Föreläsning 1 5 = 10. alternativt

Transkript

1 Föreläsning a) Beräkna 5 + ( 8) = ( ) Kommentar: Vi använder parenteser för att förtydliga negativa tal, här ( 8) och ( ). 101 b) Beräkna 9 16 = 5 Kommentar: Egentligen borde man skriva 9 som ( 9), men eftersom inget missförstånd kan uppkomma godkänner vi skrivsättet. 101 c) Beräkna ( ) ( 4) ( 5) = 1 ( 5) = 60 Kommentar: Här har vi tre faktorer, alla negativa. Vi vet att multiplikation av två negativa tal ger ett positivt resultat. Och att ett negativt tal multiplicerat med ett positivt ger ett negativt resultat. 101 d) Beräkna alternativt = 10 = ( 1) 50 ( 1) 5 = 50 5 = 10 Kommentar: Division mellan två negativa tal ger ett positivt resultat. I det andra alternativet faktoriserar vi täljare och nämnare. Därefter kan vi förkorta ( 1) 10 a) Beräkna 10 b) Beräkna 16 + = ( 16) + = 14 1 ( ) = ( 1) ( ) = ( 1) + = 11 Kommentar: Vi subtraherar två negativa tal från varandra. Märk hur ( ) kan skrivas som. 10 c) Beräkna 0 ( ) ( ) = 0 Kommentar: När en av faktorerna i en produkt är = 0 blir resultatet 0 och vi behöver här inte bry oss om de andra två faktorerna. 10 d) Beräkna 0 10 = 0 Kommentar: När täljaren i en division är = 0 blir resultatet av divisionen (eller värdet hos bråket) = 0 (om inte även nämnaren = 0, en situation som inte kommer att inträffa i denna kurs) 10 a) 15 7 = 5 = 5 = 5 9 Kommentar: Här gäller det att förkorta bort gemensamma faktorer i täljaren och nämnaren. Ett sätt kan vara att primfaktoruppdela de två talen. Håkan Strömberg 1 KTH Syd Haninge

2 10 b) 18 6 = 7 = 7 10 c) 4 56 = 7 7 = = 4 10 d) = 5 5 = = a) Beräkna = = 5 10 = 10 Kommentar: Minsta gemensamma nämnare är 10 = 5. För att kunna addera två bråk måste de ha samma nämnare. Genom att förlänga det första bråket med 5 och det andra med får båda bråken nämnaren b) Beräkna = = = Kommentar: Även denna gång får man minsta gemensamma nämnare genom att helt enkelt multiplicera de två nämnarna med varandra, 5 1 = 60. Att bara multiplicera nämnarna rakt av fungerar för övrigt alltid. Visserligen får man då inte minsta gemensamma nämnaren vilket kan leda till större tal och därmed svårare beräkningar. Efter förlängning och summering får man ett bråk som resultat, som möjligtvis kan förkortas, dock inte här. 104 c) Beräkna = = = 6 6 = 1 Kommentar: Minsta gemensamma nämnaren är här 6. Vi måste förlänga två av de tre bråken för att få denna nämnare. Till sist kan vi förkorta bråket med för att få det enklaste resultatet. 104 d) Beräkna = = = = 1 6 Kommentar: Här är det aningen svårare att hitta den minsta gemensamma nämnaren. Vi faktoriserar de tre nämnarna: 9 =, 6 = och 4 =. I nämnarna ingår faktorerna och. Vi tar nu så många av varje faktor som det finns i den nämnare som har flest och multiplicerar dem samman: = 6. Minsta gemensamma nämnaren är 6, som är det minsta tal som när det divideras med de tre nämnarna alltid går jämnt upp. 105 a) Beräkna 4 5 = 4 5 = 8 15 Kommentar: Att multiplicera två bråk är som synes betydligt enklare än att addera dem. 105 b) Beräkna 4 5 = 5 4 = 10 1 = 5 6 Kommentar: Här har vi ett så kallat dubbelbråk. Att dividera ett bråk med ett annat är samma sak som att: multiplicera det första bråket med det andra bråket inverterat. Invertera betyder att Håkan Strömberg KTH Syd Haninge

3 man byter plats på bråkets täljare och nämnare. Uppgiften avslutas med att förkorta resultatet med. 105 c) Beräkna 105 d) Beräkna = = = 5 1 = = 4 15 Kommentar: Samma medicin som i förra uppgiften 106 a) Beräkna ( 7 5 ) 1 = = = = = 0 Kommentar: Efter första steget övergår uppgiften i en mer vanlig addition av bråk. 106 b) Beräkna ( ) 1 9 = = = = Kommentar: Minsta gemensamma nämnaren är c) Beräkna ( 5 7 ) = 5 ( 7) = = = 4 Kommentar: Det gäller att se att det här är fråga om en multiplikation av två bråk, ett positivt och ett negativt. 106 d) Beräkna = 4 ( 5) 0 ( 7) = = ( 1) 5 ( 1) = 4 Kommentar: Ett dubbelbråk igen. Vi vet nu hur vi ska hantera det. ( 1)( 1) = 1. Avsluta med att förkorta. 107 a) Beräkna b) Beräkna = = = = = (5 ) ( 1)( 1) = 4 1 ) + 1 = ) 4 = = = 5 Kommentar: Tänk på att ( 1)( 1) är en multiplikation och leder till resultatet a) Beräkna = = = = = 7 Kommentar: Ett lite mer komplicerat dubbelbråk. Vi hanterar inledningsvis täljare och nämnare för sig. Håkan Strömberg KTH Syd Haninge

4 108 b) Beräkna Kommentar: 109 Beräkna då a = 1 4 och b = 1 ( ( ) 4 5 ) ( 0) 6 8 = 8 = ( 0) 6 ( 8) = ( 40) 6 ( 8) a b b a = ( 40) 6 ( 8) = 10 4 = = ( 1) ( 4) = ( ) ( 4) = ( ) ( 4) ( ) ( 8) = = = Håkan Strömberg 4 KTH Syd Haninge

5 Föreläsning 110 a) Beräkna 144 = = = 1 Alternativ lösning: Alternativ lösning: 144 = = = = 1 1 = 1 Kommentar: Sök par av faktorer i talet. 110 b) Beräkna 8000 = 0 0 = 0 Kommentar: För kubikrötter gäller det att hitta tripplar av faktorer i talet. 110 c) Beräkna 5 = 5 5 = d) Beräkna ( 5) = ( 5)( 5) = 5 = 5 Kommentar: ( a) är förstås a 110 e) Beräkna 5 = 5 Kommentar: Det inledande minustecknet har inget med 5 att göra 110 f) Beräkna ( 5 ) = 5 5 = a) Beräkna 5 0 = 5 0 = 100 = 10 Kommentar: Vi använder os av a b = ab 111 b) Beräkna 0 0 = 5 5 = 4 = 111 c) Beräkna = d) Beräkna 0 5 = 5 5 = 5 5 = e) Beräkna = = 5 = a) Beräkna Kommentar: = = 0 81 = 0 9 = 70 Håkan Strömberg 1 KTH Syd Haninge

6 11 b) Beräkna = = = c) Beräkna = = = 0 = 5 = d) Beräkna = + = + = + 4 = 7 11 a) Beräkna 11 b) Beräkna 11 c) Beräkna 11 d) Beräkna 11 e) Beräkna 7 = = = 4 = 6 64 = 6 = 7 = ( )( )( ) = ( ) 5 1 ( = 1 5 = 5 1 )( 1 )( 1 )( 1 )( 1 ) = 1 11 f) Beräkna = ( 0.1)( 0.1)( 0.1) = 0.1 = g) Beräkna 10( 7 ) = = = = a) Skriv som en potens 5 7 = = 1 Kommentar: Vi använder oss av a a y = a +y 114 b) Skriv som en potens (4 4 ) 4 = (4 +) 4 = ( 4 5) 4 = 4 0 Kommentar: Här använder vi oss till sist av (a ) y = a y 114 c) Skriv som en potens 115 Skriv som en potens ( π ) = π 4 ( ) = = = = 6 8 = = 1 = 1 4 Håkan Strömberg KTH Syd Haninge

7 116 a) Beräkna 116 b) Beräkna Kommentar: a 0 = c) Beräkna 116 d) Beräkna Kommentar: 117 a) Beräkna 117 b) Beräkna ( ) = 1 = = 1 10 = 1 10 = ( ) = 1 ( ) = 1 ( )( ) = 1 9 ( ) 1 1 = ( )( ) = = = = = = = = c) Beräkna ( ) 1 + ( ) 1 = = = = = 8 + = a) Beräkna 118 b) Beräkna 118 c) Beräkna 119 a) Beräkna 119 b) Beräkna 119 c) Beräkna 119 d) Beräkna ( 4 ( ) = 18 6 = 18 6 = 18 ( 4 + ) = = = 64 ) = ( 4) = ( ) = 6 = 1 6 = = = = 1 64 = = ( ) = 9 ( ) = ( )( ) = 9 ( 8) 1 + 5( ) = ( 8) + 5 ( ) = ( 8) + 5 ( 8) = = 8 8 = 1 Håkan Strömberg KTH Syd Haninge

8 119 e) Beräkna 119 f) Beräkna ( ) ( ) = ( )( ) ( )( )( ) = 9 ( 8) = = 17 ( ) = = = = = 1 Håkan Strömberg 4 KTH Syd Haninge

9 Föreläsning 01 a) 01 b) + VL : HL : Svar: = är en rot till ekvationen 4 = 0 = ( ) + ( ) ( 7) + 18 = 9 ( ) = 9 VL : ( ) 4 ( ) = 81 ( 81) = = 16 HL : 0 Svar: = är inte en rot till ekvationen 0 Lös ekvationen 0 Lös ekvationen 04 Lös ekvationen 9 1 = = = 18 = 5 ( 9 7) = = 7 7 = = = 7 7 = 1 5( + 5) = ( 1) = = + = + 5 = 4 = Håkan Strömberg 1 KTH Syd Haninge

10 05 Lös ekvationen 10 5 = 10 = = = 10 = Lös ekvationen = 7 10 = = = = Lös ekvationen = 10 = = = = 40 Håkan Strömberg KTH Syd Haninge

11 08 Lös ekvationen = = = = = = 0 = = = Lös ekvationen 8( + 7) = 9 (6 ) ( ) = 9 (18 9) = = = 5 = 5 10 Lös ut R ur formeln nedan I = U R I R = U R = U I Håkan Strömberg KTH Syd Haninge

12 11 Lös ut h ur formeln nedan 1 Lös ut a ur formeln nedan V = πd h 4 4 V πd = h h = 4 V πd p = 4(a + ) p = 4a + 1 p 1 = 4a 1 Lös ut ur formeln nedan + a b a = p 1 4 = r + a = r b = r b a 14 Lös ut d ur formeln nedan t = a + (n 1)d t a = (n 1)d 15 Lös ut ur formeln nedan d = t a n 1 y b + c y = ( + a)(b + c) = = + a y b + c a Håkan Strömberg 4 KTH Syd Haninge

13 16 Lös ut t ur formeln nedan 8t + at = 10 t(8 + a) = Lös ut h ur formeln nedan t = a ah = d hr ah hr = d h(a r) = d 18 Lös ut t ur formeln nedan h = f = d a r (f P) = w L t w L t + P L t(f P) = w 19 Lös ut m ur formeln nedan t = w L (f P) E = mgh + mv ) E = m (gh + v m = m = m = E ) (gh + v E ) (gh + v E gh + v Håkan Strömberg 5 KTH Syd Haninge

14 0 a) Fallsträckan vid fritt fall beräknas med formeln Lös ut g s = gt s = gt s = gt s t g = 0 b) Beräkna g i m/s då s = 6.6 m och t =.6 s. g = = g s t s t g = 6.6 (.6) g Lös olikheten + > 11 > 11 > 8 Lös olikheten Lös olikheten 10 5 < + 10 < < 8 > 1 4 Lös olikheten Håkan Strömberg 6 KTH Syd Haninge

15 5 v + v < 180 v < 180 v < 60 Svar: Den större vinkeln är < 10 6 Antag att man måste spela minst t timmar. 10 t > t 10 t 105 t > 60 15t > 60 t > 4 Svar: Man måste spela mer än 4 timmar Håkan Strömberg 7 KTH Syd Haninge

16 Föreläsning 4 70 a) Vi delar figuren i två delar, en triangel (på toppen) och en rektangel. Summan av dessa två figurers area ger den eftersökta. Vi behöver följande formler: A R = b h A T = b h Svar: 6.75 cm (.5.0) = = b) Först bestämmer vi den stora rektangelns area. Därefter de små rektanglarnas, som har samma area. Därefter subtraherar vi dessa från den stora. Svar: 10 cm ( ) ( ) = 1 = c) Figuren består av två lika stora parallelltrapetser. Formeln för dess area är Vi får Svar: 11 cm A PT = h(a + b) ( ).0(.0 +.5) = 5.5 = d) Om man ser denna figur som två eller fyra sammansatta trianglar spelar ingen roll. Eftersom de två diagonalerna skär varandra under rät vinkel kan de användas som höjder i trianglarna. Vår formel blir A T = b h och vi får = = 6 Svar: 6 cm 70 a) Figuren består av två halvcirklar med samma radie ( som alltså tillsammans utgör en hel cirkel) och en rektangel. Vi behöver formlerna A R = b coth A C = πr för att räkna ut arean och formeln för att räkna ut omkretsen. Först arean O C = πr π1. = π 14.7 Sedan omkretsen π Svar: Arean är 14.7 cm och omkretsen 15.4 cm Håkan Strömberg 1 KTH Syd Haninge

17 70 b) Figuren består av en rektangel minus ett halvcirkel. Vi behöver formlerna A R = b coth A C = πr för arean och formeln för att räkna ut omkretsen. Först arean O C = πr Sedan omkretsen π π1.5 Svar: Arean är 8.5 cm och omkretsen 15. cm a) Arean av det skuggade området består av arean hos en halvcirkel minus arean hos en triangel. Höjden i triangeln är (antagligen) lika med cirkelns radie. Formler: Vi får A T = b h Svar: Den skuggade arean är 4. cm π A C = πr b) Den skuggade arean är arean av en rektangel minus arean av en halvcirkel. Höjden i rektangeln är förstås lika med cirkelns radie. Vi behöver formlerna: som ger Svar: 0.84 cm A R = b h A C = πr π a) Det stora området består av en kvadrat med sidan a. Alla trianglar med basen a och höjden a har arean A T = a a = a Det skuggade området, som vi kallar biten har då arean A = a a = a a = a Procentsatsen får vi fram genom att dividera biten med det hela och sedan multiplicera med 100. Alltså a a 100 = 100 = a a 1 a 100 = = 50 Svar: 50% a 1 Håkan Strömberg KTH Syd Haninge

18 705 b) Det hela, är ett område som består av en rektangel. Delen eller biten består av rektangelns area minus cirklarnas. Cirklarnas radie bör vara r och rektangelns bas 4r. Vi får med hjälp av formlerna Svar: 1.5% (4r)(r) πr (4r)(r) A R = b h A C = πr 100 = 8r πr 8r 100 = r (8 π) 8r 100 = 8 π c) Denna gång är det hela arean av en halvcirkel och arean av det skuggade området arean av en halvcirkel minus arean av en cirkel. Du ser väl att den lilla cirkeln har radien r/? Vi behöver därför bara denna formel A C = πr och får Svar: 50% πr ( r π πr ) 100 = πr πr 4 πr 100 = ( 1 πr = πr ) 100 = 100 = = = 705 d) Det skuggade området är här fyra kvartscirklar som tillsammans utgör en hel cirkel med radien r. Hela området är en kvadrat med sidan r. Med formlerna A C = πr A K = s s får vi Svar: 75% πr (r)(r) 706 Formeln för parallelltrapetsens area är πr π = 100 = = 5π 75 4r 4 A PT = h(a + b) Denna formel ska vi använda tre gånger för att få figurens area Svar: 67. cm 4( ) + 4( ) + 4( ) = = ( ) =.6 = 67. = Håkan Strömberg KTH Syd Haninge

19 707 a) För en cirkelsektors area gäller formeln A CS = v 60 πr där v står för medelpunktsvinkeln. För en cirkelsektors omkrets gäller formeln O CS = r + v 60 πr alltså två radier plus båglängden. I den här uppgiften är inte v given, men vi kan bestämma omkretsen genom att studera figuren O CS = = 11.5 När vi nu har omkretsen kan vi bestämma v med formeln ovan och vi får följande ekvation: v π 4.0 = v π = v π = ( ) v = π v 5.01 När vi nu har vinkeln kan vi bestämma arean A sc med formeln ovan och vi får A CS = π 4 7 Den svåraste uppgiften hittills i kursen, med hela tre steg! 1 Bestäm omkretsen Bestäm medelpunktsvinkeln Bestäm arean Svar: Omkretsen är 11.5 cm och arean 7 cm 707 b) Den här uppgiften är enklare. Vi har medelpunktsvinkeln given och kan direkt teckna både omkrets och area. Först omkretsen: Sedan arean: O CS = r + v 7 4π πr = 1 + π1 = A CS = v 60 πr = 7 60 π 1 = 1 144π π 144 = Svar: Omkretsen 9 cm och arean 90.5 cm Håkan Strömberg 4 KTH Syd Haninge

20 Figur 1: 708 För en geometrisk uppgift som bara består av tet gäller det att rita figur. Det gör det hela mycket lättare. I en triangel kan man dra tre höjder h 1,h och h, var och en mot en av sidorna b 1,b och b. Det betyder att man kan bestämma arean på tre olika sätt: A T = b 1 h 1 = b h = b h I denna uppgift finns b 1 = 16 och b = 1 givna samt h 1 = Vi får nu en ekvation genom vilken vi kan bestämma h : Svar: 14 cm h = 4 = 14 h = = 1 h Håkan Strömberg 5 KTH Syd Haninge

21 Figur : 709 Med hjälp av formeln kan vi ställa upp följande ekvation A PT = h(a + b) h(6 + 1) 6 = 6 = 18h 6 = 9h h = 7 Svar: 7 cm Håkan Strömberg 6 KTH Syd Haninge

22 Föreläsning Figur 1: Kroppen är förstås en cylinder. Den enda svårigheten, om det nu finns någon, är att översätta 7 km till 7000 m. Radien är 6 m. Med hjälp av formeln får vi Svar: m 716 Denna formel gäller V C = πr h π = 1000π V = B h och då får basytan B ha vilken form som helst, inte nödvändigtvis som här cirkulär. I detta problem känner vi B = 40 m. Dessutom känner vi volymen V = 0.1 cm. När vi nu använder den inledande formeln är det viktigt att storheterna stämmer överens. Antingen ska vi uttrycka dammens area i cm eller droppens volym i m. Vi väljer det första alternativet, 1m = cm. Dammens area blir då = cm. Vi får nu som ger 0.1 = h h = = = = = = Svar: cm eller m 717 Det är så lätt att tänka sig kroppens form, så vi hoppar över figuren. Pyramidens volym bestäms med formeln V P = B h När basytan, B är en kvadrat har den arean A = s = 80 och vi får till sist = = Svar: cm =4704 dm = 4.704m 4.7m 718 Arean hos den totala begränsningsytan till en kon bestäms med hjälp av A KON = πr 1 s + πr 1 Det vill säga mantelarean plus botten. Eftersom r 1 = 4 och s = 8 är givna kan vi beräkna denna area. Arean till ett klot bestäms med A KLOT = 4πr Håkan Strömberg 1 KTH Syd Haninge

23 Eftersom A KON = A KLOT kan vi nu genom denna formel bestämma klotets radie r. Då det i uppgiften förekommer två radier skiljer vi dem genom att kalla dem r 1 och r. Först bestämmer vi alltså A KON A KON = 4 8π + 4 π = π + 16π = 48π sedan ekvationen 48π = 4πr r = 48π 4π r = 1 Svar:.5 cm 70 Den enda formeln vi behöver här är r = 1 = V S = 4πr Två volymer ska bestämmas. Den större divideras sedan med den mindre för att få svaret. 4π4 4π1 = 4π4 4π1 = 4 1 = Först och främst, vilken volym har koppartråden? Vi använder formeln för cylinderns volym V C = πr h Vi uttrycket trådens längd i cm, 1.50m= 15cm och trådens radie, likaså i cm,0.4/mm= 0.0cm. Nu bestämmer vi trådens volym V C = π = 0.05π Nu vet vi att 11.8cm koppar väger 105g. Vi säger att g koppar förhåller sig till cm som 105g till 11.8cm och får ekvationen Svar: 1.4g = = Håkan Strömberg KTH Syd Haninge

24 7 På en sekund hinner 0.15 meter av kanalens vatten passera en tvärsnittsarea. Vi ska alltså räkna ut volymen av ett prisma med en parallelltrapets som bottenyta (blanda inte ihop denna yta med kanalens botten!) och höjden 0.15 m. Med formeln får vi genom arean för en parallelltrapets V P = B h A PT = h(a + b) prismats volym. Här finns det två höjder, dels parallelltrapetsens och dels prismans. Bottenarean är.4(6 + 4) = 1 Vattenflödet per sekund (lika med prismans volym) blir Svar: 1.8m 7 Vi behöver = 1.8 V KON = πr h V KLOT = 4πr Klotets radie är r = m. Konens radie är förstås också r = m. Konens höjd blir då h = 5 = m. Nu kan vi teckna rymdfarkostens volym som en summa av två kroppar: π + 4π Glöm inte bort att det handlar om ett halvt klot. Svar: 9.m 16π = 4π + = 4π + 16π = 8π Först räknar vi ut pyramidens volym med hjälp av formeln V P = s h Därefter använder vi formeln för volymen till ett rätblock för att ta reda på längden l. Ekvationen V R = b h l V P = 8 17 = = l löser vi enkelt och får l = = 7960 Svar: 7960 m = 79.6 km = 7.96 mil (mer än ett halvt varv runt jorden) Håkan Strömberg KTH Syd Haninge

25 78 a) Förhållande är en kvot (ett bråk) mellan två tal. I detta fall klotets volym i täljaren och cylinderns volym i nämnaren (eller tvärt om som också fungerar). Vi behöver två formler: V C = πr h V K = 4πr Just i detta fall är klotets radie lika med cylinderns. Cylinderns höjd h = r. Vi får 4πr 4πr πr r = πr r 1 Svar: Förhållandet är eller 78 b) Kubens volym: = 4πr Här är sidans längd s = r. Cylinderns volym 1 πr r = 4r 1 r = 4 1 = V K = s Här är h = r. Vi får förhållandet V C = πr h V C = πr r V K (r) = πr 8r = π 8 Svar: Förhållandet är 4 π eller π 4 79 Vi behöver tre formler Vi får tre förhållanden Svar: V S = 4πr V K V C = V S V K = 4πr πr r V C = πr h = 4πr πr r πr r = πr r V C = πr r V S 4πr V S V K = 1 = πr r 1 πr = 1 V K = πr h 1 πr r = 1 = 1 V K V C = 1 4πr = 1 4 = V C V S = Håkan Strömberg 4 KTH Syd Haninge

26 70 Cylinderns mantelarea Cylinderns totala area Den eftersökta kvoten A CM ACT = A CM = πrh A CT = πrh + πr πrh πrh + πr = πrh πr(h + r) = h h + r Svar: h h + r Håkan Strömberg 5 KTH Syd Haninge

27 Föreläsning a) Ställ upp en formel för y då du vet. Vinkelsumman i en triangel är 180. Vår triangel innehåller en vinkel som är och en som är 90. Den tredje vinkeln u, i triangeln är då u++90 = 180 som ger u = 90. Nu vet vi att vinkeln y och vinkeln u tillsammans är 180, (supplementvinklar). Detta ger 90 + y = 180 Denna ekvation ska lösas med avseende på y = 90 + Svar: y = b) Ställ upp en formel för y då du vet. Triangeln är likbent (givet). Basvinklarna i en likbent triangel är lika. Dessutom är vinkelsumman i en triangel 180. Vi får då y + + = 180 Löser vi denna ekvation med avseende på y får vi formeln Svar: y = c) Ställ upp en formel för y då du vet. Yttervinkeln är 15. Givet är sambandet + y = 15. Detta leder till formeln Svar: y = d) Ställ upp en formel för y då du vet. Antag att de tre vinklarna inuti triangeln är v, u och 90 och att + v = 180 eller v = 180. Från yttervinkelsatsen får vi att y = v Substituerar vi v i denna formel får vi y = eller y = 70 Svar: y = Triangeln är likbent. Detta betyder att BAC = BCA. Eftersom ABC = 40 är BAC = BCA = = 70. Då BCE = ECA (givet i uppgiften) är dessa vinklar båda 5. Vi kan nu ställa upp sambandet för ABC som ger Svar: Vinkeln = = a) är randvinkel och medelpunktsvinkeln på samma båge är 10. Detta leder till att = 51 Svar: b) Här är randvinkeln given till 54 tillhörande medelpunktsvinkel är då 108 Svar: a) Även här har vi en medelpunktsvinkel given, denna gång 60, vilken innebär att motsvarande randvinkel är 0. Svar: 0 18 b) Här är medelpunktsvinkeln hela 00. Därför blir randvinkeln 100. Svar: a) Här har vi två randvinklar och en medelpunktsvinkel. Alla randvinklar som står på samma båge är lika, vilket leder till att = 5 och medelpunktsvinkeln är dubbla randvinkeln, y = 50. Svar: = 5 och y = b) Här blir det lite knepigare, men bara lite. Den lilla triangeln är likbent. Benen är ju båda radier i cirkeln. Detta betyder att y = 4. Den tredje vinkeln i denna triangel, som dessutom är medelpunktsvinkel är = 1 Håkan Strömberg 1 KTH Syd Haninge

28 Randvinkeln blir då 66 Svar: y = 4 och = a) y = 55 eftersom det är en randvinkel på samma båge som randvinkeln som är 55. På samma sätt får man att = Svar: = och y = b) Samma resonemang i detta problem som i förra leder till = och y = 6 Svar: = och y = 6 11 a) För en inskriven fyrhörning gäller att summan av motstående vinklar är 180. Med denna kunskap kan vi direkt ställa upp + 70 = 180 som ger = 110 och y = 180 som ger y = 65. Svar: = 110 och y = b) Även här finns det en medelpunktsvinkel och den är 180. och y är båda randvinklar och därför här 90. Svar: = y = 90 1 a) Här har vi en inskriven fyrhörning. Då måste y + 70 = 180, som ger y = 110. Detta leder till Svar: y = 110 och = 5 = = 5 1 b) Vinkeln y är ju en randvinkel med en medelpunktsvinkel som är 140. Alltså är y = 70. Samtidigt kan vi se en inskriven fyrhörning. Då är + y = 180 eller + 70 = 180, = 110 Svar: = 110 och y = 70 0 Eftersom de två trianglarna är likformiga måste = 110. y bestämmer vi genom att ställa upp ekvationen y 6 = 0 15 y = y = 8 Svar: = 110 och y = 8 cm 0 Vi får ekvationen: 5 = = = 150 Svar: 150 cm Håkan Strömberg KTH Syd Haninge

29 04 Vi får ekvationen Svar: 1. cm 05 Vi får ekvationen Svar: =.5 cm 1 6 = = = 64 = = = 45 Håkan Strömberg KTH Syd Haninge

30 Föreläsning 7 14 a) Med likformighet kan vi teckna ekvationerna = = = och Svar: 0. cm och y 15. cm y 4 y = = = b) Med likformighet kan vi teckna ekvationerna 9 = = = 7. och y 1 y = = y = 9.6 Svar: = 7. cm och y = 9.6 cm Håkan Strömberg 1 KTH Syd Haninge

31 15 a) Med likformighet kan vi teckna ekvationen 4.8 = = = 9.6 Svar: = 9.6 cm 15 b) Med likformighet kan vi teckna ekvationen y 18 y = = y = 9.6 Svar: y = 9.6 cm 15 c) Med likformighet kan vi teckna ekvationen z 11.7 z = = z =.9 Svar: z =.9 cm 15 d) Med likformighet kan vi teckna ekvationen Svar: z 0.1 cm 45.0 = = z = Håkan Strömberg KTH Syd Haninge

32 16 a) Med likformighet kan vi teckna ekvationen Svar: = 45.7 cm 16 b) Med likformighet kan vi teckna ekvationen = = = = = = 48 Svar: = 48 cm 17 Med likformighet kan vi teckna ekvationen 84 = = = Svar: = 59. cm 18 a) Med likformighet kan vi teckna ekvationen 1 = 1 0 = 1 0 = 4.8 Svar: CD = 4.8 cm Håkan Strömberg KTH Syd Haninge

33 18 b) Med likformighet kan vi teckna ekvationen Svar: BD = 9.6 cm y 4 y = = y = Om vi lyckas visa att alla vinklar i BFE är lika med motsvarande vinklar i CFD har vi visat att trianglarna är likformiga. BFE = DFC, vertikalvinklar. FDC = FEB, alternatvinklar. Om två vinklar är lika i två trianglar är också den tredje vinkeln lika i de två trianglarna. Alltså är trianglarna likformiga. 0 a) Med likformighet kan vi teckna ekvationen Svar: = 6.4 cm 8 = 8 10 = = b) I figuren ser du tre trianglar. Det gäller här att se att de alla tre är likformiga. Med likformighet kan vi teckna ekvationen = = Svar: = 4.5 cm 0 c) Med likformighet kan vi teckna ekvationen Svar: =.6 cm = = 6 10 = =.6 Håkan Strömberg 4 KTH Syd Haninge

34 0 d) Här måste vi först ta till Pythagoras sats för att bestämma den kortaste kateten y i den stora triangeln y + 9 = 10 y + 81 = 100 Med likformighet kan vi nu teckna ekvationen Svar: = = = y = 19 = = 1.9 a) Med likformighet kan vi nu teckna ekvationen Svar: = 1 cm b) Med likformighet kan vi nu teckna ekvationen Svar: z = 6.4 cm = = = 1 z 4 = 8 5 z = = 6.4 Håkan Strömberg 5 KTH Syd Haninge

35 a) Med likformighet kan vi teckna ekvationen + 7 = = 5( + 7) 11 = = 5 = 5 6 Svar: 5.8 b) Med likformighet kan vi teckna ekvationen z = z + 5. = z = ( ) ( ) z 8 Svar: z 8 cm 4 a) Med likformighet kan vi teckna ekvationen 9 9 = = = = 1 =.75 + Svar: =.75 cm Håkan Strömberg 6 KTH Syd Haninge

36 4 b) Med likformighet kan vi teckna ekvationen y 6 = 5 5 y = 6 5 y =.6 Svar: y =.6 cm 5 Med likformighet kan vi teckna ekvationen Figur 1: 1 1 = (1 ) = = = = 108 = 7. Svar: = 7. cm Håkan Strömberg 7 KTH Syd Haninge

37 6 AB BD AB 6 6 = DE BC = = = 5 = = 1.8 Svar: = 1.8 cm Håkan Strömberg 8 KTH Syd Haninge

38 Föreläsning 7b 9 Längdskalan är L = eller : som det ofta skrivs i samband med kartor. Från teorin får vi att A, areaskalan är längdskalan i kvadrat det vill säga A = L. I denna uppgift ger det A = ( ) = 4 9. Vidare vet vi från teorin att att volymskalan V är längdskalan i kubik, det vill säga V = L. I denna uppgift leder det till V = ( ) = 8 7 Svar: L =, A = 4 9 och V = En sida i den stora triangeln är 6 cm. Motsvarande sida i den lilla triangeln är 4.5 cm. Vi kan då teckna längdskalan: L = = = 4 Då längdskalan är 4 är areaskalan Vi antar att den lilla triangelns area är cm. Nu kan vi teckna följande ekvation 1 Svar: Arean hos den lilla triangeln är 6.75 cm = 9 16 = = 7 4 Håkan Strömberg 1 KTH Syd Haninge

39 1 a) Här handlar det om volymskalan. Vi vet att volymskalan V = L, där L är längdskalan. Längdskalan kan vi enkelt bestämma till L = 4 8 = 1. Detta betyder att V = 1 = 1 8. Med den kunskapen kan vi nu räkna ut den större lådans volym. Antag att den större lådans volym är cm. 0 = = 1 = 160 Svar: Den okända volymen är 160 cm 1 b) Ett problem, nära på identiskt med föregående. Vi behöver inte fundera så mycket om kroppens form, så länge vi har möjlighet att bestämma längdskalan. Det har vi om två motsvarande sidor är givna i den verkliga kroppen och kroppens avbildning. Vi bestämmer längdskalan L = 1 = 1 4. Det betyder att volymskalan V = ( ) 1 4 = Med hjälp av detta kan vi ställa upp ekvationen 0 = 1 64 = = 5 Svar: Den okända volymen är 5 cm Den längsta sidan i en triangel motsvaras av den längsta sidan i en avbildning. Eftersom den längsta sidan i T 1 är 45 cm och den längsta i T är 15 cm så förstår vi att längdskalan är L = = 1. Med längdskalan 1 får vi areaskalan 1 9. Då den större av trianglarna har arean 756 cm kan vi teckna ekvationen, där den mindre antas vara cm : 756 = 1 9 = = 84 Svar: Arean hos T = 84 cm Håkan Strömberg KTH Syd Haninge

40 Om det handlar om femhörningar eller tjugofemhörningar spelar ingen roll. Huvudsaken är att vi känner längden hos en sida i den ena figuren och längden av motsvarande sida i den andra. Då kan vi bestämma längdskalan. L = 1 8 = 7 Detta leder direkt till areaskalan ( ) A = = Nu kan vi teckna ekvationen där vi antar att den mindre femhörningen har arean cm. 980 = 9 49 = = 180 Svar: Den mindre av femhörningarna har arean 180 cm 4 Först bestämmer vi längdskalan mellan de två prismorna. L ger oss V genom V = L = L = 9 1 = 4 Antag att det större kärlet rymmer liter. Vi får då ( ) = = = 7 = Svar: Det större prismat har volymen.56 liter =.56 Håkan Strömberg KTH Syd Haninge

41 5 Här kan vi inte bestämma längdskalan eftersom endast längden hos en sida är given. Däremot kan vi direkt bestämma areaskalan A = = 1 4 Vi vet ju att A = L så då kan vi bestämma L L = 1 4 L = 1 4 L = 1 En sida i den större parallellogrammen är dubbelt så lång som motsvarande sida i den mindre. Alltså är den eftersökta sida 1 = 6 cm Svar: 6 cm. 6 I denna uppgift är längden och arean inblandad. Vi har en par jeans med bylängden 80 cm. Om man syr ett par jeans som är 10% längre kommer dessa att få längden = 88 cm (tillvätfaktorn är 1.10). Nu kan vi bestämma L Areaskalan blir då A = L = L = = ( ) 10 = Nu vet vi att det går åt a m för att tillverka de mindre jeansen. Antag att det går åt m för de större. Vi får då följande ekvation a a = = a = 100 = 11 a 100 = 1.1a a är alltså en okänd storhet, som vi inte behöver känna. Vi ska nu skriva ett uttryck som bestämmer den procentuella ökningen av åtgången av tyg. Svar: Svar 1% 1.1a a a 100 = a(1.1 1) a 100 = = 1 Håkan Strömberg 4 KTH Syd Haninge

42 8 Vi har längdskalan given då är areaskalan A = L = Antag att områdets area är cm. Vi får då L = ( ) 1 = = = = cm = dm =40000m Svar: 40000m 9 Vi betraktar dels hela glaset och dels den del av glaset som innehåller vätska. Dessa två kroppar är likformiga. Längdskalan är h h L = h = = h 1 h = 1 Vilket vi förstås kunde se med en gång. Då måste volymskalan vara h 1 V = L = ( ) 1 = 1 8 Antag att det finns cl vätska kvar i glaset. Vi får då den enkla ekvationen 8 = 1 8 = 1 Eftersom det fanns 8 cl från början och det återstår 1 cl har man drucket 7 cl Svar: 7 cl Håkan Strömberg 5 KTH Syd Haninge

43 40 Längdskalan L = m. Vi får 1 och areaskalan A = = Tomtens area på kartan antar vi vara 97 = = = = Arean på kartan är alltså m =0.6075dm =60.75cm. Vi känner inte längden hos någon av sidorna i rektangeln på kartan. Vi antar att sidorna är y respektive 4y. Då förhåller de sig y 4y = 4 Detta var ju givet. Vi kan nu teckna arean och får följande ekvation y 4y = y = y = y = 1 y =.5 Vi får nu den längsta sidan genom 4.5 = 9 cm Svar: 9 cm Håkan Strömberg 6 KTH Syd Haninge

44 Föreläsning 8 Problem hämtade från boken sidan 15 A 510 a) Rätvinklig triangel med vinkel och närliggande katet given. Motstående katet efterfrågas. ger tanv = motstående närliggande tan4 = 5 = 5tan 4 Svar:.6 cm.6 A 510 b) Vinkel och hypotenusan given. Närliggande katet efterfrågas. ger cosv = närliggande hypotenusan cos40 = 61 = 61cos 40 Svar: 46.7 cm 46.7 A 510 c) Vinkel och motstående katet givna. Närliggande katet efterfrågas. tanv = motstående närliggande Svar: 9 cm tan56 = 4 4 = tan56 9 Håkan Strömberg 1 KTH Syd Haninge

45 A 510 d) Vinkel och hypotenusa givna. Motstående katet efterfrågas. ger sinv = motstående hypotenusa sin5 = 75 = 75 sin5 Svar: 59.9 cm A 5104 a) De två kateterna givna. Vinkel efterfrågas. ger 59.9 tanv = motstående närliggande tanv = 7 4 v = arctan 7 4 v Svar: A 5104 b) Hypotenusan och närliggande katet givna. Vinkel efterfrågas. ger cosv = närliggande hypotenusan cosv = v = arccos v 8 Svar: 8 Håkan Strömberg KTH Syd Haninge

46 A 5104 c) Hypotenusan och motstående katet givna. Vinkel efterfrågas. ger sinv = motstående hypotenusa sinv = 50 7 v = arcsin 50 7 v 4 Svar: 4 A 5104 d) Närliggande och motstående katet givna. Vinkel efterfrågas. ger tanv = motstående närliggande tanv = 0 v = arctan 0 v 5 Svar: 5 A 5105 Vinkel och närliggande katet givna. Motstående katet efterfrågas. Antag motstående katet är m. tanv = motstående närliggande tan6.4 = 150 = 150 tan Svar: 00 m Håkan Strömberg KTH Syd Haninge

47 A 5106 Eftersom båda takvinklarna är v handlar det om en likbent triangel. Höjden delar triangeln i två rätvinkliga trianglar där motstående och närliggande katet är givna. Vinkeln v efterfrågas ger tanv = motstående närliggande tanv = v = arctan v B 5107 Svar: Figur 1: CAB ska bestämmas. Vi startar med att bestämma ACD som vi antar är v. tanv = v = arctan 1 v 6.57 Vi kan nu bestämma ACB = 180 ACD = = 15.4 I nästa steg bestämmer vi ABD som vi antar är u tanu = u = arctan u Håkan Strömberg 4 KTH Syd Haninge

48 CAB får vi nu genom CAB = = 10.6 B 5108 Svar: 10.6 Figur : Vi har två trianglar där vi ska bestämma den närliggande katet. I ABC är ABC = 78. Den eftersökta kateten betecknad med ger sin78 = 9 = 9sin I DEF är DEF = 64 Den eftersökta kateten betecknad med y ger sin64 = 9 = 9sin64 Svar: 8.1 respektive 8.8 m 8.1 Håkan Strömberg 5 KTH Syd Haninge

49 C 5109 Figur : Vi startar med att dra radien BE vinkelrätt mot vattenytan. I BDA har vi hypotenusan given till 0 cm och BAD = 5. Vi kan då bestämma sträckan BD som vi betecknar med och får sin5 = 0 = 0 sin5 17. Den efterfrågade sträckan h = = 1.8 cm Svar: 1.8 cm Håkan Strömberg 6 KTH Syd Haninge

50 Detta måste du kunna utantill Figur 4: Triangeln till vänster är en halv liksidig triangel. Varje triangel med vinklarna 0,60,90 är en halv liksidig triangel. Hypotenusan är lika med den liksidiga triangelns sida. Den korta kateten är förstås hälften av hypotenusan. Den längsta kateten är lika med höjden i den liksidiga triangeln. Dess längd kan vi bestämma med hjälp av Pythagoras sats. Vi antar att den är s = ( s ) + s s 4 = = = s s 4 ( s 1 1 ) = s = s 4 = s Blandar vi nu in trigonometri får vi följande samband som alla är viktiga att kunna utantill: s cos60 = s = 1 cos0 s = = s sin60 s = = s sin0 s = s = 1 Håkan Strömberg 7 KTH Syd Haninge

51 tan60 = s s = s s = tan0 = s s = s s = 1 Vänder vi oss nu mot triangeln till höger ser vi att det är en halv kvadrat. Alla trianglar med vinklarna 45,45,90 är just halva kvadrater. OM den ena kateten är s så måste förstås även den andra vara lika lång. Hypotenusan, lika med kvadratens diagonal kan vi bestämma med Pythagoras sats. Vi antar att den är : = s + s = s = s = s Blandar vi nu in trigonometri får vi följande samband d som är viktiga att kunna utantill: cos45 = sin45 = s s = 1 s s = 1 tan45 = 1 1 = 1 C 5110 För att kunna eakt bestämma area och omkrets till ABC måste man känna till följande: ACD är en halv kvadrat. Vinklarna är 45,45,90. Detta för med sig att sträckorna CD = AD = 1. Sträckan AC kan bestämmas med Pythagoras sats till. Dessutom är det så att sin45 = cos45 = 1 CBD är en halv liksidig triangel. Vinklarna är 0,60,90. Detta för med sig att sträckan CB = är dubbelt så lång som sträckan CD = 1. Dessutom är det så att sin0 = cos60 = 1 Genom Pythagoras sats kan man nu bestämma sträckan BD som ger BD = = 1 + BD Håkan Strömberg 8 KTH Syd Haninge

52 Alla önskade sidor är kända och vi kan bestämma omkretsen till Arean blir O = = + + A = 1 (1 + ) Svar: Omkretsen är + + l.e. och arean (1 + )/ a.e. C 5111 ABC är en halv liksidig triangel. Efter samma resonemang som i föregående uppgift får vi då: BC = 1 och AB =. CBD är också en halv liksidig triangel. Det betyder att CDB = 60. Anta att sträckan DC är. Vi får då ekvationen tan60 = 1 1 = tan60 Detta betyder att sträckan AD = 1 =. Svar: Sträckan AD = = 1 Håkan Strömberg 9 KTH Syd Haninge

53 Föreläsning 1 Antag att motstående katet är cm. Antag att hypotenusan är y cm. Bestäm först tan15 = 4 = 4tan 15 och sedan y Omkretsen är då cos15 = 4 y y = 4 cos tan cos Känner man till att tan15 = och cos15 = 1 + kan man uttrycka omkretsen eakt till 4 + 4( ) = 48( + ) 1 + Men så vill de inte ha svaret här. Svar: 55. cm Vinkeln får man genom Vinkeln y får man genom Den efterfrågade differensen är då tan = 16 0 = arctan 16 0 tany = = arctan y = arctan arctan Svar: 18.7 Håkan Strömberg 1 KTH Syd Haninge

54 Vi lägger upp en plan 1. 1 Bestäm DAB. Här kallad v. Bestäm ADB. Här kallad u. Bestäm ADC. Här kallad w. 4 Bestäm DAC. Här kallad t. 5 Bestäm DCA. Här kallad s. 6 Bestäm sidan BC. Här kallad 7 Bestäm sträckan CD Här kallad y. tanv = 6 45 v = arctan 6 45 v tanu = 45 6 u = arctan 45 6 u w = = t = 8.66 = 19. s = =.01 tan.01 = = tan y = = 5.99 Svar: 6 cm Håkan Strömberg KTH Syd Haninge

55 4 ABC är likbent. De två lika långa bena, r, är samtidigt radie i cirkeln. ABC är då också 0. Dra höjden från hörnet C i triangeln. Höjden delar sträckan AB i två lika delar (6+6 cm). Vi kan nu bestämma cirkeln radie: cos0 = 6 r r = 6 cos0 Med hjälp av formeln A = πr kan vi nu teckna arean: Eftersom cos0 = Svar: 48π cm får vi A = π ( ) 6 A = π cos0 ( 6 ) = π 144 = 48π 5 Den stora triangeln är liksidig. Alla vinklarna i en liksidig triangel är 60. Dra nu höjden i den liksidiga triangeln och bestäm höjden h genom sin60 = h 6 h = 6 h = Detta resultat får vi då vi vet att sin60 =. Vi har nu en rätvinklig triangel med en sida och en sida h. Med hjälp av Pythagoras sats får vi ( = 1 + ) = = 8 = 7 Svar: 7 cm 6 CBE är en halv liksidig triangel. Likaså AEF. Dessutom är dessa två trianglar kongruenta ( lika stora ). Det betyder att EF = CE. FEC = = 90. Alltså är FCE en halv kvadrat och EFC = ECF = 45. CFD = = 75. DCF = = 15. Håkan Strömberg KTH Syd Haninge

56 Återstår så att bestämma längden hos sidorna FD och CD. Sidan CE,, får vi genom sin60 = = sin60 = = 4 Nu får vi sidan CF, y genom sin45 = y = y = 4 y 4 sin y = 4 Genom y kan vi nu bestämma de övriga sidorna, z och w, i DCF genom cos75 = z 4 z = z = För att klara av detta måste man känna till att z = ( 1) z = cos75 = 1 Håkan Strömberg 4 KTH Syd Haninge

57 Återstår att bestämma w sin75 = w 4 w = w = För att klara av detta måste man känna till att w = ( + 1) w = + sin75 = Svar: Vinklarna är 90,75 och 15. Sidorna är + 1 +, och 4 7 Figur 1: Vi ska bestämma flaggstångens längd i två etapper. Först drar vi sträckan AC som är vinkelrät mot flaggstången. Sträckan AD,, kan vi bestämma med Pythagoras sats = Håkan Strömberg 5 KTH Syd Haninge

58 Vi behöver också ADE, v tanv = v 6.8 Givet är CD = 1.65 Nu över till BC, z. DAC = ADE, som ger BAC = = 4.6. Vi tecknar nu tan 4.6 = z z tan4.6 y 1.8 Svar: = m Håkan Strömberg 6 KTH Syd Haninge

59 Föreläsning 9 01 a) Multiplicera följande parentes (a + b)(a c) = a ac + ab bc 01 b) Multiplicera följande parentes (4 + q)(4 q) = 16 4q + 4q q = 16 q 01 c) Multiplicera följande parentes ( s)(5 s) = 10 s 5s + s = 10 7s + s 0 a) Förenkla (p 1) + (p + 1) p = (p p + 1) + (p + p + 1) p = 0 b) Förenkla (p + q)(p q) (p q) = p pq + pq q (p pq + q ) = p q p + pq q = pq q = q(p q) 0 a) Utveckla följande uttryck ( + ) = ( + )( + )( + ) = ( + )( ) = ( + )( ) = = b) Utveckla följande uttryck ( 5) = 5 + ( 5) ( 5)5 = c) Utveckla följande uttryck (4a b) = (4a ) + (4a ) ( b) + (b) = 16a 6 4a b + 9b 04 a) Utveckla och förenkla därefter ( + ) + ( ) = = b) (4a + 5b) (4a 5b) = 16a + 40ab + 5b (16a 40ab + 5b ) = 80ab 05 a), 1,, + 1, + 05 b) ( )( + ) = 4 05 c) ( 1)( + 1) = ( 1) = 05 d) Från b) och c) får vi ( 4)( ) = = Håkan Strömberg 1 KTH Syd Haninge

60 05 e) 06 Antag det minsta talet är = 5 + ( + 1) + + ) + ( + ) + ( + 4) = = = 90 = 90 5 Svar: De fem talen är 18,19,0,1 och 07 Vi har talen 1, och + 1. = 18 ( 1)( + 1) = 99 1 = 99 = 100 = 100 = 10 Svar: Talen är 9,10 och Förenkla uttrycket 9 ( +4) +( 5 ) (5 8) = = 6+8 = 8 6 = (4 ) 09 a) Förenkla följande uttryck 8 + ( 5) = = b) Förenkla följande uttryck 6(a + 1) + (a ) = 6a a 6 = 9a 09 c) Förenkla följande uttryck y(5 y) (5y y ) = 5y y 5y + y = 0 Håkan Strömberg KTH Syd Haninge

61 09 d) Förenkla följande uttryck 9 + ( ) + 6 = = e) Förenkla följande uttryck 4(5 ) (8 9 ) ( + ) + ( 6) = (6 + 6) + 6 = = 0 09 f) Förenkla följande uttryck 1 ( + 1) + 4( + + ) = 1 ( 6 + ) + ( ) = = = ( ) 10 a) 10 b) ( + 1) + ( ) + ( + ) = = + 14 ( + 9)( 9) + ( 6) + ( + ) = = c) 10( 0.) 100(0. + 5)(0. 5) ( 50) = 10( ) 100(0.09 5) ( ) = = ( ) ( 4) (1 4) = 1 Då = 1 ger det ( 1) ( 8 ) = = = ( ) 1 ( ) = = = 50 9 (a + )( + ) = a + a + + = + (a + ) + a = Då a = 6 är koefficienten till -termen 9. Uttrycket blir då Håkan Strömberg KTH Syd Haninge

62 1 Den eftersökta koefficienten är 1 14 Vi sätter in 15 Då 16 i uttrycket + y och får beräkna att jämföra med ( + 5)( ) = = 5 10 = ( y = ) ( 5 1 ) 5 + = = y = ( ) 1 y = 1 + = = = = (1 ) (1 ) + + (1 ) (1 ) (1 ) = + (1 ) + (1 ) = (1 ) = (1 ) 1 (1 ) ( a)(5 + ) = 5 + 5a a = 5 + ( 5a) a 5 + b + 10 Direkt får vi att a = 5. Detta leder till ( 5( 5)) = b eller b = 7 = = Håkan Strömberg 4 KTH Syd Haninge

63 Föreläsning a) Faktorisera 17 b) Faktorisera 17 c) Faktorisera 17 d) Faktorisera 17 e) Faktorisera 17 f) Faktorisera + = ( + ) s t = (s t ) = (s + t)(s t) 1 49c = (1 + 7c)(1 7c) 75s = (1 5s ) = (1 + 5s)(1 5s) y 9y = y( 9y ) = y( + y)( y) = ( + 7)( + 7) = ( + 7) När det gäller första och andra kvadreringsregeln baklänges så hittar man för de två kvadraterna och kan då skriva uttrycket. Sedan återstår att testa om dubbla produkten stämmer. Ett eempel till (4 + 9y 10y) Vi hitter kvadraterna och skriver ( y). Men detta stämmer inte eftersom dubbla produkten ska vara 1y och inte 10y. Detta betyder att uttrycket inte kan faktoriseras. 17 g) Faktorisera 17 h) Faktorisera 17 i) Faktorisera 17 j) Faktorisera 17 k) Faktorisera 17 l) Faktorisera y 18y + 7 = (y 6y + 9) = (y ) t + 0t = 0(1 + t + t ) = 0(1 + t) 4z z = (z + 1) 4a 4a + 1 = (a 1) = (9 6 + ) = ( ) Här duger vare sig första eller andra kvadreringsregeln. Inte heller konjugatregeln. Återstår att lösa andragradsekvationen = = 0 = 4 ± + 5 = ± 1 = 1 = 5 Med dessa rötter kan vi skriva ekvationen som ( 1)( + 5) = 0 och därmed det ursprungliga uttrycket faktoriserat ( 1)( + 5) Håkan Strömberg 1 KTH Syd Haninge

64 17 m) Faktorisera 8 1 = ( 8 + 1) Vi löser nu andragradsekvationen inom parentesen = 0 = 8 ± 4 1 = 4 ± 1 = = 6 Vi för då uttrycket faktoriserat till ( )( 6). Vi får alltså inte glömma det minustecken vi lämnade utanför när vi tecknade ekvationen. 18 a) Förenkla 18 b) Förenkla 18 c) Förenkla 18 d) Förenkla 18 e) Förenkla y 1y 6 8y 5 5 = (16 ) ( 4) = (5 1) 5 1 = y( 4y) = ( 4y) = y = (5 + )(5 ) (5 ) = 18a + 1ab + b 9a + b (a + b) (a + b) = 5 + (4 )(4 + ) ( 1)(4 ) = (9a + 6ab + b ) (a + b) = (a + b) = (4 + ) = Håkan Strömberg KTH Syd Haninge

65 19 Förenkla a + ab a ab a ab a + ab = a(a + b ) a(a b) a(a b ) a(a + b) = (a + b ) (a b) (a + b)(a b) (a + b) = (a + b )(a b) (a + b)(a b)(a + b) = a + b (a + b) Håkan Strömberg KTH Syd Haninge

66 = (1 ) ( + 1) ( 1)( 1) ( ) (1 ) ( + 1) ( 1)( 1) ( ) = = (1 ) ( + 1) ( ) ( 1)( 1) = (1 )(1 + ) ( + 1) ( ) ( 1)( 1) = (1 )(1 + )( ) ( + 1)( 1)( 1) = (1 )( ) ( 1)( 1) = (1 )( ) ( 1)(1 )( 1) = ( ) ( 1)( 1) = 1 Håkan Strömberg 4 KTH Syd Haninge

67 1 a) = = 9 = 9 = ( ) 9 + = (9 ) ( + ) = ( )( + ) ( + ) = Håkan Strömberg 5 KTH Syd Haninge

68 1 b) = = = = = 1 5( + 1) 6(7 7) = 5( + 1) 7 7 = 10( + 1) 7 7 Bryt ut y y y 5 = y y 5 = y( y 4 ) Håkan Strömberg 6 KTH Syd Haninge

69 1 1.( 5) = ( + 4) = 8 1. = = 4 = = (4 ) = (6 + ) = = 6 18 = = 18 = 1.8 Håkan Strömberg 7 KTH Syd Haninge

70 = ( = 60 + ) = 60( + 10) 6 60( + ) = 10( + 10) 6( + ) 60 = = = = ( + ) ( ) ( ) 6 = 0 = 1 0 = 0 6( + ) 48 ( ) = = 0 4 = = = 8 Håkan Strömberg 8 KTH Syd Haninge

71 7 ( 1) 4 5 ( ( 1) 15 4 ) 5 15 ( 1) 5 15(4 ) = ( = ) 5 = (8 + ) 5 6( 1) 5(4 ) = 15 (8 + ) = = = ( ) 6 6 = = 6 = 6 ( ) = 1 1 = = 9 Håkan Strömberg 9 KTH Syd Haninge

72 9 8( + )( ) + (1 + ) ( 1)(1 + ) = 5 8( 9) + ( ) ( ) = ( ) = = = 5 4 = = 16 = 4 0 ( 4)( 1) + 1 ( 1)( + 5) = 0 ( 4 + 4) + 1 ( + 5 5) = = = = 0 = 0 9 = 10 Håkan Strömberg 10 KTH Syd Haninge

73 = 1 9 = 1 9 = 1 9 = = 1 9 ( 9(4 ) ) = ( 9(4 ) 4 1 ) = 9(4 ) 4 9(4 )(1 ) = 9(4 ) 1 9 9(4 ) 1 9 9(4 ) (4 )(1 ) = 4 7 ( ) = 4 7 ( ) = = = 4 48 = 16 = 1 Håkan Strömberg 11 KTH Syd Haninge

74 ( 1 + ) ( ) = 1 1 = 1 1 ( 1 = 18 1 ) = = = = = 6 Håkan Strömberg 1 KTH Syd Haninge

75 ( 1) 5 1 ( + 1) ( + 6( + 1)( 1) ( 1) 5 1 ) ( + 1) 6( + 1)( 1)( + ) ( 1) 6( + 1)( 1)(5 1) ( + 1) 0 = = 6( + 1)( 1) ( ) 0 = 6( + 1)( 1) 6( + 1)( 1) = 6( + 1)( 1)(0 ) 6( + 1)( 1) ( + 1)( + ) ( 1)(5 1) = 0 ( ) ( ) = ( ) = = = = = 0 7 = 6 = 4 Antag talet är + 16 = = ( 6) + 16 = = = 4 = 17 Svar: Talet är 17. Håkan Strömberg 1 KTH Syd Haninge

76 Föreläsning 11 5 Lös ekvationen ( 5)( + ) = 0 1 = 5 = Ekvationen är given på faktoriserad form. Därför kan vi direkt finna rötterna. 6 Lös ekvationen 5( 4) = 0 1 = 0 = 4 En andragradsekvation, som det här är fråga om, har två rötter. Dessa rötter kan vi direkt finna genom att ta reda på när de två faktorerna och 4 är lika med 0. Koefficienten 5 har ingen betydelse. 7 Lös ekvationen ( )(4 9) = 0 1 = = 9 4 Den första roten ser man direkt att den är. Har man problem att i huvudet komma fram till den andra kan man lösa ekvationen 4 9 = 0 8 Lös ekvationen 9 = = 0 (9 4) = 0 1 = 0 = 4 9 Det är förstår möjlig att i stället lösa denna ekvation med formeln 9 4 = 0 1 ( 9 4 ) = = 0 9 ( = 4 9 ± 9 = 9 ± 9 1 = 0 = 4 9 ) Håkan Strömberg 1 KTH Syd Haninge

77 Men lite jobbigare blir det väl 9 Lös ekvationen ( 5) = 9 1 = = 8 Om man inte direkt ser vilka värden ska ha för att båda sidorna ska få värdet 9 får man utveckla parentesen och använda formeln. 40 Lös ekvationen, som denna gång är en fjärdegradsekvation. Ekvationer av den graden kan vi bara lösa om den är snäll, som här. Observera att en fjärdegradsekvation har fyra rötter! Vi löser ekvationen genom att faktorisera den. 4 6 = 0 ( 6) = 0 ( 6 ) = 0 ( 6)( + 6) = 0 1 = 0 = 0 = 6 4 = 6 Vi hittar med hjälp av utbrytning och konjugatregeln de fyra faktorerna. Observera alltså att två av rötterna är 0, kallad dubbelrot. 41 Lös ekvationen = = = 5 = 1 = 5 = 5 Inledningsvis känns ekvationen ganska långt ifrån en andragradsekvation Håkan Strömberg KTH Syd Haninge

78 4 Lös ekvationen = 0 = 4 ± ( 4) + 9 = 4 ± 5 = 4 ± 5 1 = 1 = 9 När man funnit rötterna kan man skriva ekvationen på en faktoriserad form ( 1)( + 9) = 0. Det är nu lätt att se att när vi sätter in rötterna i denna ekvation så blir högra ledet = vänstra ledet. 4 Lös ekvationen 0 = 0 = 1 ± (1 ) + 0 = 1 ± = 1 ± = 1 ± 81 4 = 1 ± 9 1 = 5 = 4 44 Lös ekvationen = 0 1 ( ) = = 0 = 1 ± ( 1) + = 1 ± 4 = 1 ± 1 = 1 = Håkan Strömberg KTH Syd Haninge

79 45 Lös ekvationen 4 4 = 0 1 ( 4 4 ) = = = 0 = 1 ± (1 = 1 ± = 1 ± 1 = 1 ± 1 ) = 1 = 46 Lös ekvationen 47 Lös ekvationen (5 ) = 7( 9) 5 = = = 0 = 1 ± ( 1) + 6 = 1 ± 8 1 = 7 = 9 ( 4)( + 1) = = 6 10 = 0 = ± ( ) + 10 = ± = ± 49 4 = ± 7 1 = 5 = Håkan Strömberg 4 KTH Syd Haninge

80 48 Lös ekvationen = 0.4( + 1) 0 = ( ) = = 0 = 5 4 ± (5 4) 1 = 5 4 ± = 5 4 ± 9 16 = 5 4 ± 4 1 = = 1 49 Lös ekvationen 8( )(7 + 11) = 0 1 = = Lös ekvationen 15 = = 0 (15 16) = 0 1 = 0 = Håkan Strömberg 5 KTH Syd Haninge

81 51 Bestäm de värden på för vilka polynomet p() = 18 antar värdet 0. Samma sak som att lösa ekvationen 18 = = 0 (18 ) = 0 Svar: Polynomet antar värdet 0 för = 0 och = 9 1 = 0 = 9 5 a) Bestäm värdet y om = y y = 5 b) Bestäm värdet y om y = 1 y = 1 y = ±1 = y Håkan Strömberg 6 KTH Syd Haninge

82 5 c) Bestäm värdet y om 7y + y = 0 1 ( 7y + y ) = 1 0 7y + y = 0 = 7y 4 ± (7y 4 ) y = 7y 49y 4 ± 16 8 y 8 = 7y 49y 4 ± 16 4y 16 = 7y 5y 4 ± 16 = 7y 4 ± 5y 4 1 = y = y Från detta får vi y = 1 och y = Håkan Strömberg 7 KTH Syd Haninge

83 5 Ekvationen ( 15)(+4k) = 0 har en rot = 5 vilket värde har konstanten k?. Sätt in = 5 i ekvationen och bestäm k. (5 15)( 5 + 4k) = 0 (65 15)(50 + 4k) = 0 610(50 + 4k) = k = k = k = 0 k = k = 1.5 Håkan Strömberg 8 KTH Syd Haninge

84 Föreläsning 1 54 a) Lös ekvationen 5 = ( 5 ) = 5 = 4 = 9 Detta är en rotekvation. För att vara riktigt säker på att de rötter man fått fram är äkta tvingas man pröva dem. = 9 är en äkta rot 54 b) Lös ekvationen V.L. 9 5 = H.L. 1 = 7 ( 1 ) = ( 7 ) 1 = 7 = 8 = 4 V.L. 4 1 = 7 H.L. 7 = 4 är en äkta rot 54 c) Lös ekvationen + = ( + 1) = = + 1 Detta är ingen rotekvation, eftersom inget befinner sig under rottecken. Håkan Strömberg 1 KTH Syd Haninge