M=matte - Handledning

Transkript

1 Fingris Fingerräkning Grunden för matematik är taluppfattning. I detta spel parar du ihop tal med fingrarnas antal. Finns det fler fingrar än talet anger? Eller färre? Lika många? Det finns många frågor att ta ställning till. Svaren bidrar till att utveckla barnens förståelse för tal, antal och räkning. Förresten: Vilka tal blir tillsammans 10? Hur många siffror finns det? Tar talen slut någon gång? Statistik och sannolikhet: I Fingris finns också möjlighet att föra statistik och fundera över sannolikhet. Talen som faller ner i Fingris slumpas fram. Vilka tal finns det flest av? Finns det färre sjuor än fyror? Svaret är att det går en tia på tio ettor. Varför är det fler av de lägre talen och tvärtom? Vad händer om enbart femmor skulle trilla ner? Eller enbart treor? För statistik över antalet tal som trillar ner: Hur många ettor, tvåor, treor och så vidare. Titta på bilden ovan. Sammanlagt finns det 55 tal som kan falla ner. Slumpen avgör vilket tal det blir, men det går ändå att räkna ut hur stor chans det är att ett visst tal kommer. Om det kommer en etta 10 gånger på 55 möjliga, 10/55=0,181, så är det ungefär 18 procents chans att det blir en etta. Hur stor är sannolikheten att det blir en trea? (8/55= 0,145, nästan 15 procents chans.)... det blir en sexa? 5/55=0,09, 9 procents chans.)... det blir en tia? (1/55=0,018, knappt 2 procents chans.)

2 Draken sover Fraktaler naturens geometri Månens runda skiva. Horisontens raka linje. Sjöns släta yta. Äggets ovala skal. Det finns många former i naturen som är enkla och regelbundna och som går att beskriva med den klassiska geometrins räta linjer, cirklar, trianglar och välformade kurvor. Men vågorna, bergen, molnen, träden - och drakens rygg? Hur ska man beskriva alla oregelbundna former, vars konturer är sönderbrutna och förgrenade? Helge von Koch. Sådana sönderbrutna former kallas för fraktaler. Det kommer av det latinska ordet fractus som betyder bruten. Förutom att fraktaler är sönderbrutna, upprepas samma mönster om och om igen. Om en liten del av fraktalen förstoras, ser delen ut som hela fraktalen. Som hos blomkålshuvudet. Varje liten del av kålhuvudet ser i förstoring nästan likadan ut som hela huvudet. Fraktaler kan sägas vara naturens egen geometri. Och man kan själv ganska enkelt rita en fraktal, som drakens rygg. Det behövs bara papper, penna, linjal - och lite tålamod. Den kallas von Kochs kurva efter en svensk matematiker, Rita en fraktal Rita en sträcka och dela den i tre lika stora delar. Ta bort den mittersta delen och lägg till två sidor av en liksidig triangel. (I en liksidig triangel är alla sidor lika långa.) Den nya figuren består av fyra lika långa sidor. Upprepa proceduren med var och en av figurens sidor. Varje sida delas i tre delar den mittersta delen av varje sida tas bort varje sida byggs på med två sidor i en liksidig triangel. Fortsätt på samma sätt med alla de nybildade sidorna och upprepa förfarandet om och om igen. Konturen blir mer och mer tillknycklad. Efter oändligt många steg har den förvandlats till en oändligt lång kurva som bryts i varje punkt - en fraktal. von Kochs kurva är en matematiska modell, som ger en ganska bra bild av drakens rygg eller, varför inte, en kuststräcka, en bergskedja eller ett korallrev.

3 Räkna antalet trianglar på drakens rygg: När man första gången klickar på linjen poppar det upp en grön liksidig triangel. När man klickar igen, poppar det upp fyra mindre trianglar, som alla har exakt samma form som den gröna, fast mindre. Steg 1: 1 grön liksidig triangel, kan skrivas 1 = 2. Steg 2: 4 gula liksidiga trianglar, kan skrivas 4 = 2. Steg 3: 16 blå liksidiga trianglar, kan skrivas 16 = 2. Steg 4: 64 röda liksidiga trianglar, kan skrivas 64 = 2. Hur många trianglar blir det i nästa steg? (256 = 2) Och i nästa? (1024 = 2) Och så vidare i all oändlighet. Först då är drakens rygg en fraktal.

4 Rita en snöflinga: Utgå från en liksidig triangel. Gör exempelvis sidorna 9 centimeter långa. Steg 1: Dela varje sida i triangeln i tre lika stora delar. Ta bort den mittersta tredjedelen av varje sida. Lägg till två sidor i en liksidig triangel i varje tomrum. Det ger en sexkantig stjärna med 12 sidor, alla lika långa. I exemplet 3 cm. Snöflingan har nu 3 4 sidor. Omkretsen är 12 3=36 cm Steg 2: Upprepa proceduren. Dela varje sida i tre lika stora delar. Ta bort den mittersta tredjedelen av varje sida och lägg till två sidor i en liksidig triangel. Det bildas en grov snöflinga med 3 4 4=3 4=48 sidor, alla lika långa. I exemplet 1 cm. Då växer omkretsen till 48 1=48 cm. Steg 3: Upprepa proceduren. Snöflingan har nu =3 4 sidor, alla lika långa. I exemplet 1/3 cm. Omkretsen är 192 1/3=64 cm. Steg 4: Upprepa proceduren. Snöflingan har nu =3 4sidor, alla lika långa, i exemplet 1/9 cm. Omkretsen blir 768 1/9=85 1/3 cm. Steg 5-10 Upprepa proceduren. I steg 10 ska talet 4 multipliceras med sig självt tio gånger, alltså blir det 3 4= sidor. Efter steg n (n betyder ett heltal, vilket som helst) har flingan 3 4 sidor. Vid varje upprepning växer snöflingans omkrets med en tredjedel av sin längd, och den växer oavbrutet. Snöflingan är en fraktal.

5 Gör barn Form och geometri Allt som syns har en form. När vi beskriver ett föremål - en stol, en blomma, ett hus - så talar vi både om formen och om färgen på det. Vi använder formord, som stor, lång, tunn, smal, rundad, spetsig, liksom vi använder begrepp, det matematiska språket, som rät linje, kurva, vinkel, cirkel, längd, bredd, höjd, triangel, fyrhörning. Ordet geometri är grekiska. Det betyder "att mäta jorden", och denna konst hade antikens greker lärt sig i Egypten. Där hade geometrin varit ett rent hantverk- en krukmakaren lär sig mycket om cirkeln när hon formar sin kruka och sedan dekorerar den med regelbundna mönster. Den var också ett praktiskt hjälpmedel när man delade upp marken mellan invånarna och byggde pyramider. Grekerna utvecklade dessa kunskaper om cirklar, kvadrater, trianglar och kuber till en vetenskap. Geometrin blev den del av matematiken som har med form och mått att göra. Hur skulle det vara att åka bil om hjulen vore kvadratiska? Vi använder vår kunskap om former till mycket, inte minst när vi konstruerar och bygger. "Gör barn!" "Gör barn!" handlar om geometriska former i två dimensioner, om storlek och om det matematiska språket. "Mammorna" och "papporna" består av kvadrater, rektanglar, romber, parallellogrammer, cirklar och liksidiga trianglar. "Barnen" är dels små exakta kopior av romber, kvadrater, rektanglar och liksidiga trianglar. Dels är de rätvinkliga trianglar, parallelltrapetser (en fyrhörning där två sidor är parallella) och andra mer eller mindre oregelbundna tre-, fyr- och femhörningar. Se schemat*.

6 Undersök formerna och beskriv dem. När blir "geometribarnen" små exakta kopior av romber, kvadrater, rektanglar och liksidiga trianglar? Diskutera hur de olika trianglarna varierar. Är hörnen av samma eller olika vinkel? Mer eller mindre spetsiga? Vilka hörn är räta? Trubbiga? Rita egna trianglar och beskriv vinklar och sidor. Kan det vara på något annat sätt? Diskutera på vilka sätt fyrhörningarna är lika och olika varandra. Studera namnen på fyrhörningarna. Rita egna fyrhörningar och berätta om vinklar och sidor. Hur ska man beskriva alla konstiga oregelbundna former som bildas när man parar ihop två regelbundna former? När innehåller de en rät vinkel? Varför har några en rundad kant? *Schema över "Barnen" 1:A. En figur av två cirkelbågar (liknar en bikonvex lins) 1:B. En fyrhörning med en cirkelbåge och tre raka sidor, varav två är parallella 1:C. En trehörning med en cirkelbåge och två raka sidor 1.D. Nästan en triangel där en sida är en cirkelbåge (det är en cirkelsektor) 1:E. Nästan en rektangel där en sida är en cirkelbåge 1:F. Nästan en parallelltrapets med två räta vinklar, en sida är en cirkelbåge 2:A. Se 1:B 2:B. En romb 2:C. En oregelbunden femhörning 2:D. En oregelbunden femhörning

7 2:E. En parallelltrapets med två räta vinklar 2:F. En parallelltrapets med två räta vinklar 3:A. Se 1:C 3:B. En parallelltrapets 3:C. En liksidig triangel 3:D. En oregelbunden fyrhörning 3:E. En rätvinklig triangel 3:F. En parallelltrapets med två räta vinklar 4:A. Se D:1 4:B. Se 2:D 4:C. Se 3:D 4:D. En romb 4:E. En oregelbunden femhörning med två räta vinklar 4:F. En oregelbunden femhörning med två räta vinklar 5:A. Se E:1 5:B. Se 2:E 5:C. Se 3:E 5:D. Se 4:E 5:E. En rektangel 5:F. En kvadrat 6:A. Se 1:F 6:B. Se 2:F 6:C. Se 3:F 6:D. Se 4:F 6:E. Se 5:F 6:F. En rektangel

8 Vem tänker jag på nu? Jämföra, sortera, placera I "Vem tänker jag på nu?" handlar det om att jämföra och sortera efter form, storlek, mönster och att tänka logiskt. I förskolebarnens vardag förekommer en mängd jämförelseord, som lång-längre-längst och stor-störrestörst. Att få använda sådana ord i skilda situationer utvecklar barnens förståelse för sin omvärld. Här är några vanliga begrepp när man jämför: stor/liten smal/bred tunn/tjock kort/lång nära/långt ifrån full/tom böjd / rak hög/låg rund/kantig En annan kategori av ord, som man också kan sortera efter i den här leken, är lägesord, exempelvis i, inuti, ovanpå, på, över, under, bakom, framför, mellan, längst ner, högst upp, utanför, bredvid. De former som barnen kommer i kontakt med här är bland annat kvadrat, cirkel, triangel, rektangel, kant, sida. Gardinerna i fönstren har ett mönster av regelbundna sexhörningar, som i binas vaxkakor. Att förskolebarnen använder ord som "trekant" och "fyrkant" är acceptabelt. Barnen måste ha skaffat sig erfarenhet i realistiska situationer, innan matematiska begrepp, som rät vinkel, kvadrat, cirkel, tal, bråk, införs. Men man kan sträva mot att de ska använda begreppen, när de ska beskriva hur de tänker och vad de ser och gör. Barn skräms inte bort av konstiga ord om man som vuxen utgår från - och godtar - deras eget språk först och presenterar nya ord stegvis. Och att kunna sätta ord på sin omvärld med hjälp av matematikens språk kan vara en början till att förstå den.

9 Polyedrar Form i tre dimensioner Verkligheten är tredimensionell. Den består av saker vi kan ta i och iaktta, saker som är konkreta. Fördelen med att arbeta med sådana föremål, utöver att de är verkliga, är att de tvingar barn att tänka på flera saker samtidigt. Förutom längden och bredden, även höjden. Och inte bara en yta, utan flera ytor i kombination. En polyeder är ett tredimensionellt föremål, som kuben och rätblocket. Kuben är en regelbunden polyeder, vilket innebär att alla ytor är av samma form, alla kanter är lika långa och alla vinklar lika stora. Det finns fem regelbundna polyedrar. De kallas platonska kroppar. De fem kropparna har fått sitt namn efter den grekiske filosofen Platon ( f.kr.) I sin skapelseberättelse Timaios ger han de fem kropparna en symbolisk betydelse. Tre av dem består av enbart liksidiga trianglar: Tetraedern har 4 trianglar. Platonskt element: eld Oktaedern har 8 trianglar. Platonskt element: luft Ikosaedern har 20 trianglar. Platonskt element: vatten Den fjärde platonska kroppen -kuben - består av 6 kvadrater. Platonskt element: jord Den femte kallas för dodekaeder, den består av 12 femhörningar. Platonskt element: eter Platon menade att allt i himlen och på jorden är uppbyggt av de fyra elementen: eld, luft, vatten och jord. Och eftersom de regelbundna kropparna är skönast och mest perfekta i formen, så är de fyra elementen i sin tur uppbyggda av dessa. Elden består av tetraedrar. Luften av oktaedrar. Vattnet av ikosaedrar och jorden av kuber. Den femte, dodekaedern, är den kropp som bildar världsalltets omkrets. Tillverka platonska kroppar Skriv ut mallarna som finns här nedan, gärna på kraftigt papper eller kartong. Arbeta tillsammans med en kompis. Vill du måla mönster, bör du göra det innan du viker och klistrar ihop dem. Ett annat sätt att bygga de platonska kropparna är med sugrör och tjocka piprensare. Klipp sugrören så att de är 10 centimeter långa. Klipp piprensarna så att de är 15 centimeter och vik dem dubbelt så att de

10 blir tjockare. Foga ihop sugrören genom att stoppa piprensare i dem. Börja med att bygga tetraedern och sedan kuben och så vidare. Skriv ut och bygg ihop Tetraeder och kub En tetraeder består av fyra liksidiga trianglar. En kub består av sex kvadrater. Öppna och skriv ut mall (pdf)» Oktaeder En oktaeder består av åtta liksidiga trianglar. Öppna och skriv ut mall (pdf)» Dodekaeder En dodekaeder består av tolv regelbundna femhörningar. Öppna och skriv ut mall (pdf)» Ikosaeder En ikosaeder består av tjugo liksidiga trianglar. Öppna och skriv ut mall (pdf)»