Matematisk Modellering Övning 2

Transkript

1 HH/IDE/BN Matematisk Modellering, Övning 2 Matematisk Modellering Övning 2 Allmänt Övningsuppgifterna är eempel på uppgifter, eller delar av uppgifter, du kommer att möta på tentamen. Undantag utgör naturligtvis moment som direkt hänvisar till användning av Mathematica. På tentan är du ensam, så det är viktigt att du klarar av uppgifterna på egen hand för hand! Trots detta rekommenderas och uppmuntras arbete i grupp samt användning av Mathematica!! I lösningsförslagen hittar du oftast både "tentavarianten" för hand och Mathematica. Detta för att du ska få träning på båda! Avsaknad av handräkning eller "snåla" sådana ska tolkas positivt som en inspiration och utmana dig till att flla igen luckor och verifiera det som är gjort för hand eller med Mathematica. Uppgifter. Sök ekvationer för tangenten och normalen till kurvan = i den punkt på kurvan som har koordinaten lika med ÅÅÅÅ 4., T, N Vilket värde har ÅÅÅÅÅÅ då = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ p, = sin 4t och t = ÅÅÅÅ? edning: Kedjeregeln! tan t 3 3. Bestäm ÅÅÅÅÅÅ i punkten, 2 då = Sök ÅÅÅÅÅÅ i punkten = 2, =- på kurvan 2 + 2sin p 2 = En räv promenerar längs backen + 3 =. Sök backens lutning, dvs ÅÅÅÅÅÅÅ, i punkten ÅÅÅÅ 2,.. En räv promenerar längs stigen + 3 =. Sök då = 0, = och = ˇ ˇ åt V och A vara volmen respektive arean för ett klot. Sök ÅÅÅÅÅÅÅ V A som funktion av A. edning: V klot = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 4pr3, A 3 klot = 4pr 2.

2 HH/IDE/BN Matematisk Modellering, Övning En vattentank läcker så att volmen i m 3 är V t = 250-4t 2, där tiden t mäts i sekunder. Sök volmflödet ur tanken då t = 2 s samt precis då den blir tom. 9. Om t mäts i sekunder ges läget för en bil av uttrcket s t = ÅÅÅÅ 4 t t2 + 2t m. Sök läge, hastighet och acceleration då t = 4 s. 0. Enligt Newton är kraften F = m. Bestäm erforderlig kraft då massan 5 kg svänger enligt = ÅÅÅÅÅÅÅÅ 00 sin 4t + ÅÅÅÅ p 4 m.. Vid medicinering mot transpirationsproblem är det viktigt att uppskatta arean av patientens hud. Mosteller har föreslagit modellen S = c mh, där S är hudarean i m 2, c = ÅÅÅÅ, m patientens vikt i kg och h längden i m. a Ange enheten på konstanten c. b En patient med längden 80 cm håller diet. Vikten rasar med kg vecka. Med vilken hastighet minskar arean på huden då patienten väger 0 kg? ÅÅÅÅÅÅÅÅ 2. En investering I 0 i $ tillväer med räntan r % enligt I t = I 0 rt 00. Bland finansfolk brukar man höra ''9 regeln'' som innebär att tiden T till dess att en investering fördubblat sitt värde är ungefär T = ÅÅÅÅÅ 9. Ge ett stöd för detta! r 3. För en viss tp av gas gäller sambandet pv 2 = 8 mellan trck och volm. Bestäm p då p = 2, V = 3 och V =. 4. Under en arbetsdag med grävskopan ökar volmen av en konformad grushög med ÅÅÅÅÅÅÅ V = 9 p.vid en tidpunkt var t radien r = 2, höjden h = 2 och ÅÅÅÅÅÅ r = 3. Sök ÅÅÅÅÅÅ h vid denna t t tidpunkt. edning: V kon = ÅÅÅÅ 5. Ur en sfärisk ballong strömmar luft med konstant flöde 300 cm 3 min. Med vilken hastighet minskar radien då den är 5 cm? edning: V sfär = ÅÅÅÅ 4 3 pr3.. I en rak cirkulär kon enligt figur rinner vatten med flödet 5 cm 3 min ut genom en öppning i spetsen. Sök ÅÅÅÅÅÅ r t och ÅÅÅÅÅÅ t då djupet = 9 cm. edning: V kon = ÅÅÅÅ

3 HH/IDE/BN Matematisk Modellering, Övning En rektangel med basen är inskriven i en cirkel med radien 2. Sök då rektangelns area är maimal. 8. En öppen låda med kvadratisk botten har en total mantelarea av 5 m 2. Sök sidan på den kvadratiska bottnen så att lådans volm blir maimal. 9. Av ett snöre med längden formas en rektangel som sedan får svepa runt längs sin ena sida så att en clinder bildas. Hur stor volm kan en sådan clinder ha? 20. I en halvcirkel med radien 2 är en parallelltrapets inskriven enligt figur. Sök q så att parallelltrapetsens area blir så stor som möjligt! 2. En cirkelsektor med medelpunktsvinkeln q, radien r och båglängden b har omkretsen. Sök q så att arean blir maimal. r q b 22. I triangeln ABC är sidorna BA och BC lika långa. Punkten D ligger mitt på AC och punkten E mitt på BC. Avståndet mellan D och E är alltid konstant. Hur stor kan en sådan triangel bli? B E A D C 23. I en rektangel är avståndet från mittpunkten på basen till ett motstående hörn konstant. Hur stor kan en sådan rektangel bli? 24. Sök avståndet från punkten 0, till kurvan = 2 som funktion av I en rätvinklig triangel är en rektangel inskriven enligt figur. Bestäm dess dimensioner då arean är maimal. 8

4 HH/IDE/BN Matematisk Modellering, Övning En stege med längden lutas mot en vägg. Hur långt ut från väggen ska dess kontaktpunkt med marken vara för att en så lång person som möjligt ska kunna gå under stegen på avståndet ÅÅÅÅ från väggen? 4 h ma? Man vill av tunn plåt tillverka en clindrisk konservburk med given volm V. Bestäm radie och höjd i den burk som kräver minst materialåtgång, det vill säga har minst total area. 28. Bestäm maimala volmen för en clindrisk konservburk om totala arean är konstant A. 29. Bestäm maimala volmen för en öppen cirkulär kon med given mantelta A. edning: V kon = ÅÅÅÅ 30. En leverantör av npon behöver hra in arbetare för att plocka rent sina 900 buskar.varje arbetare kan plocka rent 5 buskar h och avlönas med 50 kr h. everantören måste även betala en förman med 75 kr h samt en fast kostnad på 80 kr arbetare. Hur många arbetare ska leverantören hra in för att minimera sin kostnad? 3. En raket skjuts iväg rakt upp. På avståndet 3 mil från uppskjutningsplatsen noterar en radarstation att vid en viss tidpunkt är avståndet 5 mil till raketen samt att detta avstånd ökar med 40 mil h. Sök raketens hastighet v vid denna tidpunkt. 32. En person iaktar ett flgplan som flger på konstant höjd 4000 m. Vid detta tillfälle var elevationsvinkeln q=30 och dess ändringshastighet q =-0.0 rad s. Sök plantets hastighet.

5 HH/IDE/BN Matematisk Modellering, Övning Från ett rektangulärt pappersark skär man bort en kvadrat med sidan från varje hörn. Resten av pappersarket viks till en öppen låda. Sök som gör lådans volm så stor som möjligt! 34. I en kvadrat med sidan a är ett kors inskrivet enligt figur. Sök så att arean av detta blir så stor som möjligt. 35. I en cirkel med radien r är tre radier och en korda dragna. Sök a, 0b a b ÅÅÅÅ p, så att arean av den färglagda triangeln blir så stor som möjligt. 2 a 3. Bestäm maimala volmen för en öppen cirkulär kon med generatrisens längd lika med S. edning: V kon = ÅÅÅÅ 37. Bestäm minimala begränsningstan för en sluten cirkulär kon med given volm V. edning: V kon = ÅÅÅÅ 38. I en rätvinklig triangel är en rektangel inskriven enligt figur. Bestäm dess dimensioner då arean är maimal Två cirklar med radierna r och R är placerade på centrumavståndet a. De belses med en lampa placerad på sammanbindningslinjen utanför de två cirklarna. Sök lampans positionen i förhållande till cirkeln med radien r så att den sammanlagda längden av de två periferier som är belsta blir så lång som möjligt. 40. I en cirkel med radien r är en cirkelsektor inskriven enligt figur. Sök a så att arean av denna blir så stor som möjligt. 2a