GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet april

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april"

Transkript

1 GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare Karlstads universitet 19-0 april Exempel på elevaktiviteter framtagna i skolutvecklingsprojektet IKT och lärande i matematik 1 GeoGebra 1 Ett samarbete mellan Matematikavdelningen vid Karlstads universitet och Älvkullegymnasiet i Karlstad. 1

2 Innehåll Vektorer Informationsblad 1 Elevblad -7 Räta linjer Informationsblad..8 Elevblad..9-1 Andragradsfunktioner Informationsblad.13 Elevblad Inversa funktioner Informationsblad 0 Elevblad 1-3

3 Informationsblad Rubrik Vektorer Ämnesinnehåll DEL 1 Konstruktion av en vektor mellan två punkter. DEL Addition med vektorer a) algebraiskt b) grafiskt - Parallellogrammetoden - Polygonmetoden DEL 3 Multiplikation av en vektor med ett tal. Uppdelning i komposanter Kurs 1c (Kan även användas inom Fysik 1) Ämnesplan Innehåll Begreppet vektor och dess representationer såsom riktad sträcka och punkt i ett koordinatsystem. Addition och subtraktion med vektorer och produkten av en skalär och en vektor. Förmågor att utveckla Arbetsform Använda och beskriva begreppet vektor. Hantera procedurer och lösa uppgifter av standardkaraktär utan och med verktyg. Analysera och lösa matematiska problem. Följa och föra matematiska resonemang. Kommunicera matematiska tankegångar muntligt, skriftligt och i handling. Klassrumsaktivitet - parvis Tidsåtgång lektioner a 60 min. Didaktiska kommentarer Aktiviteten fungerar som introduktion till momentet vektorer (efter kort genomgång). 1

4 VEKTORER DEL 1 Vi ska nu använda GeoGebra för att studera vektorer. Börja med att högerklicka i ritområdet och markera rutnät så att det i ritområdet visas ett koordinatsystem med rutnät. VEKTOR MELLAN TVÅ PUNKTER I GeoGebra finns ett speciellt verktyg för att konstruera en vektor mellan två punkter: Använd detta verktyg för att konstruera en vektor med startpunkt (1,) och slutpunkt (3,7). Vektorn har troligtvis fått beteckningen u och i algebrafönstret kan man se hur vektorn r beskrivs i GeoGebra: u =. I boken skulle detta istället skrivas u = (,5) Markera vektorn och flytta runt den i koordinatsystemet utan att ändra dess längd eller riktning. Studera samtidigt vektorn i algebrafönstret. Slutsats:. Flytta nu vektorn så att punkt A (vektorns startpunkt) hamnar i origo. Var hamnar punkt B (vektorns slutpunkt)? Slutsats: 3. Gissa först (utifrån dina slutsatser ovan) och kontrollera därefter med GeoGebra var punkt B hamnar om a) A = (3,) Gissning: B = Kontroll: B = b) A = (-1,4) Gissning: B = Kontroll: B = Undersök vad som händer med vektorn u om man istället för att markera och flytta hela vektorn bara markerar och flyttar en punkt (A eller B). 4. Flytta punkterna så att följande vektorer konstrueras: 4 5 a) u = b) u = c) u = d) På hur många olika sätt kan man välja punkterna A och B i uppgifterna a), b) och c) ovan? 5. Gissa först och kontrollera därefter med GeoGebra vilken vektor som fås om a) A = (,1) och B = (6,4) Gissning: Kontroll: b) A = (-3,) och B = (1,7) Gissning: Kontroll: c) A = (3,-1) och B = (,-4) Gissning: Kontroll:

5 DEL ADDITION AV VEKTORER Vi ska nu använda GeoGebra för att studera hur vektorer kan adderas. Börja med att placera punkten A i origo och punkten B i (,3). Konstruera därefter en ny vektor v genom att skriva in v = (4,) i input-fönstret längst ner i GeoGebra. Nu ska vi låta GeoGebra ta fram summan u + v. Detta kan man göra genom att helt enkelt skriva in u + v i input-fönstret. Denna vektor kallas för resultanten till u och v. Studera resultanten, både i ritområdet och i algebrafönstret. Flytta punkten B så att vektorn u ändras och studera hur resultanten ändras. Ändra på vektorn v genom att dra i vektorns spets och studera hur resultanten ändras. 6. Gissa först och kontrollera därefter med GeoGebra vad u + v blir om 1 5 a) u = och v = 1 3 b) u = och v = 5 Gissning: Gissning: Kontroll: Kontroll: 7. Ibland behöver man kunna addera vektorer grafiskt utan att använda vektorernas koordinater. Använd konstruktionen ovan för att försöka komma fram till en metod för hur detta kan göras. Illustrera din metod genom att konstruera resultanten till u och v i figuren nedan: v u 3

6 Nedan presenteras två olika metoder för att grafiskt konstruera resultanten till två vektorer med hjälp av GeoGebra. Förhoppningsvis stämmer någon av metoderna överens med din metod i uppgift 7. Metod 1: Parallellogrammetoden Öppna ett nytt GeoGebra-fönster genom att gå till Arkiv och därefter Nytt. Använd verktyget Vektor mellan två punkter för att konstruera två vektorer. En vektor u som har startpunkt i A = (,1) och slutpunkt i B = (5,) och en vektor v som har startpunkt i A = (,1) och slutpunkt i C = (3,5). Konstruera därefter en linje som går genom punkten B och är parallell med vektorn v med hjälp av verktyget: Konstruera på motsvarande sätt en linje som går genom punkten C och är parallell med vektorn u. Konstruera därefter skärningspunkten mellan de båda linjerna med hjälp av verktyget: Summan u + v kan nu representeras av den vektor som har startpunkt i punkten A och slutpunkt i den erhållna skärningspunkten D. Konstruera denna vektor. För att göra figuren lite snyggar kan man dölja de båda linjerna. Gör detta genom att avmarkera de gröna markeringarna som finns framför linjerna (a och b) i algebrafönstret. Konstruera istället ett segment mellan punkterna B och D och ett segment mellan punkterna C och D med hjälp av verktyget: Att konstruera en parallellogram på detta vis är en metod som ofta används för att konstruera resultanten till två vektorer. Om man vill snygga till figuren ytterligare kan man t.ex. välja en annan färg på resultanten (t.ex. röd) och ha de båda segmenten streckade i en annan färg. Detta kan man enklast göra genom att klicka på den lilla triangeln uppe till höger i GeoGebra: Nu visas en ny meny ovanför ritområdet. När man klickar på den vektor eller det segment man vill ändra utseendet på visas vilka möjligheter som ges i den nya menyn. Gör de förändringar du tycker är lämpliga för snygga till konstruktionen. 8. Flytta runt punkterna B och C och studera hur hela konstruktionen följer med och hur resultanten till vektorerna u och v hela tiden visas. Använd den nya konstruktionen för att ännu en gång kontrollera dina resultat i uppgift 6. 4

7 Metod : Polygonmetoden Öppna ett nytt GeoGebra-fönster genom att gå till Arkiv och därefter Nytt. Använd återigen verktyget Vektor mellan två punkter för att konstruera två vektorer. En vektor u som har startpunkt i A = (,1) och slutpunkt i B = (5,) och en vektor v som har startpunkt i B = (5,) och slutpunkt i C = (6,6). Vi har alltså gjort en konstruktion där u:s slutpunkt sammanfaller med v:s startpunkt. Summan u + v kan nu representeras av den vektor som har A (u:s startpunkt) som startpunkt och C (v:s slutpunkt) som slutpunkt. Konstruera denna vektor och byt gärna färg på den. 9. Flytta runt punkterna B och C och studera hur u och v samt summan u + v ändras. Använd den nya konstruktionen för att ännu en gång kontrollera dina resultat i uppgift 6. En fördel med polygonmetoden är att den enkelt kan utvidgas om man vill addera fler än två vektorer. Om man vill addera tre vektorer låter man den första vektorns slutpunkt sammanfalla med den andra vektorns startpunkt och den andra vektorns slutpunkt sammanfalla med den tredje vektorns startpunkt. Summan av de tre vektorerna kan nu representeras av den vektor som har startpunkt i den första vektorns startpunkt och slutpunkt i den tredje vektorns slutpunkt. Öppna ett nytt GeoGebra-fönster och gör en konstruktion för addition av tre vektorer. Testa hur konstruktionen fungerar. 10. Gissa först och kontrollera därefter med GeoGebra vad u + v + w blir om a) u =, v = och w = b) u =, v = och w = 5 3 Gissning: Kontroll: Gissning: Kontroll: 5

8 DEL 3 MULTIPLIKATION AV EN VEKTOR MED ETT TAL Vi ska nu använda GeoGebra för att undersöka vad som händer när man multiplicerar en vektor med ett tal. Öppna ett nytt GeoGebra-fönster genom att gå till Arkiv och därefter Nytt. Börja med att lägga in en glidare med hjälp av verktyget: De förinställda värdena för Min, Max och Steglängd kan användas. Ställ in glidaren så att a =. Konstruera en vektor u = (,3) genom att skriva in detta i input-fönstret. Skriv in v = a*u i input-fönstret. Eftersom glidaren a är inställd på fås nu vektorn v = u. Byt färg på vektorn v. 11. Dra i glidaren och studera hur vektorn v beror av värdet på a. Testa även negativa värden på a. Slutsats: 1. Gissa först och kontrollera därefter med GeoGebra vilken vektor v man får om a) u = (3,1) och v = 3u Gissning: Kontroll: b) u = (3,1) och v = -u Gissning: Kontroll: c) u = (-1,4) och v = 3u Gissning: Kontroll: d) u = (-1,4) och v = -u Gissning: Kontroll: UTMANING: UPPDELNING AV EN VEKTOR I KOMPOSANTER Ibland kan man behöva dela upp en given vektor i två vektorer, kallade komposanter, längs speciella riktningar. Vi ska nu använda GeoGebra för att göra detta. Börja med att öppna ett nytt GeoGebra-fönster. Lägg därefter in en vektor med startpunkt i A = (,1) och slutpunkt i B = (5,). Rita två strålar som båda startar i punkten A men som har olika riktningar, med hjälp av verktyget: Ändra utseendet på dessa strålar så att de t.ex. blir streckade och får en annan färg (det kan t.ex. se ut som i figuren på nästa sida). 6

9 13. Nu gäller det att dela upp vektorn u i två komposanter längs dessa båda riktningar. Summan av komposanterna ska alltså vara lika med vektorn u. Försök att göra en konstruktion i GeoGebra som ger de båda komposanterna. (Ledning: Jämför med metod 1 för addition av vektorer) Beskriv konstruktionen och illustrera gärna i figuren nedan: 7

10 Informationsblad Rubrik Räta linjer Ämnesinnehåll Kurs Ämnesplan Innehåll Förmågor att utveckla Arbetsform Egenskaper hos räta linjer Grafisk och algebraisk representation av räta linjer samt kopplingen mellan dessa representationsformer Beräkning av lutningen hos en rät linje genom punkter Bestämning av formeln för en rät linje genom punkter 1c Begreppen funktion, definitions- och värdemängd samt egenskaper hos linjära funktioner samt potens- och exponentialfunktioner. Representationer av funktioner i form av ord, funktionsuttryck, tabeller och grafer. använda och beskriva innebörden av räta linjer hantera procedurer och lösa uppgifter av standardkaraktär utan och med verktyg analysera och lösa matematiska problem följa och föra matematiska resonemang kommunicera matematiska tankegångar muntligt, skriftligt och i handling Klassrumsaktivitet - parvis Tidsåtgång 1 lektion Didaktiska kommentarer Aktiviteten fungera som introduktion till räta linjens ekvation. 8

11 DEL 1 RÄTA LINJER Vi ska nu använda GeoGebra för att studera räta linjer. Börja med att högerklicka i ritområdet och markera rutnät så att det i ritområdet visas ett koordinatsystem med rutnät. Räta linjer kan skrivas som funktioner på olika sätt. Vi ska studera räta linjer skrivna på formen: y = kx + m, där k och m är konstanter som kan anta olika värden. Eftersom vi vill undersöka hur funktionens utseende påverkas av värdena på dessa konstanter ska vi lägga in dem som s.k. glidare i GeoGebra. Börja med att lägga in k och m som glidare genom att använda verktyget: Ändra Namn på glidarna. Ena glidaren skall heta k och den andra m. Ändra även Min och Max samt Steglängd som nedan: Tips: Genom att peka på en glidare och hålla ned höger musknapp, kan glidaren flyttas omkring på skärmen. Flytta hela koordinatsystemet så att origo hamnar i mitten på skärmen. Detta görs med hjälp av verktyget:. Mata in funktionen y = k*x + m i Input -fältet längst ned. Lägg in formeln, som nu finns i algebrafönstret, i ritområdet genom att markera formeln och dra den till ritområdet. 1 Låt m = 0. Undersök vad som händer med den räta linjen då värdet på k ändras. Studera samtidigt funktionens formel (testa även negativa värden på k). Resultat: Ställ in nytt värde på glidaren m och undersök om ditt resultat ovan fortfarande verkar gälla. Resultat: Vad händer om k = 0? 9

12 Värdet på k brukar kallas linjens lutning. I GeoGebra finns ett speciellt verktyg för att mäta och illustrera en linjes lutning: Testa hur detta verktyg fungerar! Kontrollera att det värde som anges i algebrafönstret (troligtvis k 1 ) stämmer med värdet på glidaren k, dvs. k-värdet i y = kx + m. Linjens lutning illustreras alltså i GeoGebra med en speciell triangel. Undersök hur triangeln är konstruerad (vad är konstant och vad varierar) och på vilket sätt den illustrerar linjens lutning. Resultat: 3 a) Låt k =1. Undersök vad som händer med den räta linjen då värdet på m ändras. Resultat: b) Värdet på m kan avläsas i koordinatsystemet. Hur? c) Ställ in nytt värde på glidaren k och undersök om ditt resultat ovan fortfarande verkar gälla. Resultat: 10

13 DEL Öppna ett nytt fönster och lägg in punkterna A = (1,1) och B = (,4). Rita linjen som går genom punkterna med följande verktyg: 4 Bestäm formeln för linjen genom att studera grafen. Resultat: Jämför ditt resultat med formeln i algebrafönstret. Tips: Du kan behöva ändra formen på formeln. Detta görs t.ex. genom att högerklicka på funktionen i algebrafönstret och välja önskad form. 5 Flytta punkten B så att B = (3,5). Bestäm formeln för linjen genom att studera grafen. Resultat: Jämför ditt resultat med formeln i algebrafönstret. 6 Flytta punkten B så att B = (-,4). Bestäm formeln för linjen genom att studera grafen. Resultat: Jämför ditt resultat med formeln i algebrafönstret. 7 Flytta punkterna A och B så att följande räta linjer konstrueras. Ange lösningar per uppgift. a) y = x + 1 A = B = A = B = b) y = x + A = B = A = B = c) y = x 1 A = B = A = B = 11

14 8 Bestäm lutningen, dvs k-värdet, för linjerna som går genom punkterna A och B i följande fall, utan att använda GeoGebra. Kontrollera därefter ditt resultat med hjälp av GeoGebra. Punkter på linjen Linjens lutning (k) A = (1,1) och B = (,5) A = (0,-) och B = (,4) A = (0,-) och B = (4,4) A = (0,1) och B = (4,6) A = (-1,-) och B = (3,6) A = (-,5) och B = (, 1) Beskriv hur man kan räkna ut en linjes lutning, dvs k-värdet, då man känner till två punkter på linjen. 9 Dagens utmaning! Bestäm formeln för den räta linje som går genom punkterna (-3, -3) och (3,1) utan att använda GeoGebra. Resultat: Kontrollera ditt resultat genom att mata in ditt svar ovan i Input -fältet och kontrollera att punkterna ovan ligger på linjen. 1

15 Informationsblad Rubrik Andragradsfunktioner Ämnesinnehåll DEL 1 Undersökning av hur parametrarna a, b och c påverkar utseendet på grafen till f ( x) = ax + bx + c. Grafisk lösning av andragradsekvationer med 0, 1 eller reella rötter. DEL Undersökning av hur parametrarna a, b och c påverkar utseendet på grafen till f ( x) = a( x + b) + c. Undersökning av sambandet mellan parametrarna och funktionens extrempunkt. Kurs c (Del 1 kan även användas i a och b) Ämnesplan Innehåll Algebraiska och grafiska metoder för att lösa andragradsekvationer. Parabelns ekvation samt hur analytisk geometri binder ihop geometriska och algebraiska begrepp. Egenskaper hos andragradsfunktioner. Konstruktion av grafer till funktioner samt bestämning av funktionsvärde och nollställe, med och utan digitala verktyg. Förmågor att utveckla Arbetsform Hantera procedurer och lösa uppgifter av standardkaraktär utan och med verktyg. Följa och föra matematiska resonemang. Kommunicera matematiska tankegångar muntligt, skriftligt och i handling. Klassrumsaktivitet - parvis Tidsåtgång Didaktiska kommentarer Del 1: x 40 min Del : 1 x 40 min Förkunskaper Del 1: algebraisk lösning av andragradsekvationer Förkunskaper Del : kvadratkomplettering 13

16 ANDRAGRADSFUNKTIONER DEL 1 Andragradsfunktioner kan alltid skrivas på formen f ( x) = ax + bx + c där a, b och c är reella tal och a 0. I del 1 ska vi studera andragradsfunktioner skrivna på denna form med hjälp av GeoGebra. Börja med att lägga in a, b och c som glidare genom att använda verktyget: Ändra Steglängd till 0.5 för samtliga glidare. Tips: Genom att peka på glidaren och hålla ned höger musknapp, kan glidaren flyttas omkring på skärmen. Flytta hela koordinatsystemet så att origo hamnar i mitten på skärmen. Detta görs med hjälp av verktyget:. Mata in funktionen, a*x^ + b*x + c, i Input -fönstret längst ned. Lägg in formeln, som nu finns i algebrafönstret, i ritområdet genom att markera formeln och dra den till ritområdet. 1. I den första uppgiften ska vi studera hur olika värden på konstanterna påverkar utseendet på andragradsfunktionens graf. a) Studera först hur grafen varierar för olika värden på konstanten c. Ställ in glidare a på 1 och glidare b på 0 och studera hur kurvans utseende varierar när värdet på glidare c ändras. Formulera med egna ord hur grafens utseende varierar när värdet på c ändras. Ställ in nya värden på glidarna a och b och undersök om ditt resultat ovan fortfarande verkar gälla. Resultat: Värdet på konstanten c kan avläsas i koordinatsystemet. Hur? Försök förklara varför värdet på konstanten c kan avläsas på detta sätt. 14

17 b) Studera hur grafen varierar för olika värden på konstanten a. Ställ in både glidare b och c på 0 och studera hur kurvans utseende varierar när värdet på glidare a ändras. Formulera med egna ord hur grafens utseende varierar när värdet på a ändras. Ställ in nya värden på glidarna b och c och undersök om ditt resultat ovan fortfarande verkar gälla. Resultat: Vad händer då a = 0? c) Studera hur grafen varierar för olika värden på konstanten b. Ställ in glidare a på 1 och glidare c på 0 och studera hur kurvans utseende varierar när värdet på glidare b ändras. Formulera med egna ord hur grafens utseende varierar när värdet på b ändras. Ställ in nya värden på glidarna a och c och undersök om ditt resultat ovan fortfarande verkar gälla. Resultat:. En andragradsfunktion har antingen en maximipunkt eller en minimipunkt. Undersök genom att variera värdena på glidarna hur man kan se på funktionens formel om den har en maximipunkt eller en minimipunkt. Resultat: 15

18 3. I denna uppgift ska vi undersöka kopplingen mellan en andragradsekvation och grafen till motsvarande andragradsfunktion. a) Lös andragradsekvationen x 4x + 3 = 0 algebraiskt (för hand). Ställ in glidarna så att grafen till funktionen f ( x) = x 4x + 3 visas. Lösningarna till motsvarande andragradsekvation, dvs. x 4x + 3 = 0, kan avläsas i koordinatsystemet. Hur? Försök förklara varför lösningarna kan avläsas på detta sätt. 16

19 b) Lös andragradsekvationen x + 4x + 4 = 0 algebraiskt (för hand). Ställ in glidarna så att grafen till funktionen f ( x) = x + 4x + 4 visas. Lösningarna till motsvarande andragradsekvation, dvs. x + 4x + 4 = 0, kan avläsas i koordinatsystemet. Hur? c) Ställ in glidarna så att grafen till funktionen f ( x) = x x 3 visas. Använd grafen för att lösa ekvationen x x 3 = 0. Resultat: d) Ställ in glidarna så att grafen till funktionen f ( x) = x x + 3 visas. Hur kan man se på grafen att motsvarande ekvation, dvs. x x + 3 = 0, saknar reella lösningar? 17

20 DEL Andragradsfunktionen f ( x) = x + 4x + 3 kan, efter omskrivning med hjälp av kvadratkomplettering, skrivas på formen f ( x) = ( x + ) 1. Testa gärna att detta stämmer! Det är alltid möjligt att skriva en andragradsfunktion på kvadratkompletterad form. Allmänt gäller att en andragradsfunktion kan skrivas på formen f ( x) = a( x + d) + e, där a, d och e är reella tal och a 0. Vi ska nu studera andragradsfunktioner skrivna på denna form med hjälp av GeoGebra. Öppna ett nytt GeoGebra-fönster genom att gå till Arkiv och därefter Nytt fönster. Lägg in tre glidare a, d och e. Ändra Steglängd till 0.5 för samtliga glidare. Mata in funktionen, a*(x + d)^ + e, i Input -fönstret längst ned. Lägg in formeln, som nu finns i algebrafönstret, i ritområdet. 4. I denna uppgift ska vi studera hur olika värden på konstanterna påverkar utseendet på andragradsfunktionens graf. a) Studera först hur grafen varierar för olika värden på konstanten e. Formulera med egna ord hur värdet på e påverkar grafens utseende. Värdet på konstanten e kan avläsas i koordinatsystemet. Hur? b) Studera hur grafen varierar för olika värden på konstanten a. Formulera med egna ord hur värdet på a påverkar grafens utseende. c) Studera hur grafen varierar för olika värden på konstanten d. Formulera med egna ord hur värdet på d påverkar grafens utseende. 18

21 5. I denna uppgift ska vi undersöka hur man kan bestämma en andragradsfunktions extrempunkt (dvs. maximi- eller minimipunkt) genom att studera funktionens formel. Skriv in Extrempunkt[f] i Input -fönstret. För att få punktens koordinater utskrivna, klicka först på triangeln uppe till höger i GeoGebra: Markera punkten. Nu visas följande meny ovanför ritområdet: Klicka här, välj Värde a) Studera vad det finns för samband mellan extrempunktens koordinater och värdena på a, d och e. Beskriv detta samband. b) Ange extrempunkternas koordinater (x- och y-värde) genom att endast studera formlerna till följande andragradsfunktioner. Ange även vilken typ av extrempunkt det handlar om (maximi- eller minimipunkt). Testa ditt resultat i GeoGebra! i) f ( x) = ( x + 3) + 1 ii) f ( x) = ( x 4) + 5 iii) f ( x) = ( x 1) 3 c) Dagens utmaning: Försök förklara varför extrempunktens koordinater kan fås på detta sätt (dvs. genom att studera formeln). 19

22 Informationsblad Rubrik Inversa funktioner Ämnesinnehåll Undersökning av det grafiska sambandet mellan en funktion och dess invers (spegling i linjen y = x ). Kurs Ämnesplan Innehåll Förmågor att utveckla Arbetsform c Inversa funktionerna till : - räta linjer - y = x, x 0 - x y = 10 Grafisk representation av funktionerna: - y = x - y = lg x Begreppet logaritm. Räta linjens ekvation. Konstruktion av grafer till funktioner med digitala verktyg. Använda och beskriva innebörden av matematiska begrepp samt samband mellan begreppen. Lösa uppgifter av standardkaraktär [räta linjens ekvation] utan och med verktyg. Analysera och lösa matematiska problem. Följa, föra och bedöma matematiska resonemang. Kommunicera matematiska tankegångar muntligt, skriftligt och i handling. Klassrumsaktivitet - parvis Tidsåtgång 60 min Didaktiska kommentarer Denna aktivitet kan användas som repetition när man jobbat med logaritmer. Bra att repetera funktionsbegreppet innan. 0

23 INVERSA FUNKTIONER Vi ska nu använda GeoGebra för att studera inversen till några olika funktioner. Börja med att högerklicka i ritområdet och markera rutnät. Rita grafen till den räta linjen y = x. Rita därefter in linjen y = x i samma fönster. Placera en punkt A på linjen y = x. Tips: För att få punktens koordinater utskrivna, klicka först på triangeln uppe till höger i GeoGebra-fönstret: Markera punkten. Nu visas följande meny ovanför ritområdet: Klicka här, välj Namn och Värde. Spegla punkten A i linjen y = x med hjälp av GeoGebras inbyggda speglingsverktyg: Detta ger speglingspunkten A. 1. Jämför de båda punkternas x- och y-koordinater. Flytta punkten A och undersök om det finns något samband som alltid verkar gälla. Resultat: Högerklicka på punkten A, markera spår på och dra i punkten A.. Det spår som punkten A lämnar efter sig är grafen till den så kallade inversa funktionen till y = x. Försök att avgöra formeln för denna funktion. Resultat: Kontrollera ditt svar ovan genom att mata in din formel i Input -fönstret och se om grafen sammanfaller med spåret. Resultat: 1

24 Radera spåret med hjälp av Ctrl + F. Radera den inversa funktionen. 1 Ändra funktionen y = x till y = x (genom att dubbelklicka på den i 3 algebrafönstret och ändra formeln) Undersök hur den inversa funktionen till y = x ser ut genom att undersöka 3 spåret av den speglade punkten A. Försök att avgöra formeln för denna funktion. Resultat: Kontrollera ditt svar ovan genom att mata in din formel i Input -fönstret. Resultat: Radera spåret och den inversa funktionen. Ändra funktionen till y = x. 4. Undersök hur den inversa funktionen till y = x ser ut. Nu uppstår det dock ett problem, vilket? (Tips: Använd definitionen av funktion) Funktionen y = x är inte inverterbar om vi inte begränsar definitionsmängden för funktionen. Om vi definierar funktionen endast för x 0, så är den inverterbar. Försök bestämma formeln för den inversa funktionen. Resultat: Kontrollera ditt svar ovan genom att mata in din formel i Input -fönstret. Tips: Genom att klicka på triangeln längst ned i högra hörnet i GeoGebra-fönstret :, och därefter på Matematiska funktioner, fås snabb-kommandon för flera funktioner. Välj önskat kommando och dubbelklicka! Resultat:

25 Radera spåret och den inversa funktionen. Ändra funktionen till x y = Undersök hur den inversa funktionen till formeln för den inversa funktionen. x y = 10 ser ut. Försök bestämma Resultat: Kontrollera ditt svar ovan genom att mata in din formel i Input -fönstret. Resultat: 3

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Karlstads GeoGebrainstitut Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet Mats Brunström Maria Fahlgren GeoGebra ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Invigning

Läs mer

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april. Liten introduktionsguide för nybörjare

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april. Liten introduktionsguide för nybörjare GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare 19-20 april Liten introduktionsguide för nybörjare GeoGebra 0 Introduktionsövningar till GeoGebra När man startar GeoGebra är det

Läs mer

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april. Utforskande aktivitet med GeoGebra

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april. Utforskande aktivitet med GeoGebra GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare 19-20 april Utforskande aktivitet med GeoGebra GeoGebra 0 Utforskande aktivitet med GeoGebra 1 Börja med att ta bort koordinataxlarna

Läs mer

Godisförsäljning. 1. a) Vad blir den totala kostnaden om klassen köper in 10 kg godis? Gör beräkningen i rutan nedan.

Godisförsäljning. 1. a) Vad blir den totala kostnaden om klassen köper in 10 kg godis? Gör beräkningen i rutan nedan. Godisförsäljning För att samla in pengar till en klassresa har Klass 9b på Gotteskolan bestämt sig för att hyra ett bord och sälja godis på Torsbymarten. Det kostar 100 kr att hyra ett bord. De köper in

Läs mer

Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2

Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2 Matematik Gymnasieskola Modul: Matematikundervisning med digitala verktyg Del 6: Undersökande arbetssätt med matematisk programvara Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2 I texten Undersökande arbetssätt

Läs mer

Precis som var fallet med förra artikeln, Geogebra för de yngre i Nämnaren

Precis som var fallet med förra artikeln, Geogebra för de yngre i Nämnaren Publicerad med tillstånd av Nämnaren Thomas Lingefjärd Geogebra i gymnasieskolan En tilltalande egenskap med Geogebra är att programmet kan användas tvärs över stora delar av utbildningssystemets matematikkurser.

Läs mer

GeoGebra. Sonja Kovalevsky- dagarna Utforskande aktivitet med GeoGebra. Karlstads universitet 11 november. Karlstads universitet

GeoGebra. Sonja Kovalevsky- dagarna Utforskande aktivitet med GeoGebra. Karlstads universitet 11 november. Karlstads universitet Sonja Kovalevsky- dagarna 2016 11 november Utforskande aktivitet med GeoGebra GeoGebra 0 Utforskande aktivitet med GeoGebra 1 Gå in på www.geogebra.org och välj Starta GeoGebra. Börja med att ta bort koordinataxlarna

Läs mer

SKOLUTVECKLIGSPROJEKT MED GEOGEBRA. Jaana Zimmerl Suneson (Älvkullegymnasiet) jaana.zimmerl.suneson@alvkullegymnasiet.se

SKOLUTVECKLIGSPROJEKT MED GEOGEBRA. Jaana Zimmerl Suneson (Älvkullegymnasiet) jaana.zimmerl.suneson@alvkullegymnasiet.se ERFARENHETER FRÅN SKOLUTVECKLIGSPROJEKT MED GEOGEBRA Jaana Zimmerl Suneson (Älvkullegymnasiet Karlstad) jaana.zimmerl.suneson@alvkullegymnasiet.se mirela.vinerean@kau.se GeoGebra i matematikundervisningen

Läs mer

Fler uppgifter på andragradsfunktioner

Fler uppgifter på andragradsfunktioner Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har

Läs mer

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow Matematik i Gy11 110912 Susanne Gennow Var finns matematik? Bakgrund Nationella utredning 2003 PISA 2009 TIMSS Advanced 2008 Skolinspektionens rapporter Samband och förändring åk 1 3 Olika proportionella

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1) a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte. Kurser i ämnet

MATEMATIK. Ämnets syfte. Kurser i ämnet MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

Matematik 2b 1 Uttryck och ekvationer

Matematik 2b 1 Uttryck och ekvationer Matematik 2b 1 Uttryck och ekvationer Repetera grunderna i ekvationslösning Lära dig parentesmultiplikation, kvadreringsreglerna och konjugatregeln Lära dig lösa fullständiga andragradsekvationer Få en

Läs mer

Matematik. Ämnets syfte

Matematik. Ämnets syfte Matematik MAT Matematik Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret.

Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. NAN: KLASS: Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. 1) a) estäm ekvationen för den räta linjen i figuren. b) ita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra Matematik 1a Centralt innehåll Metoder för beräkningar med reella tal skrivna på olika former inom vardagslivet och karaktärsämnena, inklusive överslagsräkning, huvudräkning och uppskattning samt strategier

Läs mer

a) Ange ekvationen för den räta linjen L. (1/0/0)

a) Ange ekvationen för den räta linjen L. (1/0/0) Delprov B: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1. Ange det uttryck som ska stå i parentesen för att likheten ska gälla. ( ) ( x 5) = x 5 (1/0/0).

Läs mer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationstyp : Ekvationer av första graden När vi löser ekvationer av första graden använder vi oss av de fyra grundläggande räknesätten för att beräkna x. Vid minus

Läs mer

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Provet omfattar s. 102-135 (kap 4) och s.183-186, 189, 191, 193, 200-215. Repetition: Repetitionsuppgifter 4, läa 13-16 (s. 255 260) samt andra övningsuppgifter

Läs mer

Träningsprov funktioner

Träningsprov funktioner Träningsprov funktioner 1. Använd koordinatsystemet nedan a) Vilka koordinater är markerade? b) Markera följande koordinater E: 0,6, F: 3, 2, G: 1, 2 och H: ( 3,2). 2. Skriv en berättelse som överensstämmer

Läs mer

2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat

2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat 2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat A Punkten P har koordinaterna x och y P = (x, y) i enhetscirkeln gäller att { x = cos x y = sin x P = (cos x, sin x) För vinkeln

Läs mer

Valfritt läromedel för kurs Matematik B Exempel: Räkna med Vux B, Gleerups förlag. Tag kontakt med examinator om du har frågor

Valfritt läromedel för kurs Matematik B Exempel: Räkna med Vux B, Gleerups förlag. Tag kontakt med examinator om du har frågor Våren 010 PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik B Kurskod MA 10 Gymnasiepoäng 50 Läromedel Prov Muntligt prov Valfritt läromedel för kurs Matematik B Exempel: Räkna med Vux B, Gleerups förlag Skriftligt

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas, såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER 1. Figuren visar grafen till funktionen f där f(x) = x 3 3x 2. I punkter där xkoordinaterna är 1 respektive 3 är tangenter till

Läs mer

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Frågeställning Av en cirkulär pappersskiva kan en cirkelsektor med en viss vinkel klippas bort. Med den resterande sektorn går

Läs mer

PRÖVNINGSANVISNINGAR

PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik 4 PRÖVNINGSANVISNINGAR Kurskod MATMAT04 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik 4 Skriftligt prov (4h) Muntligt prov Bifogas Provet består av två delar.

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal - " - " - " - " - - " - " - " - " -

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal -  -  -  -  - -  -  -  -  - År Startvecka Antal veckor 2013 34 18 Planering för ma 1b/c - ma 5000- boken OBS: För de i distansgruppen, meddela lärare innan prov. (justeringar för 1c ännu ej genomförda) Vecka Lektio n (2h) Datum Kapitel

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1. a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

Metoder för beräkningar med potenser med rationella exponenter.

Metoder för beräkningar med potenser med rationella exponenter. Kurskod: MATMAT02a Kursen matematik 2a omfattar punkterna 1 7 under rubriken Ämnets syfte. Centralt innehåll Kommentar Begrepp i kursen matematik 2a Metoder för beräkningar vid budgetering. Budgetering

Läs mer

7E Ma Planering v45-51: Algebra

7E Ma Planering v45-51: Algebra 7E Ma Planering v45-51: Algebra Arbetsform under en vecka: Måndagar (40 min): Genomgång av gemensamma svårigheter i begrepp och metoder. Arbete i grupp med begrepp och metoder. Läxa: Läsa på anteckningar

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 4 april 06 (prövningstillfälle 6) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

varandra. Vi börjar med att behandla en linjes ekvation med hjälp av figur 7 och dess bildtext.

varandra. Vi börjar med att behandla en linjes ekvation med hjälp av figur 7 och dess bildtext. PASS 8 EKVATIONSSYSTEM OCH EN LINJES EKVATION 8 En linjes ekvation En linjes ekvation kan framställas i koordinatsystemet Koordinatsystemet består av x-axeln och yaxeln X-axeln är vågrät och y-axeln lodrät

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R 1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på geometri och vektorer inför lappskrivning nummer 2 på kursen Linjär algebra II, SF1604, vt11. 1. En triangel har hörn i punkterna (1, 2,

Läs mer

Fria matteboken: Matematik 2b och 2c

Fria matteboken: Matematik 2b och 2c Fria matteboken: Matematik 2b och 2c Det här dokumentet innehåller sammanfattning av teorin i matematik 2b och 2c, för gymnasiet. Dokumentet är fritt att använda, modifiera och sprida enligt Creative Commons

Läs mer

Planering för kurs C i Matematik

Planering för kurs C i Matematik Planering för kurs C i Matematik Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs C Antal timmar: 85 (70 + 15) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att C-kursen studeras på 85 klocktimmar.

Läs mer

Provet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng.

Provet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng. NpMac vt 01 Del I Del II Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-15. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för del I och del II tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser

Läs mer

Planering Funktioner och algebra år 9

Planering Funktioner och algebra år 9 Planering Funktioner och algebra år 9 Innehåll Övergripande planering... 2 Begrepp... 3 Metoder... 4 Bedömning... 4 Kommer du ihåg dessa begrepp från årskurs 8?... 5 Facit till Diagnos... 6 Arbetsblad...

Läs mer

Matematik Uppnående mål för år 6

Matematik Uppnående mål för år 6 Matematik Uppnående mål för år 6 Allmänt: Eleven ska kunna förstå, lösa samt redovisa problem med konkret innehåll inom varje avsnitt. Ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och

Läs mer

Studiehandledning. kurs Matematik 1b

Studiehandledning. kurs Matematik 1b Studiehandledning kurs Matematik 1b Innehållsförteckning Inledning och Syfte... 1 Ämnesplan för ämnet matematik... 1 Ämnets syfte... 1 Centralt innehåll... 2 Problemlösning... 2 Taluppfattning, aritmetik

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 2

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 2 Kapitel.1 101, 10 Exempel som löses i boken. 103 Testa genom att lägga linjalen lodrätt och föra den över grafen. Om den på något ställe skär grafen i mer än en punkt så visar grafen inte en funktion.

Läs mer

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvu ISBN 91-27-51027-1 Förord Vår ambition med denna studiehandledning är att den skall guida dig genom boken Matematik 3000 kurs C/Komvu av Lars-Eric Björk,

Läs mer

Explorativ övning Vektorer

Explorativ övning Vektorer Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken

Läs mer

Funktioner Exempel på uppgifter från nationella prov, Kurs A E

Funktioner Exempel på uppgifter från nationella prov, Kurs A E Funktioner Exempel på uppgifter från nationella prov, Kurs A E Uppgifter ur Nationella prov Kurs A Ur del II utan räknare: När en frysbox stängs av stiger temperaturen. Följande formel kan användas för

Läs mer

Gamla tentemensuppgifter

Gamla tentemensuppgifter Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

Funktionsstudier med derivata

Funktionsstudier med derivata Funktionsstudier med derivata Derivatan ett kraftfullt verktyg för att studera och tolka funktioner Det här avsnittet handlar om att man kan använda derivatan till att bestämma en funktions egenskaper

Läs mer

a) Ange ekvationen för den räta linjen L. (1/0/0)

a) Ange ekvationen för den räta linjen L. (1/0/0) Delprov B: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1. Ange det uttryck som ska stå i parentesen för att likheten ska gälla. ( ) ( x 5) = x 5 (1/0/0).

Läs mer

Bedömning av muntliga prestationer

Bedömning av muntliga prestationer Bedömningsstöd i matematik på gymnasial nivå Bedömning av muntliga prestationer Materialet har framställts under 2013 av PRIM-gruppen vid Stockholms universitet i samarbete med Institutionen för tillämpad

Läs mer

HEM KURSER SKRIV UT HEM ÄMNE SKRIV UT

HEM KURSER SKRIV UT HEM ÄMNE SKRIV UT Matematik HEM KURSER SKRIV UT MA200 - Matematik A 110 poäng inrättad 1994-07 SKOLFS: 1994:9 et för kursen är att ge de matematiska kunskaper som krävs för att ta ställning i vardagliga situationer i privatliv

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Riktade sträckor och Geometriska vektorer En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA 5 LINJÄR ALGEBRA 5 Linjär algebra En kul gren av matematiken som inte fått speciellt mycket utrymme i gymnasiet men som har många tillämpningsområden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi, samhällsplanering

Läs mer

Delkursplanering MA Matematik A - 100p

Delkursplanering MA Matematik A - 100p Delkursplanering MA1201 - Matematik A - 100p som du skall ha uppnått efter avslutad kurs Du skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för vardagsliv och vald studieinriktning

Läs mer

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet

Läs mer

Rapport av genomförd lesson study av en lektion med temat geometri i gymnasiets A-kurs

Rapport av genomförd lesson study av en lektion med temat geometri i gymnasiets A-kurs Rapport av genomförd lesson study av en lektion med temat geometri i gymnasiets A-kurs Förberedelser Geometri visade sig vara det svåraste området att planera utifrån tanken om en progression genom skolans

Läs mer

14 min 60 s min 42 s 49m 2 =18 s m 2, alltså samma tid. Vi kan säga att den tid som mamman behövde åt dammsugning var beroende av husets storlek.

14 min 60 s min 42 s 49m 2 =18 s m 2, alltså samma tid. Vi kan säga att den tid som mamman behövde åt dammsugning var beroende av husets storlek. PASS 10. FUNKTIONER 10.1 Grundbegrepp om funktioner Mamman i den finländska modellfamiljen från pass fyra brukade dammsuga det 100 m 2 stora huset varje lördag. Det tog 30 minuter. Efter att pappan hade

Läs mer

Matematik: Det centrala innehållet i kurserna i Gy 2011 i relation till kurserna i Gy 2000

Matematik: Det centrala innehållet i kurserna i Gy 2011 i relation till kurserna i Gy 2000 2011-12-21 Matematik: Det centrala innehållet i kurserna i Gy 2011 i relation till kurserna i Gy 2000 Kurs 1a och 2a i Gy 2011 jämfört med kurs A och B i Gy 2000 Poängomfattningen har ökat från 150 poäng

Läs mer

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs Tolkning Deltagaren skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för vardagsliv och vald studieinriktning

Läs mer

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet B e 3 e 2 A e 1 C Figur 3.16 Vi har ritat de riktade sträckor som representerar e 1, e 2, e 3 och v och som har utgångspunkten A. Vidare har vi skuggat planet Π

Läs mer

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 3. Linjär algebra Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion 2 En Komet Kometer rör sig enligt ellipsformade

Läs mer

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 1. Linjär Algebra och Avbildningar Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion I denna övning skall

Läs mer

Parabeln och vad man kan ha den till

Parabeln och vad man kan ha den till Parabeln och vad man kan ha den till Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I det här dokumentet diskuterar vi vad parabeln är för geometrisk konstruktion och varför den

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 6

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 6 freeleaks NpMaB vt2001 1(8) Innehåll Förord 1 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2001 2 Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 3 Del II, 9 uppgifter med miniräknare 6 Förord Skolverket har endast

Läs mer

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn. KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med

Läs mer

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik D MA04 00p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA04 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b

Läs mer

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter

Läs mer

Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal

Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande aktivitet

Läs mer

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 Digitala övningar med TI-8 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 digitala övningar med TI-8 Stat, TI-84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel kan

Läs mer

Tips 1. Skolverkets svar 14

Tips 1. Skolverkets svar 14 JENSEN vux utbildning Np Mac vt01 1(0) Kursprov Mac Innehåll Förord 1 Tips 1 Kursprov Mac vt01 Del B: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. #1 10...... 3 Del C: Digitala verktyg är inte

Läs mer

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 MATEMATIK Karlstads universitet 2010-11-02, kl 8.15-13.15 Hjälpmedel: Inga Ansvarig lärare: Håkan Granath Tel: 2181, alt. 0735-37 37 34 Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 För uppgift 1 skall endast

Läs mer

Tal Räknelagar. Sammanfattning Ma1

Tal Räknelagar. Sammanfattning Ma1 Tal Räknelagar Prioriteringsregler I uttryck med flera räknesätt beräknas uttrycket i följande ordning: 1. Parenteser 2. Potenser. Multiplikation och division. Addition och subtraktion Exempel: 5 22 1.

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

Konsultarbete, Hitta maximal volym fo r en la da

Konsultarbete, Hitta maximal volym fo r en la da Konsultarbete, Hitta maximal volym fo r en la da Uppgift 2. Maximal låda. I de fyra hörnen på en rektangulär pappskiva klipper man bort lika stora kvadrater. Flikarna viks sedan upp så att vi får en öppen

Läs mer

PRÖVNINGSANVISNINGAR

PRÖVNINGSANVISNINGAR PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik D Kurskod Ma 104 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Prov Muntligt prov Inlämningsuppgift Kontakt med examinator Övrigt Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik D t.ex.

Läs mer

Planering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov

Planering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov År Startvecka 2013 2 Planering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov Vecka Lektion (2h) Datum Kapitel Avsnitt 2 Ti 08-jan Kap 1: Räta linjen

Läs mer

October 9, Innehållsregister

October 9, Innehållsregister October 9, 017 Innehållsregister 1 Vektorer 1 1.1 Geometrisk vektor............................... 1 1. Vektor och koordinatsystem.......................... 1 1.3 Skalär produkt (dot eller inner product)...................

Läs mer

y = x x = Bestäm ekvationen för en linje där k = 2 och som går genom punkten ( 1, 3). 2/0/0

y = x x = Bestäm ekvationen för en linje där k = 2 och som går genom punkten ( 1, 3). 2/0/0 Del A: Digitala verktyg är tillåtna. Skriv dina lösningar på separat papper. 1) En TV reparatörs arbete kostar kronor, där antalet arbetstimmar. y = 200 + 150x x = a) Ange och tolka den linjära funktionens

Läs mer

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs Tolkning Deltagaren skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för vardagsliv och vald studieinriktning

Läs mer

DIGITALA VERKTYG ÄR INTE TILLÅTNA. Namn:... Klass/Grupp:...

DIGITALA VERKTYG ÄR INTE TILLÅTNA. Namn:... Klass/Grupp:... DIGITALA VERKTYG ÄR INTE TILLÅTNA Namn:... Klass/Grupp:... Del I 1. Bestäm värdet av 25 3x om x = 2 Svar: (1/0/0) 2. Vilket tal ska stå i rutan för att likheten ska stämma? 2 3 + + 1 =1 Svar: (1/0/0) 9

Läs mer

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet

Läs mer

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................

Läs mer

4Funktioner och algebra

4Funktioner och algebra Funktioner och algebra Mål När eleverna har studerat det här kapitlet ska de: känna till begreppet funktion kunna tolka och räkna med enkla funktioner kunna multiplicera in i parentesuttrck kunna förenkla

Läs mer

Ämnesplaner för matematik grundskolan enligt Lgr11 och gymnasieskolan enligt Gy11

Ämnesplaner för matematik grundskolan enligt Lgr11 och gymnasieskolan enligt Gy11 Ämnesplaner för matematik grundskolan enligt Lgr11 och gymnasieskolan enligt Gy11 I ämnesplanen för grundskolans matematik har tidigare ering markerats om det är Matematik eller en högre kurs eller momentet

Läs mer

Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap

Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap1-3.1. 150513 (Lärare: Ingemar Carlsson) Anvisningar Del B, C och Del D Provtid Hjälpmedel Del A Del B Del C och D Kravgränser Övrigt 140 minuter för Del B, C och Del D. Du

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016 Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri

Läs mer

Uppgift Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans.

Uppgift Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans. Del B Del C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-16. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet består

Läs mer

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar 1 Tisdag v 2 Speglingar, translationer och skalningar Ofta i matematik och i matematiska kurser är det så att man måste kunna några grundläggande exempel utantill och man måste kunna några regler som säger

Läs mer

Jörgen Lagnebo PLANERING OCH BEDÖMNING MATEMATIK ÅK 8

Jörgen Lagnebo PLANERING OCH BEDÖMNING MATEMATIK ÅK 8 PLANERING OCH BEDÖMNING MATEMATIK ÅK 8 TERMINSPLAN HÖSTTERMINEN ÅK 8: 1 1.1 ANDELEN 2 1.2 HÖJNING OCH SÄNKNING 3 FORTS. 1.2 HÖJNING OCH SÄNKNING 4 1.3 HUR STOR ÄR DELEN 1 5 AKTIVITET + 1.4 HUR STOR ÄR

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I Innehåll En liten tillbakablick:

Läs mer

1 Vektorer i koordinatsystem

1 Vektorer i koordinatsystem 1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en

Läs mer

Bestäm den sida som är markerad med x.

Bestäm den sida som är markerad med x. 7 trigonometri Trigonometri handlar om sidor och inklar i trianglar. Ordet kommer från grekiskans trigonon (tre inklar) och métron (mått). Trigonometri har anänts under de senaste 2000 åren inom astronomi,

Läs mer

Matematik D (MA1204)

Matematik D (MA1204) Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och

Läs mer

I den här uppgiften ska du undersöka förhållandet mellan parabelarean och rektangelarean.

I den här uppgiften ska du undersöka förhållandet mellan parabelarean och rektangelarean. 17. Figuren visar en parabel och en rektangel i ett koordinatsystem. Det skuggade området är begränsat av parabeln och x-axeln. Arean av det skuggade området kallas i fortsättningen parabelarean. Vid bedömning

Läs mer

Jörgen Lagnebo PLANERING OCH BEDÖMNING MATEMATIK ÅK 9

Jörgen Lagnebo PLANERING OCH BEDÖMNING MATEMATIK ÅK 9 PLANERING OCH BEDÖMNING MATEMATIK ÅK 9 TERMINSPLAN HÖSTTERMINEN ÅK 9: 1 1.1 TALMÄNGDER 2 1.2 NEGATIVA TAL 3 FORTS. 1.2 NEGATIVA TAL 4 1.3 POTENSER 5 1.4 RÄKNA MED POTENSER 6 TALUPPFATTNING + RESONERA 7

Läs mer