17 Trigonometri. triangeln är 20 cm. Bestäm vinkeln mellan dessa sidor. Lösning: Här är det dags för areasatsen. s1 s2 sin v 2

Transkript

1 17 Trigonometri Övning 17.1 En likbent triangel har arean 10 cm. De båda lika långa sidorna i triangeln är 0 cm. estäm vinkeln mellan dessa sidor. Här är det dags för areasatsen = s1 s sin v där v ligger mellan sidorna s1 och s. Vi får v 10 = 0 0 sin 10 sin v = 0 0 v = arcsin (0.6) v1 = v = Det finns alltså två lösningar! sin = sin = 0.6 Övertyga dig om detta genom att studera enhetscirkeln. Svar: 37 eller 143 Övning 17. En fyrs position F bestäms från två punkter och i strandkanten. I triangeln F är vinkeln 84, vinkeln 87 och sidan 30 m. eräkna avståndet F. 84º 30 87º F

2 Trigonometri Vi startar med att bestämma den tredje vinkeln 180 ( ) = 9. Med hjälp av sinussatsen får vi så sin 84 = sin 84 sin 9 = sin Lägg märke till att ett litet fel hos de två givna vinklarna ändrar avståndet dramatiskt. ntag att istället är 85. Svar: vståndet F är 146 m sin 85 = sin 85 sin 8 = sin D (cm) º 13.0 Figur 17.1: Övning 17.3 Figuren visar en fyrhörning D. eräkna längden av sidan D. Vi börjar med att dra diagonalen D. Vinkeln delas nu i två delar, u och v. Eftersom D är rätvinklig gäller tan u = 3 ( ) 3 u = arctan u = Eftersom u + v = 17 är v = 17 5 = 75. Med hjälp av ythagoras kan vi också bestämma D. Till sist använder vi cosinussatsen D = D = 1649 D D = ( 1649) cos 75 D = D = Svar: Sidan D är 39.3 cm Övning 17.4 Triangeln är given enligt figur. eräkna avståndet från punkten till sidan. (m) 5º 4º 6.6

3 3 h 5º D 4º 6.6 Figur 17.: örja med att dra höjden h, från mot. Det är just h vi ska beräkna. är 180 (5 + 4 ) = 86. Vi bestämmer sidan med sinussatsen sin 5 = sin 5 sin 86 = sin I den rätvinkliga D kan vi nu bestämma h genom sin 4 = h 5.1 Svar: vståndet från punkten till är 3.5 m h = 5.1 sin 4 h 3.49 Övning 17.5 I är = 36.4 cm, = 5. cm och = 10. Hur lång är? 5. 10º 36.4 Till att börja med använder vi sinussatsen för att bestämma. ( ) sin sin sin 10 = = arcsin tt = = är en orimlighet. Vi bestämmer nu genom = Genom att använda sinussatsen en gång till får vi sin 3.16 = sin 3.16 sin 10 = sin Svar: Sidan är 16.5 cm

4 4 Trigonometri Övning 17.6 I en triangel är vinkeln 17. Sidan är 8.0 cm och sidan är 3.0 cm. Hur lång är sidan? º I II Från figuren ser vi att det finns två lösningar! Först bestämmer vi och använder då sinussatsen. sin 8.0 = sin ( ) 8.0 sin 17 = arcsin Eftersom = är en annan möjlighet som också fungerar. Detta eftersom sin 51.3 = och sin = Vi får då två olika 1 = 180 ( ) = = 180 ( ) = 34.3 Svar: 9.5 cm eller 5.8 cm 3.0 sin = sin sin 34.3 = sin Övning 17.7 I triangeln är vinkeln = 75 och vinkeln = 60 Sidan = längdenheter. Visa att det eakta värdet av sidan är 6 längdenheter 75º 60º Två vinklar är givna den tredje = 180 ( ) = 45. sin 60 = sin 45 Till skillnad från de flesta gradtal kan sin för dessa vinklar uttryckas eakt. sin 60 = 3

5 5 och sin 45 = 1. Vi får då = 3 = 3 = 6 1 Övning 17.8 Vinkeln mellan de båda diagonalerna i en parallellogram är 60. Diagonalernas längder är 18 cm och 1 cm. estäm längderna av parallellogrammens sidor. D º E I ett parallellogram är sidorna parvis parallella. Dessutom delar diagonalerna varandra mitt itu. I E är E = 6 cm och E = 9 cm. Med hjälp av cosinussatsen får vi då 60º = cos 60 = Vi använder samma sats igen, men nu på DE D = cos 10 = Svar: Sidorna är 7.9 och 13.1 cm 6 9 (cm) º 14.0 Q R 4.0 S T Figur 17.3: Övning 17.9 I figuren är QR parallell med ST. eräkna arean av triangeln QR. (cm) º 14.0 Q R 4.0 S T

6 6 Trigonometri QR är parallell med ST. Då är Q och S lika stora liksom R och T. QR är likformig med ST. ntag att R =. Likformigheten ger nu R T = Q S som leder till 14 = 6 10 som ger = 8.4 Vi kan nu bestämma arean med hjälp av areasatsen Svar: 13 cm = sin 31 = 1.98 cm Övning I triangeln är vinkeln 35. Sidan är 6.3 cm och sidan är 7.8 cm. eräkna vinklarna och Genom sinussatsen får vi sin 7.8 = sin º ( ) 7.8 sin 35 = arcsin = = En annan lösning är = Vinkeln kan då anta två olika värden 180 ( ) = eller 180 ( ) = 10.5 Svar: = 45 eller 135 Övning I en triangel är = 148 mm, vinkeln = 63. och vinkeln = 41.. eräkna sidorna och. 41.º 148 Först bestämmer vi, 180 ( ) = Vi bestämmer 63.º sin 63. = 148 sin 75.6 = och så sin 41. = 148 sin 75.6 = Svar: = 136 cm och = 101 cm

7 7 (m) D º 135º 13 Figur 17.4: Övning 17.1 eräkna avståndet mellan punkterna och D i ovanstående figur. y D º 13 u v Vi startar med att dra diagonalen. Med cosinussatsen i får vi = cos 10 = Vinkel bestämmer vi så med sinussatsen ( ) sin u sin sin 10 = u = arcsin u = Däremot är = icke möjligt här. v = = Med cosinussatsen igen på D ger nu den sökta sträckan D = y y = cos y = Svar: y = 94 m

8 8 Trigonometri Q Figur 17.5: Övning ilvägen från till består av tre rätlinjiga delar, Q och Q, vilka är 4.0 km, 1.0 km respektive 5.0 km. De i figuren markerade vinklarna vid och Q är 37.4 respektive eräkna avståndet fågelvägen från till. Q v u Vi drar drar sträckorna och. Q är rätvinklig. Det gäller tan u = 5 1 u = arctan 5 1 u =.6 Vi vet att v = 37.4 och får då u + v = = ythagoras sats ger nu Så över till cosinussatsen på Svar: 11.5 km = = 13 = cos 60 = Övning I en triangel med arean 88 m är en vinkel 75 och en annan 65. eräkna triangelns längsta sida. 88m 75º y 65º

9 De två satser som kommer till användning här är areasatsen och sinussatsen. Först bestämmer vi den tredje vinkeln 180 ( ) = 40. Vi får följande ekvationssytem sin 75 = y sin 65 y sin 40 = 88 Vi löser ut ur den första ekvationen, som vi substituerar i den andra och får y sin 75 sin 65 y sin 40 = 88 som ger y = 16.0 m. Lite klantigt kanske. Eftersom vi vet att den längsta sidan står mot den största vinkeln, skulle vi ha löst ut y ur den första ekvationen för att få svaret direkt. Nu måste vi göra denna beräkning för att få svaret = Svar: Den längsta sidan är 17 m 16.0 sin 75 sin 65 = Övning Det är en stilla och stjärnklar natt ute på Kattegatt. Ett fartyg rör sig i rak kurs mot norr med en konstant fart av 15 knop (1 knop= 1.85 km/h). Från fartygets brygga ser man klockan blinkningarna från Göteborgs TV-mast i riktning 37 öster om färdriktningen. Kl 0.00 mäter man vinkeln till 59. Hur nära TVmasten kommer man då avståndet är som minst? Vid vilket klockslag inträffar detta? 9 D kl º kl º Fartygets hastighet är 15 knop= km/h=7.78 km/h. Sträckan är alltså 7.78 km eftersom tiden är 1 h. Sträckan D, vars längd vi ska bestämma är vinkelrät mot färdriktningen. Eftersom D = = 11 får vi D = 180 ( ) =. Vi bestämmer nu D med hjälp av sinussatsen Nu kan vi bestämma D D sin 37 = 7.78 sin D = 44.3 sin 59 = D D = 38.5

10 10 Trigonometri Detta är svaret på hur nära masten fartyget kommer. Vi måste sedan bestämma sträckan för att ta reda på hur långt fartyget färdats efter kl.00. cos 59 = =.99 Tiden för att tillryggalägga denna sträcka med 15 knop/h t = t = = Efter 50 minuter är klockan Svar: Kortaste avståndet till masten är 38.3 km som uppnås kl 0.50 Övning Från en motorbåt kunde vid ett tillfälle två fyrar siktas samtidigt. Vinkeln mellan siktlinjerna till fyrarna bestämdes till 10. Man bedömde att den ena fyren låg dubbelt så långt från motorbåten som den andra. vståndet mellan fyrarna är 3.5 km. Hur stort var avståndet från motorbåten till respektive fyr? a M 10º a F 1 F I figuren är M motorbåten och F 1 och F de båda fyrarna. Vi tar till osinussatsen och får 3.5 = a + (a) a a cos 10 En andragradsekvation som vi enkelt kan lösa och får a = 1.33 km. Svar: 1.3 km respektive.6 km.