3.1 Derivator och deriveringsregler

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "3.1 Derivator och deriveringsregler"

Transkript

1

2

3 3. Derivator och deriveringsregler Kort om derivator Eempel derivatans definition deriveringsregler numerisk derivering andraderivatan På höjden km kan lufttrcket mbar beskrivas med funktionen = 03 e 0, och derivatan =,56 e 0, I tillämpningar är derivatan ett mått på funktionens förändringshastighet. (5) 67 betder att lufttrcket på höjden 5 km sjunker med hastigheten 67 mbar/km. Derivatan till en funktionen f() kan bestämmas på flera olika sätt. Med derivatans definition f ( + h) f () f () = lim h 0 h Med deriveringsregler som är härledda ur derivatans definition. 3 Med numerisk derivering får vi ett approimativt värde. T e med en central differenskvot: f( + h) f( h) f () h Många räknare använder denna approimation för numerisk derivering. f () 4 För små h är differenskvoten f ( + h) f( + h) f( ) ungefär lika med f (). f () h h f( + h) f( ) f () h eller f ( + h) f () + h f (). Om h = kan denna approimation skrivas f ( + ) f () + f (). Derivatan av en funktions derivata skrivs f () och kallas andraderivatan. f () = sin cos funktionen f () = cos + sin förstaderivatan f () = sin + 4 cos andraderivatan + h skrivsätt Om = f () så kan skrivas d eller D f () ( utläses prim ) d skrivas d d eller D f () ( utläses bis ) DERIVATOR OCH DERIVERINGSREGLER Bla 4.indb

4 Med hjälp av definitionen kan följande deriveringsregler härledas: Deriveringsregel = a, a reellt tal = a a, där > 0 = = Eempel = + = / + = / + ( ) = = e k = k e k = 5 e 3 = 3 5 e 3 = 5 e 3 = a = a ln a = sin och = cos = cos = sin = 00 0,9 = 00 0,9 ln 0,9 0,5 0,9 = 4 sin + cos = 4 cos sin = f ( g( ) = f ( g( )) g ( ) (kedjeregeln) = ( + ) 0 = 0 ( + ) 9 (4 + ) = e 63 = e 63 (8 ) = 5 cos 3 = 5 sin 3 3 = 5 sin 3 3 = = (sin ) sin 3 = ( 3 ) (sin ) 4 cos = 3 cos sin 4 I eemplen ovan har vi också använt de generella reglerna: = k f () ger = k f ( ) där k är en konstant = f ( ) + g () ger = f ( ) + g ( ) dvs vi kan derivera term för term 30 Bestäm + + om = e + sin 3 = e + sin 3 ger = e + 3 cos 3 och = 4e 9 sin = e + sin 3 + e + 3 cos 3 + 4e 9 sin 3 = = 7e 8 sin cos 3 30 Uppskatta f (3,) med hjälp av approimationen f( + ) f() + f ( ) om vi vet att f (3) = 4 och f (3) = 0,5. f( + ) f () + f () f (3,) = f (3 + 0,) f (3) + 0, f (3) = 4 + 0, ( 0,5) = 3,9 3. DERIVATOR OCH DERIVERINGSREGLER 0 Bla 4.indb

5

6

7 Derivatan av en produkt Eempel Funktionen = är en summa av två termer och vi kan derivera funktionen term för term. = Funktionen = e sin är en produkt av två faktorer. Får vi derivera en sådan funktion faktor för faktor? Vi undersöker med en annan produkt där vi kan förenkla och se vad derivatan ska bli. = kan förenklas till = 5 6 som har derivatan = Om vi deriverar faktorerna var för sig får vi: Faktor Derivata f () = 5 f () = 0 g () = 3 4 g () = 3 Produkten = 5 6 har Produkten av f och g blir derivatan = f g = 0 4. Stämmer inte alls! Fel koefficient och fel eponent! Slutsats: Vi får inte derivera en produkt faktor för faktor. För att få rätt derivata använder vi istället sambandet mellan faktorer och derivator som vi fann i aktiviteten på föregående sida. Funktionen = f ( ) g () ger derivatan = f ( ) g ( ) + f ( ) g ( ) = ger = = = 90 5 Allmänt Vi motiverar att sambandet gäller allmänt på två olika sätt. metod Bilda differenskvoten för = f () g ( ) f ( + h ) f () f ' ger h f ( + h ) g ( + h ) f ( ) g ( ) f ( + h) f () + h f '() h g ( + h) g () + h g '() ( f () + h f ()) ( g ( ) + h g ( )) f ( ) g ( ) = Förenkla täljaren h f( ) h g ( ) + h f ( ) g ( ) + h f ( ) h g ( ) = = Dividera med h h = f ( ) g ( ) + f ( ) g ( ) + h f ( ) g ( ) Då h 0 går differenskvoten mot f ( ) g ( ) + f ( ) g ( ) DERIVATOR OCH DERIVERINGSREGLER Bla 4.indb

8 metod g g A = gf f f Den gröna rektangelns area: A( ) = f () g ( ) Om ändras med så ändras f med f och g med g. Arean ändras då med (se figur): A = f() g + f g() + f g Differenskvoten blir då: A = f ( ) g + f g ( ) + f g Låter vi gå mot noll får vi derivatan: d A d = lim f ( ) g + f g ( ) + f g = 0 = f ( ) lim g + lim f f g g ( ) + lim = f ( ) g ( ) + f ( ) g ( ) dvs d ( f ( ) g ( )) = f ( ) g () + f ( ) g () d Om = f () g ( ) så är Produktregeln ' = f ( ) g' ( ) + f' ( ) g ( ) ' = den första faktorn den andra faktorns derivata + den första faktorns derivata den andra faktorn 38 Derivera = e sin f ( ) g'( ) f'( ) g ( ) = e cos + e sin = e (cos + sin ) 3. DERIVATOR OCH DERIVERINGSREGLER 05 Bla 4.indb

9

10

11 Derivatan av en kvot Eempel Hur deriverar vi = sin, dvs kvoten av sin och? Vi har en regel för derivering av en produkt men inte av en kvot. Vi utnttjar detta och skriver om = sin som en produkt. Vi får: = sin = sin som kan deriveras med produktregeln. = cos + sin ( ) = cos sin cos sin = På samma sätt härleder vi en allmän formel för derivatan av en kvot. = f () där g ( ) 0 g () = f ( ) (g( )) som deriveras med produkt- och kedjeregeln. = f ( ) (g( )) + f ( ) ( )(g( )) g ( ) = f () f ( ) g ( ) g( ) (g( )) = f ( ) g ( ) f ( ) g ( ) = (g( )) Kvotregeln = f ( ) g ( ) eller ( g ( ) 0) ger ' = f ' ( ) g ( ) f ( ) g' ( ) (g ( )) ' = täljarens derivata nämnaren täljaren nämnarens derivata, allt dividerat med nämnaren i kvadrat. Eempel Med kvotregeln får vi derivatan av = tan. = tan = sin cos = = cos cos sin ( sin ) cos cos = cos + sin cos (trigonometriska ettan i täljaren) eller = cos sin + = + sin cos cos = + tan Derivatan av = tan Funktionen = tan har derivatan ' = cos = + tan DERIVATOR OCH DERIVERINGSREGLER Bla 4.indb

12

13 Eponential- och logaritmfunktioner Eempel Vi repeterar några fakta om eponentialfunktioner. Eponentialfunktionen = C a är definierad för alla reella tal. Värdemängden är > 0. Grafen är antingen väande för alla (a > ) eller avtagande för alla (a < ) = Ca har derivatan = Ca ln a Med kedjeregeln kan vi derivera t e =,3 4 som ger =,3 4 ln,3 4 = 8 ln,3,3 4 När en eponentialfunktion skrivs med basen e är funktionen enklare att derivera. T e = 50 e 0,3 = 50 0,3 e 0,3 = 5 e 0,3 C C = Ca a > = Ca a < Derivatan av = a k = e k För eponentialfunktioner gäller = a k ' = a k ln a k = e k ' = k e k Eempel Hur deriverar man = ln? = ln är skrivet i logaritmform. I potensform kan detta skrivas e =. Vi deriverar båda leden i e = med avseende på variabeln och använder kedjeregeln. Vi får e = vilket kan skrivas = e = ttre derivatan inre derivatan Derivatan av = ln Logaritmfunktionen = ln, > 0, har derivatan ' = 346 Derivera a) = ln 5 b) = ln a) Derivera med kedjeregeln: b) Kvotregeln ger = 5 5 = Inre derivata eller Skriv om funktionen med = ln en logaritmlag: = ln 5 = ln 5 + ln = ln = 0 3. DERIVATOR OCH DERIVERINGSREGLER Bla 4.indb

14

15

16 Samband mellan förändringshastigheter Kedjeregeln ger ett samband mellan olika förändringshastigheter. Eempel Antag att vi har en area A som beror av en variabel som i sin tur beror av tiden t. Arean kan då beskrivas av den sammansatta funktionen A(t) = A((t)). Kedjeregeln ger att d A d t = d A d d d t ttre derivatan inre derivatan På denna form ger kedjeregeln ett användbart samband mellan olika variabler och förändringshastigheter för sammansatta funktioner. 367 En rektangel har basen b = 4 cm och höjden = 3 cm. Rektangelns höjd ökar med 0,5 cm/min, dvs d h = 0,5 cm / min d t a) Ställ upp en formel för hur rektangelns area A beror av tiden t. b) Bestäm och tolka d A d t c) Bestäm d A d h om A = b h d) Visa att d A d t = d A d h d h d t a) Arean i cm efter t minuter ges av A(t) = b h = 4 (3 + 0,5 t) = + t b) d A betder derivatan av A med avseende på variabeln t d t A(t) = + t d A d t = Tolkning: Arean ökar med hastigheten cm / min. c) d A betder derivatan av A med avseende på variabeln h d h A = b h d A = b = b (b ska behandlas som en konstant) d h d) VL = d A d t = cm /min HL = d A d h d h d t = b d h d t = 4 cm 0,5 cm/min = cm /min = VL 3. DERIVATOR OCH DERIVERINGSREGLER 3 Bla 4.indb

17 368 En isskulptur har formen av ett klot. Den smälter så att radien minskar med hastigheten mm/h. Med vilken hastighet förändras volmen när radien är 5 dm? Beteckningar: Klotets volm = V dm 3 Klotets radie = r dm Tiden = t h Hastigheten med vilken radien förändras = dr Hastigheten med vilken volmen förändras = dv Volmen beror av radien som förändras med tiden, vilket kan skrivas V(r(t)). Derivatan av V med avseende på t blir enligt kedjeregeln: dv = dv dr dr Klotets volm, V = 4π r 3 3 d V d r = 3 4π r 3 = 4π r Radien minskar med hastigheten mm/h = 0,0 dm/h vilket kan skrivas d r d t = 0,0 dv = dv dr dr d V d r = 4π r d r d t r = 5 och d r = 0,0 ger d t d V d t = 4 π 5 ( 0,0) = 6, Svar: Volmen minskar med 6 dm 3 /h DERIVATOR OCH DERIVERINGSREGLER Bla 4.indb

18

19 3. Grafer Grafer och derivator Förstaderivatan är ett mått på en kurvas lutning. = f ( ) = f ( ) a b f ( ) > 0 för a < < b a b f ( ) < 0 för a < < b väande och avtagande Om > ger att f( ) f( ) så är f väande och om f( ) > f( ) så är f strängt väande. Om > ger att f( ) f( ) så är f avtagande och om f( ) < f( ) så är f strängt avtagande. Enligt denna definition är den vänstra grafen ovan både väande och strängt väande och den högra både avtagande och strängt avtagande. lokal maimipunkt lokal minimipunkt Andraderivatan är ett mått på hur förstaderivatan ändras a a I en lokal maimipunkt är: I en lokal minimipunkt är derivatans teckenväling + 0 derivatans teckenväling 0 + andraderivatan negativ (förstaderivatan minskar) andraderivatan positiv (förstaderivatan ökar) För att hitta etrempunkter (lokala maimi- och minimipunkter) till en kurva = f () kan vi göra på följande sätt: Bestäm f () och lös ekvationen f () = 0. Antag = a är en lösning Bestäm f () och beräkna f (a). 3 Om f (a) > 0 så har f ett minimum för = a. Om f (a) < 0 så har f ett maimum för = a. 4 Om f (a) = 0 undersök teckenväling för f () + 0 ger maimipunkt. 0 + ger minimipunkt ger terrasspunkt GRAFER Bla 4.indb

20 största/minsta värde Antag att vi har en snäll funktion som har en sammanhängande graf som vi kan derivera överallt. För att hitta funktionens största och minsta värde i ett begränsat intervall måste vi undersöka och jämföra funktionsvärdet i punkter där f () = 0 intervallets ändpunkter Lokalt ma Största värde globalt och lokalt ma Största/minsta värde är ett -värde. En punkt anges med - och -koordinat. Det är dock vanligt att t e en maimipunkt bara anges med -koordinaten. Minsta värde globalt och lokalt min Lokalt min 30 Skissa med hjälp av derivata grafen till = 3 /3 8 i intervallet 0 0 och bestäm funktionens största och minsta värde i intervallet. Kontrollera med grafräknare. = 3 /3 8 = 8 Vi beräknar funktionsvärden för där ' = 0 samt för intervallets gränser. = 0 ger 8 = 0 Derivatans tecken beräknar vi för något mellan 0 och = 4 och = (ej i intervallet) 4 samt mellan 4 och ] min: 6,7 Z 53,3 60 Kontroll: 3 = (0, 53,3) (4, 6,7) I intervallet är funktionens största värde = 53,3 och minsta värde = 6,7 3. GRAFER 7 Bla 4.indb

21

22

23 Olika tper av grafer Vi börjar med att repetera några begrepp som behandlar funktioner och deras grafer. definitionsmängd värdemängd kontinuerlig deriverbar En funktions definitionsmängd är tillåtna värden för den oberoende variabeln, t e. Värdemängden är de funktionsvärden, t e, som definitionsmängden ger. Ordet kontinuerlig betder sammanhängande. En förenklad beskrivning av en kontinuerlig graf är att den går att rita utan att lfta pennan. En funktion är deriverbar i alla de punkter förstaderivatan eisterar, dvs där kurvan har en tangent. Eempel = 3 3 Defintionsmängd: Alla reella tal Värdemängd: Alla reella tal Funktionen = 3 3 är kontinuerlig och deriverbar för alla. = = ln Definitionsmängd: 0 Värdemängd: 0 Funktionen = är kontinuerlig och deriverbar för > 0 = tan π Definitionsmängd: > 0 Värdemängd: Alla reella tal Funktionen = ln är kontinuerlig och deriverbar för > 0 = / Definitionsmängd: π + n π Värdemängd: Alla reella tal Funktionen = tan är inte kontinuerlig och inte deriverbar då = π + n π Definitionsmängd: 0 Värdemängd: 0 Funktionen = / är inte kontinuerlig och inte deriverbar då = 0 största/minsta värde För att avgöra om en funktion f har ett största/minsta värde måste vi, utöver etrempunkter och intervallgränser, också undersöka om det finns punkter där f inte är kontinuerlig eller deriverbar GRAFER Bla 4.indb

24

25 36 f( ) =. Beräkna om f( ) = = ger två möjligheter = eller = = 0,5 eller =,5 37 Rita grafen till a) = b) = 6 om 0 a) Definitionen ger = = om < 0 dvs för 0 ritar vi = och för < 0 ritar vi = 6 om 6 0 b) = 6 = ( 6) om 6 < 0 dvs för 3 ritar vi = 6 och för < 3 ritar vi = ( 6) = Figuren visar grafen till en funktion f. a) Bestäm funktionen. b) Är funktionen kontinuerlig och deriverbar för alla -värden? Motivera. a) Vi bestämmer linjens ekvation för k = och m = ger f() = + för f() = + för alla Vi ser t e att = 3 ger f( 3) = 3 + = = vilket stämmer med grafen. b) Funktionen är kontinuerlig och definierad för alla -värden, eftersom grafen är sammanhängande. Funktionen är inte deriverbar då = eftersom grafen saknar tangent där. Närmar vi oss = från höger är lutningen. Närmar vi oss = från vänster är lutningen. Funktionen är inte deriverbar där den har en spets. 3. GRAFER Bla 4.indb

26

27

28 Kurvor och asmptoter När vi studerar funktioners grafer är det bra att ha god kännedom om derivata och olika funktioners egenskaper. Eempel Skissa i stora drag grafen till = För stora är 3 och för små är Polnomfunktioner är snälla funktioner som är kontinuerliga och deriverbara överallt. Eempel Skissa i stora drag grafen till = + För stora är eftersom 0. För små är eftersom 0. Funktionen = är ej definierad för = 0. När närmar sig 0 går / mot ± beroende på om är positivt eller negativt, kurvan närmar sig -aeln. / / asmptot -aeln och den räta linjen = är asmptoter till = +. En asmptot är en rät linje sådan att avståndet mellan kurvan och linjen närmar sig noll när avståndet till origo går mot oändligheten åt något håll. En kurva kan ha vertikala asmptoter där den ej är definierad, t e = är ej definierad för = 4 och har asmptoten = 4. 4 En kurva kan ha horisontella eller sneda asmptoter då en eller flera termer går mot noll för stora, t e = + 3 har asmptoten = GRAFER 5 Bla 4.indb

29 33 Ange grafens asmptoter. Motivera ditt svar. a) b) = = e a) -aeln är en asmptot eftersom e 0 då b) = och = är asmptoter. är ej definierat för =. När närmar sig närmar sig kurvan =. För stora är 0 vilket ger dvs kurvan närmar sig =. 333 a) Skissa grafen till = + 6 med hjälp av derivata. 4 b) Ange eventuella asmptoter till kurvan. a) Funktionen blir enklare att studera om vi först skriver om den. = + 6 = = 0,5 + 4 ( 0) = 0,5 4 = 0,5 4 = 0 ger 0,5 4 = 0 = 6 och = ± ej def 0 Z ] ] Z ma min = 4 ger ma = = 4 ger min = b) = är ej definierat för = 0. -aeln är en asmptot. För stora är 4 0 vilket ger 4 Svar: -aeln och = /4 är asmptoter GRAFER Bla 4.indb

30

31

32 39 a) = cos + sin b) = = ( 3 sin 3) + cos 3 = = cos 3 3 sin 3 30 a) = = ( + ) + (3 + ) b) = = a) = sin b) = sin c) Kommentar: Produktregeln måste vi använda när vi har en produkt av funktioner som beror av t e. Är den ena faktorn en konstant så är det enklare att använda sambandet i a). 3 a) = sin cos b) = sin cos + cos sin = = sin cos 33 a) = 5 e Lösning: = e 3e + e e 3 = = 5e 5 b) = 5e 5 = e 5 34 Petter har rätt. Motivering: Derivatan är en summa. En summa förändras inte om ordningen på termerna ändras. 35 a) = cos b) = sin 36 a) = Faktorisering av derivatan ger e ( + ) = 0 och e > 0 för alla. b) = 0 eller = / 37 a) h (3) = 8 h (3) = f (3) + g (3) b) h (3) = 93 h (3) = f (3) g (3) + f (3) g(3) 38 f (4) = 6,5 f (4) = 4 g (4) + 4 g(4) 39 a) A (t) = 8 cos t + 8 cos t cos t 6 sin t 4 sin t sin t b) A (5) 4,95 Efter 5 sekunder minskar arean med 5 m /s. 330 e 33 a) = cos 3 3 sin cos b) = (sin e + + cos e ) + sin e = = e ( sin + cos + + sin ) Använd produktregeln i produktregeln. 33 a) fg Lösning: ( f + g) ( f g) = 4 f + g + fg f g + fg = = 4 = fg b) Lösning: = fg = ( f + g) ( f g) 4 4 Kedjeregeln ger: = = ( f + g)( f + g ) 4 ( f g)( f g ) = 4 = ( ff + fg + gf + gg ) 4 ( ff fg gf + gg ) = 4 = 4 fg + 4 f g = f g + f g Lösning: f (gh) + f (g h + gh ) = = f gh + fg h + fgh 334 a) V = f gh + f g h + + fg h + f g h + f g h + fg h + f g h V = ( f + f ) (g + g) (h + h) fgh b) lim V = f gh + fg h + fgh 0 Ställ upp differenskvoten V/ och bestäm de olika termernas gränsvärde. Jämför med metod på sidan 05. Historik: Leibniz och produktregeln a) f () = u v = 0 = 0 b) f () = 5 4 u v = 3 = 6 3 c) f () = u v = = a) Produktregeln ger derivatan: (c + d) ( + b) + c ( + b) = = 3c + (bc + d) + bd Parentesmultiplikation ger: c 3 + (bc + d) + bd vars derivata är: 3c + (bc + d) + bd 3 Om u och v är konstanter blir derivatan i båda fallen a) f () = ( + ) b) f () = sin cos = sin + cos = 337 a) f () = b) f () = cos sin = sin e cos e = (e ) = sin + cos e SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR 69 Bla 4.indb

33 338 a) = b) = 339 a) = b) = 3 4 = f π 3 = 4 T e f () = + tan tabell ger tan (π/3) = 3 = = 3 b -, dvs derivatan beror av b men inte av a. = 3 + a + b/ 34 a = 8 Kvotregeln ger a f () = ( ) 343 a) = e + e = = e = e b) Ja. Motivering: = f()/g() = f () (g()) 344 = sin cos sin 345 = (8π 6) + 8 π π = ( + tan ) tan (π/4) = π / 8π 6 = (π / 4) π 349 a) = / b) = 4/ c) = / d) = 4/ Kedjeregeln ger = eller logaritmlag ger = ln 4 = 4 ln 350 a) = e /5 b) = 5 ln 5 c) = 3 000, ln, 340, d) = 0 ln 0 4, a) = ln b) = / c) = ln ( ) = = ln d) = ln Skriv först om till =. 35 a) = (5 + ) 5 = = 5 (5 + ) b) = e = e c) = cos sin = (sin ) d) = 4 e (e + ) 3 Lösning: = (e + ) = (e + ) 3 e = 4 e = (e + ) a) = e ln + b) = e 354 Hassan har rätt. Motivering: ln a har derivata a a = = (, 0) Lösning: () = / () = () = 0 Tangentens ekvation 0 = ( ) = 356 f (e) = 0 f () = ln ln 357 a) N (7) = 37,7 Tolkning: Efter sju dgn insjuknar ungefär 38 personer/dgn Använd räknarens deriveringsverktg eller derivera för hand e N (t) = t ( + 49 e t ) b) N (7) = 3,7 Tolkning: Efter sju dgn minskar antalet som insjuknar varje dag med 4 (personer/dgn)/ dgn N (t) = t t t e 650e ( + 49e ) = t 3 ( + 49e ) 358 a) = cos eller = ( + tan ) b) = tan cos eller = tan ( + tan ) sin c) = = tan cos d) = = ln ln 70 SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR Bla 4.indb

34 359 = (, 0) () = ln 3 Tangentens lutning = () = 360 = e /3 0,77 3 ln + = 0 (3ln + ) = 0 Obs, > 0 36 = Lösning: = ger = = = / = 36 a) Lösning: = a = e ln a = ln a e ln a = ln a a b) Lösning: = a ln = ln a = ln a = ln a = ln a a 363 = ln 0 Motivering: = lg 0 = ln 0 0 = = ln 0 0 = ln a) Lösning: VL = = tan = = sin cos = = cos = cos cos = = HL b) Lösning: = sin 3 cos sin = 3 cos sin = 3 tan cos = = sin cos 3 sin cos = cos 365 Nej, = ln har ett minimivärde e 0,3679. Lösning: Sätt f () = ln > 0 f () = ln + = ln + f () = 0 ger ln = vilket ger = e f () = > 0 för > 0 = e ger minimivärde f min = e ln e = e 0, ln > 0,3675 gäller ej för alla > Maimipunkt: (e, e /e ) (e, e /e ) Lösning: () = / ln / = e ln ln () = e + = = ln () = 0 då ln =, dvs då = e. Maimipunkt: (e, e /e ) 369 a) d d t = cos t b) d A d t = 8 r 370 a) d r d t = 0,075 b) d A d r = π r c) d A 0,94 (π 0,075) d t Tolkning: När radien är,0 m ökar arean med hastigheten 0,94 m /s 37 a) d V d t = d V d d d t b) d V d t 5 dm3 /h d V d t = 3 d d t Omvandla till samma längdenhet, t e dm, dm/h 37 a) 36 cm /min A = d A d t = d d t c) 0,9 cm/min d d t = d A d t / 373 0,0074 cm/s d V d t = 4π r d r d t 374 a) dv b) dv c) dv = πr dh =πrh dr =9πr dr 375 a) Sidan är 6 cm. Volmen minskar då med 6 cm 3 /min. b) Det är inte säkert att den smälter med konstant hastighet. 376 a) Om radien minskar med r minskar volmen med klotets area multiplicerat med r. Jämför t e med att skala bort ett tunt skal på en lök. SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR 7 Bla 4.indb

35 b) A = πr da =π r dr där πr är cirkelns omkrets. Om radien ändras med r ändras arean med omkretsen multiplicerat med r. 377 Höjden stiger med 0,39 cm/min. Lösning: dv dv dh = π 3 (7h 3h ) dh = π h(9 h) dh ger dv = π h( 9 h) dv h = 4,5 och =,5 ger dh 5, = 0,039 π 45, 45, 378 Vätskenivån sjunker med 0,35 cm/min Lösning: För vattenkonen med radien r och höjden r gäller V = πr r πr 3 = 3 3 dv = 3 πr dr = π r 3 dr dr ger dv dv = πr = 360 r = 8 ger 0,35 dr 360 = π a) = eller = b) ( ) = 9 < 0 dvs lokal mapunkt då = () = 9 > 0 dvs lokal minpunkt då = c) Kontrollera att grafen har lokalt min (; 0,5) och lokalt ma (, 4) 304 a) Visa att = cos är 0 då = π 3π och = 4 4 b) π 4 = 4 < 0 dvs lokal mapunkt då = π 4 3π 4 = 4 > 0 dvs lokal minpunkt då = 3π 4 c) Kontrollera att grafen har lokalt ma ( π, ) och 4 lokalt min ( 3π 4, ) 305 a), 3, a) b) 5 c), 6 d), 3, 5 b) är väande för < och Derivata ger lokalt ma (, ) och lokalt min (, ) 307 (; 0,5) ,4 Kurvan har lokalt ma (,5; e,5 ) 30 a) Energiåtgången per meter minskar. b) 6 m/s. = k 3 har sitt minsta 4 värde då = 3 har sitt 4 minsta värde. 3 a) b) = 3 ger min = 7 0,037 3 ( 5π 6, 5π 3 3 ) 33 a = 6 = 3 a ska vara noll då =. Visa att () > a) A (v) = = 44 sin v cos v = = 44 sin v, 0 v π/ Höjd = sin v Bas = cos v b) A () = 44 0 c) 44 cm för v = π/4 och = 7. 7 SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR Bla 4.indb

36 35 = ger min Lösning: z u z 6 u u Pthagoras sats ger = + u (uppvikta triangeln) (6 ) + z = u = (u z) + 6 (färgade trianglarna) 6 3 =, 8 < 6 6 Sök minimum för. Sätt = z, sök minimum för z. 3 z =, 8 < < 6 6 (m) z = ( ) 3 66 = ( 6) = 96 4 ( 6) 3 3 = = = 8 ( ) ( 6) ( 6) z = 0 för = i intervallet. Teckenstudium av z ger att det blir minimum. 39 a) b) 9 c) 4,9 30 a) f(3) =, f( 3) = 5 3 a) b) = 9 eller = 5 = = b) Kontrollera graferna med din grafräknare. Använd t e = abs () 3 Fiona har fel. Motivering: 0 = 0 är inte ett positivt tal men 0 ger > a) A Motivering: Grafen är inte sammanhängande för = b) A största och minsta värde saknas. B största värde saknas, minsta värde är. Motivering: A väer resp avtar obegränsat när närmar sig. B saknar största värde då ( + ) kan bli hur stort som helst. Minsta värde är då ( + ) är noll. 34 a) = 5 b) Kommentar: Många räknare har begränsad upplösning varför graferna kan bli konstiga när man zoomar ut. 35 a) T e = /( ) b) T e = 36 = 0,5 + 5 Bestäm linjens ekvation för > a) Definitionsmängd: > Värdemängd: Alla reella tal. b) Förklaring: = ln (+) e = + ger att ln( + ) ej är definierat eftersom e > 0. Om närmar sig kan, som motsvarar en eponent, bli hur litet som helst, t e e 00 är ett litet positivt tal. När ökar väer först snabbt och sedan långsammare, t e e 7,4, e 3 0, e Motivering: Både och ger avståndet mellan de reella talen och. 39 a =, b = 4 = 0 ger skärningen med -aeln. 330 a = 4, b = och c = 33 a = 4/3 Min.värde ger att triangelns bas är 3. Bestäm linjens lutning. 334 a) -aeln b) = och -aeln c) -aeln och = 0,5 d) = π/ 335 a) -aeln b) -aeln och = c) = 336 Förklaring: En asmptot är en rät linje som grafen närmar sig när avståndet till origo ökar. T e = e närmar sig -aeln när ökar. -aeln ( = 0) är en asmptot. 337 a) 0 = + 8 Lokalt ma: (, 8) Lokalt min: (, 8) b) Ja, -aeln och = c) Nej, när närmar sig 0 från höger väer obegränsat 338 a) För stora dominerar 3, = 3 är en asmptot. För små dominerar, -aeln är en asmptot. SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR 73 Bla 4.indb

37 339 b) För stora dominerar 4 För små dominerar 4 Lokalt ma: (, ) Lokalt min: (, 3) Asmptoter: -aeln och = 0, a) Etrempunkter saknas eftersom derivatan saknar nollställen. Asmptoter: - och -aeln b) Lokalt ma: (0,5; 4) Asmptoter: - och -aeln, = 34 a) -aeln och = b) = 34 Nej, Johan har fel. Motivering: = sin + har = som mittlinje, dvs grafen varierar kring denna men närmar sig inte mer och mer när ökar. 343 = tan har asmptoterna = π/ och = π/ Motivering: När ökar närmar sig tan värdet π/ eftersom tan ökar obegränsat när närmar sig π/. På motsvarande sätt närmar sig tan värdet π/ när. 344 a) T e = e - + eller = + / b) T e = ( )( 3) Grafen har lokalt ma: (0, /4) och asmptoter = ± och =. (0) = 0, (0) < 0 Undersök för vilka uttrcket inte är definierat samt vilket värde närmar sig när blir stort. 330 a) Lösning: = 5 e ger = 0 e VL = = = 0 e 5 e = 0 = HL b) Lösning: = 4 cos, = 4 sin, = 4 cos VL = + = = 4 cos + 4 cos = 0 = HL 3303 T e + + = a) Lösning: VL = d d = A k e k HL = k = k A e k = VL b) (0) = A e k 0 = A 3305 Nej. Motivering: = e, = e + e VL = = e + e e = = e HL = = e = e VL HL 3306 A =, k = 0, k = 3 Lösning: = cos k där k > 0 = k sin k = k cos k + 9 = 0 ger k cos k + 9 cos k = 0 cos k (9 k ) = 0 9 k = 0 k = 9 k = 3, k > r = eller r = 3 = e r är en lösning om r + r 6 = a) b) A = 0, B = 0 c) A =, B = e = ( + e ) 33 a) T e = e 0, och = 0e 0, b) Kommentar: = C e 0, + C e 0, är en lösning för alla värden på C och C. 334 a) Lösning: = 50 e 0,0t ger (0) = 50 e 0,0 0 = 50 b) Lösning: VL = d 0,0t = 50 ( 0,0) e d t HL = 0,0 = = ( 0,0) 50 e 0,0 t = VL 335 a) År 00 var folkmängden 45 miljoner. b) Folkmängden ökar med en hastighet som är, % av folkmängden. 336 a) k = 0,5 b) Ca st Beräkna (8). 337 a) b) C = a) = 0,0 b) = k, k > 0 c) = k(0 ), k > Lösning: s = v 0 t + at / s = v 0 + at s = a 330 a) A = 4 b) Lövmängden närmar sig 4 g/cm. 33 a) b) Begnnelsevärdet, dvs mängden föroreningar vid t = 0. c) Den tid det tar innan mängden föroreningar är en tiondel av begnnelsevärdet. 74 SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR Bla 4.indb

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73 Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0.0.05 08.0 0.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

Planering för kurs C i Matematik

Planering för kurs C i Matematik Planering för kurs C i Matematik Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs C Antal timmar: 85 (70 + 15) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att C-kursen studeras på 85 klocktimmar.

Läs mer

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Jan Eriksson sin( + ) sin + + n 6 LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 och MMA1 Basutbildning II i matematik

Läs mer

Lösningar kapitel 10

Lösningar kapitel 10 Lösningar kapitel 0 Endimensionell analys Fabian Ågren, π Lösta uppgifter 0............................................... 0............................................... 0.6..............................................

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Moment Viktiga eempel Övningsuppgifter I Inga Inga Inga Grafritning Vi använder en sjustegsprocess Funktionens definitionsmängd 2 Funktionens skärningspunkter med alarna Asymptoter 4 Stationära punkter

Läs mer

Teorifrå gor kåp

Teorifrå gor kåp Teorifrå gor kåp. 2.2 5.2 Funktioner och dess grafer 1) Vad är en funktion? 2) Vad är den naturliga definitionsmängden ge några eempel 3) Vad är en värdemängd? 4) Vad är en sammansatt funktion? 5) Varför

Läs mer

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,

Läs mer

Repetitionsuppgifter. Geometri

Repetitionsuppgifter. Geometri Endimensionell anals, Geometri delkurs B1 1. Fra punkter A, B, C och D ligger pa en cirkel med radien 1 dm. Se guren! Strackorna AD och BD ar lika langa. Vidare ar vinkeln BAC och vinkeln ABC 100. D Berakna

Läs mer

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson , MA104 Senaste uppdatering 009 04 03 Dennis Jonsson Lösningar till Matematik 3000 Komvu Kurs D, MA104 Fler lösningar kommer fortlöpande. Innehåll 110... 6 111... 6 11... 6 1130... 7 1141... 7 114... 8

Läs mer

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier Betygskriterier Matematik C MA10 100p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA10 är en nationell kurs oc skolverkets kurs- oc betygskriterier finns på ttp://www.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVÄXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER

VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVÄXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER Stationära och infleionspunkter VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER STATIONÄRA(KRITISKA) PUNKTER KONVÄXA OCH KONKAVA FUNKTIONER INFLEXIONSPUNKTER 3 VÄXANDE och AVTAGANDE FUNKTIONER i) Om funktionen y f ()

Läs mer

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning. Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera

Läs mer

När vi ritar grafen kan vi bestämma om funktionen har globalt maximum ( =största värde)

När vi ritar grafen kan vi bestämma om funktionen har globalt maximum ( =största värde) GRAFRITNING För att skissera (rita) grafen till en funktion y f () undersöker vi först några viktiga egenskaper: definitionsmängd, eventuella skärningspunkter med och y-aeln, gränsvärdena f ( ), f ( )

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.06.5 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

x 4 a b X c d Figur 1. Funktionsgrafen y = f (x).

x 4 a b X c d Figur 1. Funktionsgrafen y = f (x). Konveitet En funktionsgraf, som inte är en rät linje, böjer ofta av åt ett bestämt håll i ett visst intervall. För en funktion som är deriverbar två gånger kan man med hjälp av andraderivatan ta reda på

Läs mer

2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat

2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat 2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat A Punkten P har koordinaterna x och y P = (x, y) i enhetscirkeln gäller att { x = cos x y = sin x P = (cos x, sin x) För vinkeln

Läs mer

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största

Läs mer

d) cos ( v) = a Se facit. Se facit. b) Se facit. sin x har maxvärdet 1 och minvärdet 1. c) ymax ymin

d) cos ( v) = a Se facit. Se facit. b) Se facit. sin x har maxvärdet 1 och minvärdet 1. c) ymax ymin d) cos ( v) a Kapitel 7 Rita t.e. figur enligt s 9 fel. Rita t.e. figur enligt s 9 rätt. c) Huvudräkning: 8 6 Tredje kvadranten fel. d) tan v tan (v + n 8 ) rätt 8 Pythagoras: motstående katet sin v /,6

Läs mer

Funktionsstudier med derivata

Funktionsstudier med derivata Funktionsstudier med derivata Derivatan ett kraftfullt verktyg för att studera och tolka funktioner Det här avsnittet handlar om att man kan använda derivatan till att bestämma en funktions egenskaper

Läs mer

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson Matematikcentrum Matematik BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS Jan Gustavsson. Algebraiska förenklingar.. Reella andragradsekvationer.. Enkla rotekvationer - eventuellt med falsk rot.. Enkla absolutbeloppsproblem.

Läs mer

Modul 4 Tillämpningar av derivata

Modul 4 Tillämpningar av derivata Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,

Läs mer

Funktioner: lösningar

Funktioner: lösningar Funktioner: lösningar 6. Sätt 1 = t 7. Också strängt väande: f (t) = 1 (1 t) = = 1 1+t t = = t t 8. Återigen strängt väande: T.e. a < b g (a) < g(b) f (g (a)) < f (g (b)) a < b g (a) > g(b) f (g (a))

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkl ÖVN Lösningsförslag 0.04.0 4.0 6.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

x 1 1/ maximum

x 1 1/ maximum a), 1 1 Definitionsmängd: 1,1 En funktion kan ha lokal maximum eller lokal minimum endast i punkter x av följande tre typer: (i) stationära punkter (punkter där 0) (ii) ändpunkter till (endast de ändpunkter

Läs mer

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner. Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att

Läs mer

Gamla tentemensuppgifter

Gamla tentemensuppgifter Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Föreläsning 5 Institutionen för matematik KTH 5 september 2017 Hur mycket behöver man jobba? Vi har ett gemensamt ansvar: Jag visar vad som behöver göras Men det är ni som måste göra det Viktigt faktum:

Läs mer

Matematik D (MA1204)

Matematik D (MA1204) Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och

Läs mer

Tentamen i Envariabelanalys 1

Tentamen i Envariabelanalys 1 Linköpings universitet Matematiska institutionen Matematik och tillämpad matematik Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 4--8 kl. 8.. Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga,

Läs mer

Checklista för funktionsundersökning

Checklista för funktionsundersökning Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara

Läs mer

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 2. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet.

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 2. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet. FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 2 Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet. Detta material är en utskrift av det webbaserade innehållet i wiki.math.se/wikis/forberedandematte2 Studiematerialet

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.08.09 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som

Läs mer

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................

Läs mer

Experimentversion av Endimensionell analys 1

Experimentversion av Endimensionell analys 1 Matematikcentrum Matematik Eperimentversion av Endimensionell anals Alternativ eamination Under lp 999 kommer för Bi 99, L 99 och V 99 att ges en något modifierad kurs i Endimensionell anals. Kursen avviker

Läs mer

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvu ISBN 91-27-51027-1 Förord Vår ambition med denna studiehandledning är att den skall guida dig genom boken Matematik 3000 kurs C/Komvu av Lars-Eric Björk,

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 4: Tillämpningar av derivata Institutionen för matematik KTH 22-23 september 2015 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016 SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte.

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte. Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik Avsnitt 6.6 ingår inte. Avsnitt 6.1 Detta avsnitt illustrerar hur sekanten övergår i en tangent genom att den ena skärningspunkten rör sig mot den andra.

Läs mer

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2 DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt

Läs mer

Ledtrå dår till lektionsuppgifter

Ledtrå dår till lektionsuppgifter Ledtrå dår till lektionsuppgifter Allmänna råd vid lösning av lektionsuppgifter: Försök inledningsvis att lösa uppgiften på egen hand, genom att omsätta innehållet i den tillhörande föreläsningen samt

Läs mer

Kapitel 1. y 4. Pythagoras: Se facit. b 2, 4 (3,2; 2, 4) bh A = 2 Q =? Samma metod som i a). Se facit. Sök höjden: h = sin 41 8,2. Se facit.

Kapitel 1. y 4. Pythagoras: Se facit. b 2, 4 (3,2; 2, 4) bh A = 2 Q =? Samma metod som i a). Se facit. Sök höjden: h = sin 41 8,2. Se facit. Kapitel 8 9 b A Sök öjden: sin 8,, cm (,7968),, A cm cm Se viktigruta i eempel s. >. Den undre vinkeln u är tan, 8 u + v är tan v,8 9, v 9 y sin7 y sin7, Pytagoras:, P (,;, ) Q? Samma metod som i. Kalla

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

Svar och anvisningar till arbetsbladen

Svar och anvisningar till arbetsbladen Svar och anvisningar till arbetsbladen Repetitionsmaterial (Facit) Anders Källén Notera att detta är första versionen av svaren Både felräkningar och feltrck kan förekomma! Fingeröfningar Övning,, c) 0,

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 4 april 06 (prövningstillfälle 6) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x = UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 2004 02 4 Skrivtid: 0-5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande

Läs mer

3. Hur snabbt förändras diametern av en cirkel med avseende på cirkelns area?

3. Hur snabbt förändras diametern av en cirkel med avseende på cirkelns area? Dagens 30 aug: a, 2, 3, 5, 6.. Låt Q vara antalet producerade enheter. Bestäm a. Marginalvinsten för vinstfunktionen π(q) = 3Q + Q + 2. Marginalintäkten för intäktsfunktionen R(Q) = ( + 2Q) 3/2. c. Marginalkostnaden

Läs mer

Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler

Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande

Läs mer

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)

Läs mer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationstyp : Ekvationer av första graden När vi löser ekvationer av första graden använder vi oss av de fyra grundläggande räknesätten för att beräkna x. Vid minus

Läs mer

grafer Centralt innehåll

grafer Centralt innehåll Trigonometri och grafer Centralt innehåll Trigonometriska funktioners grafer och dess egenskaper. Grafiska metoder för att lösa trigonometriska ekvationer. Härledning och användning av deriveringsregler

Läs mer

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9: Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Inger Sigstam Envariabelanalys, hp --6 Uppgifter till lektion 9: Lösningar till vårens lektionsproblem.. Ett fönster har formen av en halvcirkel ovanpå en

Läs mer

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard Jörgen Östensson Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA1 8 3 31 Skrivtid: 8: 13:. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1 TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2014-01-14 Tid: förmiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.

MATEMATIK Datum: 2014-01-14 Tid: förmiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel. MATEMATIK Datum: -- Tid: förmiddag Chalmers Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.: 7-88 Lösningar till tenta i TMV Analys och linjär algebra K/Bt/Kf,

Läs mer

Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22

Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22 Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd

Läs mer

SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1

SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1 SAMMANFATTNING TATA4 ENVARIABELANALYS LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 04 Senast reviderad: 05-06-0 Författare: Viktor Cheng INNEHÅLLSFÖRTECKNING Diverse knep...3

Läs mer

Växande och avtagande

Växande och avtagande Växande och avtagande Innehåll 1 Växande och avtagande 1 Andraderivatan.1 Andraderivatan och acceleration................... Andrederivatans tecken.........................1 Andraderivatans nollställen:

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation Mälardalens ögskola Akademin för undervisning, kultur oc kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0..08 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

REPETITION 2 A. a) Är sträckan proportionell mot tiden? b) Beräkna medelhastigheten under de fem första sekunderna.

REPETITION 2 A. a) Är sträckan proportionell mot tiden? b) Beräkna medelhastigheten under de fem första sekunderna. REPETITION Hur mcket är a) 9 b) 00 0 c) 00 På en karta i skala : 0 000 är det, cm mellan två små sjöar. Hur långt är det i verkligheten? Grafen visar hur långt en bil hinner de se första sekunderna efter

Läs mer

Förändringshastighet ma C

Förändringshastighet ma C DOP-matematik Copright Tord Persson Förändringshastighet ma C 2012-01-0 Uppgift nr 1 Givet funktionen f() 2 + 8 Beräkna f() Uppgift nr 2 Givet funktionen f() 9 + 1 Beräkna f(7) Uppgift nr 6 Uppgift nr

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Kapitel , 2102 Exempel som löses i boken a) Löneökning per månad: 400 kr. b) Skattehöjning per månad: 5576 kr 5376 kr = 200 kr.

Kapitel , 2102 Exempel som löses i boken a) Löneökning per månad: 400 kr. b) Skattehöjning per månad: 5576 kr 5376 kr = 200 kr. Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Kapitel.1 101, 10 Eempel som löses i boken. 10 Löneökning per månad: 400 kr Förändring i årslön = 1 400 kr = 4800 kr OBS! Fel

Läs mer

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren).

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). Derivata Sekant oc tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). I figuren ovan finns även en tangent inritad. Som nästa ska vi titta på

Läs mer

PRÖVNINGSANVISNINGAR

PRÖVNINGSANVISNINGAR PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik D Kurskod Ma 104 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Prov Muntligt prov Inlämningsuppgift Kontakt med examinator Övrigt Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik D t.ex.

Läs mer

Matematik Ten 1:3 T-bas Nya kursen

Matematik Ten 1:3 T-bas Nya kursen Matematik Ten 1: T-bas 00-08-09 Nya kursen 1. Förenkla uttrycket 1 + 1 a b a b b a så långt som möjligt. (1p). Lös ekvationen + 1 = 0. (p). En rät linje går genom punkterna (1, 5) och (5, 7). Ange a så

Läs mer

6.2 Implicit derivering

6.2 Implicit derivering 6. Implicit derivering 6 ANALYS 6. Implicit derivering Gränsvärden, som vi just tittat på, är ju en fundamental del av begreppet derivata, och i mattekurserna i gymnasiet har vi roat oss med att hitta

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE1 den 1 mars 214 kl 8.-1. 1. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = 2 arctan x + ln (1 + x 2 ), där

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 2: Derivata Institutionen för matematik KTH 8 september 2015 Derivata Innehåll om derivata (bokens kapitel 2). Definition vad begreppet derivata betyder Tolkning hur man kan tolka derivata Deriveringsregler

Läs mer

Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer. Kursinnehåll i stora drag. Kurslitteratur MVE Carl-Henrik Fant MV, Chalmers 1

Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer. Kursinnehåll i stora drag. Kurslitteratur MVE Carl-Henrik Fant MV, Chalmers 1 Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer Carl-Henrik Fant E-post: carl-henrik.fant@chalmers.se Tel: 772 35 57 Kontor: L3037 i matematikhuset, Johanneberg Kursinnehåll i stora drag Funktioner

Läs mer

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1 Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall

Läs mer

Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = 27 36 + 3 1+ 4 1 = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9

Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = 27 36 + 3 1+ 4 1 = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad 9.5. Prov c a b 8+ d / 8 + / + 7 6 + + + + 5 d / 5 5 ( 5 5 8 8 + 5 5 5 6 6 5 9 8 5 5 5 5 7 7 5 5 d π sin d π sin d u( s s' π / cos U( s π cos

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN3 Lösningsförslag 0.03.30 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

Upphämtningskurs i matematik

Upphämtningskurs i matematik Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna

Läs mer

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015.

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Begrepp och definitioner Egenskaper och satser Typiska problem Reella tal. Rationella tal. a(b + c) = ab + ac Bråkräkning. Irrationella

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium. Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter

Läs mer

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen Institutionen för matematik, KTH Mattias Dahl 5B, Dierential- och integralkalkyl I, del, för TIMEH2 Tentamen, tisdag 29 mars 25 kl.9.. Svara med motivering och mellanräkningar. Tillåtet hjälpmedel är formelsamlingen

Läs mer

Matematik och modeller Övningsuppgifter

Matematik och modeller Övningsuppgifter Matematik och modeller Övningsuppgifter Beräkna a) d) + 6 b) 7 (+) + ( 9 + ) + 9 e) 8 c) ( + (5 6)) f) + Förenkla följande uttryck så långt som möjligt a) ( ) 5 b) 5 y 6 5y c) y 5 y + y y d) +y y e) (

Läs mer

Lösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte 3 1. 10. 11. 12. 13. 15.

Lösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte 3 1. 10. 11. 12. 13. 15. Lösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte........... =.... Multiplicera i valfri ordning. Man kan t.e. börja med att multiplicera in. Multiplicera i valfri ordning. Den här gången kan vi börja

Läs mer

Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner.

Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner. Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner. 1 (Bokens nr 3204) Ett straffkast i basket följer ekvationen h(x)

Läs mer

Matematik C (MA1203)

Matematik C (MA1203) Matematik C (MA103) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma C (MA103) Matematik 03-08- Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven

Läs mer

Uppgiftshäfte Matteproppen

Uppgiftshäfte Matteproppen Uppgiftshäfte Matteproppen Emma ndersson 0 Joar Lind 0 Sara Lundsten 05 Malin Forsberg 06 UPPSL UNIVERSITET Innehåll Uppdelning av häfte Uppgifter Block. Bråkräkning........................ Uttryck..........................

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Kursmål och pluggtips Institutionen för matematik KTH Kursmål Kursmålen står på sidan Kursplan mm (länk i menyn). De anger vad man ska kunna för att bli godkänd på kursen. I den här pdf:en går jag igenom

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man

Läs mer

Matematik CD för TB = 5 +

Matematik CD för TB = 5 + Föreläsning 4 70 a) Vi delar figuren i två delar, en triangel (på toppen) och en rektangel. Summan av dessa två figurers area ger den eftersökta. Vi behöver följande formler: A R = b h A T = b h Svar:

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 0 p STS, X 00-0-7 Föreläsning, 7/0 00: Genomgånget på föreläsningarna - 5. Om kursen. Vi gick först igenom lite om kursen: Två redovisningsuppgifter

Läs mer

Kapitel 8. Derivata. 8.1 Inledning till derivata

Kapitel 8. Derivata. 8.1 Inledning till derivata Kapitel 8 Derivata 8.1 Inledning till derivata Vi vill nu bestämma riktningskoefficienten för tangenten 1 till en given kurva i punkten x. För att få en approximation av tangenten ritas en linje genom

Läs mer

Analys - Derivata. Författarna och Bokförlaget Borken, 2011. Derivata - 1

Analys - Derivata. Författarna och Bokförlaget Borken, 2011. Derivata - 1 Analys - Derivata 1 Ändringskvot.. Derivatabegreppet.6 3. Derivatan av potensfunktionen och summor av funktioner.0 4. Sambandet mellan en polynomfunktions graf & dess derivata..4 5. Funktionerna e, dess

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2001 3. Skolverkets svar, #1 #6 9. Några lösningar till D-kursprov vt 2001 10

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2001 3. Skolverkets svar, #1 #6 9. Några lösningar till D-kursprov vt 2001 10 JENSENvuutbildning NpMaD vt för Ma4 (4) VERSION UNDER ARBETE. Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN Skolverkets svar, # #6 9 Några lösningar till D-kursprov vt Digitala verktg är

Läs mer

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet

Läs mer

Tentamen i Matematik 1 HF aug 2012 Tid: Lärare: Armin Halilovic

Tentamen i Matematik 1 HF aug 2012 Tid: Lärare: Armin Halilovic Tentamen i Matematik HF70 6 aug 0 Tid: 3. 7. Lärare: Armin Halilovic Hjälpmedel: Formelblad (Inga andra hjälpmedel utöver utdelat formelblad.) Fullständiga lösningar skall presenteras på alla uppgifter.

Läs mer