameterform definierar samma plan. På parameterform kan vi direkt skriva det hela x = 1+s y = 4+2s+4t z = 2+s+t Genom till exempel s = t = 1 framställer vi punkten (2,10,4), som alltså ligger på planet. När vi nu ska bestämma planets ekvation på normalform ska vi alltså lösa ekvationssystemet ovan med avseende på s, t och z. Ur första ekvationen får vi s = x 1. Detta insatt i andra ekvationen leder till y = 4+2(x 1)+4t y = 4+2x 2+4t t = (y 2x 2)/4 Med dessa uttryck på s och t kan vi till sist uttrycka den tredje ekvationen utan inblandning av s och t. z = 2 + (x 1) + (y 2x 2)/4. Efter en del räknande kommer vi fram till planets ekvation på normalform 2x+y 4z+2 = 0 Håkan Strömberg 2 KTH Syd

3 Problemställningar Vi har nu definierat punkten, linjen och planet i rummet för att kunna lösa problem med dessa objekt inblandade. Skärningar. Vi börjar med skärningen mellan två linjer l 1 och l 2. x = x 0 +v x t x = x 1 +u x t l 1 = y = y 0 +v y t l 1 = y = y 1 +u y t z = z 0 +v z t z = z 1 +u z t I praktiken kan man säga att det endast är i undantagsfall, som två linjer i rummet skär varandra. För att få reda på om l 1 och l 2 har någon gemensam punkt ska vi finna värden på t och s, så att x 1 +u x t = x 0 +v x s y 1 +u y t = y 0 +v y s z 1 +u z t = y 0 +v z s Observera att t i l 1 och t i l 2, som linjerna framställs från början, inte är samma parameter och att vi här inför s som den andra linjens parameter. Eftersom (x 1,y 1,z 1 ), (u x,u y,u z ), (x 0,y 0,z 0 ) och (v x,v y,v z ) alla är kända har systemet två obekanta s och t och tre ekvationer. Systemet är överbestämt och vi kan ur de två första ekvationerna lösa s och t. Om dessa värden satisfierar den tredje ekvationen är punkten (x 1 +u x t,y 1 +u y t,z 1 +u z t) gemensam för de båda linjerna. Skärning mellan en linje och ett plan. En linje kan förhålla sig till ett plan på tre olika sätt: Linjen skär planet Linjen är parallell med planet och har ingen gemensam punkt med planet. Linjen ligger i planet. Det första fallet inträffar så fort linjens riktningsvektor inte är parallell med planet. I de två andra fallen är riktningsvektorn dock parallell med planet. x = x 0 +u x t x = x 1 +w x s+v x t l = y = y 0 +u y t pl = y = y 1 +w y s+v y t z = z 0 +u z t z = z 1 +w z s+v z t Från linjen l och planet pl skapar vi nu ett ekvationssystem med tre obekanta x 0 +u x p = x 1 +w x s+v x t y 0 +u y p = y 1 +w y s+v y t z 0 +u z p = z 1 +w z s+v z t där de tre obekanta är p, s och t. Från kapitlet om linjära ekvationssystem känner vi till att detta system kan ha en, ingen eller oändligt många lösningar. Var och en av dessa fall motsvarar ett förhållande mellan linjen och planet enligt punkterna ovan. Skärning mellan två plan. Precis som tidigare reder vi ut vilka fall som är möjliga. Två plan kan förhålla sig till varandra på tre olika sätt Håkan Strömberg 3 KTH Syd

4 Planen skär varandra efter en rät linje. Planen är parallella med varandra och har ingen gemensam punkt. Planen sammanfaller. Det första fallet inträffar då planens normalvektorer inte är parallella. I de andra två fallen är just normalvektorerna parallella! De två planen pl 1 och pl 2, vi ska studera har följande ekvationer på parameterform. x = x 0 +w x s+v x t x = x 1 +u x s+r x t pl 1 = y = y 0 +w y s+v y t pl 2 = y = y 1 +u y s+r y t z = z 0 +w z s+v z t z = z 1 +u z s+r z t där P 0, P 1, w, v, u, r alla är givna. Vi får följande ekvationssystem x 0 +w x s 1 +v x t 1 = x 1 +u x s 2 +r x t 2 y 0 +w y s 1 +v y t 1 = y 1 +u y s 2 +r y t 2 z 0 +w z s 1 +v z t 1 = z 1 +u z s 2 +r z t 2 därs 1, t 1, s 2 och t 2 är obekanta. Ett ekvationssystem med fyra obekanta och tre ekvationer. Ett underbestämt system som aldrig kan ha en unik lösning. Två plan kan aldrig skära varandra på ett sådant sätt att de endast har en gemensam punkt. Vi har av ekvationssystemet att vänta oss antingen en enparametrig lösning planen har en gemensam linje. ingen lösning planen är parallella utan gemensamma punkter. en tvåparametrig lösning planen sammanfaller. Avstånd. Vi börjar med avståndet mellan två punkter i rummet, som vi förresten meddelat tidigare. Då P 1 = (x 1,y 1,z 1 ) och P 2 = (x 2,y 2,z 2 ) är två punkter i rummet är P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 +(y 1 y 2 ) 2 +(z 1 z 2 ) 2 När vi nu ska bestämma avståndet från en punkt till en linje där punkten P inte ligger på linjen l, så är det förstås det vinkelräta avståndet från P till linjen som ska bestämmas avståndet från P till en punkt P 1 = (x 1,y 1,z 1 ) på linjen l l = x = x 0 +u x t y = y 0 +u y t z = z 0 +u z t Vi förstår att vektorn PP1 u. Eftersom punkten P 1 ligger på linjen l räcker följande ekvationssystem för att finna P 1 = (x 1,y 1,z 1 ) x 1 = x 0 +u x t y 1 = y 0 +u y t z 1 = z 0 +u z t u x (x x 1 )+u y (y y 1 )+u z (z z 1 ) = 0 Håkan Strömberg 4 KTH Syd

5 Den sista ekvationen uttrycker skalärprodukten u PP1 = 0. När väl punkten P 1 är bestämd återstår endast att bestämma avståndet PP1. För avståndet från en punkt till ett plan menas avståndet från punkten P = (x,y,z) vinkelrätt mot planet pl. x = x 0 +u x s+v x t pl = y = y 0 +u y s+v y t z = z 0 +u z s+v z t Ungefär som för avståndet från en punkt till linjen ska vi finna en punkt P 1 = (x 1,y 1,z 1 ) i planet sådan att PP1 är vinkelrät mot både u och v. x 1 = x 0 +u x s+v x t y 1 = y 0 +u y s+v y t z 1 = z 0 +u z s+v z t v x (x x 1 )+v y (y y 1 )+v z (z z 1 ) = 0 u x (x x 1 )+u y (y y 1 )+u z (z z 1 ) = 0 De två sista ekvationerna uttrycker v PP1 = 0 och u PP1 = 0. Ett ekvationssystem med fem ekvationer, där u, v, P 0 och P är kända och där de fem obekanta är P 1 = (x 1,y 1,z 1 ), s och t. Värden för parametrarna s och t är vi mindre intresserade av, men då vi får reda på P 1 kan vi bestämma PP1. Avståndet mellan två linjer l 1 och l 2 x = x 0 +u x t y = y 0 +u y t z = z 0 +u z t x = x 1 +v x t y = y 1 +v y t z = z 1 +v z t Här handlar det om att finna två punkter P 2 = (x 2,y 2,z 2 ) och P 3 = (x 3,y 3,z 3 ), som ligger på var sin linje, sådana att det P 2 P 3 är vinkelrät mot både u och v. Detta leder till följande ekvationssystem x 2 = x 0 +u x s y 2 = y 0 +u y s z 2 = z 0 +u z s x 3 = x 1 +v x t y 3 = y 1 +v y t z 3 = z 1 +v z t v x (x 2 x 3 )+v y (y 2 y 3 )+v z (z 2 z 3 ) = 0 u x (x 2 x 3 )+u y (y 2 y 3 )+u z (z 2 z 3 ) = 0 Åtta ekvationer och åtta obekanta, P 2 = (x 2,y 2,z 2 ) och P 3 = (x 3,y 3,z 3 ), s och t. När P 2 och P 3 är bestämda kan P 2 P 3 bestämmas och problemet är löst. Att tala om avståndet mellan två plan är endast meningsfullt då planen är parallella och ej sammanfallande. Alla punkter i det ena planet ligger lika långt ifrån det andra planet och därmed är problemet återfört till avståndet från en punkt till ett plan. Håkan Strömberg 5 KTH Syd

6 Avståndet mellan en linje och ett plan är det meningsfullt att tala om endast då linjen är parallell med planet och de saknar gemensamma punkter. Eftersom alla punkter på linjen då ligger lika långt från planet kan vi välja ut en punkt och problemet är återfört till avståndet från en punkt till ett plan. Vinklar. Vi börjar med att bestämma vinkeln mellan två plan genom att definiera att vinkeln mellan två plan är lika med vinkeln mellan två normalvektorer till planen. Om planens ekvationer är givna på formen A 1 x+b 1 y+c 1 z+d 1 = 0 och A 2 x+b 2 y+ C 2 z+d 2 = 0 är det vinkeln mellan n 1 = (A 1,B 1,C 1 ) och n 2 = (A 2,B 2,C 2 ) vi är ute efter. Vinkeln θ mellan två vektorer bestäms som vi tidigare meddelat genom cosθ = n 1 n 2 n 1 n 2 Vinkeln mellan två linjer l 1 och l 2, bestäms genom vinkeln mellan linjernas riktningsvektorer v 1 och v 2. Detta oavsett om linjerna skär varandra eller inte. Vinkeln mellan en linje och ett plan är π/2 arccosθ, där θ är vinkeln mellan en normalvektor till planet och en riktningsvektor till linjen. Om linjen är parallell till planet är θ = 0 Extra 1. Bestäm ekvationen för det plan i vilket punkterna P 1 (1,2,3), P 2 (2,4,5) och P 3 (4,5,6) ligger. Lösning: Vi har de tre punkterna P 1 (1,2,3), P 2 (2,4,5) och P 3 (4,5,6) och bildar två vektorer v = (2,4,5) (1,2,3) = (1,2,2) och u = (4,5,6) (2,4,5) = (2,1,1). Observera att vi kan göra andra val och få andra vektorer som också fungerar. Nu kan vi enkelt skriva planets ekvation på parameterform: x = 1+s+2t y = 2+2s+t z = 3+2s+t Men nu var det planets ekvation på normalform det var frågan om. Ett sätt är att lösa ut s och t ur de två första ekvationerna. { x = 1+s+2t y = 2+2s+t Vi får s = 3+x 2y 3 t = y 2x 3 Dessa två uttryck substituerar vi sedan med i den tredje ekvationen. z = 3 2(3+x 2y) y 2x 3 3 3z = 9 6 2x+4y y+2x 3z = 3+3y z y = 1 Håkan Strömberg 6 KTH Syd

7 Ett alternativt sätt att lösa problemet: Vi använder vektorerna v och u från ovan och tar reda på en vektor som är vinkelrät mot dessa och därmed också vinkelrätt mot planet. e x e y e z n = = 2 e x +4 e y + e z 2 e x e y 4 e z = (0,3, 3) n innehåller nu koefficienterna A,B,C till Ax+By+Cz+D = 0 och vi får 3y 3z+D = 0. För att få tag i D sätter vi in en av punkterna P 1,P 2 eller P 3 i denna ekvation och får med P 1, D = 0 ger D = 3. Vi skriver nu ekvationen 3y 3z+3 = 0 eller y z+1 = 0. För att få samma svar som vid första lösningen avslutar vi med att multiplicera båda leden med ( 1). z y = 1 Extra 2. Bestäm ekvationen för den linje som går genom punkten P = (1,2,4) och som har ritningen v = (1, 1, 2). Bestäm sedan skärningspunkten mellan denna linje och planet x+3y 4z = 5. Lösning: En punkt P(1, 2, 4) och en vektor v = (1, 1, 2) ger oss linjens ekvation x = 1+t y = 2+t z = 4+2t Denna linje skär planet x+3y 4z = 5 då 1+t+3(2+t) 4(4+2t) = 5 1+t+6+3t 16 8t = 5 t = 7 2 Med detta t = 7 2 insatt i linjens ekvation får vi skärningspunkten ( 52, 32, 3 ) Extra 3. Bestäm vinkeln mellan planen 2x+y 2z = 5 och 3x 6y 2z = 7. Lösning: Från ekvationerna för de två planen 2x + y 2z = 5 och 3x 6y 2z = 7, plockar vi ut normalvektorerna n 1 = (2,1, 2) och n 2 = (3, 6, 2). Svaret får vi genom att bestämma vinkeln mellan dessa vektorer. cosθ = n 1 n 2 n 1 n 2 (2,1, 2) (3, 6, 2) cosθ = ( 2) ( 6) 2 +( 2) 2 cosθ = 4 21 θ 1.38 Extra 4. Givet de två punkterna P = (3,1,2) och Q = (1, 2, 4) och tillhörande positionsvektorer a = (3,1,2) och b = (1, 2, 4). Beräkna ekvationen för det plan som går genom Q och som är vinkelrätt mot PQ. Lösning: Vektorn n = a b = (3,1,2) (1, 2, 4) = (2,3,6) är normalvektor till planet. Därför kan vi direkt skriva 2x+3y+6z+D = 0. D kan vi nu bestämma genom att sätta in punkten Q(1, 2, 4), som vi vet ligger i planet. Vi får ( 2)+6 ( 4)+D = 0 ger D = 28 och ekvationen kan skrivas 2x+3y+6z+28 = 0 Håkan Strömberg 7 KTH Syd

8 Extra 5. Bestäm avståndet från punkten S = ( 1,1,1) till planet 2x+3y+6z+28 = 0 Lösning: Avståndet från punkten P( 1, 1, 1) till planet 2x+3y+6z+28 = 0 ska bestämmas. Vi startar med att bestämma ekvationen för den linje som går genom punkten P och som är parallell med normalvektorn (2,3,6). Vi får x = 1+2t y = 1+3t z = 1+6t Nu vill vi veta var denna linje skär planet. Vi får ekvationen Med detta t = 5 7 2( 1+2t)+3(1+3t)+6(1+6t)+28 = 0 2+4t+3+9t+6+36t+28 = 0 t = 5 7 kan vi nu ta reda på skärningspunkten x = 1 10 y = = 8 7 z = = = 17 7 Vi avslutar så med att bestämma avståndet mellan de två punkterna ( ) 2 +( ( ) 23 ) 2 = 5 7 Om Du lyckas lära dig formeln d = Ax 0 +By 0 +Cz 0 +D A 2 +B 2 +C 2 så är det fritt fram att använda den d = 2 ( 1) = Extra 6. Bestäm först ekvationen för linjen genom punkterna (1, 1,3) och (3,3, 1). Visa att denna linje går vinkelrät mot planet 2x+4y 4z = 5. Avsluta med att bestämma vinkeln mellan aktuell linje och planet med ekvationen 12x 15y+16z = 10. Lösning: P(1, 1,3) och Q(3,3, 1) ger v = (3,3, 1) (1, 1,3) = (2,4, 4). Planet 2x+4y 4z = 5 har normalvektorn n = (2,4, 4). Eftersom v = n går vektorn v vinkelrätt planet. Det andra planet med ekvationen 12x 15y+16z = 10 har normalvektorn n = (12, 15, 16). Vi får (2,4, 4) (12, 15,16) cosθ = ( 4) ( 15) θ 48.2 (överensstämmer inte med facit!) Håkan Strömberg 8 KTH Syd

9 Extra 7. Ta reda på om linjen genom punkterna P 1 = (2,0, 1) och P 2 = (1,2,3) skär linjen genom punkterna P 3 = (0,0,1) och P 4 = (1,0,1) Lösning: Vi löser ut t ur de tre ekvationerna och får Den andra linjens ekvation x = 1+(1 2)t = 1 t y = 2+(2 0)t = 2+2t z = 3+(3+1)t = 3+4t 1 x = y 2 2 = z 3 4 x = 0+(0 1)t = t y = 0+(0 0)t = 0 z = 1+(1 1)t = 1 Vi ser direkt att denna linje inte skär den första. Extra 8. Bestäm avståndet mellan linjerna x = 4+2t y = 2+t z = 3 t x = 7+3s y = 2+2s z = 1+s Lösning: Först de två linjernas ekvationer x = 4+2t y = 2+t z = 3 t x = 7+3s y = 2+2s z = 1+s Vi söker nu en vektor som är vinkelrät mot v = (2, 1, 1) och u = (3, 2, 1) { (11 3s+2t, 2s+t,2 s t) (2,1, 1) = 0 (11 3s+2t, 2s+t,2 s t) (3,2,1) = 0 (11 3s+2t, 2s+t,2 s t) är den vektor som bildas då man väljer ett t på första linjen och ett s på den andra. Lösningen t = 1 och s = 2 ger vektorn (3, 5,1). Denna vektor är vinkelrät mot riktningsvektorerna hos de båda linjerna. Längden hos denna vektor är liktydigt med det kortaste avståndet mellan linjerna. d = 3 2 +( 5) = 35 Extra 9. Bestäm ekvationen för det plan som innehåller linjen l och är parallell med linjen s. x = 1+2t l = y = 3+t z = 4+t x = 1+2t s = y = 3+t z = 4+t Lösning: Att skriva ned planets ekvation på parameterform är busenkelt! x = 1+2t+s y = 3+t+2s z = 4+t+3s Håkan Strömberg 9 KTH Syd

10 För att få det på normalform löser vi först ut s och t ur de två första ekvationerna. { x = 1+2t+s y = 3+t+2s med lösningen s = 7+x 2y 3 t = 5 2x+y 3 Vi sätter så in dessa uttryck för s och t i den tredje ekvationen och får z = 4+t+3s z = x+y 7+x 2y 3 3z = 12 (5 2x+y)+3(7 x+2y) 3z = x y+21 3x+6y x 5y+3z 28 = 0 Vi kan nu teckna ekvationen x 5y + 3z + D = 0. Genom att sätta den givna punkten (1, 3,4) kan vi till sist bestämma D. 1 5 ( 3)+3 4+D = 0 ger D = 28 och ekvationen x 5y+3z 28 = 0 Extra 10. Bestäm (x,x,x) (x, x,x). Lösning: Vi får determinanten Som ger Svar: (2x 2,0, 2x 2 ) v u = (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) x x x x x x x 2 e x +x 2 e y x 2 e z x 2 e z x 2 e y +x 2 e x = 2x 2 e x 2x 2 e z = 2x 2 (1,0,0) +2x 2 (0,0,1) = (2x 2,0, 2x 2 ) 1 Vi har två punkter och ett plan givna och önskar skärningspunkten mellan den linje, som går genom de två punkterna, och planet. Vilken är din plan? 2 Vi har tre punkter givna och vill ha ekvationen för det plan som innehåller dessa punkter. Vilken är din plan? 3 Vi har en vektor v och vill ha dess projektion på vektorn u. Vilken är din plan? 4 Vi vill lösa olikheten Vilken är din plan? x 2 +x 2 x+3 > 0 Håkan Strömberg 10 KTH Syd

11 1 1 Ta fram linjens ekvation på parameterform. 2 Ersätt x, y och z i planets ekvation med motsvarande uttryck i t. 3 Lös den uppkomna ekvationen med avseende på t. 4 Sätt in detta t-värde i linjens ekvation 2 1 Bilda två vektorer v och u med hjälp av de tre punkterna 2 Eftersom de bildade vektorerna v och u är parallella med planet är v u en normalvektor till planet. Ta fram denna normalvektor n. 3 Vi kan nu skriva planets ekvation för allt utom den konstanta koefficienten. Denna får vi fram genom att sätta in en av de tre punkterna. 3 1 Bestäm en enhetsvektor r i samma riktning som v 2 Beräkna u r 3 Beräkna ( u r) r 4 1 Faktorisera täljaren 3 Sortera nollställena i täljare och nämnare i stigande ordning och ställ upp tabell för teckenstudium. 4 Utläs svaret ur tabellen Håkan Strömberg 11 KTH Syd

Moment 4.3.1, Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument

Moment 4.3.1, Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument Moment 4.3.1, 4.3.2 Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument Planet Ett plan i rummet är bestämt då två icke parallella

Läs mer

2x+y z 5 = 0. e x e y e z = 4 e y +4 e z +8 e x + e z = (8,4,5) n 3 = n 1 n 2 =

2x+y z 5 = 0. e x e y e z = 4 e y +4 e z +8 e x + e z = (8,4,5) n 3 = n 1 n 2 = Problem 1. Nedan presenteras ekvationen för en rät linje och ett plan i rummet. Du ska avgöra om linjen är vinkelrät mot planet. x = 2 4t y = 3 2t z = 1+2t 2x+y z 5 = 0 Lösning: Linjen har riktningsvektorn

Läs mer

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................

Läs mer

Där a = (1, 2,0), b = (1, 1,2) och c = (0,3, 1) Problem 10. Vilket är det enda värdet hos x för vilket det finns a och b så att

Där a = (1, 2,0), b = (1, 1,2) och c = (0,3, 1) Problem 10. Vilket är det enda värdet hos x för vilket det finns a och b så att Här följer 3 problem att lösa. Längre bak i dokumentet finns utförliga penna-papper lösningar. Filen Föreläsning08.zip finns motsvarande lösningar utförda med Mathematica. Problem 1. Bestäm a så att avståndet

Läs mer

2+t = 4+s t = 2+s 2 t = s

2+t = 4+s t = 2+s 2 t = s Extra 1. Ta fram räta linjens ekvation på parameterform då linjen går genom punkterna (1, 1,0) och (2,0,1) (3, 1,4) och ( 1,1,6) (4,3, 1) och (7, 2,5) (11,3, 6) och (9, 1,3) Lösning: (x,y,z) = (1+t, 1+t,t)

Läs mer

x+2y 3z = 7 x+ay+11z = 17 2x y+z = 2

x+2y 3z = 7 x+ay+11z = 17 2x y+z = 2 Problem 1. Avgör för vilka värden på a som ekvationssystemet nedan har oändligt antal lösningar. Ange lösningarna i dessa fall! Lösning: Genom x+2y 3z = 7 x+ay+11z = 17 2x y+z = 2 1 2 3 1 a 11 2 1 1 =

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer III Innehåll

Läs mer

Övningstentammen 1. 3x 2 3x+a = 0 ax 2 2ax+5 = 0

Övningstentammen 1. 3x 2 3x+a = 0 ax 2 2ax+5 = 0 Övningstentammen 1 Här kommer den första av en mängd övningstentor. Lösningarna är exempel på hur du ska formulera dina lösningar på den riktiga tentamen. Lösningarna ska alltså bifogas på papper. Inga

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Moment 5.1-5.5 Viktiga exempel 5.1-5.10 Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Kvadratiska linjära ekvationssystem Vi startar vår utredning med det vi känner bäst till, ekvationssystem

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer I Innehåll

Läs mer

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2010 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 7 Uppgift 1................................. 7 Uppgift 2.................................

Läs mer

Moment Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.52, P 0 P = t v OP och OP 0 är ortsvektorer för punkterna P och P 0, så

Moment Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.52, P 0 P = t v OP och OP 0 är ortsvektorer för punkterna P och P 0, så Tisdagen september kl 10:15, Sal 093, Moment 4.3.1 Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.5, 4.55 Räta linjen i rummet En rät linje l i rummet är bestämd då en punkt P 0 på linjen och en riktningsvektor

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.

Läs mer

Räta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom som är parallell med

Räta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom som är parallell med RÄTA LINJER OCH PLAN Räta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom punkten P = ( x, y, som är parallell med vektorn v = v, v, v ) 0. ( 3 P Räta linjens ekvation på parameterform kan man ange

Läs mer

Övningstenta 8. ax+2y+z = 2a 2x (a+2)y = 4 2(a+1)x 13y 2z = 16. Problem 3. Lös matrisekvationen AX BX = C. då A = 0 1

Övningstenta 8. ax+2y+z = 2a 2x (a+2)y = 4 2(a+1)x 13y 2z = 16. Problem 3. Lös matrisekvationen AX BX = C. då A = 0 1 Övningstenta 8 Problem 1. Bestäm avståndet mellan planen 2x 3y+z+1 = 0 och 4x+6y 2z+13 = 0 Problem 2. Lös ekvationssystemet för de värden på a där det finns en lösning ax+2y+z = 2a 2x (a+2y = 4 2(a+1x

Läs mer

x = som är resultatet av en omskrivning av ett ekvationssystemet som ursprungligen kunde ha varit 2x y+z = 3 2z y = 4 11x 3y = 5 Vi får y z

x = som är resultatet av en omskrivning av ett ekvationssystemet som ursprungligen kunde ha varit 2x y+z = 3 2z y = 4 11x 3y = 5 Vi får y z Ett nytt försök med att ta fram inversen till en matris Innan vi startar med att bestämma inversen till en matris måste vi veta varför vi skulle kunna behöva den. Vi har A x b som är resultatet av en omskrivning

Läs mer

===================================================

=================================================== AVSTÅNDSBERÄKNING ( I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERAT KOORDINATSYSTEM ) Avståndet mellan två punkter Låt A ( x1, och B ( x, y, z) vara två punkter i rummet Avståndet d mellan A och B är d AB ( x z x1)

Läs mer

TENTAMEN. Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Onsdagen 25 september 2013 Tentamen består av 3 sidor

TENTAMEN. Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Onsdagen 25 september 2013 Tentamen består av 3 sidor TENTAMEN Matematik Kurskod HF903 Skrivtid 3:5-7:5 Onsdagen 5 september 03 Tentamen består av 3 sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa ej tillåten. Tentamen består av 3 uppgifter som totalt kan

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer II Innehåll

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 2 David Rydh Institutionen för matematik KTH 28 augusti 2018 Detta gjorde vi igår Punkter Vektorer och skalärer, multiplikation med skalär Linjärkombinationer, spannet

Läs mer

Vektorgeometri. En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B.

Vektorgeometri. En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B. Vektorgeometri En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B. Två pilar AB, A B tilllhör samma vektor om de har samma riktning och samma längd. Vi skriver v = AB = B A B

Läs mer

Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22

Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22 Moment 5.3, 4.2.9 Viktiga exempel 5.13, 5.14, 5.15, 5.17, 4.24, 4.25, 4.26 Handräkning 5.35, 5.44a, 4.31a, 4.34 Datorräkning Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom

Läs mer

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61 Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska

Läs mer

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet

Läs mer

Komplexa tal med Mathematica

Komplexa tal med Mathematica Komplexa tal med Mathematica Vi startar med att lösa en andragradsekvation Solve[x^ - x + == 0] Vi får de komplexa rötterna x 1 = 1 i och x = 1 + i. När vi plottar funktionen f(x) = x x+ ser vi tydligt

Läs mer

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1 Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel. Vi utnyttjar definitionen av skalärprodukt som ger att u v u v, där α är (minsta) vinkeln mellan u v. I vårt fall så får vi 7 =. Alltså är den sökta vinkeln

Läs mer

October 9, Innehållsregister

October 9, Innehållsregister October 9, 017 Innehållsregister 1 Vektorer 1 1.1 Geometrisk vektor............................... 1 1. Vektor och koordinatsystem.......................... 1 1.3 Skalär produkt (dot eller inner product)...................

Läs mer

z = 4 + 3t P R = (5 + 2t, 4 + 2t, 4 + 3t) (1, 1, 3) = (4 + 2t, 3 + 2t, 1 + 3t)

z = 4 + 3t P R = (5 + 2t, 4 + 2t, 4 + 3t) (1, 1, 3) = (4 + 2t, 3 + 2t, 1 + 3t) Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 2, 6hp Fredagen den 16 maj 2014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Låt l vara linjen genom punkten (5, 4, 4) som är vinkelrät mot planet 2x+2y +3z

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2016-05-10 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.

Läs mer

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R 1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på geometri och vektorer inför lappskrivning nummer 2 på kursen Linjär algebra II, SF1604, vt11. 1. En triangel har hörn i punkterna (1, 2,

Läs mer

x+2y+3z = 14 x 3y+z = 2 3x+2y 4z = 5

x+2y+3z = 14 x 3y+z = 2 3x+2y 4z = 5 Uppgifter med linjära ekvationssystem Tips för att lösa linjära ekvationssystem Då systemet saknar parametrar ställer man direkt upp totalmatrisen. Detta är endast av administrativa skäl, blir mer lättöverskådligt.

Läs mer

1 Vektorer i koordinatsystem

1 Vektorer i koordinatsystem 1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF okt 2018, Skrivtid: 14:00-18:00 Examinator: Armin Halilovic

Tentamen 1 i Matematik 1, HF okt 2018, Skrivtid: 14:00-18:00 Examinator: Armin Halilovic Tentamen i Matematik, HF9 4 okt 8, Skrivtid: 4:-8: Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max 4 poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs, 9, 6, respektive poäng Komplettering:

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2018-04-24 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 201-0-0 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.

Läs mer

Moment Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning.

Moment Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning. Moment 4.2.7 Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning Figur 1: fig 6 Skalärprodukt Först fastslår vi att två vektorer i planet eller

Läs mer

TENTAMEN. Linjär algebra och analys Kurskod HF1006. Skrivtid 8:15-13:00. Tisdagen 31 maj Tentamen består av 3 sidor

TENTAMEN. Linjär algebra och analys Kurskod HF1006. Skrivtid 8:15-13:00. Tisdagen 31 maj Tentamen består av 3 sidor TENTAMEN Linjär algebra och analys Kurskod HF1006 Skrivtid 8:15-13:00 Tisdagen 31 maj 2011 Tentamen består av 3 sidor Hjälpmedel: Mathematica samt allt tryckt material Tentamen består av 12 uppgifter,

Läs mer

Betygsgränser: För betyg. Vem som har. Hjälpmedel: av papperet. Uppgift. 1. (4p) 0. (2p) 3 (2p) Uppgift. 2. (4p) B-2C om. vektor A (1p) b) Bestäm k så

Betygsgränser: För betyg. Vem som har. Hjälpmedel: av papperet. Uppgift. 1. (4p) 0. (2p) 3 (2p) Uppgift. 2. (4p) B-2C om. vektor A (1p) b) Bestäm k så Kurs: HF90 Matematik, Moment TEN (Linjär Algebra) ) Datum: 4 augusti 08 Skrivtid 08:00 :000 Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävss 0 av maxx 4 poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D,

Läs mer

Att beräkna:: Avstånd

Att beräkna:: Avstånd Att beräkna:: Avstånd Mikael Forsberg :: 27 november 205 Innehåll Punkter, linjer och plan, en sammanställning 2. Punkter i två och tre dimensioner....................... 2.2 Räta linjer i två och tre

Läs mer

Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem Sidor i boken KB 7-15 Linjära ekvationssystem Exempel 1. Kalle och Pelle har tillsammans 00 kulor. Pelle har dubbelt så många som Kalle. Hur många kulor har var och en? Lösning: Antag att Kalle har x kulor.

Läs mer

Vektorer för naturvetare. Kjell Elfström

Vektorer för naturvetare. Kjell Elfström Vektorer för naturvetare Kjell Elfström Copyright c Kjell Elfström 2015 Första upplagan, mars 2015 Innehållsförteckning 1 Vektorer 5 1.1 Vektorbegreppet......................... 5 1.2 Operationer på vektorer.....................

Läs mer

Datum: 24 okt Betygsgränser: För. finns på. Skriv endast på en. omslaget) Denna. Uppgift. Uppgift Beräkna. Uppgift Låt z. Var god. vänd.

Datum: 24 okt Betygsgränser: För. finns på. Skriv endast på en. omslaget) Denna. Uppgift. Uppgift Beräkna. Uppgift Låt z. Var god. vänd. Tentamen i Linjär algebra, HF94 Datum: 4 okt 8 Skrivtid: 4:-8: Lärare: Marina Arakelyan, Elias Said Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max 4 poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C,

Läs mer

= ( 1) ( 1) = 4 0.

= ( 1) ( 1) = 4 0. MATA15 Algebra 1: delprov 2, 6 hp Fredagen den 17:e maj 2013 Skrivtid: 800 1300 Matematikcentrum Matematik NF Lösningsförslag 1 Visa att vektorerna u 1 = (1, 0, 1), u 2 = (0, 2, 1) och u 3 = (2, 2, 1)

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903, för BD10 onsdag 22 september 2010, kl

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903, för BD10 onsdag 22 september 2010, kl entamen i Matematik, HF9, för D onsdag september, kl 8.. Hjälpmedel: Endast formelblad (miniräknare är inte tillåten) För godkänt krävs poäng av möjliga poäng (betygsskala är,,,d,e,fx,f). Den som uppnått

Läs mer

Eftersom ON-koordinatsystem förutsätts så ges vektorernas volymprodukt av:

Eftersom ON-koordinatsystem förutsätts så ges vektorernas volymprodukt av: MATA15 Algebra, delprov, 6 hp Lördagen den 8:e december 01 Skrivtid: 800 100 Matematikcentrum Matematik NF Lösningsförslag 1 Ligger punkterna P 1 = (0, 1, 1), P = (1,, 0), P = (, 1, 1) och P 4 = (, 6,

Läs mer

1. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform,

1. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform, Lösningsförslag, Matematik 2, E, I, M, Media och T, 2 2 8.. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform, 2 2 2 a 2 2 2 a 2 2-2 2 a 7 7 2 a 7 7-7 2 a +

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 04-05-0 DEL A. Planet P innehåller punkterna (,, 0), (0, 3, ) och (,, ). (a) Bestäm en ekvation, på formen ax + by + cz + d = 0, för planet P. (

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA70) Måndagen den 13 juni 005 Uppgift 1. Lös ekvationssystemet AX

Läs mer

. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?

. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning? Repetition, Matematik 2, linjär algebra 10 Lös ekvationssystemet 5 x + 2 y + 2 z = 7 a x y + 3 z = 8 3 x y 3 z = 2 b 11 Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet 2 x + 3 y z = 3 x 2

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 2 Institutionen för matematik KTH 2 november 2016 Skalärprodukt Dagens ämne: Skalärprodukt, kapitel 1.3-1.4 i boken Definition, skalärprodukt på två sätt Vinklar mellan vektorer Norm Plan och

Läs mer

kan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut.

kan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut. vsnitt 2, Vektorer kan vi uttrycka med a, b och c. W109 är basytan (en kvadrat) i en regelbunden fyrsidig pyramid med spetsen. Låt = a, = b och = c. eräkna. Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste

Läs mer

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS.

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS. Lösningar till några övningar i Kap 1 i Vektorgeometri 17. I figuren är u en spetsig vinkel som vi har markerat i enhetscirkeln. Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät

Läs mer

Moment 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3, Viktiga exempel 4.1, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.13, 4.14 Övningsuppgifter 4.1 a-h, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.

Moment 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3, Viktiga exempel 4.1, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.13, 4.14 Övningsuppgifter 4.1 a-h, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4. Moment 4.2.1, 4.2.2, 4.2., 4.2.4 Viktiga exempel 4.1, 4., 4.4, 4.5, 4.6, 4.1, 4.14 Övningsuppgifter 4.1 a-h, 4.2, 4., 4.4, 4.5, 4.7 Många av de objekt man arbetar med i matematiken och naturvetenskapen

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 017-05-09 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm

Läs mer

Moment 6.1, 6.2 Viktiga exempel Övningsuppgifter T6.1-T6.6

Moment 6.1, 6.2 Viktiga exempel Övningsuppgifter T6.1-T6.6 Moment 6., 6. Viktiga exempel 6.-6. Övningsuppgifter T6.-T6.6 Matriser Definition. En matris är ett schema med m rader och n kolonner eller kolumner, som vi kallar dem i datalogin innehållande m n element.

Läs mer

Explorativ övning Vektorer

Explorativ övning Vektorer Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken

Läs mer

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra Studiehandledning till MAA13 Grundläggande vektoralgebra vid kurstillfället i period 4 läsåret 013/14 Version 014-05- Information om kursen MAA13 Avsikt Avsikten med kursen MAA13 Grundläggande vektoralgebra

Läs mer

Funktioner. Räta linjen

Funktioner. Räta linjen Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter

Läs mer

1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =

1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u = Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna

Läs mer

Vektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning.

Vektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning. Vektorer. 3 / 18 Vektorer är ett mycket viktigt och användbart verktyg för att kunna beskriva sammanhang som innehåller riktade storheter, t.ex. kraft och hastighet. Vektoriella storheter skiljer sig på

Läs mer

Betygsgränser: För. Skriv endast på en. Denna. Uppgift. 1. (2p) 2. (2p) Uppgift. Uppgift 1) 4. Var god. vänd.

Betygsgränser: För. Skriv endast på en. Denna. Uppgift. 1. (2p) 2. (2p) Uppgift. Uppgift 1) 4. Var god. vänd. Tentamen i Matematik, HF93 7 dec 8, Skrivtid: 4:-8: Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max 4 poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs, 9, 6, 3 respektive poäng. Komplettering:

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I Innehåll En liten tillbakablick:

Läs mer

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +

Läs mer

Anmärkning: Härledning av ovanstående formel finns i slutet av stencilen.

Anmärkning: Härledning av ovanstående formel finns i slutet av stencilen. VSTÅNDSERÄKNING I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERT KOORDINTSYSTEM ) vstånet mellan två punkter Låt = x, och = x, y, z ) vara två punkter i rummet vstånet mellan och är x) + y y) + z ) = = x z ===================================================

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Svar till tentan. Del A. Prov i matematik Linj. alg. o geom

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Svar till tentan. Del A. Prov i matematik Linj. alg. o geom Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Prov i matematik Linj. alg. o geom. 1 2011-05-07 Svar till tentan. Del A 1. För vilka värden på a är ekvationssystemet { ax + y 1 2x + (a 1y 2a lösbart?

Läs mer

Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I

Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Se slide 1: det är i rymden oftast lättast att jobba med parametrar för linjer och ekvationer för plan. Exempel: Låt l : (x, y, z) = (1 t, 3 + t, 4t), t R och

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet 27 augusti 2013 Innehåll Linjära ekvationssystem

Läs mer

1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer

1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant

Läs mer

Fler uppgifter på andragradsfunktioner

Fler uppgifter på andragradsfunktioner Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har

Läs mer

3i)z 2013(1 ) och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

3i)z 2013(1 ) och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA Grundläggande vektoralgebra, TEN6 alt.

Läs mer

LYCKA TILL! kl 8 13

LYCKA TILL! kl 8 13 LUNDS TEKNISK HÖGSKOL MTEMTIK TENTMENSSKRIVNING Linjär algebra 0 0 kl 8 3 ING HJÄLPMEDEL Förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl Om inget annat anges är koordinatsystemen ortonormerade

Läs mer

Gamla tentemensuppgifter

Gamla tentemensuppgifter Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2011-06-09 DEL A (1) Betrakta ekvationssystemet x y 4z = 2 2x + 3y + z = 2 3x + 2y 3z = c där c är en konstant och x, y och z är de tre obekanta.

Läs mer

Analys o Linjär algebra. Lektion 7.. p.1/65

Analys o Linjär algebra. Lektion 7.. p.1/65 Analys o Lektion 7 p1/65 Har redan (i matlab bla) stött på tal-listor eller vektorer av typen etc Vad kan sådana tänkas representera/modellera? Hur kan man räkna med sådana? Skall närmast fokusera på ordnade

Läs mer

Veckoblad 4, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 4, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den fjärde veckan ska vi under måndagens föreläsning se hur man generaliserar vektorer i planet och rummet till vektorer med godtycklig dimension. Vi kommer också

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade

Läs mer

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8 Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8 8. Alla vektorer som är normaler till planet, d v s vektorer på formen (0 0 z) t, avbildas på nollvektorn. Dessa kommer därför att vara egenvektorer med egenvärdet

Läs mer

Kontrollskrivning i Linjär algebra ,

Kontrollskrivning i Linjär algebra , LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: KTR Kontrollskrivning i Linjär algebra 7 8, 8. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. På uppgift skall endast svar ges. Varje

Läs mer

Moment 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3, Viktiga exempel 4.4, 4.5, 4.6, 4.7, 4.13 Handräkning 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.7 Datorräkning 1-9 i detta dokument

Moment 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3, Viktiga exempel 4.4, 4.5, 4.6, 4.7, 4.13 Handräkning 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.7 Datorräkning 1-9 i detta dokument Moment 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3, 4.2.4 Viktiga exempel 4.4, 4.5, 4.6, 4.7, 4.13 Handräkning 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.7 Datorräkning 1-9 i detta dokument Många av de objekt man arbetar med i matematiken och

Läs mer

. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6

. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6 Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av

Läs mer

Repetition inför tentamen

Repetition inför tentamen Sidor i boken Repetition inför tentamen Läxa 1. Givet en rätvinklig triangel ACD, där AD = 10 cm, AB = 40 cm och BC = 180 cm. Beräkna vinkeln BDC. Läxa. Beräkna omkretsen av ABC, där BE = 4 cm, EA = 8

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l.

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l. SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 5.6. DEL A. Betrakta följande punkter i rummet: A = (,, ), B = (,, ) och C = (,, ). (a) Ange en parametrisk ekvation för linjen l som går genom B

Läs mer

Modul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer

Modul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer Modul : Komplexa tal och Polynomekvationer. Skriv på formen a + bi, där a och b är reella, a. (2 + i)( 2i) 2. b. + 2i + 3i 3 4i + 2i 2. Lös ekvationerna a. (2 i)z = 3 + i. b. (2 + i) z = + 3i c. ( 2 +

Läs mer

MAA123 Grundläggande vektoralgebra

MAA123 Grundläggande vektoralgebra Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen TEN4 Lösningsförslag 2012.01.09 14.30 16.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903 Torsdag 22 augusti Skrivtid: 14:00-18:00 Examinator: Armin Halilovic

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903 Torsdag 22 augusti Skrivtid: 14:00-18:00 Examinator: Armin Halilovic Tentamen i Matematik, HF90 Torsdag augusti Skrivtid: 4:00-8:00 Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs 0 av max 4 poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs, 9, 6, respektive 0 poäng

Läs mer

Vektorgeometri. En inledning Hasse Carlsson

Vektorgeometri. En inledning Hasse Carlsson Vektorgeometri En inledning Hasse Carlsson Matematiska institutionen Göteborgs universitet och Chalmers tekniska högskola Version 01 Innehåll 1 Inledning Geometriska vektorer.1 Definition av vektorer........................

Läs mer

4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0

4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING LINJÄR ALGEBRA 206-03-4 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar Alla koordinatsystem får antas vara ortonormerade

Läs mer

Vektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot

Vektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot Kursen bedöms med betyg,, eller underkänd, där är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna

Läs mer

Dagens ämnen. Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer

Dagens ämnen. Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer Dagens ämnen Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer Linjära ekvationer Med en linjär ekvation i n variabler,

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning

Läs mer

Vektorer. Kapitel 1. Vektorbegreppet. 1.1 Låt u=(4,0, 1,3) och v=(2,1,4, 2). Beräkna vektorn 2u 3v.

Vektorer. Kapitel 1. Vektorbegreppet. 1.1 Låt u=(4,0, 1,3) och v=(2,1,4, 2). Beräkna vektorn 2u 3v. Kapitel 1 Vektorer Vektorbegreppet 1.1 Låt u=(4,0, 1,3) och v=(2,1,4, 2). Beräkna vektorn 2u 3v. 1.2 Rita ut vektorerna u=(3,1) och v=( 2,2) i samma koordinatsystem. Illustrera additionerna/subtraktionerna

Läs mer

Övningstentamen i MA2004 Tillämpad Matematik II, 7.5hp

Övningstentamen i MA2004 Tillämpad Matematik II, 7.5hp Övningstentamen i MA00 Tillämpad Matematik II, 7hp Tentamen består av 30 frågor! Endast Svarsblanketten ska lämnas in! Inget tentamensomslag! Hjälpmedel: Penna, radergummi och linjal Varken räknedosa eller

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2 SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 4--4 DEL A. I rummet R har vi punkterna P = (,, 4) och Q = (,, ), samt linjen L som ges av vektorerna på formen t t, t där t är en reell parameter.

Läs mer

{ (1 + i)z iw = 2, iz + (2 + i)w = 5 + 2i, där i är den imaginära enheten. Ange rötterna z och w på rektangulär form.

{ (1 + i)z iw = 2, iz + (2 + i)w = 5 + 2i, där i är den imaginära enheten. Ange rötterna z och w på rektangulär form. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA13 Grundläggande vektoralgebra Datum: 7

Läs mer

Linjer och plan Låt ABCD vara en fyrhörning i planet. Om A väljs till origo och

Linjer och plan Låt ABCD vara en fyrhörning i planet. Om A väljs till origo och Linjer oh plan Läs Sparr, avsn. 3. Många läroböker likställer koordinatsystem med rätvinkligt koordinatsystem, närmare bestämt: med ett ortonormerat system (ON-system). O:et står för ortogonal = rätvinklig,

Läs mer

Beräkna determinanten för produkten MMM Skissa, och bestäm arean av, det i det komplexa talplanet belägna området

Beräkna determinanten för produkten MMM Skissa, och bestäm arean av, det i det komplexa talplanet belägna området MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 Grundläggande vektoralgebra, TEN5 alt.

Läs mer