TENTAMEN. Rättande lärare: Sara Sebelius & Håkan Strömberg Examinator: Niclas Hjelm Datum:

Transkript

1 TENTAMEN Kursnummer: HF0021 Matematik för basår I Moment: TEN1 Program: Tekniskt basår Rättande lärare: Sara Sebelius & Håkan Strömberg Examinator: Niclas Hjelm Datum: Tid: 13:15-17:15 Hjälpmedel: Formelsamling: ISBN eller ISBN (utan anteckningar). Inga andra formelsamlingar är tillåtna! Miniräknare, penna, radergummi, linjal, gradskiva Omfattning och betygsgränser: För betyget P krävs 12p. Slutbetyget på kursen ges av poängsumman från TEN1 och TEN2. Dessa måste båda ha avklarats med betyg P. Poäng Betyg E D C B A Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar. Lösningarna skall vara tydliga och lätta att följa. Införda beteckningar skall definieras. Uppställda samband skall motiveras. Skriv helst med blyertspenna! Lycka till!

2 Du som klarat av KS1 hoppar över problem 1 och 2 Problem 1. (2p) Förenkla så långt möjligt x 2 +y 2 +2xy x2 y 2 Problem 2. (2p) Lös ekvationen 1 2x + 3 4x + 5 6x = 3x Du som klarat av KS2 hoppar över problem 3 Problem 3. (2p) Beräkna sidan markerad med x Du som klarat av KS3 hoppar över problem 4 Problem 4. (2p) Lös ekvationssystemet 2() 3(2x y) = 11 3(2) () = 11 Följande problem räknas av samtliga Problem 5. (2p) Lös ekvationen x 1 = x 3 Problem 6. (2p) Läs av de tre vektorerna i figuren (endast heltal), summera dem och bestäm r för resultanten r. 1 KTH STH

3 Problem 7. (2p) Bestäm samtliga x-värden för vilka 12+x x 2 > 0 Problem 8. (2p) En rät linje går genom punkterna ( 2, 2) och (2,10). En annan går genom punkterna (0,9) och (5, 1). Bestäm linjernas skärningspunkt. Problem 9. (2p) Lös ut a ur 2a+b a+c = d Problem 10. (2p) En sjö, vars area är 9.6 km 2, avbildas på en karta i skalan 1 : Hur stor area upptar sjön på kartan? Problem 11. (2p) Om en andragradsfunktion f(x) vet man följande Symmetrilinjen är x = 1 f(0) = 16 f(x) har ett nollställe för x 1 = 4. Avgör om f(x) har ett minimum eller maximum och bestäm koordinaterna för denna punkt. Problem 12. (2p) I en rektangel ABCD har man dragit diagonalen AC. BE, som är vinkelrät mot diagonalen AC delar denna i två delar, AE och EC, av vilka den ena är dubbelt så lång som den andra. Bestäm arean av rektangeln, då BE är 5 cm. Problem 13. (2p) En rektangels omkrets är 88 cm. Bestäm hur mycket rektangelns area ökar om man adderar 5 cm både till längden och bredden. 2 KTH STH

4 Du som klarat av KS1 hoppar över problem 1 och 2 Problem 1. (2p) Förenkla så långt möjligt Lösning: x 2 +y 2 +2xy x2 y 2 Svar: 2y x 2 +y 2 +2xy x2 y 2 ()2 (x y)() (x y) 2y Problem 2. (2p) Lös ekvationen Lösning: 1 2x + 3 4x + 5 6x = 3x 1 2x + 3 4x + 5 6x 12x ( 1 2x + 3 4x + 5 6x ) = 3x = 12x 3x = 36x 2 x = ± x 1 = 5 6 x 2 = Svar: x 1 = 5 6, x 2 = 5 6 Du som klarat av KS2 hoppar över problem 3 Problem 3. (2p) Beräkna sidan markerad med x Lösning: Antag att den inritade höjden i triangeln är y cm. tan53 = y 45 y = 45 tan53 I nästa steg får vi Svar: 93 cm sin40 = x = 45 tan53 x 45 tan53 sin40 x KTH STH

5 Du som klarat av KS3 hoppar över problem 4 Problem 4. (2p) Lös ekvationssystemet 2() 3(2x y) = 11 3(2) () = 11 Lösning: Vi startar med att förenklar ekvationerna 2() 3(2x y) = 11 3(2) () = 11 2x+2y 6x+3y = 11 6x+3y x y = 11 4x+5y = 11 5x+2y = 11 och går vidare med additionsmetoden 5( 4x+5y) = (5x+2y) = 4 11 Svar: x = 1 och y = 3 20x + 25y = 55 20x+8y = 44 33y = 99 y = 3 5x+2 3 = 11 5x = 5 x = 1 Följande problem räknas av samtliga Problem 5. (2p) Lös ekvationen Lösning: x 1 = x 3 x 1 = x 3 ( x 1 ) 2 = (x 3) 2 Vi testar rötterna Svar: x = 5 x 1 = x x x 2 7x+10 = 0 x = 7 2 ± x = 7 2 ± 3 2 x 1 = 2 x 2 = 5 x = 2 V.L H.L V.L. H.L. x = 5 V.L H.L V.L. = H.L. 2 KTH STH

6 Problem 6. (2p) Läs av de tre vektorerna i figuren (endast heltal), summera dem och bestäm r för resultanten r. Lösning: Vi läser av de tre vektorerna summerar dem v = (2,6) u = ( 2,4) w = (6 2) r = v+ u+ w (2,6)+( 2,4)+(6, 2) (2 2+6,6+4 2) (6,8) och bestämmer resultantens längd Svar: r = 10 l.e. r = Problem 7. (2p) Bestäm samtliga x-värden för vilka 12+x x 2 > 0 Lösning: Vi startar med att ta reda på funktionens nollställen 12+x x 2 = 0 x 2 x 12 = 0 x = 1 2 ± x = 1 2 ± 7 2 x 1 = 4 x 2 = 3 Då koefficienten framför x 2 -termen är < 0 vet vi att kurvan y = 12 + x x 2 har ett maximum. Eftersom det finns två nollställen betyder detta att 12+x x 2 > 0 då 3 < x < 4. Svar: 3 < x < 4 3 KTH STH

7 Problem 8. (2p) En rät linje går genom punkterna ( 2, 2) och (2,10). En annan går genom punkterna (0,9) och (5, 1). Bestäm linjernas skärningspunkt. Lösning: Vi bestämmer de två linjernas ekvationer. Den första linjen har k = 10 ( 2) 2 ( 2) Vi bestämmer m-värdet genom att sätta in den första punkten och får 2 = 3 ( 2)+m m = 4 och vi kan skriva den första linjen ekvation y = 3x+4. Den andra linjen har k = 9 ( 1) Här vet vi genom punkten (0,9) att m = 9 och vi kan skriva ekvationen y = 2x+9. Skärningspunkten får vi genom att lösa ekvationen 3x+4 = 2x+9 5x = 5 x = 1 Genom den första linjens ekvation får vi så y-koordinaten y = Svar: (1,7) Problem 9. (2p) Lös ut a ur Lösning: Svar: a = dc b 2 d 2a+b a+c 2a+b a+c = d = d 2a+b = d(a+c) 2a+b = da+dc 2a da = dc b a(2 d) = dc b a = dc b 2 d Problem 10. (2p) En sjö, vars area är 9.6 km 2, avbildas på en karta i skalan 1 : Hur stor area upptar sjön på kartan? Lösning: Vi vet att 1 km 2 är m 2 och att 1 m 2 är cm 2. Då vet vi att 9.6 km 2 är = cm 2. Då areaskalan är 1 : får vi svaret genom Svar: 2.4 cm KTH STH

8 Problem 11. (2p) Om en andragradsfunktion f(x) vet man följande Symmetrilinjen är x = 1 f(0) = 16 f(x) har ett nollställe för x 1 = 4. Avgör om f(x) har ett minimum eller maximum och bestäm koordinaterna för denna punkt. Lösning: Vi vet att f(x) har två nollställen och att de ligger på samma avstånd från och på var sin sida om symmetrilinjen. Vi kan då bestämma det andra nollstället. x 1 1 = 1 x = 1 x 2 x 2 = 2 Vi kan nu delvis bestämma f(x) = k(x + 2)(x 4). k får vi genom f(0) = 16 som ger k(0+2)(0 4) = 16 8k = 16 k = 2 Nu har vi hela funktionen f(x) = 2(x+2)(x 4) 2x 2 4x 16. Med en positiv x 2 -koefficient vet vi att f(x) har ett minimum och att detta minimum ligger på symmetrilinjen, x = 1. f(1) = Svar: Minimipunkten är (1, 18) Problem 12. (2p) I en rektangel ABCD har man dragit diagonalen AC. BE, som är vinkelrät mot diagonalen AC delar denna i två delar, AE och EC, av vilka den ena är dubbelt så lång som den andra. Bestäm arean av rektangeln, då BE är 5 cm. Lösning: ACD = CAB. BCA är komplementvinkel till ACD. Så även ABE vilket betyder att EBC = CAB. Därmed är ABE BEC. Antag att EC = x. Då är AE = 2x. Vi får då 5 2x = x 5 ger x = 5 2. Rektangelns diagonal är då och tjänstgör som bas i ABC med höjden 5. Rektangelns area är då Svar: Arean är 53 cm KTH STH

9 Problem 13. (2p) En rektangels omkrets är 88 cm. Bestäm hur mycket rektangelns area ökar om man adderar 5 cm både till längden och bredden. Lösning: Antag att rektangeln har bredden b och längden l. Antag att rektangeln har arean a 1 innan ökningen och a 2 efter ökningen. Vi vet också att 2b+2l = 88. Vi tecknar nu de båda areorna b l = a 1 (b+5)(l+5) = a 2 b l = a 1 b l+5b+5l+25 = a 2 b l = a 1 b l+5(b+l)+25 = a 2 Från 2b + 2l = 88 får vi b + l = 44. Vi substituerar nu b h = a 1 och b + l = 44 i den andra ekvationen och får b l+5(b+l)+25 = a 2 a = a 2 a 2 a 1 = 245 a 2 a 1 är just skillnaden i arean. Svar: 245 cm 2 6 KTH STH

10 Generella riktlinjer för tentamensrättning Varje beräkningsfel (Därefter fortsatt rättning enligt nya förutsättningar) Beräkningsfel; allvarliga och/eller leder till förenkling Prövning istället för generell metod Felaktiga antaganden/ansatser Lösning svår att följa och/eller Svaret framgår inte tydligt Om = saknas (t.ex. => används istället) Om = används felaktigt (t.ex. istället för => ) Teoretiska uppgifter: Avrundade svar Tillämpade uppgifter: Enhet saknas/fel Avrundningar i delberäkningar som ger fel svar Svar med felaktigt antal värdesiffror ( ±1 värdesiffra ok) -1 poäng -2 poäng eller mer - samtliga poäng - samtliga poäng -1 poäng eller mer Riktlinjer för specifika uppgifter Anger ej definitionsmängd -0p Kollar ej att erhållna lösningar är tillåtna -0p Varje saknad lösning -1p Ett variabelvärde rätt, sedan fel -1p 5. Anger ej definitionsmängd -0p Prövning saknas / Formellt felaktig prövning -1p Varje saknad lösning -1p 6. Varje felavläst komposant / koordinat -1p Korrekt resultant, sedan fel -1p 7. Bestämmer bara nollställena till V.L. -2p Svarar x < 3 samt x > 4-1p Svarar x < 3 eller x > 4-2p Svarar med -1p/uppgift 8. Korrekt uttryck för båda linjerna, sedan fel -1p Räknar som om areaskalan är p

11 11. Svarar att det är en maximipunkt -1p Fel värde på k -1p 12. Förkastar ej negativa x-värdet -1p Rätt x, sedan fel -1p? 13. Antar numeriskt värde på bredden eller längden -2p Antar att området är kvadratiskt -2p