Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2

Transkript

1 Matematik Gymnasieskola Modul: Matematikundervisning med digitala verktyg Del 6: Undersökande arbetssätt med matematisk programvara Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2 I texten Undersökande arbetssätt beskrivs tre uppgifter, vars matematiska innehåll passar bäst till kurserna matematik 3, 4 och 5. Nedan presenteras fem uppgifter, som bjuder in till egna undersökningar och som kan behandlas i matematik 1 respektive matematik 2. Exempel 1: Triangelns vinkelsumma I det centrala innehållet till matematik 1b och 1c finns följande formulering: Illustration av begreppen definition, sats och bevis, till exempel med Pythagoras sats och triangelns vinkelsumma. Vinkelsumman i en triangel är ett välkänt begrepp som dels används för att studera grundläggande geometri, dels kan användas i problemlösning. Nedan beskrivs hur Geogebra kan användas som ett instrument för att mäta vinkelsumman i en godtycklig triangel, där triangelns läge och form sedan kan ändras. Denna uppgift bekräftar en (för många elever) känd formel, fast på ett sätt som de kanske inte tidigare har tänkt på. En egenskap hos den beskrivna konstruktionen är att den ibland visar yttervinklarnas summa, vilket kan ge upphov till intressanta diskussioner. Hur stor är yttervinklarnas summa och hur relaterar den till innervinklarnas summa? Välj verktyget Polygon och sätt ut tre punkter. Färdigställ polygonen genom att klicka tillbaka på den första punkten. De tre punkterna ska nu heta A, B, C. Om beteckningarna A, B, C inte syns, klicka på punkterna och välj visa etikett. Välj verktyget Vinkel och peka på två sidor i triangeln. Använd högervarv (moturs, motsols). Gör detta för triangelns alla tre vinklar. De tre vinklarna ska nu heta α, β, γ. Flytta på punkterna A, B och C i triangeln. Då kan du se hur vinklarnas storlek ändras. Vad kan du säga om vinkelsumman? Mata in kommandot α + β + γ. Denna summa ges då namnet δ. Välj verktyget Text, klicka på skärmen, och skriv in Vinkelsumman = α + β + γ = δ. Flytta återigen på punkterna A, B och C i triangeln och studera vad som ändras. Se film som beskriver denna konstruktion på: Exempel 2: Fyrhörning i fyrhörning Denna uppgift angör naturligt till följande centrala innehåll i matematik 2b och 2c: Användning av grundläggande klassiska satser i geometri om likformighet, kongruens och vinklar. På de kommande sidorna finns instruktioner som kan användas direkt i undervisningen. 1 (10)

2 Arbetsblad till uppgiften Fyrhörning i fyrhörning Steg 1: Konstruera en godtycklig fyrhörning ABCD. Gör detta genom att klicka på verktyget Polygon och därefter sätta ut punkter i grafikfönstret på Geogebra i följande ordning: punkt A, punkt B, punkt C, punkt D och därefter punkt A igen för att stänga polygonen. Högerklicka på var och en av sidorna på fyrhörningen ABCD och välj bort visa etikett från menyn du får fram. Genom detta döljer du etiketterna a, b, c och d på sidorna. Steg 2: Konstruera mittpunkter för sidorna AB, BC, CD och DA. Välj verktyget Mittpunkt i Geogebra och klicka på alla fyra sidorna en i taget. Mittpunkterna kommer att få etiketterna E, F, G och H. Steg 3: Använd verktyget Sträcka för att konstruera sträckorna EF, FG, GH och HE och dölj deras etiketter precis som tidigare. En ny fyrhörning EFGH är nu konstruerad. Vi kallar den för mittpunktsfyrhörningen. Steg 4: Flytta på hörnen A, B, C eller D i den ursprungliga fyrhörningen ABCD och observera vad som händer med mittpunktsfyrhörningen EFGH. Skriv ner dina observationer här. 2 (10)

3 Steg 5: Mät lutningen hos alla fyra sidor i den ursprungliga fyrhörningen ABCD med hjälp av verktyget Lutning. En liten triangel som visar lutningen kommer att visa sig på sidan AB. På samma sätt kan du mäta lutningen hos alla sidor hos mittpunktsfyrhörningen EFGH. Alt Steg 5: Mät vinkeln hos alla fyra hörn i den ursprungliga fyrhörningen ABCD med hjälp av verktyget Vinkel. På samma sätt kan du mäta vinklarna hos alla hörn på mittpunktsfyrhörningen EFGH. Steg 6: Konstruera en diagonal BD med hjälp av verktyget Sträcka. Bestäm längden (med hjälp av verktyget Avstånd eller längd) och lutningen hos denna diagonal. Dra i hörnpunkterna på den ursprungliga fyrhörningen ABCD och observera hur längden och lutningen hos diagonalen BD är relaterad till längder och lutningar hos mittpunktsfyrhörningen EFGH. Diagonalen BD delar fyrhörningen ABCD i två trianglar. Diagonalen BD delar dessutom mittpunktsfyrhörningen EFGH på ett visst sätt. Använd denna information för att visa de antaganden och hypoteser du gjort. Vad kan du säga om arean hos mittpunktsfyrhörningen EFGH jämfört med arean av ABCD? Kan du bevisa ditt antagande? 3 (10)

4 Exempel 3: Kvadraten och cirkeln - Area och omkrets på två figurer Denna uppgift angör naturligt till följande centrala innehåll i matematik 1a: Egenskaper hos och representationer av geometriska objekt, till exempel ritningar, praktiska konstruktioner och koordinatsystem. Steg 1: Konstruera en cirkel Steg 2: Bestäm cirkelns area Steg 3: Konstruera en kvadrat som har lika stor area som er cirkel. Steg 4: Vilken av figuren tror ni har störst omkrets? Skriv ner vad ni tror. Steg 5: Bestäm figurernas omkrets med hjälp av verktyget Avstånd eller längd. Steg 6: Stämmer det alltid? Visa. 4 (10)

5 Exempel 4: Undersökning av area och omkrets Denna uppgift angör naturligt till följande centrala innehåll i matematik 1a: Egenskaper hos och representationer av geometriska objekt, till exempel ritningar, praktiska konstruktioner och koordinatsystem. Länk: Genom att dra i punkterna B och C ändras formen på figuren. Steg 1: Studera värden för area och omkrets. Steg 2: Kan du konstruera en rektangel som har större omkrets, men mindre area? Steg 3: Är det alltid så att arean ökar när omkretsen ökar? Steg 4: Kan du konstruera en rektangel med mindre area än den först givna kvadraten men med större omkrets än den givna kvadraten? Steg 5: Är det så att arean alltid ökar om omkretsen ökar? Skriv ner dina slutsatser och resonemang. 5 (10)

6 Exempel 5: Räta linjen Denna uppgift angör naturligt till följande centrala innehåll i matematik 2a: Räta linjens ekvation samt hur analytisk geometri binder ihop geometriska och algebraiska begrepp. Räta linjens ekvation y = kx + m där k står för riktningskoefficient och för lutning och m är skärningen med y-axeln. Här nedan finns många övningar och beroende på hur långt eleverna kommit, starta där det känns som rätt nivå. Gå in på Övning 1: Koordinater för punkter Ritområde: Visa axlar, rutnät och ritområde Göm algebrafönster och kalkylblad Inställningar/Namn på objekt/alla objekt Inställningar/punktstyrning/På(rutnät) Sätt ut en ny punkt Markera två valfria punkter i varje kvadrant. Skriv ner vilka koordinater dina punkter har. Visa algebrafönster och kontrollera dina svar. Du kan alltid Ångra. Klicka på den gula pilen i övre högra hörnet. 6 (10)

7 Övning 2: koordinater för punkter med figur Starta Geogebra. Ritområde: Visa axlar, rutnät och ritområde. Göm algebrafönster och kalkylblad. Inställningar/Namn på objekt/alla objekt Inställningar/punktstyrning/På(rutnät) Använd och markera följande punkter: A=(2,5) B=(-3,3) C=(-1,2) D=(-3,-1) E=(-1,-2) F=(1,1) G=(3,0) Använd Förena punkterna i tur och ordning med Segment mellan två punkter eller polygon. Vilken figur får du? Övning 3: skapa en egen uppgift med koordinater för punkter för en figur. Byt punkternas koordinater med någon annan i klassen. Gör övning 2 med de nya punkterna du fick från din kamrat. Stämmer din figur med din kamrats tänkta figur? 7 (10)

8 Övning 4: Rita och jämföra linjer Rita in följande linjer i samma koordinatsystem. y= 3x -1 y= 2x -1 y= 0.5x -1 (punkt istället för kommatecken) y= x -1 Vilken slutsats kan du dra av y = kx + m? Övning 5: Rita och jämföra linjer Rita in följande linjer i samma koordinatsystem. y= 2x +2 y= -2x +2 y= 3x +2 y= -3x +2 y= x +2 y=-x+2 Vilken slutsats kan du dra av y = kx + m? Övning 6: rita in följande linjer i samma koordinatsystem. y= 2x -1 y= 2x -3 y= 2x +3 y= 2x +2 y= 2x Vilken slutsats kan du dra av y = kx + m? 8 (10)

9 Övning 7: Parallella linjer I Ange ekvationen för en linje som är parallell med y=3x-1 Kontrollera att ekvationen du skrivit verkligen är parallell med den givna linjen genom att rita dessa i Geogebra. y=-2x+3 Kontrollera att ekvationen du skrivit verkligen är parallell med den givna linjen genom att rita dessa i Geogebra. Övning 8: Parallella linjer II Ange ekvationen för en linje som är parallell med y= -5x +4 och skär y axeln i punkten 3. Kontrollera att ekvationen du skrivit verkligen är parallell med den givna linjen genom att rita dessa i Geogebra. y= x -3 och skär y axeln i punkten 2. Kontrollera att ekvationen du skrivit verkligen är parallell med den givna linjen genom att rita dessa i Geogebra. Övning 9: Parallella linjer III Ange ekvationen för en linje som är parallell med y= 3x 4 och går genom punkten (6,8). Kontrollera att ekvationen du skrivit verkligen är parallell med den givna linjen genom att rita dessa i Geogebra. Övning 10: studera den räta linjen y = kx + m Ritområde: Visa axlar och rutnät 9 (10)

10 Visa algebrafönster, ritområde och kalkylblad Inställningar/Namn på objekt/alla objekt Inställningar/punktstyrning/På(rutnät) Sätt k = 1 och m = 1 Skriv längs ner på sidan Rita funktionen y = k x + m Obs! mellanslag mellan k och x behövs. Högerklicka nu på k i algebrafönstret och välj egenskaper. Grundinställningar: visa objekt urval möjligt visa etikett/namn&värde absolut position i fönster Glidare: min:-10/max: 10 steglängd: 1 Ändra även färgen Gör sedan på samma sätt med m. Undersök vad som händer när du ändrar k och m genom att dra i glidaren. Vilka slutsatser kan du dra? Om du vill se en instruktionsfilm om hur man behandlar räta linjer i Geogebra kan du följa länken: (10)