Endast kommenterade svar!!! OBS: Inte alla delsteg är redovisade!

Transkript

1 MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Examinator: Annemarie Luger Lösningsförslag Anals, problemlösning, 7.5 hp Matematik I den 5 februari 4 Endast kommenterade svar!!! OBS: Inte alla delsteg är redovisade!. Undersök lokala extremvärden och asmptoter till funktionen f(x) = arctan x x Skissera grafen. Konvexitetsegenskaper behöver ej utredas. x ±. OBS: Lösningsförslag för uppgift innehåller även lite generella förklaringar utöver vad som krävs för redovisningen av själva uppgiften! Vi följer stegen som behöver genomföras i samband med kurvritning:. efinitionsmängd, punkter där funktionen är ej deriverbar, samt eventuellt smmetriegenskaper f är definierad och deriverbar för x ±. efinitionsmängden består alltså av unionen av tre öppna intervall: ], [ ], [ ], [ - Vi kan också konstatera att f är en jämn funktion, eftersom f( x) = f(x).. erivera och faktorisera derivatan så långt det går erivatan blir: f (x) = x(x ) x x (x ) x ( ) x = (x ) + x 4 + x. Teckenschema I teckenschemat tas med alla punkter där derivatan kan bta tecken (dvs punkter där derivatan inte är definierad samt derivatans nollställen). Här är det alltså: x = ± (derivatan ej definierad) och x = (derivatans nollställe). Teckenschemat ger: x (x ) + x f + + f Här ser vi direkt att x = är en lokal maximipunkt.

2 3. Undersök funktionens beteende på randen av definitionsmängden etta innebär beräkningar av gränsvärden samt eventuella asmptoter. För den aktuella funktionen är definitionsmängden - är det alltså 6 gränsvärden, nämligen x ±, x ± samt x ±. f(x) = arctan x + x + = arctan = π 4, x f(x) = arctan x x + + x + + (x )(x + ) = π, x + f(x) = arctan x + x (x )(x + ) = π, t arctan är kontinuerlig och x då x + t x + och x > och därmed x + x+ (x )(x+) då x + + samt arctan t π då t + t x och x > och därmed x x+ (x )(x+) då x + samt arctan t π då t e resterande gränsvärdena kan beräknas på samma sätt, eller man använder att f är jämn. Man får x f(x) = π 4 x + f(x) = π x f(x) = π Asmptoter: inga lodräta asmptoter, t de ensidiga gränsvärdena reella tal). vågrät asmptot: = π 4 då ±. f(x) finns (som x ± ± Kommentar: Sneda asmptoter behöver inte undersökas t f(x) finns. x ± et kan vara bra att komplettera teckenschemat med informationen som vi har fått nu: x (x ) + x f + + f π π 4 π π π π 4

3 4. Rita grafen utifrån beräkningarna Π Π 4 Π 5. Svar: Lokal maximivärde = i maximipunkten x =. asmptot = π 4 då ±. Beräkna dubbelintegralen där är området {(x, ) : x + 3, }. x + + dxd Integrationsområdet är en halvcirkelskiva. En möjlighet är att införa polära koordinater, men man kan även beräkna integralen som itererad integral. Variant : Vi inför polära koordinater: x = r cos ϕ, = r sin ϕ. Området kan då beskrivas som: r 3 och ϕ π och därmed blir integralen x + + dxd = Variant : 3 π r sin ϕ r r dϕdr =... = + 3 ( ) π dr r + Vi beräkna integralen som en itererad integral och utnttja smmetrin: sin ϕdϕ = ( 3 π 3 ) Variant 3: x + + dxd = = x x + + ddx = ln 4 ln(x +)dx = 3 ln 4 x ln(x +) Igen som itererad integral men nu i den andra ordningen: x + + dxd = 3 = 3 3 x + + dxd = + arctan 3 + d = = + 3 ln(x + + ) 3 3 x = dx x x x + dx =... = ( 3 π 3 ) + arctan t + arctan 3 t t + dt = x + 3 x= d

4 3 = 3 = + arctan 3 + d = + arctan 3 + d = =... = ( 3 π 3 ) en sista integralen kan beräknas med hjälp av partiell integration. 3. Lös differentialekvationen 3 3 (x ) = 6(x ) x e x3, () =. 3 t arctan dt =.. = t + t + 3 t arctan t + t + dt = et handlar om en linjär första ordnings differentialekvation, som kan lösas med hjälp av en integrerande faktor. Ekvation kan skrivas som och därmed är e ln x = x vilket ger Begnnelsevillkoret leder till C =. Svar: = (x )(e x3 ) 4. (a) x = 6(x )x e x 3 en integrerande faktor. Vi får ( x ) = 6x e x 3 x = 3 ex + C. ( xe x5 x (x sin x)(x arctan x) = x + x 5 + O(x ) ) x ( x (x x 3 3! + O(x5 )) )( x (x x3 3 + O(x5 )) ) =... = (b) = + O(x 5 ) ( 6 + O(x ) )( 3 + ) 8 då x. O(x ) ( ) ( n ( n + =... = + ) n ) ( + ) e n n n då n Svar: (a) 8 (b) e 5. Lös differentialekvationen 5 p f x + x f = x, f(, ) = e t.ex. genom att införa de na variablerna s = x och t = x. Med beteckningen f(s, t) = f(x(s, t), (s, t)) får vi med hjälp av kedjeregeln f x = f s + f t ( x) f = f s + f t

5 och därmed blir differentialekvationen som har lösningen f s = s f(s, t) = s + h(t) med en godtcklig funktion h. etta ger den allmänna lösningen och därmed f(, ) = h() = e. Svar: f(x, ) = x + e x. 6. Betrakta funktionen f(x, ) = x + h( x ) p(x) = x 3 3x +. (a) Bestäm (eventuella) största och minsta värde till p i intervallet [, 3]. (b) Bestäm (eventuella) största och minsta värde till p i intervallet ], 3[. (c) Bestäm följande mängd M = {t R; < p(t) < }. Vi börjar med att skaffa oss en uppfattning om funktionens beteende genom att derivera p och upprätta teckenschemat: erivatan blir: p (x) = 3x 6x = 3x(x ) Teckenschemat ger: x x + p + + p 3 Vi beräkna även p() = och p(3) =. därmed får vi följande bild 3 (a) en kontinuerliga funktionen p antar både största och minsta värde på det slutna och begränsade intervallet [, 3]. Från grafen ser vi 3

6 att största värde av p är p(3) = och minsta värde är p() = 3. (b) Igen från grafen ser vi att på det öppna intervallet ], 3[ 3 antars minsta värde (är p() = 3 men inte största värde). (c) Vi kan antingen lösa olikheten < p(t) < dvs < t 3 3t + <. Eller så kan vi igen titta på grafen Linjen = skär grafen i två punkter, nämligen (, ) och (3, ). För att hitta även skärningspunkterna mellan = och grafen löser man ekvationen t 3 3t + = vilket ger t = och t,3 = ± 3. ärmed får vi 3 < t < eller + 3 < t < 3 men t. Svar: (a) största värde:, minsta värde: 3 (b) största värde: finns ej, minsta värde: 3 (c) ] 3, [ ], [ ] + 3, 3[.