vinkelräta (1p) då a r = (0,1,0), b r =(0,1,2k) och c r =(1,0,1)? b) Beräkna arean av triangeln ABC då (2p) A= ( 3,2,1), B=(4,3,2) och C=(3,3,3)

Transkript

1 Tentamen i Matematik HF H 8 okt Tid:. 7. Lärare:Armin Halilovic Hjälpmedel: Formelblad Inga andra hjälpmedel utöver utdelat formelblad. Fullständiga lösningar skall presenteras på alla uppgifter. Betgsgränser: För betg A, B, C, D, E krävs,,, respektive poäng. Gamlakurser: För betg,, krävs, respektive poäng. Komplettering: 8 poäng på tentamen ger rätt till komplettering betg F. Vem som har rätt till komplettering framgår av betget F på MINA SIDOR. Om komplettering är godkänd rapporteras betg E, annars rapporteras F. Kompletteringstentamen : Tis nov kl : Börja varje n uppgift på ett ntt blad, detta gör att rättningen blir säkrare. Skriv endast på en sida av papperet. Skriv namn och personnummer på varje blad. Inlämnade uppgifter skall markeras med krss på omslaget Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med läsningar Uppgift. a För vilka värden på k är vektorerna b r r r och a c vinkelräta p då a r,,, b r,,k och c r,,? b Beräkna arean av triangeln ABC då p A,,, B,, och C,, Uppgift. a Lös matrisekvationen med avseende på X p XA B C då A, B och C. b Lös följande ekvation med avseende på. p. Uppgift. Beräkna följande integraler: a d p b e d c cos d. p p

2 Uppgift. För vilka värden på parametern a har sstemet med avseende på, och a a eakt en lösning p b ingen lösning p c oändligt många lösningar p? Uppgift. Bestäm eventuella etrempunkter och asmptoter och därefter rita grafen till funktionen p Uppgift. Beräkna arean av den största rektangel som har två hörn på kurvan f e och andra två på -aeln. Se figuren nedan p Uppgift 7. En rak cirkulär kon med toppvinkeln o placeras med höjden vertikalt och toppen nedåt. Konen flls med vatten med hastigheten dm /min. Med vilken hastighet stiger vattentan då vattendjupet är, dm p Uppgift 8. En pramid har hörnen A,,, B,,, C, 7, och D,, -. Beräkna Beräkna pramidens höjd genom punkten D d v s avståndet från punkten D till planet genom punkterna A, B och C. p Lcka till!

3 FACIT Uppgift. a För vilka värden på k är vektorerna b r r r och a c vinkelräta p då a r,,, b r,,k och c r,,? b Beräkna arean av triangeln ABC då p A,,, B,, och C,, a r r r b a c,, k,, k k / Svar a k / barean av triangeln ABC är lika med AB AC Eftersom r r r i j k AB r r r AC i j k, får vi : Arean AB AC areaenheter. Svar b areaenheter Uppgift. a Lös matrisekvationen med avseende på X p XA B C då A, B och C. b Lös följande ekvation med avseende på. p. a Matrisen A är inverterbar eftersom det A. Invers matris: A.

4 XA B C XA C B Vi multiplicerar ekvationen från höger med A - och får XA A - C B A - X C B A - X Svar a X b ± ± Svar b Uppgift. Beräkna följande integraler: a d p b e d c cos d. p a d d dela i part. bråk d ln ln C Svar a ln ln C p b e d e t dt t e substitution C e t d dt C. d dt Svar b e C

5 c d cos Partialintegration g f g f cos C d cos Svar c C cos Uppgift. För vilka värden på parametern a har sstemet med avseende på, och a a eakt en lösning p b ingen lösning p c oändligt många lösningar p? Koefficientmatrisen a A ger 8 det a a A. 8 a a DetA a Därför eakt en lösning om ii O m a har använder vi Gausselimination och får ~ ~ LÖSNING INGEN Alltså ingen lösning om a Svar: a Eakt en lösning om b ingen lösning om a c Fallet oändligt många lösningar kan inte förekomma. Uppgift. Bestäm eventuella etrempunkter och asmptoter och därefter rita grafen till funktionen

6 . Svar: Funktionen har en vågrät horisontell asmptot. ö Funktionens graf: Uppgift. Beräkna arean av den största rektangel som har två hörn på kurvan f e och andra två på -aeln. Se figuren nedan

7 A f e Derivatan av uttrcket för arean, som vi kallar A, sätts till noll: A A e e e ± Vi kan faktorisera derivatan A' e teckenschema för att bestämma punkternas tp. e och använda f f e A e Svar. ma A Uppgift 7. En rak cirkulär kon med toppvinkeln o placeras med höjden vertikalt och toppen nedåt. Konen flls med vatten med hastigheten dm /min. Med vilken hastighet stiger vattentan då vattendjupet är h, dm Toppvinkeln o medför att r h i konen. dv dt, dh dt?, π r h π h dv V π h π dh dv dv dh dh dh π dm / min dt dh dt dt dt π Uppgift 8. En pramid har hörnen A,,, B,,, C, 7, och D,, -. Beräkna a Arean av triangeln ABC, b Beräkna pramidens höjd genom punkten D d v s avståndet från punkten D till planet genom punkterna A, B och C.

8 > > AB,,, AC,,, AD,, r r r n r i j k AB > AC > - i r r j k r -,, -,, r r n,, e r är en enhetsvektorn parallell med n r. n > Höjden ADo e r Svar: Höjden Alternativ lösning: Arean av triangeln ABC AB AC > > > > > > Volmen AB AC o AD -,,o,,- Alternativ: Volmen Volmen Bastansarean Höjden V Höjden arean Svar: Höjden