Tentamen i Matematik 1 HF1901 (6H2901) 22 aug 2011 Tid: :15 Lärare:Armin Halilovic

Transkript

1 Tentamen i Matematik HF90 (6H90) aug 0 Tid: 8. : Lärare:Armin Halilovic Hjälpmedel: Formelblad (Inga andra hjälpmedel utöver utdelat formelblad.) Fullständiga lösningar skall presenteras på alla uppgifter. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs, 9, 6, respektive 9 poäng. (Gamlakurser: För betyg, 4, krävs, 6 respektive 9 poäng. ) Komplettering: 8 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx). Vem som har rätt till komplettering framgår av betyget Fx på MINA SIDOR. Om komplettering är godkänd rapporteras betyg E, annars rapporteras F Börja varje ny uppgift på ett nytt blad, detta gör att rättningen blir säkrare. Skriv endast på en sida av papperet. Skriv namn och personnummer på varje blad. Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med läsningar. Uppgift. (p) En triangel har sina hörn i punkterna A=(,, ), B=(,, ) och C=(,, ). Beräkna vinkeln A. ( Med vinkeln A menar man vinkeln mellan AB och AC. Svara med en arccos. Uppgift. (p) a) Lös matrisekvationen med avseende på X XA +XB = C då 0 A =, B = och C = 0. 4 Uppgift. (p) Beräkna följande integraler: a) dx x x (p) 4 ( x b) x e + 8) dx (p) c) x ln x dx. (p)

2 Uppgift 4. (p) För vilka värden på parametern a har systemet ( med avseende på x, y och z) x + y + z = 0 4x + y + z = x + y + az = a) exakt en lösning (p) b) ingen lösning (p) c) oändligt många lösningar (p)? Uppgift. (p) Bestäm avståndet mellan följande (parallella) plan x + y + z = och x + y +z = 0 Uppgift 6. (p) Bestäm eventuella extrempunkter och asymptoter och därefter rita grafen till funktionen y = xln(x) Uppgift 7. (p) Beräkna volymen av den rotationskropp som uppstår då området som definieras av /, 0 (), roterar kring x-axeln. Uppgift 8. (p) a) Bestäm definitionsmängd för funktionen f ( x) = 4 x + 8ln(0 x ) + cos( x 4) b) Beräkna gränsvärdet lim x > x x + 4x + 4x + Lycka till!

3 Lösningsförslag ( preliminär) Uppgift. (p) En triangel har sina hörn i punkterna A=(,, ), B=(,, ) och C=(,, ). Beräkna vinkeln A. ( Med vinkeln A menar man vinkeln mellan AB och AC. Svara med en arccos. AB = (,, ), AB AC (,, ) (,,0) cos A = cos A = AB AC 9 A = arccos( ) AC = (,,0) = arccos( ). Uppgift. (p) a) Lös matrisekvationen med avseende på X XA +XB = C då 0 A =, B = och C = 0. 4 XA +XB = C X(A+B)= C Alltså X = 4 Kortare beteckning: X M=C Matrisen M= är inverterbar eftersom det(m)= 0. och M = Därför X=CM = 4 = 0 7 a b Anmärkning: Om matrisen M = och det(m)=ad-bc skyld från 0 beräknas inversen c d med hjälp av formeln = (). Svar: X= 0 7

4 Uppgift. (p) Beräkna följande integraler: a) dx x x (p) 4 ( x b) x e + 8) dx (p) c) x ln x dx. (p) a) Först delar vi integranden i partiella bråk: Ansats: ( ) = + ( ) = ( ) + ( ) Eftersom ( *) måste gälla för varje x vi kan bestämma A och B genom att substituera i (*) först = och därefter =0 ( detta är enklast sätt den här gången). ö = ( ) h å = =/ = 0 å ( ) h å = / = ( ) ( ) / = ( + Svar a) : ( + b) x 4 e ( x ) + 8 dx t x + 8) t dt e e = e = + C = + C ( substitution + 8 = = (p) Svar b) e x + 8) + C ( = c) x ln x dx = () = = 4 =

5 Partiell integration: () = = () = () +C Svar c) () +C Uppgift 4. (p) För vilka värden på parametern a har systemet ( med avseende på x, y och z) x + y + z = 0 4x + y + z = x + y + az = a) exakt en lösning (p) b) ingen lösning (p) c) oändligt många lösningar (p)? Lösning; Koefficientmatrisen det A = 6 a. A = 4 a ger DetA = 0 6 a = 0 a = a) Därför exakt en lösning om ii) O m a= har använder vi Gausselimination och får x + y + z = 0 4x + y + z = x + y + z = x + y + z = 0 ~ y + z = 0 = Ingen lösning om a=. Svar: a) Exakt en lösning om b) Ingen lösning om a=. c) Fallet "Oändligt många lösningar" kan inte förekomma.

6 Uppgift. (p) Bestäm avståndet mellan följande (parallella) plan x + y + z = och x + y +z = 0 Ovanstående plan är parallella eftersom de har samma normalvektor (,,). Vi väljer en punkt på första planet t ex P(,,) och använder formeln Avståndet d från punkten A = ( x, y, z) Ax + By + Cz + D till planet Ax + By + Cz + D = 0 är d =. I vårt fall Svar: d = Ax d = A + B + C + By + Cz + D = A + B + C + + = Uppgift 6. (p) Bestäm eventuella extrempunkter och asymptoter och därefter rita grafen till funktionen y = xln(x) i) Definitionsmängd: x > 0 ii) lim () = lim = ( ) =lim = lim ( ) = 0 iii) lim () = Alltså, ingen asymptot ii) STATIONÄRA PUNKTER y = xln(x) y ' = ln(x) + = 0 = ( ) = ln( ) 6

7 Första derivatans tecken: 0 + ( ) En stationer punkt: minimum. iii) GRAFEN till funktionen Uppgift 6. (p) Beräkna volmen av den pyramid som har hörn i punkterna A(,0,0), B(,,), C(,,0) och D(,4,0). Först bestämmer vi vektorerna, och : = (,,), = (,,0), = (,4,0) Enklast sätt att beräkna volymen av pyramiden ABCD (som spänns av vektorerna, och som har samma startpunkt s A) är med hjälp av formeln Svar: Pyramidens volymen =/ =. Uppgift 7. (p) = 6 ( ) = 6 v. e. 0 = 6 = / =. 4 0 Beräkna volymen av den rotationskropp /, 0 (), roterar kring x-axeln. som uppstår då området som definieras av 7

8 Volymen = (()) = Svar: () / = = () = [] / () / = () () = Uppgift 8. (p) a) Bestäm definitionsmängd för funktionen f ( x) = 4 x + 8ln(0 x ) + cos( x 4) b) Beräkna gränsvärdet lim x > x x + 4x + 4x + Svar: a) x < b) 7/ 8