SF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 20 oktober 2011 kl Svar och lösningsförslag

Transkript

1 Hans Thunberg KTH Matematik SF66 Perspektiv på matematik Tentamen 0 oktober 0 kl Svar och lösningsförslag () Bestäm ekvationen för den cirkel som passerar genom punkten (, 4) och har sin medelpunkt i (, ). Avgör också om punkten (7, ) ligger inuti, på eller utanför denna cirkel. Lösning. Den sökta cirkelns radie r ges av avståndet mellan den givna medelpunkten (, ) och den givna punkten (, 4) på cirkeln. Enligt avståndsformeln i planet fås r ( ) + ( 4) En cirkel med medelpunkt (a, b) och radie R består av alla punkter (x, y) som uppfyller ekvationen (x a) + (y b) R, så den sökta cirkeln har ekvation (x ) + (y + ) 50. Slutligen undersöker vi hur punkten (7, ) ligger i förhållande till cirkeln. Denna punkts avstånd d till cirkelns medelpunkt ges av d (7 ) + ( + ) Eftersom d är mindre än cirkelns radie r ligger punkten (7, ) inuti i cirkeln. Svar. Sökt cirkels ekvation: (x ) + (y + ) 50. Punkten (7, ) ligger inuti i cirkeln. () Lös ekvationen 4 x + x. Lösning. 4 ( ) x + x (x + ) /4 4 ( ) (x) / 4 x + x ( x x x ) + 4 x 9 ± 4 ± x x. Alltså: 4 x + x x x, men inte omvänt. Prövning är därför nödvändig. För x fås V. L H. L. För x fås V. L H. L. Svar. x.

2 () Förenkla följande uttryck så långt det går Lösning. ln 8a + ln a ln(4a ) ln 8a + ln a, a > 0. ln(4a ) ( 8a ) ln a ln(4a ) ln (4 a ) ln(4a ) ln(4a) ln(a) ln(4a) ln(a) ln(4a) ln(a) ln a 5 a ln(4a ) ln 8 a 4 ln(4a ) Svar. ln(4a) ln(a). (4) De naturliga talen a och b ges i bas av a () och b (). Beräkna produkten ab. Svaret skall uttryckas i bas. Lösning. Som vanligt är tal uttryckta i bas 0 om inget anges, dvs om d och d är någon av siffersymbolerna 0,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9 så är Vi har att d d (d d ) 0 d 0 + d. () + 4 och () + 7. Alltså är a b (00) Svar. (00)

3 (5) a) Beräkna den geometriska serien S (p) b) Låt S n vara den geometriska summan S n Vilket är det minsta n värde på n som gör att S S n < 00? (p) Lösning. a) En geometrisk serie med kvot k, k <, och första term a har a summa k. Den givna serien S har första term och kvot så S. b) En geometrisk summa med n termer, första term a och kvot k har summa Den givna summan S n kan skrivas a kn k. S n n n k0 ( ) k och är således en geometrisk summa med n st termer, första term och kvot. Följaktligen är Vi får då att S n ( ) n S S n ( ( ) n ( ) n ) ( ( ) n. ) n n. Det minsta positiva heltal n som ger S S n < är alltså den minsta postiva 00 heltalslösningen till < n 00 n > 00. Eftersom 4 8 och 5 4 är det sökta värdet n 5. Svar. a). b) n 5.

4 4 (6) Bestäm genom linjär approximation ett närmevärde till 6. Lösning. Vi väljer f(x) x och gör linjär approximationen kring punkten x 5. Vi har att f(5) 5 5, f (x) x och f (5) 5 0. Alltså är f(5) + f (5) Svar. a) 5.. (7) a) Bevisa att cos + cos v v. (p) Du får använda dig av additionsformlerna för sinus och cosinus och av trigonometriska ettan utan att bevisa dessa. Eventuella övriga formler du använder i resonemanget skall bevisas. b) Visa att cos π + 8 och att sin π 8. (p) Lösning. a) Additionsformeln för cosinus, cos(u + v) cos u cos v sin u sin v, och trigonometriska ettan, cos v + sin v, ger cos v cos(v + v) cos v sin v cos v ( cos v) cos v. Ur ytterleden får vi cos v cos v cos v + cos v cos + cos v v, Q.E.D. b) Om vi tillämpar cos + cos v v med v π/8 får vi cos π 8 + cos ( ) π Eftersom 0 < π/8 < π/ är cos(π/8) > 0 och det följer att cos π 8 +. Trigonometriska ettan ger att sin π 8 π + cos 8 ( + ). Eftersom sinusfunktionen är positiv på intervallet (0, π) följer att sin π 8, Q.E.D.

5 5 (8) Bestäm alla komplexa tal z sådana att z + 4 z z6 + z 0. Förenkla svaret så långt som möjligt. Lösning. Enligt binomialsatsen är ( x + x)4 x x x + 6 x x + 4 x x + x 4 x x x + x 4. Om vi tillämpar detta med x z får vi så z + 4 z z6 + z 0 z + 4 z z6 + z ( ) 4 z + z ( ) 4 z + z 0 z z z6. Den sista ekvationen löser vi genom att gå över till polär form. Ansått z r (cos v + i sin v) z 6 r 6 (cos 6v + i sin 6v) där implikationen följer av de Moivres formel. Eftersom cos π + i sin π får vi z 6 r 6 (cos 6v + i sin 6v) cos π + i sin π, vilket i sin tur är ekvivalent med att r 6, 6v π + πn, n Z r, v π 6 + nπ, n Z. Detta ger sex olika lösningar z n svarande mot v π 6 + nπ, n 0,,,, 4, 5. z 0 cos π 6 + i sin π 6 + i, z cos π + i sin π i, z cos 5π 6 + i sin 5π 6 + i, z cos 7π 6 + i sin 7π 6 z 4 cos π + i sin π i, z 5 cos π 6 + i sin π 6 + i, i. Svar. Ekvationen har sex lösningar z 0 z i, z 4 i och z 5 i. + i, z i, z + i,

6 6 (9) Bevisa att talet 7 är ett irrationellt tal. I beviset får du använda följande hjälpsats: Om ett primtal p delar produkten ab, där a och b är positiva heltal, måste p dela antingen a eller b. Lösning. Vi antar motsatsen, dvs att 7 är ett rationellt tal och visar att det leder till en motsägelse. Det följer då att antagandet är felaktigt, och följaktligen att 7 ett irrationellt tal. Antag alltså att 7 är ett rationellt ( tal. ) Det betyder att det finns positiva heltal p p och q med SGD(p, q) sådana att 7. (Genom att förkorta bort eventeulla q gemensamma faktorer kan ett rationellt tal alltid skrivas på en form där täljare och nämnare saknar gemensamma faktorer, dvs vi kan utgå ifrån att SGD(p, q).) Eftersom ( ) p 7 p 7q q följer då att p är delbart med 7, och enligt hjälpsatsen måste då också 7 dela p, så vi kan skriva p 7n för något naturligt tal n. Vi får då att (7n) 7q 7n q, vilket i sin tur innebär att q är delbart med 7 och, enligt hjälpsatsen, är då även q delbart med 7. Men då har p och q den gemensamma faktorn 7, vilket motsäger att SGD(p, q). Antagandet att 7 är ett rationellt tal leder till en motsägelse och är följaktligen felaktig, alltså är 7 ett irrationellt tal.