Fall 1 2x = sin 1 (1) + n 2π 2x = π 2 + n 2π. x = π 4 + n π. Fall 2 2x = π sin 1 (1) + n 2π. 2x = π π 2 + n 2π

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Fall 1 2x = sin 1 (1) + n 2π 2x = π 2 + n 2π. x = π 4 + n π. Fall 2 2x = π sin 1 (1) + n 2π. 2x = π π 2 + n 2π"

Transkript

1 48 a sin x + cos x = cos x Trigonometriska ettan sin v + cos v = 1 1 = cos x cos x = 1 x = ±cos 1 (1) + n π x = 0 + n π x = n π b sin x cos x = 1 Multiplicera båda led med sin x cos x = 1 sin x cos x = 1 Sinus för dubbla vinkeln sin x = sin x cos x sin x = 1 x = sin 1 (1) + n π x = π + n π x = π 4 + n π Fall x = π sin 1 (1) + n π Svar: x = n π = n 360 x = π π + n π x = π + n π x = π 4 + n π Svar: x = π + n π = 45 + n 180 4

2 49 a sin x cos x = 1 (cos x sin x) = 1 cos x sin x = 1 cosinus för dubbla vinkeln cos x = cos x sin x cos x = 1 x = ± cos 1 ( 1) + n π x = ±π + n π x = ± π + n π Då det positiva och negtiva fallet överlappar varandra så kan vi få alla lösningar med uttrycket x = π + n π = 90 + n 180 b sin(x + 90 ) = cos x Utnyttja additionsformeln för sinus i VL sin(v + u) = sin v cos u + cos v sin u sin x cos 90 + cos x sin 90 = cos x cos 90 = 0 sin 90 = 1 sin x 0 + cos x 1 = cos x cos x = cos x Flytta över alla termer till en sida, dela inte med cos x då cos x kan vara noll. cos x cos x = 0 cos x (1 cos x) = 0 Nollprodukten ger två ekvationer cos x = 0 1 cos x = 0 cos x = 0 (1) cos x = 1 () cos x = 0 x = ± cos 1 (0) + n 360 x = ±90 + n 360 Då det positiva och negtiva fallet överlappar varandra så kan vi få alla lösningar med uttrycket x = 90 + n 180 Svar: x = π + n π = 90 + n 180

3 Lösning av ekvation () cos x = 1 x = ±0 + n 360 x = n a cos ( x ) = 1 Utnyttja att cos(v ) = cos v vilket ger cos ( x ) = cos x se figur Svar: x = 90 + n 180 x = n 360 cos x = 1 cos x = 1 x = cos 1 (1) + n 360 x = 0 + n 360 x = n 360 x = n 70 där n Z Svar: x = n 70

4 b sin x cos x = 0.1 Multiplicera båda sidor med sin x cos x = 0.1 sin x cos x = 0. Utnyttja sinus för dubbla vinkeln sin x = sin x cos x sin x = 0. x = sin 1 (0.) + n 360 x = sin 1 (0.) + n 180 x = n 180 Fall x = 180 sin 1 (0.) + n 360 x = 180 sin 1 (0.) + n 180 x = 84 + n 180 Svar: x = n 180 x = 84 + n 180

5 c sin v = sin v sin v = sin v Utnyttja sinus för dubbla vinkeln sin v = sin v cos v sin v = sin v cos v Flytta över alla termer till en sida, dela inte med sin v då sin v kan vara noll. sin v sin v cos v = 0 sin v (sin v cos v) = 0 Nollprodukten ger två ekvationer sin v = 0 (1) sin v cos v = 0 () sin v = 0 v = sin 1 (0) + n 360 v = 0 + n 360 v = n 360 Fall v = 180 sin 1 (0) + n 360 v = n 360 v = n 360 Lösningarna från de båda fallen fås av uttrycket v = n 180 Lösning av ekvation () sin v cos v = 0 Vi vill bryta ut cos v ur VL och förlänger därför med cos v sin v cos v cos v = 0 cos v cos v ( sin v cos v ) = 0 cos v (tan v ) = 0 Nollprodukten ger två ekvationer cos v = 0 (3) tan v = 0 (4) Lösning av ekvation (3) cos v = 0 v = cos 1 (0) + n 360 v = ±90 + n 360 OBS! ekvation (1) och (3) kan inte båda vara sanna, då det inte finns någon vinkel v som gör att sinus och cosinus samtidigt blir noll. Vi prövar först lösningarna för sin v = 0, i den ursprungliga ekvationen vi väljer v = 0 och 180 TI-räknare 0 = falskt, 1 = sant Lösningarna v = n 180 är OK

6 och nu testar vi lösningarna för cos v = 0, i den ursprungliga ekvationen vi väljer v = 90 och 90 Lösningarna v = ±90 + n 180 är falska och måste därmed förkastas. Lösning av ekvation (4) tan v = 0 tan v = v = tan 1 () + n 180 v 63 + n 180 Svar: v = n 180 v 63 + n 180

7 d Lösningsalternativ 1 sin x = sin x Vi har två vinklar x och x skriv om VL så att vi får bara vinkeln x sin ( x ) = sin x Utnyttja sinus för dubbla vinkeln i VL sin x = sin x cos x sin x cos x = sin x Flytta över alla termer till en sida, dela inte med sin x då sin x kan vara noll. sin x cos x sin x = 0 Bryt ut sin x sin x ( cos x 1) = 0 Nollprodukten ger två ekvationer sin x = 0 (1) cos x 1 = 0 () sin x = 0 x = sin 1 (0) + n 360 x = 0 + n 360 x = n 360 x = n 70 Fall x = 180 sin 1 (0) + n 360 x = n 360 x = n 360 x = n 70 n x = n 70 x = n Av tabellen framgår att avståndet mellan vinklarna som utgör lösningarna till ekvationen är 360, sålunda fås samtliga lösningar med endast ett uttryck x = n 360 Lösning av ekvation () cos x 1 = 0 cos x = 1 x = ±cos 1 ( 1 ) + n 360 x = ± cos 1 ( 1 ) + n 70 x = ± 60 + n 70 x = ±10 + n 70 Svar: x = n 360 x = ±10 + n 70

8 Lösningsalternativ sin x = sin x Förkorta sinus från båda led, när detta görs vet vi att sinus har två vinklar som löser ekvationen, vilket ger ekvationerna Svaren skiljer sig åt i de båda lösningsalternativen för att övertyga oss om att de pekar ut samma vinklar utför vi en undersökning på räknaren Lösningsalternativ 1 är orange Lösningsalternativ är gul x = x + n 360 (1) x = 180 x + n 360 () x = x + n 360 Multiplicera båda led med x = x + n 70 Subtrahera x från båda led x x = x x + n 70 x = n 70 Lösning av ekvation () x = 180 x + n 360 Multiplicera båda led med x = 360 x + n 70 Addera x till båda led x + x = 360 x + x + n 70 3x = n 70 Dela båda led med 3 x = 10 + n 40 Svar: x = n 70 x = 10 + n 40

9 51 a tan x = 4 sin x tan x = sin x cos x sin x cos x = 4 sin x Flytta över alla termer till en sida, dela inte med sin x då sin x kan vara noll. sin x cos x 4 sin x = 0 Bryt ut sin x sin x ( 1 cos x 4) = 0 Nollprodukten ger två ekvationer sin x = 0 (1) 1 cos x 4 = 0 () Lösning av ekvation () 1 cos x 4 = 0 1 cos x = 4 invertera båda led cos x = 1 4 x = ± cos 1 ( 1 4 ) + n 360 x ±76 + n 360 x = sin 1 (0) + n 360 x = 0 + n 360 x = n 360 Svar: x = n 180 x ±76 + n 360 Fall x = 180 sin 1 (0) + n 360 x = n 360 x = n 360 Lösningarna från de båda fallen fås av ett uttryck x = n 180

10 b tan x cos x + sin x = 0 tan x = sin x cos x sin x cos x + sin x = 0 cos x sin x + sin x = 0 sin x = 0 sin x = 0 x = sin 1 (0) + n 360 x = 0 + n 360 x = n 360 Fall x = 180 sin 1 (0) + n 360 x = n 360 x = n 360 Lösningarna från de båda fallen fås av ett uttryck x = n 180 c sin x = sin x cos x Utnyttja sinus för dubbla vinkeln i VL sin x = sin x cos x sin x cos x = sin x cos x Flytta över alla termer till en sida, dela inte med sin x eller cos x då dessa kan vara noll. sin x cos x sin x cos x = 0 sin x cos x = 0 Nollprodukten ger två ekvationer sin x = 0 (1) cos x = 0 () x = sin 1 (0) + n 360 x = 0 + n 360 x = n 360 Fall x = 180 sin 1 (0) + n 360 x = n 360 x = n 360 Lösningarna från de båda fallen fås av uttrycket x = n 180 Svar: x = n 180

11 Lösning av ekvation () cos x = 0 x = ± cos 1 (0) + n 360 x = ±90 + n 360 Då det positiva och negtiva fallet överlappar varandra så fås alla lösningar med ett uttryck x = 90 + n 180 Betraktar vi de båda enhetscirklarna så ser vi att för var 90:e grad finns en lösning, sålunda fås alla lösningar för den ursprungliga ekvationen med ett uttryck x = n 90 Svar: x = n 90 d tan x + tan x 1 = 0 Substituera: k = tan x k + k 1 = 0 pq-formel ger k = ± ( ) ( 1) k = 1 ± k 1 = 1 + k = 1 Återsubstituera, ger ekvationerna tan x = 1 + (1) tan x = 1 () tan x = 1 + tan x = 1 x =.5 + n 180

12 Lösning av ekvation () tan x = 1 x = tan 1 ( 1 ) + n 180 x = n cos x sin x = 0 Lösningsalternativ 1 Skriv om VL med hjälp av den trigonometriska identiteten som kallas sinus för dubbla vinkeln sin x = sin x cos x cos x sin x = 0 sin x = 0 x = sin 1 (0) + n 360 x = 0 + n 360 x = n 360 x = n 180 Betraktas båda enhetscirklarna så inses att =.5 samtliga lösningar kan fås av ett uttryck x =.5 + n 90 Fall x = 180 sin 1 (0) + n 360 x = n 360 x = n 360 x = 90 + n 180 Svar: x =.5 + n 90 Betraktas båda enhetscirklarna så inses att samtliga lösningar kan fås av ett uttryck Svar: x = n 90

13 Lösningsalternativ cos x sin x = 0 Dela båda sidor med cos x sin x = 0 Då högerledet är noll utnyttjar vi nollprodukten som ger två ekvationer sin x = 0 (1) cos x = 0 () Lösning av ekvation () cos x = 0 x = ± cos 1 (0) + n 360 x = ±90 + n 360 Då det positiva och negtiva fallet överlappar varandra så fås alla lösningar med uttrycket x = 90 + n 180 sin x = 0 x = sin 1 (0) + n 360 x = 0 + n 360 x = n 360 Fall x = 180 sin 1 (0) + n 360 x = n 360 x = n 360 Betraktas båda enhetscirklarna så inses att samtliga lösningar fås av ett uttryck x = n 90 Svar: x = n 90 Lösningarna från de båda fallen fås av ett uttryck x = n 180

14 53 Grafisk Lösning Geogebra I tidiga upplagor av boken finns den felaktiga uppgiften u(t) = 0 sin(18000t + 60) som ska ersättas med den korrekta u(t) = 0 sin (18000 (t + π 3 )) Tiden efterfrågas då spänningen är 15 V sätt v(t) = 15 Tiden är angiven i sekunder vilket är en för stor enhet så vi väljer mikrosekunder 1 s = 10 6 µs, dela t med 10 6 i ekvationen. vilket ger ekvationsystemet t u(t) = 0 sin (18000 ( π 3 )) v(t) = 15 Svar: Spänningen är 15 V första gången efter 47 µs u(t) = v(t) ger ekvationen 0 sin (18000 ( t π )) = 15 3 Grafisk Lösning TI-räknare, radianer

15 54 sinussatsen sin A = sin B a b sin v 30 = sin w 40 = sin C c då en av de motstående vinklarna är dubbelt så stor som den andra fås w = v, insättes i ekvation ovan sin v sin v = sinus för dubbla vinkeln sin v = sin v cos v sin v sin v cos v = Korsvis multiplikation 40 sin v = 30 sin v cos v alla termer till en sida 40sin v 60 sin v cos v = 0 dela alla termer med 0 sin v 3 sin v cos v = 0 bryt ut sin v sin v ( 3 cos v) = 0 nollprodukten ger två ekvationer sin v = 0 (1) 3 cos v = 0 () sin v = 0 v = sin 1 (0) + n 360 v = 0 + n 360 v = n 360 Fall v = 180 sin 1 (0) + n 360 v = n 360 v = n 360 Lösningarna från de båda fallen fås av ett uttryck v = n 180 Kommentar: Ingen vinkel i en triangel kan vara 0 eller 180 Lösning av ekvation () 3 cos v = 0 cos v = 3 v = ± cos 1 ( 3 ) + n 360 och 0 < v < 180 v n 360 w = v w = 96.4 Då vinkelsumman i en triangel är 180 fås ekvationen u = = 35.4 Svar: 35.4, 48. och 96.4

16 55 sinussatsen sin A = sin B a b = sin C c sin v sin(v + 45 ) = sin v = 10 sin(v + 45 ) Dela båda led med 7sin v = 5sin(v + 45 ) additionsformel för sinus sin(v + u) = sin v cos u + cos v sin u 7sin v = 5(sin v cos 45 + cos v sin 45 ) cos 45 = sin 45 = 7 sin v = 5 (sin v + cos v ) Multiplicera båda led med 14 sin v = 5(sin v + cos v ) 14 sin v = 5 sin v + 5 cos v Då v 90 kan alla termer delas med cos v 14 tan v = 5 tan v tan v 5 tan v = 5 Bryt ut tan v tan v (14 5 ) = 5 tan v = v = tan 1 ( ) + n 180 och 0 < v < 180 v 45.6 v Då vinkelsumman i en triangel är 180 fås ekvationen u = = 43.8 Svar: 43.8, 45.6 och 90.6

17 56 Fall Yttervinkelsatsen ger ekvationen v + 30 = v + u u = 30 cosinusatsen a = b + c bc cos v ger ekvationen (x 1 ) = cos 30 (x 1 ) = (x 1 ) = (x 1 ) = x 1 > 0 x 1 = km Nu när vi vet x 1 = och u = 30 tecknas med sinussatsen ekvationen sin v 0.9 = sin u se figur x sin 30 sin v = sin 30 = 1 v = sin ( ) Vinkelsumman ger ekvationen w + v + v + 30 = 180 w = 150 v 68.3 cosinusatsen ger ekvationen (x ) = cos 68.3 x > 0 x 1.8 km Svar: 0.69 km eller 1.8 km

18 57 Uttrycket är inte definierat om nämnaren är lika med noll det vill säga cos x + cos x + sin x + 1 = 0 Cosinus för dubbla vinkeln cos x = cos x 1 och Trigonometriska ettan sin x + cos x = 1 sin x = 1 cos x ger cos x 1 + cos x + 1 cos x + 1 = 0 cos x + cos x + 1 = 0 Substituera cos x = t t + t + 1 = 0 t = 1 ± 1 1 t 1 = t = 1 Återsubstituera cos x = 1 x = cos 1 ( 1) + n 360 x = n 360 Svar: Nämnaren antar värdet noll då vinkeln x antar värdena n a sin x tan x + cos x = 1 tan x = sin x cos x sin x sin x cos x + cos x = 1 sin x cos x + cos x = 1 Multiplicera båda led med cos x sin x + cos x = cos x Trigonometriska ettan i VL sin x + cos x = 1 cos x = 1 x = ±cos 1 (1) + n π x = 0 + n π x = n π Svar: x = n π = n 360

19 b Lösningsalternativ 1 sin (x + π 3 ) + cos (x + π 3 ) = 0 additionsformel för sinus sin(v + u) = sin v cos u + cos v sin u additionsformeln för cosinus cos(v + u) = cos v cos u sin v sin u sin x cos π 3 + cos x sin π 3 + cos x cos π 3 sin x sin π 3 = 0 sin π 3 = 3 cos π 3 = 1 sin x cos x + cos x 1 3 sin x = sin x + cos x cos x sin x = 0 multiplicera båda led med sin x + 3 cos x + cos x 3 sin x = 0 Bryt ut cos x cos x ( sin x sin x cos x cos x ) = 0 cos x (tan x tan x) = 0 Nollprodukten ger två ekvationer cos x = 0 (1) tan x tan x = 0 () cos x = 0 x = ± cos 1 (0) + n 360 x = ±90 + n 360 Då det positiva och negtiva fallet överlappar varandra så kan vi få alla lösningar med uttrycket x = 90 + n 180 Lösning av ekvation () tan x tan x = 0 tan x 3 tan x = 1 3 bryt ut tan x tan x (1 3) = tan x = 1 3 Här kan vi ta fram det tekniska hjälpmedlet, vi väljer dock att förenkla vidare tan x = (1 + 3)(1 + 3) tan x = (1 3)(1 + 3) tan x = tan x = tan x = + 3 Det finns en vinkel som har det exakta tangensvärdet + 3, dock inte i tabellen i kursens formelblad, se tabell på Internet, det är förstås överkurs att kunna denna vinkel. x = 5π + n π = 75 + n 180 1

20 Lösningsalternativ sin (x + π 3 ) + cos (x + π 3 ) = 0 Utnyttja komplementvinkeln cos x = sin ( π x) sin (x + π 3 ) + sin (π (x + π 3 )) = 0 Förenkla högra termens vinkel π (x + π 3 ) = π x π 3 = π 3 3 x π 3 = 3π π x = π 6 6 x sin (x + π 3 ) + sin (π 6 x) = 0 sin (x + π 3 ) = sin (π 6 x) sin x = sin( x) sin (x + π 3 ) = sin ( (π 6 x)) sin (x + π 3 ) = sin (x π 6 ) Svar: x = 5π + n π = 75 + n Förkorta sinus från båda led, när detta görs vet vi att sinus har två vinklar som löser ekvationen, vilket ger ekvationerna x + π 3 = x π + n π (1) 6 x + π 3 = π (x π ) + n π () 6 x + π 3 = x π 6 + n π Subtrahera x från båda led π 3 = π + n π, vilket inte är sant 6 Vi har fått en motsägelse, vilket betyder att ekvation (1) saknar lösning.

21 Lösning av ekvation () x + π 3 = π (x π 6 ) + n π x + π 3 = π x + π 6 + n π x = π + π 6 π 3 + n π x = 6π 6 + π 6 π 3 + n π x = 5π 6 + n π x = 5π 1 + n π Svar: x = 5π 1 + n π

sin (x + π 2 ) = sin x cos π 2 + cos x sin π 2 = cos π 2 = 0 sin π 2 = 1 Svar: cos x

sin (x + π 2 ) = sin x cos π 2 + cos x sin π 2 = cos π 2 = 0 sin π 2 = 1 Svar: cos x 33 a Använd additionsformel för sinus sin(x + 55 ) = sin x cos 55 + cos x sin 55 cos 55 och sin 55 beräknas med tekniskt hjälpmedel TI-räknare c Använd additionsformel för sinus sin (x + π ) = sin x cos

Läs mer

2320 a. Svar: C = 25. Svar: C = 90

2320 a. Svar: C = 25. Svar: C = 90 2320 a Utgå ifrån y = sin x Om vi subtraherar 25 från vinkeln x, så kommer den att "senareläggas" med 25 och således förskjuts grafen åt höger y = sin(x 25 ) Svar: C = 25 b Utgå ifrån y = sin x Om vi adderar

Läs mer

2146 a. v = 290 v = 290 omvandlingsfaktor rad v = 290 v = rad v 5.1 rad

2146 a. v = 290 v = 290 omvandlingsfaktor rad v = 290 v = rad v 5.1 rad 146 a v = 38 v = 38 omvandlingsfaktor rad v = 38 180 rad v = 0.663 rad v 0.7 rad c v = 90 v = 90 omvandlingsfaktor rad v = 90 180 rad v = 5.061 rad v 5.1 rad b v = 196 v = 196 omvandlingsfaktor rad v =

Läs mer

2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat

2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat 2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat A Punkten P har koordinaterna x och y P = (x, y) i enhetscirkeln gäller att { x = cos x y = sin x P = (cos x, sin x) För vinkeln

Läs mer

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson , MA104 Senaste uppdatering 009 04 03 Dennis Jonsson Lösningar till Matematik 3000 Komvu Kurs D, MA104 Fler lösningar kommer fortlöpande. Innehåll 110... 6 111... 6 11... 6 1130... 7 1141... 7 114... 8

Läs mer

Trigonometri. Sidor i boken 26-34

Trigonometri. Sidor i boken 26-34 Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor

Läs mer

Uppgiftshäfte Matteproppen

Uppgiftshäfte Matteproppen Uppgiftshäfte Matteproppen Emma ndersson 0 Joar Lind 0 Sara Lundsten 05 Malin Forsberg 06 UPPSL UNIVERSITET Innehåll Uppdelning av häfte Uppgifter Block. Bråkräkning........................ Uttryck..........................

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 4 april 06 (prövningstillfälle 6) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

för Tekniskt/Naturvetenskapligt Basår

för Tekniskt/Naturvetenskapligt Basår Institutionen för Fysik och Astronomi Tentamen i Matematik D 21-8-16 för Tekniskt/Naturvetenskapligt Basår lärare : Filip Heijkenskjöld, Susanne Mirbt, Lars Nordström Skrivtid: 8.-12. Hjälpmedel: Miniräknare

Läs mer

Avsnitt 5, introduktion.

Avsnitt 5, introduktion. KTHs Sommarmatematik Introduktion 5:1 5:1 Avsnitt 5, introduktion. Radianer Vinkelmåttet radianer är i matematiska sammanhang bättre än grader, särskilt när man sysslar med de trigonometriska funktionerna

Läs mer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationstyp : Ekvationer av första graden När vi löser ekvationer av första graden använder vi oss av de fyra grundläggande räknesätten för att beräkna x. Vid minus

Läs mer

LNC Lösningar

LNC Lösningar LNC022 2013-05-27 Lösningar 1. (a) På en vägskylt står det att vägens lutning är 12 %. Om detta innebär att höjdskillnaden är 12 % av den körda vägsträckan, vilken är då vägens lutningsvinkel? (Rita figur.)

Läs mer

Föreläsning 9: Komplexa tal, del 2

Föreläsning 9: Komplexa tal, del 2 ht016 Föreläsning 9: Komplexa tal, del Den komplexa exponentialfunktionen För att definiera den komplexa exponentialfunktionen utgår vi ifrån att den ska följa samma regler som för reella tal. Vi minns

Läs mer

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi A1:an Repetition Philip Larsson 6 april 013 1 Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi 1.1 Delmängd Om ändpunkterna ska räknas med används symbolerna [ ] och raka sträck. Om ändpunkterna inte skall

Läs mer

Sidor i boken Figur 1:

Sidor i boken Figur 1: Sidor i boken 5-6 Mer trigonometri Detta bör du kunna utantill Figur 1: Triangeln till vänster är en halv liksidig triangel. Varje triangel med vinklarna 0,60,90 är en halv liksidig triangel. Hypotenusan

Läs mer

A-del. (Endast svar krävs)

A-del. (Endast svar krävs) Lösningar till tentamen i Matematik grundkurs den 7 juni 011. A-del. (Endast svar krävs) 1. Förenkla så långt som möjligt. Svar: 1 1 1 1 +1. Skriv talet på formen a + ib. Svar: 1 + i 3. Beräkna 10 + 5i

Läs mer

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15 M0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 29 Läsövning Summan av två tal Differensen mellan två tal a + b a b Produkten av två tal

Läs mer

TATM79: Föreläsning 7 Arcusfunktioner och hjälpvinkelmetoden

TATM79: Föreläsning 7 Arcusfunktioner och hjälpvinkelmetoden TATM79: Föreläsning 7 Arcusfunktioner och hjälpvinkelmetoden Johan Thim augusti 0 Inverser till trigonometriska funktioner Om vi ritar upp funktionen y = sin ser vi följande: y y = sin Självklart går det

Läs mer

Mina videos Jag har satt samman en snabbkurs för er som behöver repetera grundskolans matematik:

Mina videos Jag har satt samman en snabbkurs för er som behöver repetera grundskolans matematik: Behov av förkunskaper i matematik För att du ska kunna följa med i undervisningen i rörelselära (IB4) krävs förkunskaper i grundskolans matematik, samt lite trigonometri. Jag medsänder därför ett förkunskapstest

Läs mer

5. Sfärisk trigonometri

5. Sfärisk trigonometri 5. Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill använda den sfäriska trigonometrin för beräkningar på storcirkelrutter längs jordytan (för sjöfart och luftfart). En storcirkel är en cirkel på sfären vars medelpunkt

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016 Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri

Läs mer

Lösning av trigonometriska ekvationer

Lösning av trigonometriska ekvationer Lösning av trigonometriska ekvationer Uppsala universitet 06 Per Engström per.engtrom@math.uu.se Inledning För att lösa problem i som innehåller trigonometriska funktioner kan mab bahöva lösa trigonometriska

Läs mer

3. Trigonometri. A c. Inledning

3. Trigonometri. A c. Inledning 3. Trigonometri Inledning Trigonometri betyder triangelmätning. De grundläggande storheterna som vi kan mäta i en triangel är dess sidor och vinklar. Ett bra sätt att beteckna en triangels sidor och hörn

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande

Läs mer

Matematik D (MA1204)

Matematik D (MA1204) Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp

Läs mer

Introduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR

Introduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Höstterminen 006 Introduktionskurs i matematik för civilingenjörsprogrammet F Tentamen på Introduktionskursen i matematik äger rum lördagen den 6 september

Läs mer

Approximation av funktioner

Approximation av funktioner Vetenskapliga beräkningar III 8 Kapitel Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner I allmänhet kan inte ens elementära funktioner

Läs mer

Matematik Åk 9 Provet omfattar stickprov av det centrala innehållet i Lgr-11. 1. b) c) d)

Matematik Åk 9 Provet omfattar stickprov av det centrala innehållet i Lgr-11. 1. b) c) d) 1. b) c) d) a) Multiplikation med 100 kan förenklas med att flytta decimalerna lika många stg som antlet nollor. 00> svar 306 b) Använd kort division. Resultatet ger igen rest. Svar 108 c) Att multiplicera

Läs mer

Om a 2 är ett jämnt tal, så är också a ett jämt tal sant. = 4n 2 + 4n + 1

Om a 2 är ett jämnt tal, så är också a ett jämt tal sant. = 4n 2 + 4n + 1 1127 Påstående betecknas med P Motsatsen till påsteåendet betecknas P = icke P = inte P = ej P P n är ett udda tal P n är ett jämnt tal Kommentar: n kan enbart vara udda eller jämnt, P a + 2b 15 P a +

Läs mer

Tentamen i Matematik, del B, för Tekniskt basår

Tentamen i Matematik, del B, för Tekniskt basår Tentamen i Matematik, del B, för Tekniskt basår Kurskod: MVE45 B Telefonvakt: tel. Datum: 4 augusti 016 Tid för tentamen: 14.00-18.00 Hjälpmedel: Inga Betygsgränser: Betyg : 0-1, Betyg 4: - 41, Betyg 5:

Läs mer

formler Centralt innehåll

formler Centralt innehåll Trigonometri och formler Centralt innehåll Trigonometriska uttrck. Bevis och användning av trigonometriska formler. Olika bevismetoder inom matematiken. Algebraiska metoder för att lösa trigonometriska

Läs mer

Repetition av cosinus och sinus

Repetition av cosinus och sinus Repetition av cosinus och sinus Av Eric Borgqvist, 00-08-6, Lund Syftet med detta dokument är att få en kort och snabb repetition av vissa egenskaper hos de trigonometriska funktionerna sin och cos. Det

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd

Läs mer

Tal Räknelagar. Sammanfattning Ma1

Tal Räknelagar. Sammanfattning Ma1 Tal Räknelagar Prioriteringsregler I uttryck med flera räknesätt beräknas uttrycket i följande ordning: 1. Parenteser 2. Potenser. Multiplikation och division. Addition och subtraktion Exempel: 5 22 1.

Läs mer

Matematik EXTRAUPPGIFTER FÖR SKOLÅR 7-9

Matematik EXTRAUPPGIFTER FÖR SKOLÅR 7-9 Matematik EXTRAUPPGIFTER FÖR SKOLÅR 7-9 Matematik Extrauppgifter för skolår 7-9 Pärm med kopieringsunderlag. Fri kopieringsrätt inom utbildningsenheten! Författare: Mikael Sandell Copyright 00 Sandell

Läs mer

TATM79: Föreläsning 8 Arcusfunktioner

TATM79: Föreläsning 8 Arcusfunktioner TATM9: Föreläsning 8 Arcusfunktioner Johan Thim augusti 0 Inverser till trigonometriska funktioner Om vi ritar upp funktionen y = sin ser vi följande: y y = sin Självklart går det inte att hitta en invers

Läs mer

TATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer

TATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer TATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer Johan Thim 9 september 05 Komplexa tal på polär form Ett komplex tal z = a+bi kan som bekant betraktas som en punkt i komplexa

Läs mer

SF1620 Matematik och modeller

SF1620 Matematik och modeller KTH Teknikvetenskap, Institutionen för matematik 1 SF160 Matematik och modeller 007-09-10 Andra veckan Trigonometri De trigonometriska funktionerna och enhetscirkeln Redan vid förra veckans avsnitt var

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller

5B1134 Matematik och modeller KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 5 september 2005 1 Första veckan Geometri med trigonometri Veckans begrepp cirkel, cirkelsegment, sektor, korda båglängd, vinkel, grader, radianer sinus, cosinus,

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2001 3. Skolverkets svar, #1 #6 9. Några lösningar till D-kursprov vt 2001 10

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2001 3. Skolverkets svar, #1 #6 9. Några lösningar till D-kursprov vt 2001 10 JENSENvuutbildning NpMaD vt för Ma4 (4) VERSION UNDER ARBETE. Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN Skolverkets svar, # #6 9 Några lösningar till D-kursprov vt Digitala verktg är

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Y

Sammanfattningar Matematikboken Y Sammanfattningar Matematikboken Y KAPitel 1 TAL OCH RÄKNING Numeriska uttryck När man beräknar ett numeriskt uttryck utförs multiplikation och division före addition och subtraktion. Om uttrycket innehåller

Läs mer

Intromatte för optikerstudenter

Intromatte för optikerstudenter Intromatte för optikerstudenter Av Robert Rosén (2012). Ändringar av Daniel Larsson (2013). Ändringar av Jakob Larsson och Emelie Fogelqvist (2014). Kursmål Efter intromatten vill vi att du inom matematik

Läs mer

14 min 60 s min 42 s 49m 2 =18 s m 2, alltså samma tid. Vi kan säga att den tid som mamman behövde åt dammsugning var beroende av husets storlek.

14 min 60 s min 42 s 49m 2 =18 s m 2, alltså samma tid. Vi kan säga att den tid som mamman behövde åt dammsugning var beroende av husets storlek. PASS 10. FUNKTIONER 10.1 Grundbegrepp om funktioner Mamman i den finländska modellfamiljen från pass fyra brukade dammsuga det 100 m 2 stora huset varje lördag. Det tog 30 minuter. Efter att pappan hade

Läs mer

Intromatte för optikerstudenter

Intromatte för optikerstudenter Intromatte för optikerstudenter Av Robert Rosén (2012). Ändringar av Daniel Larsson, Jakob Larsson, Emelie Fogelqvist och Simon Winter (2013 2016). Kursmål Efter intromatten vill vi att du inom matematik

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller

5B1134 Matematik och modeller KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2006-09-04 1 Första veckan Geometri med trigonometri Veckans begrepp cirkel, cirkelsegment, sektor, korda, båglängd, vinkel, grader, radianer, sinus, cosinus,

Läs mer

MATMAT01b (Matematik 1b)

MATMAT01b (Matematik 1b) Sida 1 av 6 MATMAT01b (Matematik 1b) ATT KUNNA TILL PROV MATMAT01b1 - Öka, respektive minska temperaturer - Skriva tal skrivna med text med siffror, Ex två tiondelar = 0,2 - Hitta på två bråk som ger en

Läs mer

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2 DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt

Läs mer

sanningsvärde, kallas utsagor. Exempel på utsagor från pass 1 är

sanningsvärde, kallas utsagor. Exempel på utsagor från pass 1 är PASS 7. EKVATIONSLÖSNING 7. Grundbegrepp om ekvationer En ekvation säger att två matematiska uttryck är lika stora. Ekvationen har alltså ett likhetstecken och två deluttryck på var sin sida om likhetstecknet.

Läs mer

a), c), e) och g) är olikheter. Av dem har c) och g) sanningsvärdet 1.

a), c), e) och g) är olikheter. Av dem har c) och g) sanningsvärdet 1. PASS 9. OLIKHETER 9. Grundbegrepp om olikheter Vi får olikheter av ekvationer om vi byter ut likhetstecknet mot något av tecknen > (större än), (större än eller lika med), < (mindre än) eller (mindre än

Läs mer

SF1620 Matematik och modeller

SF1620 Matematik och modeller KTH Teknikvetenskap, Institutionen för matematik 1 SF1620 Matematik och modeller 2007-09-03 1 Första veckan Geometri med trigonometri Till att börja med kom trigometrin till för att hantera och lösa geometriska

Läs mer

Matematik och modeller Övningsuppgifter

Matematik och modeller Övningsuppgifter Matematik och modeller Övningsuppgifter Beräkna a) d) + 6 b) 7 (+) + ( 9 + ) + 9 e) 8 c) ( + (5 6)) f) + Förenkla följande uttryck så långt som möjligt a) ( ) 5 b) 5 y 6 5y c) y 5 y + y y d) +y y e) (

Läs mer

Trigonometri. Joakim Östlund Patrik Lindegrén 28 oktober 2003

Trigonometri. Joakim Östlund Patrik Lindegrén 28 oktober 2003 Trigonometri Joakim Östlund Patrik Lindegrén 28 oktober 2003 1 Sammanfattning Trigonometrin är en mycket intressant och användbar del av matematiken. Med hjälp av dom samband och relationer som förklaras

Läs mer

Geometri och Trigonometri

Geometri och Trigonometri Kapitel 5 Geometri och Trigonometri I detta kapitel kommer vi att koncentrera oss på de trigonometriska funktionerna sin x, cos x och tan x. 5. Repetition Här repeteras några viktiga trigonometriska definitioner

Läs mer

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS.

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS. Lösningar till några övningar i Kap 1 i Vektorgeometri 17. I figuren är u en spetsig vinkel som vi har markerat i enhetscirkeln. Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät

Läs mer

Repetition inför kontrollskrivning 2

Repetition inför kontrollskrivning 2 Sidor i boken Repetition inför kontrollskrivning 2 Problem 1. I figuren ser du två likformiga trianglar. En sida i den större och motsvarande i den mindre är kända. Beräkna arean av den mindre triangeln.

Läs mer

den reella delen på den horisontella axeln, se Figur (1). 1

den reella delen på den horisontella axeln, se Figur (1). 1 ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - KOMPLEXA TAL Det nns era olika talmängder; de positiva heltalen (0, 1,,... kallas de naturliga talen N, tal som kan skrivas som kvoter av andra tal kallas rationella

Läs mer

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta 325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,

Läs mer

c d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc)

c d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc) 1 Komplexa tal 11 De reella talen De reella talen skriver betecknas ofta med symbolen R Vi vill inte definiera de reella talen här, men vi noterar att för varje tal a och b har vi att a + b och att ab

Läs mer

Proppteori Komplement till propplektionerna

Proppteori Komplement till propplektionerna Innehåll Proppteori Komplement till propplektionerna Petter Helgesson 3 juli 0 0 Kära recce! 7 Uttryck 8 Ekvationer 8.0. Exempel: Lös ekvationen 4x = 6.......... 8. Andragradsekvationer.......................

Läs mer

TATM79: Föreläsning 5 Trigonometri

TATM79: Föreläsning 5 Trigonometri TATM79: Föreläsning 5 Trigonometri Johan Thim augusti 016 1 Enhetscirkeln Definition. Enhetscirkeln är cirkeln med centrum i origo och radie ett. En punkt P = (a, b på enhetscirkeln uppfyller alltså a

Läs mer

Avd. Matematik VT z = 2 (1 + 3i) = 2 + 6i, z + w = (1 + 3i) + (1 + i) = i + i = 2 + 4i.

Avd. Matematik VT z = 2 (1 + 3i) = 2 + 6i, z + w = (1 + 3i) + (1 + i) = i + i = 2 + 4i. STOCKHOLMS UNIVERSITET iagnostiskt prov Lösningar MTEMTISK INSTITUTIONEN Vektorgeometri och funktionslära vd. Matematik VT 20 Lösning till uppgift (Komplexa tal) Vi börjar med första och andra uträkningen.

Läs mer

Matematik över gränserna

Matematik över gränserna 13 februari 2001 Matematik över gränserna Bifogade sidor innehåller en del av det material som användes i kursen. Kursmaterialet finns att hämta på nätet via en länk från www.sm.luth.se/~harry/. Kursmaterialet

Läs mer

Trigonometri. π 8. Derivatan av f (x) = sin x. 48 Fourieranalys (Historia)..55

Trigonometri. π 8. Derivatan av f (x) = sin x. 48 Fourieranalys (Historia)..55 Trigonometri. Sinus och cosinus för alla vinklar... Tangensfunktionen.9. Trigonometriska kurvor.. 4. Tre viktiga satser.. 5. Samband mellan trigonometriska funktioner... 6. Trigonometriska ekvationer..8

Läs mer

Optimering av synvinkeln i en biosalong

Optimering av synvinkeln i en biosalong Optimering av synvinkeln i en biosalong The Mad Mathematician s Mathematical Consultancy Bureau Johanna Kilander Optimering av synvinkeln i en biosalong Frågeställning Mitt uppdrag är att ta reda på vart

Läs mer

Introduktion till Komplexa tal

Introduktion till Komplexa tal October 8, 2014 Introduktion till Komplexa tal HT 2014 CTH Lindholmen 2 Index 1 Komplexa tal 5 1.1 Definition och jämförelse med R 2................ 5 1.1.1 Likheter mellan R 2 och C................ 5

Läs mer

SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet. Lösningsförslag till naltävlingen den 20 november 2004

SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet. Lösningsförslag till naltävlingen den 20 november 2004 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Lösningsförslag till naltävlingen den 0 november 004 1. Låt A, C vara de två cirklarnas medelpunkter och B, D de två skärningspunkterna. Av förutsättningarna

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24, 24-25 och 25-26 26-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C =

Läs mer

Linjära ekvationer med tillämpningar

Linjära ekvationer med tillämpningar UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Olof Johansson, Nina Rudälv 2006-10-17 SÄL 1-10p Linjära ekvationer med tillämpningar Avsnitt 2.1 Linjära ekvationer i en variabel

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken X

Sammanfattningar Matematikboken X Sammanfattningar Matematikboken X KAPITEL 1 TAL OCH RÄKNING Naturliga tal Med naturliga tal menas talen 0, 1,,, Jämna tal 0,,, 6, 8 Udda tal 1,,, 7 Tallinje Koordinater En tallinje kan t ex användas för

Läs mer

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009 KTH Matematik SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 9 1. a) Visa att sin(6 ) = /. () b) En triangel har sidor av längd 5 och 7, och en vinkel är 6 grader. Bestäm

Läs mer

Redo för terminstart?

Redo för terminstart? I ij = ρ(r)(r 2 δ ij x i x j )dv V Δx Δp x ħ 2 Redo för terminstart? Hej! Vi från Teknisk fysik hälsar dig välkommen till vårt program. Som nybliven student är du säkert nyfiken på hur det är att studera

Läs mer

Bästa skottläge på en fotbollsplan längs långsidan

Bästa skottläge på en fotbollsplan längs långsidan Bästa skottläge på en fotbollsplan längs långsidan Frågeställningen lyder: Vad är det bästa skottläget? för en spelare som befinner sig på en rak linje på en fotbollsplan. Det är alltså en vinkel som söks,

Läs mer

ÖVNINGSTENTOR I MATEMATIK DEL C (MED LÖSNINGSFÖRSLAG)

ÖVNINGSTENTOR I MATEMATIK DEL C (MED LÖSNINGSFÖRSLAG) ÖVNINGSTENTOR I MATEMATIK DEL C (MED LÖSNINGSFÖRSLAG) 0 ÖVNINGSTENTAMEN DEL C p Beräkna sidan AC p Bestäm f ( 0 ) då f ( ) ( ) p Ange samtliga etrempunkter till funktionen f ( ) 6. Ange även om det är

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs C, kapitel 1

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs C, kapitel 1 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Här presenteras förslag på lösningar oc tips till många uppgifter i läroboken Matematik 000 kurs C Komvu som vi oppas kommer att

Läs mer

Matematik för sjöingenjörsprogrammet

Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 30 augusti 01 Innehåll 3 Geometri och trigonometri 8 3.1 Euklidisk geometri........................... 8 3.1.1 Kongruens och likformighet..................

Läs mer

geometri ma B 2009-08-26

geometri ma B 2009-08-26 OP-matematik opyright Tord Persson geometri ma 2009-08-26 Uppgift nr 1 Uppgift nr 3 26 13 z s Hur stor är vinkeln z i den här figuren? Uppgift nr 2 Hur stor är vinkeln s i den här figuren? Uppgift nr 4

Läs mer

d) cos ( v) = a Se facit. Se facit. b) Se facit. sin x har maxvärdet 1 och minvärdet 1. c) ymax ymin

d) cos ( v) = a Se facit. Se facit. b) Se facit. sin x har maxvärdet 1 och minvärdet 1. c) ymax ymin d) cos ( v) a Kapitel 7 Rita t.e. figur enligt s 9 fel. Rita t.e. figur enligt s 9 rätt. c) Huvudräkning: 8 6 Tredje kvadranten fel. d) tan v tan (v + n 8 ) rätt 8 Pythagoras: motstående katet sin v /,6

Läs mer

Matematik CD för TB = 5 +

Matematik CD för TB = 5 + Föreläsning 4 70 a) Vi delar figuren i två delar, en triangel (på toppen) och en rektangel. Summan av dessa två figurers area ger den eftersökta. Vi behöver följande formler: A R = b h A T = b h Svar:

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

Referens :: Komplexa tal

Referens :: Komplexa tal Referens :: Komplexa tal Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. Definition av komplexa tal Definition 1. Ett komplext tal z är ett tal på formen

Läs mer

Repetitionsuppgifter i matematik

Repetitionsuppgifter i matematik Repetitionsuppgifter i matematik De fyra enkla räknesätten Här övar vi på de fyra räknesätten för hela tal (positiva och negativa), tal i bråkform och tal i decimalform Bestäm de tal på tallinjen, som

Läs mer

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik D MA04 00p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA04 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp, Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för beräkningsvetenskap Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp, 2015-12-17 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!)

Läs mer

Algebraiska räkningar

Algebraiska räkningar Kapitel 1 Algebraiska räkningar 1.1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller bl.a. följande enkla räkneregler, som man väl använder utan att speciellt tänka på dem:

Läs mer

Matematik 4 Kap 2 Trigonometri och grafer

Matematik 4 Kap 2 Trigonometri och grafer Matematik 4 Kap 2 Trigonometri och grafer Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande

Läs mer

Komplexa tal: Begrepp och definitioner

Komplexa tal: Begrepp och definitioner UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,

Läs mer

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Karlstads GeoGebrainstitut Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet Mats Brunström Maria Fahlgren GeoGebra ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Invigning

Läs mer

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R 1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på geometri och vektorer inför lappskrivning nummer 2 på kursen Linjär algebra II, SF1604, vt11. 1. En triangel har hörn i punkterna (1, 2,

Läs mer

Trigonometri och funktioner

Trigonometri och funktioner Trigonometri och funktioner Mats Boij & Roy Skjelnes 23 augusti 2008 KTH Teknikvetenskap, Inst. för matematik SF1658 Trigonometri och funktioner ii Innehåll 1 Första veckan Geometri med trigonometri 1

Läs mer

1 Vektorer i koordinatsystem

1 Vektorer i koordinatsystem 1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en

Läs mer

Trigonometri och funktioner

Trigonometri och funktioner Trigonometri och funktioner Mats Boij & Roy Skjelnes 6 juli 2009 KTH Teknikvetenskap, Inst. för matematik SF1658 Trigonometri och funktioner ii Innehåll 1 Första veckan Geometri med trigonometri 1 1.1

Läs mer

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 Digitala övningar med TI-8 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 digitala övningar med TI-8 Stat, TI-84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel kan

Läs mer

Tal Räknelagar Prioriteringsregler

Tal Räknelagar Prioriteringsregler Tal Räknelagar Prioriteringsregler Uttryck med flera räknesätt beräknas i följande ordning: 1. Parenteser 2. Exponenter. Multiplikation och division. Addition och subtraktion Exempel: Beräkna 10 5 7. 1.

Läs mer

6.2 Implicit derivering

6.2 Implicit derivering 6. Implicit derivering 6 ANALYS 6. Implicit derivering Gränsvärden, som vi just tittat på, är ju en fundamental del av begreppet derivata, och i mattekurserna i gymnasiet har vi roat oss med att hitta

Läs mer

Kvadratrötter. Lösningarna till andragradsekvationen ax 2 2x +1=0, där a betraktas som känd, ges som bekant av. 1. Pettersson: övn.

Kvadratrötter. Lösningarna till andragradsekvationen ax 2 2x +1=0, där a betraktas som känd, ges som bekant av. 1. Pettersson: övn. Kvadratrötter 1. Pettersson: övn. -40. En konstruktör beräknade att en bro kommer att klara den maximala lasten 500(198 a ) ton Han satte =1.4 och valde a så att maximala lasten blev 1000 ton. (a) Vilket

Läs mer

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................

Läs mer

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning Moment Begreppsbildning Mätningar och enheter Algebra och ekvationer Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Bedömningsgrunder för uppnåendemålen känna igen naturliga tal kunna positiva heltal:

Läs mer

Svar och lösningar. Kängurutävlingen 2009 Cadet för gymnasiet

Svar och lösningar. Kängurutävlingen 2009 Cadet för gymnasiet Svar och lösningar 1: D 200 9 Ett tal är jämnt om entalssiffran är jämn. Det enda talet som uppfyller det villkoret är 200 9 = 1800 2: C 18 cm Stjärnans yttre består av 12 lika långa sidor med sammanlagd

Läs mer