Lösningsförslag TATM

Transkript

1 Lösningsförslag TATM a) Vi isolerar x + och kvadrerar ekvationen observera att det då bara blir en implikation!): + x + = x x + = x ) x + = x ) = x 1x + 1 x 1 x + 10 = 0 x = 1 6 ± 7 6 Eftersom vi har en implikation måste svaren testas Om x = 0/6 = 10/ ser vi att VL = + 16/ = + så x = 10/ är en lösning Om x = 6/6 = 1 är = 10 och HL = 10 VL = + = och HL = 1 = I detta fall stämmer vänsterled och högerled inte överens, så x = 1 är ingen lösning b) Direkt från binomialsatsen erhåller vi att 76 ) 76 k x 76 k = + x) 76, k så Svar: a) x = k=0 76 k k=0 ) k x 76 k = 1 + x) 76 = 1 b) 1 eller + x = ±1 x = ± 1 a) För att alla logaritmer i ekvationen ska vara definierade krävs att x 0, x >, samt x > Totalt sett måste vi alltså kräva att x > och x 0 Antag att x uppfyller detta villkor Då gäller eftersom ln är injektiv) att lnx ) = ln + ln + x) + ln + x) lnx ) = ln + x) + x)) x = + x) + x) x + 1x + = 0 x = 7 ± 5, där x = 1 inte uppfyller villkoret men x = gör det b) Vi logaritmerar båda leden allt är positivt för alla x R): e x = x e17 x x ln = 17 x ln ) = 17 + ln ) x = ln ± 17 + ln ) Båda alternativen löser ekvationen vi har ekvivalenser hela vägen) Svar: a) x = b) x = ln ± 17 + ln )

2 a) Ur enhetscirkeln ser vi att cos x π ) = cos x + π ) 5 x π = x + π 5 + πn, n Z eller x π = x π 5 + πn, n Z x = 8π 15 + πn, n Z eller x = π 75 + πn 5, n Z b) Eftersom sin x = tan x sin x 1 ) = 0 cos x så måste endera sin x = 0 eller cos x = 1 Vi löser dessa ekvationer: sin x = 0 x = nπ och cos x = 1 x = ± π + nπ, där n är ett godtyckligt heltal c) Eftersom arccos /) [0, π] så är sinarccos /)) 0 Trigonometriska ettan visar därmed att sin arccos )) = 1 cos arccos )) = 1 = 1 ) = Svar: a) x = 8π π + πn, n Z, eller x = πn 5, n Z, b) x = nπ, n Z, eller x = ± π + nπ, n Z, 7 c) a) Genom att bryta ut e x i täljaren ser vi att e x e x e x 1 = ex e x 1) e x 1 = e x = x = ln = ln = ln x = ln Den enda lösningen ges således av x = ln Alternativt Om vi låter t = e x kan vi skriva om ekvationen enligt t t t 1 =

3 Här kan vi faktorisera täljaren enligt t t = t t 1) och åter igen förkorta en faktor Ser man inte det får man anta att t 1 annars blir det nolldivision) Då gäller att t t t 1 = t t 1t + = 0 Gissning av rot t = till exempel) och polynomdivision visar att t t 1t + = t )t + 5t ) = t )t + ) t 1 ) Kandidater är alltså t = ± och t = 1 Vi har antagit att t 1 så t = 1 är ingen lösning Vidare måste t > 0 eftersom e x > 0 för alla x), så t = ger inte heller någon lösning Endast t = e x = x = ln löser ekvationen b) Från definitionen av e ix erhåller vi att e ix ) = cos x + i sin x) = cos x sin x + i sin x cos x = cos x + i sin x = e ix där vi endast använt välkända formler för cosinus och sinus för dubbla vinkeln Svar: a) x = ln b) se ovan 5 Vi börjar med att reda ut största möjliga definitionsmängd Vi ser direkt att 1 x 1 är kravet för att arcsin x ska vara definierad Vidare får inte arcsin x = π x = 1 Alltså blir D f = { x R : 1 x 1, x 1 } [ = 1, [ ] ] 1 1, 1 Låt x D f Då gäller att y = π/ + arcsin x π/ arcsin x π ) y arcsin x = π + arcsin x arcsin x = π y 1 π x = sin y 1 ) Eftersom vi finner högst en lösning för varje y så måste detta vara ett uttryck för f 1 y) Observera att det endast är implikation i sista steget ovan! { Svar: D f = x R : 1 x 1, x 1 } π och f 1 y) = sin y 1 ) 6 En binomisk ekvation löser vi genom att gå över till polära koordinater Låt z = re iθ för r 0 och θ R Vi söker alla lösningar till ekvationen ) 5 i z 7 = r 7 e i7θ = 1) 1 i

4 Det komplexa talet i ligger i fjärde kvadranten och kan skrivas i = + 1e iπ/6 = e iπ/6 På samma sätt, Detta medför att 1 i = e iπ/ ) 5 ) 5 i = e iπ/6+iπ/ = 5/ e 5π/1 1 i För att 1) ska gälla måste högerledet och vänsterledet ha samma absolutbelopp och argumenten måste stämma överens upp till en heltalsmultipel av π Således måste r 7 = 5/ och 7θ = 5π + πn, n Z 1 Eftersom r 0 måste r = 5/1 enda möjligheten), och θ kan vi lösa ut ur den andra ekvationen som θ = 5π 8 + πn 7, n Z Lösningarna till 1) ges alltså av z = 5/1 5π e i 8 + πn 7 ), n Z Eftersom lösningarna ligger jämt fördelade på en cirkel och det finns precis 7 lösningar så räcker det med, tex, n = 0, 1,,,, 5, 6 Svar: z = 5/1 e 5π i 8 + πn 7 ), n = 0, 1,,,, 5, 6 7 Enligt ledningen ska cos π vara en rot så vi börjar med att verifiera detta Eftersom ) e cos ix + e ix x = = 1 e ix + e ix + e ix + e ix) = 8 cos x + cos x, vilket följer av Eulers formler och binomialsatsen, ser vi att p cos π ) = cos π cos π 6 cos π = = 0 Låt a = cos π Vi utför en polynomdivision med x a 8x + 8ax + 8a 6 8x 6x 8x 8ax ) 8ax 6x 8ax 8a x) 8a 6)x 8a 6)x 8a 6a)) 8a 6a x a

5 Observera här att sista raden blir noll eftersom 0 = pa) = 8a 6a Således kan vi nu faktorisera klart polynomet: px) = x a) 8x + 8ax + 8a 6 ) = 8x a) x + a ) ) a + = 8x a) x + a + a ) x + a ) a Här är det viktigt att notera att a < 1 eftersom a = cos π, så kvadratrötterna ovan är definierade Dessutom blir 1 a = sin π enligt den trigonometriska ettan, så svaret går att uttrycka lite enklare Som svar kan man tänka sig ett av följande tre alternativ Svar: px) = x a) x + a + ) a x + a ) a = x cos π ) π x + cos + ) π π sin x + cos )) ) π sin )) = 8 x cos ) π )) )) 5π 7π x + cos x + cos I den sista likheten har vi använt hjälpvinkelmetoden för att slå ihop summorna av cos och sin