2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a"

Transkript

1 2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a Ett plan är en yta som inte är buktig och som är obegränsad åt alla håll. På ett plan kan man rita en linje som är rak (rät). En linje är obegränsad åt båda håll: Två linjer i ett plan är parallella om det inte finns någon punkt som ligger på båda linjerna. Man kan även säga att linjerna aldrig möts: En del av en linje som begränsas av två punkter, s.k. ändpunkter, kallas en sträcka: Sträckans storlek, dvs. avståndet mellan ändpunkterna, kallas längd. För att ange längden används längdenheter. En vanlig längdenhet är meter (skrivs m ). Genom att använda prefix fås bl.a. följande enheter: Längdenhet Motsvarar Med tiopotens 1 mm 0,001 m 10 3 m 1 cm 0,01 m 10 2 m 1 dm 0,1 m 10 1 m 1 km 1000 m 10 3 m 1 mil m 10 4 m 1000 mm 1 m 10 3 mm 100 cm 1 m 10 2 cm 10 dm 1 m 10 1 dm 0,001 km 1 m 10 3 km 0,0001 mil 1 m 10 4 mil En vanlig linjal brukar vara graderad i millimeter och centimeter. Med denna kan man både mäta och rita sträckor. Genom att rita flera sträckor kan man skapa en geometrisk figur. Ett sådant exempel är en rektangel, vilken består av fyra punkter, s.k. hörn, mellan vilka det dras fyra sträckor. Dessa sträckor kallas för sidor, uppdelade i bredd och längd. Summan av sidornas längder kallas rektangeln omkrets.

2 För rektangeln gäller att vinkeln mellan två sidor i ett hörn är rät (90 ) och att motstående sidor (dvs. sidor mitt emot varandra) är parallella samt lika långa. Ovanstående rektangel har längden 4 m och bredden 3 m. Omkretsen = = 14 m. Rektangeln utgör en begränsad yta. Storleken på ytan kallas area. För att ange arean används areaenheter. En vanlig areaenhet är kvadratmeter (skrivs m 2 ). Arean (A) för en rektangel beräknas genom att multiplicera längd (l) och bredd (b) och det kan skrivas med hjälp av en formel: För ovanstående rektangel är arean A = 4 3 = 12 m 2 Ovanstående areaformel motiverar varför areaenheten är m 2. Genom att multiplicera l och b kan man säga att längdenheterna m och m multipliceras. Därmed fås m m = m 2. 1 m 2 kan ses som en kvadrat (rektangel med lika långa sidor) där varje sida är en meter lång. Eftersom 1 m = 100 cm så är varje sida 100 cm. För att ange arean uttryckt i cm 2 så används areaformeln ovan: A = = cm 2 Observera här skillnaden mellan längd och area vid s.k. enhetsomvandling: 1 m = 100 cm 1 m 2 = cm 2 Då decimaltecknet flyttas två steg vid omvandling av längdenheter så flyttas det dubbelt så många steg, fyra steg, vid omvandling av areaenheter.

3 Några vanliga areaenheter: Areaenhet Motsvarar Med tiopotens 1 mm 2 0, m m 2 1 cm 2 0,0001 m m 2 1 dm 2 0,01 m m 2 1 km m m 2 1 mil m m m mm 2 mm cm 2 1 m cm dm 2 1 m dm 2 0, m km 2 km 2 0, m mil 2 mil 2 Dessutom förekommer: 1 a ( ar ) = 100 m 2 1 ha ( hektar ) = m 2 1 ha = 100 a

4 2. 2 G e o m e t r i s k a f i g u r e r Här följer några av de vanligaste geometriska figurerna med en beskrivning av deras egenskaper samt omkrets- och areaformler. Triangel Beskrivning: En triangel består av tre sidor som möts i tre hörn. Kommentar: Höjden (h) är vinkelrät (90 ) mot basen (b). Rektangel Beskrivning: En rektangel är en fyrhörning där vinklarna är räta. Kommentar: Istället för b (bredd) och h (höjd) används ofta beteckningarna b (bredd) och l (längd). En rät linje, som inte motsvarar en sida i rektangeln, från ett hörn till ett annat hörn, kallas för diagonal (betecknas d i ovanstående figur).

5 Kvadrat Beskrivning: En kvadrat är en fyrhörning där vinklarna är räta och sidorna lika långa. Parallellogram Beskrivning: En parallellogram är en fyrhörning med parvis parallella sidor. Kommentar: Höjden (h) är vinkelrät (90 ) mot basen (b). Romb Beskrivning: En romb är en fyrhörning där alla sidor är lika långa.

6 Kommentar: Höjden (h) är vinkelrät (90 ) mot basen (s). Diagonalerna d 1 och d 2 delar varandra mitt itu. Vinkeln mellan diagonalerna är rät (90 ). Parallelltrapets Beskrivning: En parallelltrapets är en fyrhörning med två parallella sidor. Kommentar: Höjden (h) är vinkelrät (90 ) mot basen (b). Cirkel Beskrivning: Alla de punkter i ett plan som befinner sig ett bestämt avstånd från en medelpunkt, bildar tillsammans en kurva som kallas cirkel. För att kunna räkna ut cirkeln omkrets och area krävs en konstant (dvs. ett visst oföränderligt tal) som skrivs π (en grekisk symbol) och uttalas "pi". Denna konstant är förhållandet mellan en cirkels omkrets och diameter, dvs. π = O/d. På din miniräknare kan du få fram ett närmevärde för π genom knappen π 3,

7 Kommentar: Radien betecknar en sträcka från medelpunkten till en punkt på cirkeln. Diametern (d) är dubbelt så lång som radien (r). Allmänna kommentarer om geometriska figurer Triangeln, kvadraten, rektangeln, romben, parallellogrammen och parallelltrapetsen är exempel på månghörningar eller polygoner. Andra exempel är femhörningen, sexhörningen osv. med fem sidor och hörn respektive sex sidor och hörn. Kvadraten, rektangeln, romben, parallellogrammen och parallelltrapetsen är exempel på fyrhörningar, eftersom de alla har fyra hörn. Kvadraten, rektangeln, romben och parallellogrammen är exempel på parallelltrapetser, eftersom de alla är fyrhörningar med (minst) två parallella sidor. Kvadraten, rektangeln och romben är exempel på parallellogrammer, eftersom de alla är fyrhörningar med parvis parallella sidor. Kvadraten är ett exempel på en rektangel, eftersom den är en fyrhörning där vinklarna är räta. Kvadraten är ett exempel på en romb, eftersom den är en fyrhörning där alla sidorna är lika långa. En halv cirkel kallas halvcirkel och en fjärdedels cirkel kallas kvartscirkel.

8 2. 3 P y t h a g o r a s s a t s o c h k v a d r a t r o t e n I flera tusen år har människan känt till ett speciellt samband som idag kallas Pythagoras sats. Trots att satsen fått sitt namn efter den grekiska matematikern Pythagoras (verksam för ca år sedan) så var det inte han som upptäckte sambandet, utan det var känt långt tidigare. Pythagoras anses dock ha varit den första som bevisade satsen. Pythagoras sats handlar om rätvinkliga trianglar, dvs. trianglar med en rät vinkel (90 ). I en sådan triangel kallas de sidor som möts i den räta vinkeln för kateter och den tredje sidan för hypotenusa. Pythagoras sats kan med ord formuleras: Med matematiska symboler skrivs Pythagoras sats: Det är även möjligt att vända på slutsatsen: Ett exempel på en rätvinklig triangel: Summan av kvadraterna på kateterna är = = 25 Kvadraten på hypotenusan är 5 2 = 25

9 Dvs. Pythagoras sats stämmer eftersom triangeln är rätvinklig: = 5 2 Pythagoras sats kan användas för att ta reda på en okänd sida i en triangel. Antag exempelvis att en rätvinklig triangel har kateter vars längder är 12 mm respektive 16 mm och att du vill ta reda på hur lång hypotenusan är. Antag att hypotenusans längd är c mm lång. Enligt Pythagoras sats gäller: = c 2 Termerna räknas ut: = c 2 Summan beräknas: 400 = c 2 Likheten vänds: c 2 = 400 Denna likhet kan formuleras som frågeställningen Vilket tal, c, multiplicerat med sig självt är lika med fyra hundra? eller Vilket tal, c, upphöjt med två är lika med fyra hundra? Genom huvudräkning kan man nå resultatet 20 mm men det finns även ett sätt att bestämma talet med hjälp av miniräknaren, nämligen genom att använda funktionen kvadratroten. Vi skriver Detta kan uttalas c är lika med kvadratroten ur fyrahundra är lika med tjugo. kallas rottecken. På din miniräknare kan du använda knappen På vissa räknare skapas en vänsterparentes automatiskt när kvadratrotsknappen trycks in och då krävs en högerparentes i slutet: På andra miniräknare krävs inga parenteser och då kan följande tryckningar fungera: Egentligen finns det två svar på frågan vad c är då c 2 = 400. Utöver 20 så kan c även vara 20, eftersom ( 20) ( 20) = 400. Man kan skriva c = ±20 för att visa båda möjligheterna. I detta speciella fall där c är en sida i en triangel så är det negativa alternativet inte relevant. Alltså bortser man från

10 det här. Om resultatet av kvadratroten ur inte är ett heltal så anger miniräknaren ett närmevärde. Exempelvis gäller att Observera att det inte är möjligt att dra kvadratroten ur ett negativt tal eftersom inget tal multiplicerat med sig självt kan vara negativt (om du fortsätter läsa matematik på högre nivåer så kommer du dock så småningom att kunna dra kvadratroten ur negativa tal genom att använda s.k. komplexa tal).

Planering Geometri år 7

Planering Geometri år 7 Planering Geometri år 7 Innehåll Övergripande planering... 2 Bedömning... 2 Begreppslista... 3 Metodlista... 6 Arbetsblad... 6 Facit Diagnos + Arbeta vidare... 10 Repetitionsuppgifter... 11 Övergripande

Läs mer

4-4 Parallellogrammer Namn:..

4-4 Parallellogrammer Namn:.. 4-4 Parallellogrammer Namn:.. Inledning Hittills har du arbetat bl.a. med linjer och vinklar. En linje är ju någonting som bara har en dimension, längd. Men när två linjer skär varandra och det bildas

Läs mer

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg Tema: Pythagoras sats Linnéa Utterström & Malin Öberg Innehåll: Introduktion till Pythagoras sats! 3 Pythagoras sats! 4 Variabler! 5 Potenser! 5 Att komma tillbaka till ursprunget! 7 Vi bevisar Pythagoras

Läs mer

Lathund geometri, åk 7, matte direkt (nya upplagan)

Lathund geometri, åk 7, matte direkt (nya upplagan) Lathund geometri, åk 7, matte direkt (nya upplagan) Det som står i den här lathunden ska du kunna till provet. Du ska kunna ställa upp och räkna ut liknande tal som de nedan: a) 39,8 + 2,62 b) 16,42 5,8

Läs mer

Facit åk 6 Prima Formula

Facit åk 6 Prima Formula Facit åk 6 Prima Formula Kapitel 1 Omkrets och area Sidan 7 1 A och C 2 D och E 3 a G, H och J b I och J c J Sidan 8 4 a 1 b 1 c 1 d 4 5 A = 0 B = 2 C = 4 D = 2 6 a 8 0 8 b 1 0 1 c 3 8 3 d 1 3 8 F7 A B

Läs mer

4-7 Pythagoras sats. Inledning. Namn:..

4-7 Pythagoras sats. Inledning. Namn:.. Namn:.. 4-7 Pythagoras sats Inledning Nu har du lärt dig en hel del om trianglar. Du vet vad en spetsig och en trubbig triangel är liksom vad en liksidig och en likbent triangel är. Vidare vet du att vinkelsumman

Läs mer

MVE365, Geometriproblem

MVE365, Geometriproblem Matematiska vetenskaper Chalmers MVE65, Geometriproblem Demonstration / Räkneövningar 1. Konstruera en triangel då två sidor och vinkeln mellan dem är givna. 2. Konstruera en triangel då tre sidor är givna..

Läs mer

Explorativ övning euklidisk geometri

Explorativ övning euklidisk geometri Explorativ övning euklidisk geometri De viktigaste begreppen och satser i detta avsnitt är: Kongruens och likhet mellan sträckor, vinklar och trianglar. Kongruensfallen för trianglar. Parallella linjer

Läs mer

Gruppledtrådar. Gruppledtrådarna ingår i lärarhandledningen till Prima Formula 6 Får kopieras! Bo Sjöström, Jacob Sjöström och Gleerups Utbildning AB

Gruppledtrådar. Gruppledtrådarna ingår i lärarhandledningen till Prima Formula 6 Får kopieras! Bo Sjöström, Jacob Sjöström och Gleerups Utbildning AB Gruppledtrådar Som hjälp för dina elevgrupper att utveckla sin förmåga att tala matematik, samarbeta och lära i grupp finns övningar som vi kallar Gruppledtrådar. Dessa går ut på att elever tillsammans

Läs mer

Matematik CD för TB = 5 +

Matematik CD för TB = 5 + Föreläsning 4 70 a) Vi delar figuren i två delar, en triangel (på toppen) och en rektangel. Summan av dessa två figurers area ger den eftersökta. Vi behöver följande formler: A R = b h A T = b h Svar:

Läs mer

Geometri och statistik Blandade övningar. 1. Vid en undersökning av åldern hos 30 personer i ett sällskap erhölls följande data

Geometri och statistik Blandade övningar. 1. Vid en undersökning av åldern hos 30 personer i ett sällskap erhölls följande data Geometri och statistik Blandade övningar Sannolikhetsteori och statistik 1. Vid en undersökning av åldern hos 30 personer i ett sällskap erhölls följande data 27, 30, 32, 25, 41, 52, 39, 21, 29, 34, 55,

Läs mer

geometri ma B 2009-08-26

geometri ma B 2009-08-26 OP-matematik opyright Tord Persson geometri ma 2009-08-26 Uppgift nr 1 Uppgift nr 3 26 13 z s Hur stor är vinkeln z i den här figuren? Uppgift nr 2 Hur stor är vinkeln s i den här figuren? Uppgift nr 4

Läs mer

Explorativ övning euklidisk geometri

Explorativ övning euklidisk geometri Explorativ övning euklidisk geometri De viktigaste begreppen och satser i detta avsnitt är: Kongruens och likhet mellan sträckor, vinklar och trianglar. Kongruensfallen för trianglar. Parallella linjer

Läs mer

Geometri med fokus på nyanlända

Geometri med fokus på nyanlända Geometri med fokus på nyanlända Borås 17 januari 2017 Madeleine Löwing Tala matematik Bygga och Begripa Begrepp i Geometri Använda förklaringsmodeller som hjälper eleven att bygga upp långsiktigt hållbara

Läs mer

Sidor i boken Figur 1:

Sidor i boken Figur 1: Sidor i boken 5-6 Mer trigonometri Detta bör du kunna utantill Figur 1: Triangeln till vänster är en halv liksidig triangel. Varje triangel med vinklarna 0,60,90 är en halv liksidig triangel. Hypotenusan

Läs mer

8F Ma Planering v2-7 - Geometri

8F Ma Planering v2-7 - Geometri 8F Ma Planering v2-7 - Geometri Arbetsform under en vecka: Tisdagar (50 min): Genomgång av gemensamma svårigheter i begrepp och metoder. Arbete i grupp med begrepp och metoder. Läxa (30 min): Läsa på anteckningar

Läs mer

7F Ma Planering v2-7: Geometri

7F Ma Planering v2-7: Geometri 7F Ma Planering v2-7: Geometri Arbetsform under en vecka: Måndagar (50 min): Genomgång av gemensamma svårigheter i begrepp och metoder. Arbete i grupp med begrepp och metoder. Läxa (30 min): Läsa på anteckningar

Läs mer

Trigonometri. Sidor i boken 26-34

Trigonometri. Sidor i boken 26-34 Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller

5B1134 Matematik och modeller KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2006-09-04 1 Första veckan Geometri med trigonometri Veckans begrepp cirkel, cirkelsegment, sektor, korda, båglängd, vinkel, grader, radianer, sinus, cosinus,

Läs mer

8-6 Andragradsekvationer. Namn:..

8-6 Andragradsekvationer. Namn:.. 8-6 Andragradsekvationer. Namn:.. Inledning Nu har du arbetat en hel del med ekvationer där du löst ut ett siffervärde på en okänd storhet, ofta kallad x. I det här kapitlet skall du lära dig lösa ekvationer,

Läs mer

9E Ma Planering v2-7 - Geometri

9E Ma Planering v2-7 - Geometri 9E Ma Planering v2-7 - Geometri Arbetsform under en vecka: Måndagar (50 min): Genomgång av gemensamma svårigheter i begrepp och metoder. Arbete i grupp med begrepp och metoder. Läxa (45 min): Läsa på anteckningar

Läs mer

4-8 Cirklar. Inledning

4-8 Cirklar. Inledning Namn: 4-8 Cirklar Inledning Du har arbetat med fyrhörningar (parallellogrammer) och trehörningar (trianglar). Nu skall du studera en figur som saknar hörn, och som består av en böjd linje. Den kallas för

Läs mer

150 cm 2 m 70 dm. 280 cm 3,5 m 40 dm 3,50 0,50. 200 cm 1,5 2,5. 6 m. 30 cm 4 dm 500 mm. 2 m. 70 dm. 150 cm. 3,5 m. 40 dm. 280 cm.

150 cm 2 m 70 dm. 280 cm 3,5 m 40 dm 3,50 0,50. 200 cm 1,5 2,5. 6 m. 30 cm 4 dm 500 mm. 2 m. 70 dm. 150 cm. 3,5 m. 40 dm. 280 cm. Skriv sträckorna i storleksordning. Längdenheter: meter (m), decimeter (dm), centimeter (cm) och millimeter (mm). Längden 15 cm kan skrivas på olika sätt: 15 cm = 1 m 5 cm = 1,5 m eller 15 dm cm eller

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller

5B1134 Matematik och modeller KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 5 september 2005 1 Första veckan Geometri med trigonometri Veckans begrepp cirkel, cirkelsegment, sektor, korda båglängd, vinkel, grader, radianer sinus, cosinus,

Läs mer

Lokala mål i matematik

Lokala mål i matematik Lokala mål i matematik År 6 År 7 År 8 År 9 Taluppfattning (aritmetik) förstår positionssystemets uppbyggnad med decimaler ex: kan skriva givna tal adderar decimaltal ex: 15,6 + 3,87 subtraherar decimaltal

Läs mer

Lathund, geometri, åk 9

Lathund, geometri, åk 9 Lathund, geometri, åk 9 I årskurs 7 och 8 räknade ni med sträckor och ytor i en dimension (1D) respektive två dimensioner (2D). Nu i årskurs 9 har ni istället börjat räkna volymer av geometriska kroppar

Läs mer

SF1620 Matematik och modeller

SF1620 Matematik och modeller KTH Teknikvetenskap, Institutionen för matematik 1 SF1620 Matematik och modeller 2007-09-03 1 Första veckan Geometri med trigonometri Till att börja med kom trigometrin till för att hantera och lösa geometriska

Läs mer

Elevers kunskaper i geometri. Madeleine Löwing

Elevers kunskaper i geometri. Madeleine Löwing Elevers kunskaper i geometri Madeleine Löwing Elevers kunskaper i mätning och geometri Resultaten från interna=onella undersök- ningar, såsom TIMSS, visar ac svenska elever lyckas mindre bra i geometri.

Läs mer

Övningsuppgifter omkrets, area och volym

Övningsuppgifter omkrets, area och volym Stockholms Tekniska Gymnasium 01-0-0 Övningsuppgifter omkrets, area och volym Uppgift 1: Beräkna arean och omkretsen av nedanstående figur. 4 7 Uppgift : Beräkna arean och omkretsen av nedanstående figur.

Läs mer

Kängurutävlingen Matematikens hopp

Kängurutävlingen Matematikens hopp Kängurutävlingen Matematikens hopp Junior 2010 Här följer svar, rättningsmall och redovisningsblanketter. Förutom svar ger vi också några olika lösningsförslag. De flesta problem kan lösas på flera sätt

Läs mer

Repetition inför kontrollskrivning 2

Repetition inför kontrollskrivning 2 Sidor i boken Repetition inför kontrollskrivning 2 Problem 1. I figuren ser du två likformiga trianglar. En sida i den större och motsvarande i den mindre är kända. Beräkna arean av den mindre triangeln.

Läs mer

Poolbygge. fredag 11 april 14

Poolbygge. fredag 11 april 14 Poolbygge Första lektionen vart jag klar med att rita och skriva ritningen. Först skrev jag poolen i skalan 1:60 vilket vi inte fick göra så jag gjorde den till 1:30, alltså har jag minskat den 30 gånger

Läs mer

Södervångskolans mål i matematik

Södervångskolans mål i matematik Södervångskolans mål i matematik Mål som eleverna lägst ska ha uppnått i slutet av det första skolåret beträffande tal och taluppfattning kunna läsa av en tallinje mellan 0-20 kunna läsa och ramsräka tal

Läs mer

Föreläsning 5: Geometri

Föreläsning 5: Geometri Föreläsning 5: Geometri Geometri i skolan Grundläggande begrepp Former i omvärlden Plangeometriska figurer Symmetri och tessellering Tredimensionell geometri och geometriska kroppar Omkrets, area, volym

Läs mer

Kunskapsmål och betygskriterier för matematik

Kunskapsmål och betygskriterier för matematik 1 (1) 2009-0-12 Kunskapsmål och betygskriterier för matematik För betyget G i matematik skall eleven kunna utföra beräkningar, lösa problem samt se enklare samband utifrån de kunskapsmål som anges under

Läs mer

Finaltävling i Lund den 19 november 2016

Finaltävling i Lund den 19 november 2016 SKOLORNS MTEMTIKTÄVLING Svenska matematikersamfundet Finaltävling i Lund den 19 november 2016 1. I en trädgård finns ett L-format staket, se figur. Till sitt förfogande har man dessutom två färdiga raka

Läs mer

Matematik. Mål att sträva mot. Mål att uppnå. År 1 Mål Kriterier Eleven ska kunna. Taluppfattning koppla ihop antal och siffra kan lägga rätt antal

Matematik. Mål att sträva mot. Mål att uppnå. År 1 Mål Kriterier Eleven ska kunna. Taluppfattning koppla ihop antal och siffra kan lägga rätt antal Matematik Mål att sträva mot Vi strävar mot att varje elev ska utveckla intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik utveckla sin förmåga att

Läs mer

Lokala kursplaner i Matematik Fårösunds skolområde reviderad 2005 Lokala mål Arbetssätt Underlag för bedömning

Lokala kursplaner i Matematik Fårösunds skolområde reviderad 2005 Lokala mål Arbetssätt Underlag för bedömning Lokala kursplaner i Matematik Fårösunds skolområde reviderad 2005 Lokala mål Arbetssätt Underlag för bedömning Eleven skall år 1 Begrepp Jämförelse- och storleksord, t.ex. stor, större, störst. Positionssystemet

Läs mer

Explorativ övning 11 GEOMETRI

Explorativ övning 11 GEOMETRI Explorativ övning 11 GEOMETRI Syftet med denna övning är att ge kunskaper om grundläggande geometriska begrepp och resultat om geometriska figurer. Vi vill också ge en uppfattning om geometri som en matematisk

Läs mer

Detta prov består av del 1 och 2. Här finns också facit och förslag till poängsättning

Detta prov består av del 1 och 2. Här finns också facit och förslag till poängsättning Allmänt om proven Detta prov består av del 1 och. Här finns också facit och förslag till poängsättning och bedömning. Provet finns på lärarwebben, dels som pdf-fil och dels som redigerbar Word-fil. Del

Läs mer

8-1 Formler och uttryck. Namn:.

8-1 Formler och uttryck. Namn:. 8-1 Formler och uttryck. Namn:. Inledning Ibland vill du lösa lite mer komplexa problem. Till exempel: Kalle är dubbelt så gammal som Stina, och tillsammans är de 33 år. Hur gammal är Kalle och Stina?

Läs mer

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING II. Föreläsning II. Mikael P. Sundqvist

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING II. Föreläsning II. Mikael P. Sundqvist Föreläsning II Mikael P. Sundqvist Att bygga matematisk teori Odefinierade begrepp Axiom påstående som ej behöver bevisas Definition namn på begrepp Sats påstående som måste bevisas Lemma hjälpsats Proposition

Läs mer

Geometri. Kapitel 3 Geometri. Borggården sidan 68 Diagnos sidan 82 Rustkammaren sidan 84 Tornet sidan 90 Sammanfattning sidan 94 Utmaningen sidan 96

Geometri. Kapitel 3 Geometri. Borggården sidan 68 Diagnos sidan 82 Rustkammaren sidan 84 Tornet sidan 90 Sammanfattning sidan 94 Utmaningen sidan 96 Kapitel 3 Eleverna har tidigare arbetat med omkrets och area. I kapitlet repeteras först begreppet area och hur man beräknar rektangelns area. Enheten kvadratdecimeter, dm 2, för area introdu ceras. Här

Läs mer

Svar och arbeta vidare med Student 2008

Svar och arbeta vidare med Student 2008 Student 008 Svar och arbeta vidare med Student 008 Det finns många intressanta idéer i årets Känguruaktiviteter. Problemen kan inspirera undervisningen under flera lektioner. Här ger vi några förslag att

Läs mer

Bedömningsexempel. Matematik årskurs 6

Bedömningsexempel. Matematik årskurs 6 Bedömningsexempel Matematik årskurs 6 Innehåll Ämnesprovet i matematik i årskurs 6 läsåret 2011/2012 Exempel på provuppgifter... 3 Inledning... 3 Muntligt delprov... 3 Skriftliga delprov... 3 Övrigt webbmaterial...

Läs mer

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson , MA104 Senaste uppdatering 009 04 03 Dennis Jonsson Lösningar till Matematik 3000 Komvu Kurs D, MA104 Fler lösningar kommer fortlöpande. Innehåll 110... 6 111... 6 11... 6 1130... 7 1141... 7 114... 8

Läs mer

Provet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng.

Provet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng. NpMac vt 01 Del I Del II Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-15. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för del I och del II tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande

Läs mer

I addition adderar vi. Vi kan addera termerna i vilken ordning vi vill: 1 + 7 = 7 + 1

I addition adderar vi. Vi kan addera termerna i vilken ordning vi vill: 1 + 7 = 7 + 1 BEGREPP ÅR 3 Taluppfattning och tals användning ADDITION 3 + 4 = 7 term + term = summa I addition adderar vi. Vi kan addera termerna i vilken ordning vi vill: 1 + 7 = 7 + 1 SUBTRAKTION 7-4 = 3 term term

Läs mer

Matematik Steg: Bas. Mål att sträva mot Mål Målkriterier Omdöme Åtgärder/Kommentarer

Matematik Steg: Bas. Mål att sträva mot Mål Målkriterier Omdöme Åtgärder/Kommentarer Matematik Steg: Bas ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och enkla tal i talområdet 0-10 bråk- och decimalform ordningstal upp till 5 ha en grundläggande rumsuppfattning och kunna

Läs mer

Bestäm den sida som är markerad med x.

Bestäm den sida som är markerad med x. 7 trigonometri Trigonometri handlar om sidor och inklar i trianglar. Ordet kommer från grekiskans trigonon (tre inklar) och métron (mått). Trigonometri har anänts under de senaste 2000 åren inom astronomi,

Läs mer

c) Låt ABC vara rätvinklig vid C och låt D vara fotpunkten för höjden från C. Då uppfyller den villkoren i uppgiften, men inte nödvändigtvis AC = BC.

c) Låt ABC vara rätvinklig vid C och låt D vara fotpunkten för höjden från C. Då uppfyller den villkoren i uppgiften, men inte nödvändigtvis AC = BC. Lösningar till några övningar i geometri Kapitel 2 1. Formuleringen av övningen är tyvärr inte helt lyckad (jag ska ändra den till nästa upplaga, som borde ha kommit för länge sedan). Man måste tolka frågan

Läs mer

Addition och subtraktion. Vilka uträkningar visas på tallinjerna nedan? Beräkna med huvudräkning 1 3 5 = 2 2 2 + 5 = 3 3 7 + 3 = 4 4 1 4 = 5 7 2 + 7 5

Addition och subtraktion. Vilka uträkningar visas på tallinjerna nedan? Beräkna med huvudräkning 1 3 5 = 2 2 2 + 5 = 3 3 7 + 3 = 4 4 1 4 = 5 7 2 + 7 5 OH 1 Addition och subtraktion Vilka uträkningar visas på tallinjerna nedan? 1 = 7 6 1 0 1 + = 7 6 1 0 1 7 + = 7 6 1 0 1 1 = 7 6 1 0 1 Beräkna med huvudräkning 8 6 6 8 7 + 7 8 9 7 9 1 8 10 1 + 0 Kopiering

Läs mer

identifiera geometriska figurerna cirkel och triangel

identifiera geometriska figurerna cirkel och triangel MATEMATIK F-klass Genom att använda matematik i meningsfulla sammanhang visar vi barnen vilka möjligheter den ger. Ex datum, siffror och antal, ålder, telefonnummer mm. Eleven bör kunna: benämna siffrorna

Läs mer

Problemlösning med hjälp av nycklar

Problemlösning med hjälp av nycklar Problemlösning med hjälp av nycklar I denna problemavdelning finns förutom ett antal geometriproblem även förslag på ett arbetssätt som avser underlätta för elever att komma igång med problemlösning och

Läs mer

Geometri. G. Diagnoserna i området avser att kartlägga om eleverna behärskar grundläggande geometriska begrepp och metoder.

Geometri. G. Diagnoserna i området avser att kartlägga om eleverna behärskar grundläggande geometriska begrepp och metoder. . G Diagnoserna i området avser att kartlägga om eleverna behärskar grundläggande geometriska begrepp och metoder. Området består av följande tre (fyra) delområden: MGF Förberedande mätning och geometri

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken X

Sammanfattningar Matematikboken X Sammanfattningar Matematikboken X KAPITEL 1 TAL OCH RÄKNING Naturliga tal Med naturliga tal menas talen 0, 1,,, Jämna tal 0,,, 6, 8 Udda tal 1,,, 7 Tallinje Koordinater En tallinje kan t ex användas för

Läs mer

Min pool. Hanna Lind 7:2 Alfa

Min pool. Hanna Lind 7:2 Alfa Min pool Hanna Lind 7:2 Alfa RITNING Jag började med att räkna ut ett antal rimliga mått som jag visste blev heltal när jag delade dom på 30, det gjorde jag då skalan var 1:30. I min ritning visar jag

Läs mer

Repetitionsuppgifter. Geometri

Repetitionsuppgifter. Geometri Endimensionell anals, Geometri delkurs B1 1. Fra punkter A, B, C och D ligger pa en cirkel med radien 1 dm. Se guren! Strackorna AD och BD ar lika langa. Vidare ar vinkeln BAC och vinkeln ABC 100. D Berakna

Läs mer

Explorativ övning Geometri

Explorativ övning Geometri Explorativ övning Geometri Syftet med denna övning är att ge kunskaper om grundläggande geometriska begrepp och resultat om geometriska figurer. Vi vill också ge en uppfattning om geometri som en matematisk

Läs mer

Röd kurs. Multiplicera in i parenteser. Mål: Matteord. Exempel. 1 a) 4(x- 5) b) 5(3 + x) 3 Om 3(a + 4) = 36, vad är då 62 2 FUNKTIONER OCH ALGEBRA

Röd kurs. Multiplicera in i parenteser. Mål: Matteord. Exempel. 1 a) 4(x- 5) b) 5(3 + x) 3 Om 3(a + 4) = 36, vad är då 62 2 FUNKTIONER OCH ALGEBRA Röd kurs Mål: I den här kursen får du lära dig att: ~ multiplicera parenteser ~ använda kvadreringsregler ~ använda konjugatregeln ~ uttrycka formler på olika sätt Matteord första kvadreringsregeln andra

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Elementa Årgång 39, 1956 Årgång 39, 1956 Första häftet 2028. En regelbunden dodekaeder och en regelbunden ikosaeder äro omskrivna kring samma klot (eller inskrivna i samma klot). Bestäm förhållandet mellan

Läs mer

Matematikplanering 3 geometri HT-12 VT-13 7 a KON

Matematikplanering 3 geometri HT-12 VT-13 7 a KON Matematikplanering 3 geometri HT-12 VT-13 7 a KON MÅL Grundkurs Mäta (med gradskiva) och beräkna vinklar Känna till triangelns vinkelsumma och använda den för att räkna ut vinklar Kunna namnen på några

Läs mer

TESTVERSION. Geometri. G Diagnoserna i området avser att kartlägga om eleverna behärskar grundläggande geometriska begrepp och metoder.

TESTVERSION. Geometri. G Diagnoserna i området avser att kartlägga om eleverna behärskar grundläggande geometriska begrepp och metoder. Geometri. G Diagnoserna i området avser att kartlägga om eleverna behärskar grundläggande geometriska begrepp och metoder. Området består av följande fyra delområden: Symmetri, GSy Geometriska former,

Läs mer

Känguru Student (gymnasiet åk 2 och 3) sida 1 / 6

Känguru Student (gymnasiet åk 2 och 3) sida 1 / 6 Känguru Student (gymnasiet åk 2 och 3) sida 1 / 6 NAMN KLASS/GRUPP Poängsumma: Känguruskutt: Lösgör svarsblanketten. Skriv ditt svarsalternativ under uppgiftsnumret. Lämna rutan tom om du inte vill besvara

Läs mer

Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9

Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9 Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9 Arbetsområde 3. Ekvationer och geometri. Syfte formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder. reflektera

Läs mer

3. Trigonometri. A c. Inledning

3. Trigonometri. A c. Inledning 3. Trigonometri Inledning Trigonometri betyder triangelmätning. De grundläggande storheterna som vi kan mäta i en triangel är dess sidor och vinklar. Ett bra sätt att beteckna en triangels sidor och hörn

Läs mer

Svar och arbeta vidare med Cadet 2008

Svar och arbeta vidare med Cadet 2008 Svar och arbeta vidare med Det finns många intressanta idéer i årets Känguruaktiviteter. Problemen kan inspirera undervisningen under flera lektioner. Här ger vi några förslag att arbeta vidare med. Känguruproblemen

Läs mer

Vid kartläggningen av elevernas kunskaper har vi använt Skolverkets

Vid kartläggningen av elevernas kunskaper har vi använt Skolverkets Madeleine Löwing & Wiggo Kilborn Elevers kunskaper i mätning och geometri I Nämnaren nr 4, 2009, finns en artikel som beskriver svenska elevers kunskaper i aritmetik. Den beskriver första delen av ett

Läs mer

M=matte - Handledning

M=matte - Handledning Fingris Fingerräkning Grunden för matematik är taluppfattning. I detta spel parar du ihop tal med fingrarnas antal. Finns det fler fingrar än talet anger? Eller färre? Lika många? Det finns många frågor

Läs mer

Aktiviteter och uppgiftsförslag. Matematiska förmågor

Aktiviteter och uppgiftsförslag. Matematiska förmågor Aktiviteter och uppgiftsförslag Med utgångspunkt i ett antal bilder från föreställningen finns nedan några olika förslag på vad du som lärare kan arbeta vidare med vad gäller elevernas kunskaper i matematik.

Läs mer

fredag den 11 april 2014 POOL BYGGE

fredag den 11 april 2014 POOL BYGGE POOL BYGGE KLADD Såhär ser min kladd ut: På min kladd så bestämde jag mig för vilken form poolen skulle ha och ritade ut den. På min kladd har jag även skrivit ut måtten som min pool skulle vara i. Proportionerna

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp

Läs mer

Talområden. Utvidga talområden: - naturliga tal. - hela tal. -100, -5 0, 1, 2 o.s.v. - rationella tal. - reella tal. π, 2 o.s.v.

Talområden. Utvidga talområden: - naturliga tal. - hela tal. -100, -5 0, 1, 2 o.s.v. - rationella tal. - reella tal. π, 2 o.s.v. TALUPPFATTNING Mål som eleven ska ha uppnått i slutet av det nionde skolåret: Eleven skall ha förvärvat sådana kunskaper i matematik som behövs för att kunna beskriva och hantera situationer samt lösa

Läs mer

Geometri. Mål. 50 Geometri

Geometri. Mål. 50 Geometri Geometri Mål När eleverna har arbetat med det här kapitlet ska de kunna mäta och räkna ut omkretsen på olika geometriska figurer räkna ut arean av rektanglar, kvadrater och trianglar använda de vanligaste

Läs mer

Lokala betygskriterier Matematik åk 8

Lokala betygskriterier Matematik åk 8 Lokala betygskriterier Matematik åk 8 Mer om tal För Godkänt ska du: Kunna dividera och multiplicera med 10, 100 och 1000. Kunna räkna ut kilopriset för en vara. Kunna multiplicera och dividera med positiva

Läs mer

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24 Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass 1 Mål att sträva mot Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven S11 utvecklar intresse för matematik

Läs mer

RÖDA TRÅDEN MATEMATIK F-KLASS ÅK

RÖDA TRÅDEN MATEMATIK F-KLASS ÅK RÖDA TRÅDEN MATEMATIK F-KLASS ÅK 5 F-KLASS TALUPPFATTNING ALGEBRA Hur enkla mönster i talföljder och enkla geometriska mönster kan konstrueras, beskrivas och uttryckas Matematiska likheter och likhetstecknets

Läs mer

Delprov D: Geometriska figurer och deras egenskaper

Delprov D: Geometriska figurer och deras egenskaper Delprov D: Geometriska figurer och deras egenskaper Nedan finns instruktioner för genomförandet av Delprov D, vilket handlar om geometriska figurer och deras egenskaper. Eleverna ska arbeta individuellt

Läs mer

Funktioner. Räta linjen

Funktioner. Räta linjen Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter

Läs mer

DEL 2 Kommentarer till elevbokens sidor

DEL 2 Kommentarer till elevbokens sidor DEL 2 Kommentarer till elevbokens sidor Till din hjälp berättar vi författare vad du eller eleverna bör eller kan tänka på vid olika aktiviteter och uppgifter. Vi har valt uppgifter och kommentarer i sådan

Läs mer

Antagningsprov till universitet, Sofia (Bulgarien) 7 maj 2006

Antagningsprov till universitet, Sofia (Bulgarien) 7 maj 2006 Antagningsprov till universitet, Sofia (Bulgarien) 7 maj 2006 (Enligt "nytt format" : fler och lättare uppgifter jämfört med hittills rådande tradition se sid.5. Alla uppgifter värda lika mycket.) 1. Lös

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Årgång 35, 1952 Första häftet 1793. I en cirkel med centrum O och radien R är inskriven en spetsvinklig triangel ABC, vars höjder råkas i H. Bestäm maximum och minimum för summan av PO och PH, när punkten

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter. Årgång 21, Första häftet

Enklare matematiska uppgifter. Årgång 21, Första häftet Elementa Årgång 21, 1938 Årgång 21, 1938 Första häftet 957. En cirkel, en punkt A på cirkeln och en punkt B på tangenten i A äro givna. Att konstruera den punkt P på cirkeln, för vilken AP + BP är maximum.

Läs mer

4-5 Kvadrater och rotuttryck Namn:...

4-5 Kvadrater och rotuttryck Namn:... 4-5 Kvadrater och rotuttryck Namn:... Inledning Du har nu lärt dig en hel del om kvadrater i kapitlet om ytorparallellogrammer. Du lärde dig bland annat att om kvadratens sida var given, säg 5 cm så kan

Läs mer

a) 4a + a b) 4a 3a c) 4(a + 1)

a) 4a + a b) 4a 3a c) 4(a + 1) REPETITION 2 A 1 Förenkla uttrycken. a) 4a + a b) 4a 3a c) 4(a + 1) 2 Johannas väg till skolan är a m lång. a) Robins skolväg är 200 m längre än Johannas. Teckna ett uttryck för hur lång skolväg Robin

Läs mer

Addera. Skriv mellanled. Subtrahera Skriv mellanled. 532-429 1685-496 1 1 10 10 10

Addera. Skriv mellanled. Subtrahera Skriv mellanled. 532-429 1685-496 1 1 10 10 10 Namn: Hela och halva tusental till 00 000 Addera och subtrahera. 000+ 000= 000 000+ 00 = 00 000-000= 000 000-00 = 00 Skriv talen i fallande ordningsföljd. 000 0 00 0 00 0 00 00 0 000 0 00 0 00 0 00 0 00

Läs mer

REPETITION 2 A. a) Är sträckan proportionell mot tiden? b) Beräkna medelhastigheten under de fem första sekunderna.

REPETITION 2 A. a) Är sträckan proportionell mot tiden? b) Beräkna medelhastigheten under de fem första sekunderna. REPETITION Hur mcket är a) 9 b) 00 0 c) 00 På en karta i skala : 0 000 är det, cm mellan två små sjöar. Hur långt är det i verkligheten? Grafen visar hur långt en bil hinner de se första sekunderna efter

Läs mer

Storvretaskolans Kursplan för Matematik F-klass- år 5

Storvretaskolans Kursplan för Matematik F-klass- år 5 2010-11-01 Storvretaskolans Kursplan för Matematik F-klass- år 5 Skolan skall i sin undervisning sträva efter att eleven : utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den

Läs mer

Räknare får inte användas i den här delen. Skriv ner beräkningar eller motiveringar till varje uppgift, ifall ingenting annat uppges.

Räknare får inte användas i den här delen. Skriv ner beräkningar eller motiveringar till varje uppgift, ifall ingenting annat uppges. Grundskolans matematiktävling Finaltävling fredagen den 6 februari 009 DEL Tid 30 min Poängantal 0 Räknare får inte användas i den här delen. Skriv ner beräkningar eller motiveringar till varje uppgift,

Läs mer

Kortfattade lösningar med svar till Cadet 2006

Kortfattade lösningar med svar till Cadet 2006 3 poäng Kängurun Matematikens hopp Cadet 2006 Kortfattade lösningar med svar till Cadet 2006 1 B 2 0 0 6 + 2006 = 0 + 2006 2 A De tal som ger rest 2 är 8 och 38, summan är 46. 3 D Första siffran längst

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Elementa Årgång 41, 1958 Årgång 41, 1958 Första häftet 143. I en given cirkel är inskriven en triangel ABC, i vilken b + c = ma, där m är ett givet tal > 1. Sök enveloppen för linjen BC, då hörnet A är

Läs mer

Kvalificeringstävling den 30 september 2014

Kvalificeringstävling den 30 september 2014 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2014 1. Ett tåg kör fram och tillbaka dygnet runt mellan Aby och Bro med lika långa uppehåll vid ändstationerna,

Läs mer

Gruppledtrådar 6-2A (i samband med sidorna 50-60) Ledtråd 2 Den har 4 begränsningsytor (B). Ledtråd 1 Polyedern är regelbunden.

Gruppledtrådar 6-2A (i samband med sidorna 50-60) Ledtråd 2 Den har 4 begränsningsytor (B). Ledtråd 1 Polyedern är regelbunden. Gruppledtrådar 6-2A (i samband med sidorna 50-60) Polyedern är regelbunden. Den har 4 begränsningsytor (B). Polyedern har 4 hörn (H). Antal kanter (K) kan beräknas med formeln B + H K = 2 Begränsningsytorna

Läs mer

Mattestegens matematik

Mattestegens matematik höst Decimaltal pengar kr 0 öre,0 kr Rita 0,0 kr på olika sätt. räkna,0,0 storleksordna decimaltal Sub för lite av två talsorter 7 00 0 tallinjer heltal 0 0 Add med tiotalsövergångar 0 7 00 0 Sub för lite

Läs mer

Explorativ övning Geometri

Explorativ övning Geometri Explorativ övning Geometri Syftet med denna övning är att ge kunskaper om grundläggande geometriska begrepp och resultat om geometriska figurer. Vi vill också ge en uppfattning om geometri som en matematisk

Läs mer

Torskolan i Torsås Mars 2007. Matematik. Kriterier för betyget godkänd. Metoder: Arbetssätt. Muntligt. Problemlösning

Torskolan i Torsås Mars 2007. Matematik. Kriterier för betyget godkänd. Metoder: Arbetssätt. Muntligt. Problemlösning Torskolan i Torsås Mars 2007 Matematik Kriterier för betyget godkänd Metoder: Arbetssätt Ta ansvar för sin egen inlärning. Göra läxor. Utnyttja lektionstiden (lyssna, arbeta). Utnyttja den hjälp/stöd som

Läs mer

Matematikboken Gamma. Facit till Bashäfte. Facit Matematikboken Gamma Bashäfte Författarna och Liber AB Får kopieras 1

Matematikboken Gamma. Facit till Bashäfte. Facit Matematikboken Gamma Bashäfte Författarna och Liber AB Får kopieras 1 Matematikboken Gamma Facit till Bashäfte Facit Matematikboken Gamma Bashäfte Författarna och Liber AB Får kopieras Tal och räkning a) 9 9 c) 9 a) 00 00 c) 00 a) c) 0 a) 9 99 c) 09 a) 90 c) 00 a), c),0

Läs mer