ÖVNINGSTENTOR I MATEMATIK DEL C (MED LÖSNINGSFÖRSLAG)

Transkript

1 ÖVNINGSTENTOR I MATEMATIK DEL C (MED LÖSNINGSFÖRSLAG) 0

2 ÖVNINGSTENTAMEN DEL C p Beräkna sidan AC p Bestäm f ( 0 ) då f ( ) ( ) p Ange samtliga etrempunkter till funktionen f ( ) 6. Ange även om det är minimi eller maimi punkter. (För full poäng krävs detaljerad lösning, se lösningförslaget) 0 p Ett grundstött fartygs position bestämdes genom vinkelmätningar från punkterna A och B i strandkanten. Man fann att i triangeln ABP var vinkeln A = 8, och vinkeln B = 8,6 och sidan AB =,5 m. Bestäm avståndet AP. (För full poäng krävs figur och detaljerad lösning, se lösningförslaget) p Lös ekvationen f ( ) 0 då f ( ) 7 p Lös ekvationen f ( ) 0 då f ( ) 6 5 p Kurvan f ( ) 5 har en normal i punkten (, 6). Bestäm normalens k- värde. p En öppen låda tillverkas så här: Från en kvadratisk skiva med måtten 8 cm 8 cm skär man bort kvadrater i hörnen och viker upp sidorna. Dom bortskurna kvadraterna har sidan cm. Hur stor kan lådans volym bli? (För full poäng krävs figur och detaljerad lösning, se lösningförslaget) 6 p För vilket värde på har funktionen f ( ) 5 en minimipunkt 7 p Bestäm ekvationen för tangenten i punkten (,) till kurvan f ( ) 8 p Ange maimipunkten till funktionen f ( ). SVAR AC = 8, m = = = 5 k = 6 = 7 y = 8 ma i (,) ma i (,) m min i (0,0) ma i (,) 8 cm Tentamen består av uppgifter. De 8 första som ger p vardera kräver endast svar. De tre sista uppgifterna som ger p vardera kräver fullständiga lösningar med eventuella figurer nedskrivna på rutat papper (saknas lösning blir poängen 0 även om svaret är rätt). Betygsgränser G = p VG = 6p Ma = 0p

3 ÖVNINGSTENTAMEN DEL C p Beräkna vinkeln v p Bestäm f ( ) då f ( ) ( )( ) p Lös ekvationen f ( ) 0 då f ( ) 8 8 p Ange samtliga etrempunkter till funktionen f ( ). Ange även om det är minimi eller maimi punkter. (För full poäng krävs detaljerad lösning, se lösningförslaget) 0 p Från en segelbåt kan man vid ett tillfälle se två fyrar samtidigt. Vinkeln mellan de båda siktlinjerna är 05. Hur långt från segelbåten ligger den närmaste fyren, om man vet att den ena fyren ligger dubbelt så långt från segelbåten som den andra och att avståndet mellan fyrarna är 000 m? (För full poäng krävs figur och detaljerad lösning, se lösningförslaget) p Lös ekvationen f ( ) 0 då f ( ) 6 5 p Kurvan f ( ) har en tangent i punkten (,). Bestäm tangentens k-värde. 6 p För vilket värde på har funktionen f ( ) en maimipunkt p Rektangeln i figuren har sidorna cm och 6 cm. Arean av det skuggade området är A cm. Hur liten kan den skuggade triangelns area bli? (För full poäng krävs figur och detaljerad lösning, se lösningförslaget) 7 p Bestäm ekvationen för tangenten i punkten (, 5) till kurvan f ( ) 8 8 p Ange minimipunkten till funktionen f ( ). SVAR v = 6, 8 = 0,5 = = 7 5 k = 6 = 7 y = 8 min i (,) min i (, 0) 0 8 m ma i (0,) min i (,7) 60 cm Tentamen består av uppgifter. De 8 första som ger p vardera kräver endast svar. De tre sista uppgifterna som ger p vardera kräver fullständiga lösningar med eventuella figurer nedskrivna på rutat papper (saknas lösning blir poängen 0 även om svaret är rätt). Betygsgränser G = p VG = 6p Ma = 0p

4 ÖVNINGSTENTAMEN DEL C p Beräkna den med markerade sidan p Ange samtliga etrempunkter till funktionen f ( ). Ange även om det är minimi eller maimi punkter. (För full poäng krävs figur och detaljerad lösning, se lösningförslaget) p Bestäm f () då f ( ) ( ) p Lös ekvationen f ( ) 0 då f ( ) 0 p Med ett fartygs kurs avses den vinkel som nordlinjen bildar med fartygets färdriktning räknat medurs. Ett fartyg lämnar en hamn P och seglar 0 km med kurs 0 till en punkt Q. Där ändrar det riktning och seglar med kurs 80. Efter 00 km i denna riktning har fartyget nått en punkt R. Bestäm fartygets avstånd från hamnen P. (För full poäng krävs figur och detaljerad lösning, se lösningförslaget) p Lös ekvationen f ( ) 0 då f ( ) 60 5 p Kurvan f ( ) har en tangent i punkten (, ). Bestäm tangentens k- värde. p Rektangeln i figuren nedan har sidorna cm och 6 cm. Arean av det skuggade området är A cm. Vilket är det minsta värde som arean av det skuggade området kan anta? (För full poäng krävs figur och detaljerad lösning, se lösningförslaget) 6 p För vilket värde på har funktionen f ( ) en etrempunkt. 7 p Bestäm ekvationen för normalen i punkten (0,) till kurvan f ( ) 8 p Ange terrasspunkten till funktionen f ( ). SVAR = 5, cm 6 = = = = 5 5 k = 0 6 = 7 y = + 8 terrass i (0,) min i (0,0) ma i (,) min i (,0) 8 cm 0 km Tentamen består av uppgifter. De 8 första som ger p vardera kräver endast svar. De tre sista uppgifterna som ger p vardera kräver fullständiga lösningar med eventuella figurer nedskrivna på rutat papper (saknas lösning blir poängen 0 även om svaret är rätt). Betygsgränser G = p VG = 6p Ma = 0p

5 LÖSNINGAR TILL ÖVNINGSTENTAMEN DEL C Antag att sidan AC (hypotenusan) är m 6, 5 cos cos 6, 5 6, 5 8, cos AC 8, m f ( ) ( ) ( ) f ( ) f (0) 0 f (0) f f ( ) 7 f ( ) sätt f ( ) 0 0 f ( ) 6 f ( ) 6 sätt f ( ) f ( ) 5 (, 6) f ( ) 5 k f() 5 T Vinkelräta linjer kk T N k k N N f ( ) 5 f ( ) (,) f ( ) f ( ) f ( ) sätt f ( ) 0 f ( ) sätt f ( ) k f() (, ) k 0 y f( ) y y f(0) Enpunktsformeln y y k 0 y 0( ) y f () f () f() y y f() min då ma i (,)

6 LÖSNINGAR TILL ÖVNINGSTENTAMEN DEL C 5 f ( ) 6 f ( ) 6 Sätt f( ) 0 ger f ( ) Lådans volym som är en funktion av betecknas V(), se figur. V ( ) (8 ) V ( ) (8 8 ( ) ) V ( ) (0 ) V ( ) 0 V ( ) 0 0 f ( ) f( ) 0 ma i (,) min i (0,0) ma i (,) Svar Etrempunkternas koordinater är ma i (,), min i (0,0) och ma i (,). Sätt avståndet AP till m. Vi beräknar vinkeln P P 80 A B P 80 8, 8, 6 8, Sinussatsen ger sin8,6,5 sin8,,5sin 8, m sin 8, Svar Avståndet AP är 876 m. V ( ) 0, 0 V ( ) 8 0 Sätt V( ) V ( ) V( ) Svar Lådans maimala volym är 8 cm.

7 LÖSNINGAR TILL ÖVNINGSTENTAMEN DEL C 6 6,5 tan v 8,50 v 6,5 8,50 tan v 6, f ( ) ( )( ) f ( ) ( ) f ( ) 8 f ( ) f ( ) ( ) f ( ) 8 f ( ) 8 8 f ( ) 8 8 f ( ) 6 8 sätt f ( ) ,5 f ( ) 6 f ( ) sätt f ( ) f / ( ) (,) / f ( ) k f() k / f ( ) f ( ) f ( ) 6 sätt f ( ) 0 f ( ) 8 (, 5) f ( ) k f( ) ( ) (, 5) k y f ( ) f ( ) sätt f ( ) Enpunktsformeln 0 y f(0) y y k y f() y ( 5) ( ( )) y 0 0 f () f () f() y y f() ma då min i (,)

8 LÖSNINGAR TILL ÖVNINGSTENTAMEN DEL C 7 f ( ) f ( ) Sätt f( ) 0 ger Antag att avståndet till närmaste fyren är m, då blir avståndet till den andra fyren m. Vi kan nu använda cosinussatsen, vilket ger ekvationen. 0 f ( ) f( ) 0 7 min i (, 0) ma i (0,) min i (,7) Svar Etrempunkternas koordinater är min i (, 0), ma i (0,) och min i (,7). cos cos 05, , orimligt Svar Avståndet till närmste fyren är 8 m. Den skuggade arean som är en funktion av betecknas A(). Den beräknas genom att man från rektangelns area subtraherar arean av dom tre rätvinkliga trianglarna a, b och c, se figur. Rektangelns area är 6 cm A( ) a b c 6( ) (6 ) A ( ) a b c A ( ) 8( ) (8 ) A( ) 8( ) (8 ) A( ) (6 8 ) (8 ) A( ) A A( ) Sätt A () 0 ( ) 6, A ( ) A ( ) Svar Triangelns minsta area är 60 cm.

9 LÖSNINGAR TILL ÖVNINGSTENTAMEN DEL C 8 f ( ) ( ) f sätt f ( ) 0 0 sin 70 70sin 5. cm f ( ) 60 f ( ) 6 60 sätt f ( ) f ( ) ( ) f ( ) ( 8 6) f ( ) 8 f ( ) 6 f () 6 f () 6 5 f ( ) (, ) f ( ) k f() 0 k 0 6 f ( ) f ( ) sätt f ( ) 0 0 (Obs vi behöver ej ta reda på om det är en ma eller minimipunkt, eftersom detta inte efterfrågas) 7 f ( ) (0,) f ( ) k T f(0) 0 Vinkelräta linjer kk T N k k N (0,) y N k N Enpunktsformeln y y k y ( 0) y 8 f ( ) f ( ) sätt f ( ) y y f(0) f() 0 f () f() terrass i (0,)

10 LÖSNINGAR TILL ÖVNINGSTENTAMEN DEL C f ( ) f ( ) 8 Sätt f( ) 0 ger Den skuggade arean som är en funktion av betecknas A(). Den beräknas genom att man summerar arean av trianglarna B och C, se figur. Vi får två likformiga trianglar B och C Likformighet ger y y 6 y ( y)(6 ) ( y)(6 ) y 6 y(6 ) ( y) 6y y y 6y y 0 f ( ) f( ) 0 0 min i (0,0) ma i (,) min i (,0) Svar Etrempunkternas koordinater är min i (0,0), ma i (,) och min i (,0). Sätt avståndet PR till km Cosinussatsen ger cos cos50 Svar Fartyget är km från hamnen. B y (6 ) ( y) A ( ) (6 ) ( ) A ( ) (6 ) (6 ) A ( ) A( ) (6 ) A ( ) (6 ) A A( ) Sätt A( ) 0 ( ) 6, C ( byt y mot ) 0 6 A ( ) A ( ) Svar Det minsta värde som den skuggade arean kan anta är 8 cm.