ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING II. Föreläsning II. Mikael P. Sundqvist

Transkript

1 Föreläsning II Mikael P. Sundqvist

2 Att bygga matematisk teori Odefinierade begrepp Axiom påstående som ej behöver bevisas Definition namn på begrepp Sats påstående som måste bevisas Lemma hjälpsats Proposition mindre central sats Korollarium följdsats

3 Exempel: Peanos axiom för de naturliga talen N Här ges (en något förkortad, och för ändamålet förenklad, version av) Peanos axiom för de naturliga talen 1 : 1. 0 är ett tal. 2. Om n är ett tal så är n + 1 också ett tal. 3. Om m och n är tal och m n så är m + 1 n Det finns inget naturligt tal n sådant att 0 = n Om P är en egenskap sådan, att 0 har denna egenskap, och närhelst ett tal n har egenskapen P, så har också n + 1 egenskapen P; så har varje tal egenskapen P. 1 Den intresserade kan läsa en diskussion om huruvida 0 skall eller inte skall tillhöra de naturliga talen i

4 Euklidisk geometri ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING II

5 Odefinierade objekt Vi utgår från två odefinierade objekt, punkter och räta linjer.

6 Definition P.1 Två räta linjer sägs skära varandra om de har en punkt gemensam. Två räta linjer sägs vara parallella om de inte skär varandra. En rät linje är dessutom parallell med sig själv.

7 Definition P.2 Med en sträcka menas den del av en rät linje som finns mellan två punkter på linjen inklusive punkterna. En punkt på en rät linje delar linjen i två delar, som vi kallar strålar. Två strålar, som utgår från samma punkt P, bildar två vinklar. Punkten P kallas vinkelns spets. Strålarna, som kallas vinkelben, delar planet i två områden, som kallas vinkelfält. P

8 Definition P.2 (fortsättning) Med en triangel menas tre punkter, triangelns hörn, som inte ligger på samma linje, och tre sträckor mellan punkterna, triangelns sidor.

9 Axiom om sträckor och vinklar Axiom P.1 Elementära räknelagar för reella tal gäller. Sträckor kan tilldelas positiva reella tal, som kallas längder, så att de är additiva: om en sträcka med längden l delas i två delar med längderna l 1 respektive l 2, så är l = l 1 + l 2. Även vinklar kan tilldelas positiva reella tal och de är additiva. l = l 1 + l 2 α 2 α = α 1 + α 2 l 1 l 2 α 1

10 Namn på vinklar Definition P.3 Vinklarna i figuren benämnes enligt följande: α och β kallas sidovinklar och α + β = 180. α och γ kallas vertikalvinklar. α och δ kallas likbelägna vinklar. γ och δ kallas alternatvinklar. Två räta vinklar (dvs ) uppkommer då två sidovinklar är lika stora. γ β α δ

11 Beteckningar Beteckning Förklaring triangeln vinkeln är vinkelrät (ortogonal) mot är parallell med är likformig med är kongruent med

12 Vertikalvinklar är lika stora Sats P1 Vertikalvinklar är lika stora. Bevis Med beteckningar enligt figuren gäller det enligt Axiom 1 och Definition 3 att α + β = 180, och β + γ = 180. Härur följer enkelt att α = 180 β = γ. γ β α

13 Parallellaxiomet Axiom P.2 Parallellaxiomet Med beteckningar i figuren nedan: l 1 l 2 α = δ. α δ l 2 l 1

14 En direkt följd Sats P.2 Med beteckningar enligt figuren nedan gäller det att l 1 l 2 γ = δ. Bevis Enligt Sats P.1 är α = γ. γ α l 1 δ l 2 Härur följer, med hjälp av parallellaxiomet, l 1 l 2 α = δ γ = δ.

15 Kongruenta trianglar Definition P.4 Två trianglar kallas kongruenta precis då vinklarna och sidorna i den ena triangeln är lika med motsvarande vinklar och sidor i den andra. Med figurens beteckningar gäller det alltså att A = A, B = B, C = C, samt AB = A B, BC = B C, AC = A C. Vi skriver då ABC A B C. B B A C C A

16 Axiom om kongruenta trianglar Axiom P.3 följande fall: Två trianglar är kongruenta om de överensstämmer i något av SVS: två sidor och mellanliggande vinkel SSS: alla sidor VSV: två vinklar och mellanliggande sida

17 Vinkelsumman i en triangel Sats P.3 Vinkelsumman i en triangel är 180 Bevis Drag genom ett hörn av triangeln en rät linje som är parallell med motstående sida. Enligt Sats P.2 återfinner vi då vinklarna α och β som alternatvinklar. Nu ser vi att α + β + γ = 180 enligt Definition P.3. α γ β α β Korollarium Vinkelsumman i en fyrhörning är 360

18 Yttervinkelsatsen Definition Vinkeln δ i figuren nedan kallas yttervinkel till triangeln. γ α β δ Sats P.4 Yttervinkelsatsen En yttervinkel till en triangel är lika med summan av de två motstående vinklarna, δ = α + γ.

19 Yttervinkelsatsen γ α β δ Sats P.4 Yttervinkelsatsen En yttervinkel till en triangel är lika med summan av de två motstående vinklarna, δ = α + γ. Bevis Sats P.3 ger α + β + γ = 180 och Definition P.3 ger β + δ = 180. Härur följer att δ = 180 β = α + γ.

20 Fyrhörningar Definition P.7 En fyrhörning där motstående sidor är parallella kalla för en parallellogram. En fyrhörning där alla sidor är lika långa kallas för en romb. En fyrhörning där två motstående sidor är parallella kallas för en parallelltrapets. En fyrhörning där alla vinklar är räta kallas för en rektangel. En fyrhörning där alla vinklar är räta och alla sidor är lika långa kallas för en kvadrat.

21 Rektanglar och romber är parallellogram Sats P.5 Varje rektangel är en parallellogram. Varje romb är en parallellogram. Bevis Vi visar det för romben. Drag en diagonal i romben. Enligt kongruensfallet SSS erhåller vi två kongruenta trianglar, varför de grönmarkerade vinklarna är lika stora. Men dessa grönmarkerade vinklar är alternatvinklar. Enligt Sats P.2 (följden av parallellaxiomet) är då den övre och undre sidan i figuren parallella. Samma argument för de andra två sidorna.

22 Parallellogramsatsen Sats P.6 Parallellogramsatsen I en parallellogram är såväl motstående sidor som motstående vinklar lika stora. Bevis Låt oss beteckna parallellogrammen med ABCD. Drag diagonalen BD. De grönmarkerade och rödmarkerade vinklarna är lika stora enligt Sats P.2. Alltså är B = D. Kongruensfall VSV ger att DBA BDC. Alltså är AD = CB och AB = CD samt A = C. B C A D

23 Satsen om likbent triangel Sats P.7 Satsen om likbent triangel Om två sidor i en triangel är lika långa så är de båda motstående vinklarna lika stora. Bevis Drag en bisektris genom hörnet B. Kongruensfall SVS ger då att ABD CBD. Alltså är A = C. B x x A D C

24 Basvinkelsatsen Sats P.8 Basvinkelsatsen Om två vinklar i en triangel är lika stora så är de båda motstående sidorna lika stora. Bevis Det gäller att ABC CBA enligt fallet VSV. Alltså är AB = CB. B B A C C A

25 Är euklidisk geometri enkelt? Utmaning Låt AA, BB och CC vara höjder i triangeln ABC. Låt vidare D, E och F vara mittpunkterna för de inskrivna cirklarna i trianglarna AB C, BC A och CA B respektive. Låt vidare den inskrivna cirkeln i triangeln ABC tangera BC, CA och AB i L, M respektive N. Visa att sidorna i triangeln DEF är lika långa och parallella med sidorna i triangeln LMN. B M A D C N E C F A L B

26 Euklidisk geometri litteratur Fitzpatrick 2 Euklides elementa 3 En sida med geometriska konstruktioner 4 2 Som pdf: Konstruktioner finns på

27