8.4. Integration av trigonometriska uttryck

Transkript

1 68 8 PRIMITIVA FUNKTIONER 8.4. Integration av trigonometriska uttryck Exempel 8.. Bestäm sin 3 x + cos x dx. Trigonometriska ettan tillsammans med ett variabelbyte ger sin 3 x cos + cos x dx = x ( cos x)( + cos x) + cos x sinxdx = sin xdx + cos x { } = ( cos x)sin xdx t = cos x, dt = sin xdx = ( t)dt = t t + C = cos x cos x + C. Exempel 8.. Bestäm cos 3 xdx. Vi har cos 3 xdx = = ( sin x)cos xdx = { } t = sin x, dt = cos xdx ( t )dt = t t3 3 + C = sin x 3 sin3 x + C. Exempel 8.3. Bestäm cos 4 xdx. Med hjälp av Eulers formler, cos x = eix + e ix integralen skrivas cos 4 xdx = = 6 ( e ix + e ix ) 4 dx = 6 ( 4i ei4x + i 4eix + 6x i 4e ix 4i e i4x = e i4x e i4x + 4 e ix e ix + 3 i 6 i 6 6x + C = 3 sin 4x + 4 sin x + 3x 8 + C. och sinx = eix e ix, kan i (e i4x + 4e ix e ix + e i4x )dx ) + C Observera: Exempel 8. visar att det är ganska lätt att integrera upp en trigonometrisk funktion upphöjt till en udda exponent då en av dessa kan användas som inre derivata vid substitution med trigonometriska ettan. Exempel 8.3 blir därmed mycket svårare då exponenten är jämn och det ovan nämnda inte kan tillämpas.

2 8.4 Integration av trigonometriska uttryck 69 Exempel 8.4. Bestäm sin xdx genom att använda. Trigonometriska formler. Eulers formel

3 70 8 PRIMITIVA FUNKTIONER Exempel 8.5. Bestäm e x sinxdx. Alternativ : Eulers formel ger att sinx = eix e ix e x sin xdx = e xeix e ix i = e (+i)x i + i dx = i e ( i)x i i + C i (e (+i)x e ( i)x )dx = i i ( + i)( i) e(+i)x + i i ( i)( + i) e( i)x + C och därmed gäller att: = 4i (( i)e(+i)x ( + i)e ( i)x ) = 4i ex (( i)e ix ( + i)e ix ) + C = 4i ex (( i)(cos x + isin x) ( + i)(cos x isin x)) + C = 4i ex (cos x + isin x icos x + sin x cos x + isin x icos x sin x) + C = 4i ex (isin x icos x) = ex (sin x cos x) + C. Alternativ : Vi använder oss av partiell integration. Här spelar det ingen roll vilken funktion vi integrerar upp och vilken funktion vi deriverar ner. Vi integrerar alltid upp e x : e x sin xdx = e x sinx e x cos xdx ( ) = e x sinx e x cos x + e x sin xdx = e x sinx e x cos x e x sin xdx. Den sökta integralen finns även i högra ledet. Flyttar vi den över till vänstra ledet får vi: e x sin xdx = e x sin x e x cos x + C, dvs e x sin xdx = ex (sin x cos x) + C. Observera: att idén med att använda Eulers formler som var så framgångrik på Exempel 8.3 visar sig vara mindre lämplig på Exempel 8.5, där var partiell integration effektivare.

4 8.4 Integration av trigonometriska uttryck 7 Exempel 8.6. Bestäm xcos xe x dx.

5 7 8 PRIMITIVA FUNKTIONER Exempel 8.7. Bestäm sin axcos bxdx. Alternativ : Skriv om integranden med hjälp av Eulers formler: Multiplecera in paranteserna och integrera. e iax e iax e ibx + e ibx sin axcos bxdx = dx. i Alternativ : Partiell integration gånger på samma sätt som i Exempel 8.5. Alternativ 3: Additions formeln för sinus, då a ±b, ger: sin(a + b)x + sin(a b)x sin axcos bxdx = dx = cos(a + b)x a + b cos(a b)x. a b I fallet a = b fås: sin axcos bxdx = sin axcos axdx = sin axdx = cos ax. 4a Fallet a = b hanteras på ett analogt sätt. Observera: att i det här exemplet var det enklast att använda trigonometriska formler. Det här exemplet och speciellt idén med att använda trigonometriska formler i samband med att integrera kommer vi tillbaka till under transformteorin. Exempel 8.8. Bestäm sin 5xcos 3xdx.

6 8.5 Substitutionen t = tan x Substitutionen t = tan x Exempel 8.9. För att bestämma t = tan x dx gör vi följande substitution + cos x + sinx dvs x = arctan t och därmed är dx = t + dt. Då gäller det att kunna uttrycka cos x och sin x i den nya variabeln t. Formlerna för dubbla vinkeln tillsammans med den trigonometriska ettan ger och sinx = sin x = sin x cos x = sin x cos x sin x + cos x = tan x tan x + = t t + cos x = cos x = cos x sin x = cos x sin x sin x + cos x = tan x + tan x = t + t Efter insättning och hyfsning fås + cos x + sin x dx = = + t +t + t t + t + dt + t dt = ln + t + C = ln + tan x + C. Exempel Bestäm cos x + sin x dx.

7 74 8 PRIMITIVA FUNKTIONER 8.6. Integration av rotuttryck Exempel 8.3. Bestäm x + dx. Här är det lämpligt att göra substitutionen x + = t x dvs t = x + x +. Då är dt = ( + ) x x dx = + + x dx = x + x + t x + dx. Vilket kan skrivas Alltså får vi att dt t = dx x +. dt x + dx = t = ln t + C = ln(x + x + ) + C. Exempel 8.3. Bestäm x x + 4x + 5 dx. Kvadratkomplettering av nämnaren och variabelbytet t = x + ger: x x + 4x + 5 dx = x (x + ) + dx = t t + dt = t t + dt t + dt = t + ln(t + t + ) + C där vi har utnyttjat resultatet i Exempel 8.3 = x + 4x + 5 ln(x + + x + 4x + 5) + C,

8 8.6 Integration av rotuttryck 75 x Exempel Bestäm + dx. Partiell integration ger x + dx = x + dx = x x + x x x + dx = x x x + + x + dx = {där vi i integralen har lagt till och dragit ifrån en etta} = x x x + + dx + x + dx. x Flyttar vi den sökta integralen + dx till vänstra ledet får vi Utnyttjar vi nu Exempel 8.3, så Alltså, gäller att x + dx = x x + + x + dx. x + dx = x x + + ln(x + x + ) + C. x + dx = x x + + ln(x + x + ) + C. Exempel Bestäm x dx, x. Alternativ : Använd partiell integration på samma sätt som i Exempel Alternativ : Använd substitutionen x = cos t. Då är dx = sin t dt och x dx = (cost) ( sin t)dt = sin t( sin t)dt = sin t dt cos t sin t = dt = t sin t cos t + C = t C = 4 x x arccos x + C, där vi har använt oss av att sin t = cos t, x = cos t, t = arccos x, och sin t = x.

9 76 8 PRIMITIVA FUNKTIONER Exempel Bestäm x x dx. Exempel Bestäm x x dx.