TENTAMEN HF1006 och HF1008

Transkript

1 TENTAMEN HF006 och HF008 Datum TEN 8 jan 08 Tid 8- Analys och linjär algebra, HF008 (Medicinsk teknik), lärare: Erik Melander, Analys och linjär algebra, HF008 (Elektroteknik), lärare: Marina Arakelyan Linjär algebra och analys, HF006 (Datateknik), lärare: Armin Halilovic Eaminator: Armin Halilovic Betygsgränser: För godkänt krävs0 av ma poäng För betyg A, B, C, D, E, F krävs, 9, 6,, 0 respektive 9 poäng Hjälpmedel på tentamen TEN: Utdelad formelblad Miniräknare ej tillåten Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg F) Skriv endast på en sida av papperet Skriv namn och personnummer på varje blad Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med lösningarna Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter Uppgift (p) (Student som är godkänd på KS hoppar över uppgift ) a) (p) Bestäm definitionsmängden till funktionen f ( ) ln( ) + b) (p) Bestäm inversen till funktionen f ( ) + e sin( ) c) (p) Beräkna gränsvärdet lim 5 e d) (p) Derivera funktionen f ( ) ln( + + ) Uppgift (p) Låt f ( ) a) Bestäm funktionens stationära punkter och deras karaktär b) Bestäm eventuella asymptoter till f () c) Rita funktionens graf Uppgift (p) Bestäm Taylorpolynomet av ordning kring punkten 0 för funktionen y arctan( ) Uppgift (p) Beräkna följande integraler a) (p) e d b) (p) ( + ) sin d + c ) (p) d +

2 Uppgift 5 (p) Vi betraktar en tunn metalltråd, som har den konstanta snittarean A cm och som ligger på -aeln mellan a cm och b cm Kroppens densitet ρ är en kontinuerlig funktion av en variabel, dvs ρ ρ() g/ cm Trådens massa kan beräknas med formeln b A m ρ ( ) d a Beräkna trådens massa om ρ 0 + e g/ cm, A0 cm, a 0 cm och b cm Uppgift 6 (p) Ett mekaniskt system med en fjäder och en dämpare kan beskrivas med följande ekvation (i lämpliga enheter), med avseende på y(, m y ( + by ( + ky( F( Bestäm den allmänna lösningen för y( då m kg, b 7 Ns/m, k 0 N/m, F e N Uppgift 7 (p) Bestäm strömmen i( i nedanstående LRC krets om induktansen L henry, resistansen R 0 ohm, kapacitansen C 00 farad och spänningen U 0 volt Dessutom gäller i ( 0) 0 och i ( 0) Tips: Spänningsfallet över en spole med induktansen L är lika med L i ( Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R i( Spänningsfallet över en kondensator med kapacitansen C (farad) och laddningen q ( (coulomb) är lika med q ( / C, där q ( i( Uppgift 8 ( p) Använd substitutionen ( y( ) y ) + y ( ) / y z för att lösa följande differentialekvation Lycka till

3 FACIT: Uppgift (p) (Student som är godkänd på KS hoppar över uppgift ) a) (p) Bestäm definitionsmängden till funktionen f ( ) ln( ) + b) (p) Bestäm inversen till funktionen f ( ) + e sin( ) c) (p) Beräkna gränsvärdet lim 5 e d) (p) Derivera funktionen f ( ) ln( + + ) + + a) Funktionen ln( är definierad för t >0 så vi behöver att > 0 Vi gör en teckentabell: -värden Ej def Vi kan alltså se att funktionen är definierad för < och för >: Alltså D (,) (, ) b) yy + ee + yy ee+ + ln( yy ) ln(yy ) så vi har alltså att ff () ln( ) c) Gränsvärdet är av typ 0 0 så vi använder L Hospitals regel och får sin( ) lim lim cos( ) cos(0) 6 6 d) e ( + ) e ( f ( ) ln( + + ) ( + ) + ) Rättningsmall: Rätt eller fel för varje del

4 + Uppgift (p) Låt f ( ) a) Bestäm funktionens stationära punkter och deras karaktär b) Bestäm eventuella asymptoter till f () c) Rita funktionens graf a) Funktionen är definierad om För att hitta stationära punkter nu så söker vi så att ff () 0 Vi har attff () ( )( ) ( +) ( ) ( ) ( ) ( ) så ff () 0 ( ) 0 vilket ger oss två stationära punkter i 0 och Teckentabell: -värden: 0 ff () + 0 Ej def 0 + ff() väer ma avtar Ej def avtar min väer Därmed är 0 en (lokal) maimipunkt medan är en (lokal) minimipunkt Funktionens värden i punkterna är f ( 0) (lokalt maimum) och f ( ) (lokalt minimum) b) Funktionen har en lodrät (vertikal) asymptot (nämnaren 0 medan täljaren 0 ) Polynomdivision ger + asymptot yy för ± Därmed ingen vågrät asymptot + och vi kan nu se att funktionen har en sned c) Vi använder a och b och ritar grafen:

5 Svar: a) Två stationära punkter: 0 är en (lokal) maimipunkt; är en (lokal) minimipunkt b) Funktionen har en lodrät (vertikal) asymptot och en sned asymptot yy för ± c) Se figuren Rättningsmall: a) p för korrekta två stationära punkter 0 och eller för en korrekt stationär punkt och punktens typ p om allt är korrekt b) rätt eller fel c) rätt eller fel Uppgift (p) Bestäm Taylorpolynomet av ordning kring punkten 0 för funktionen y arctan( ) Derivering ger yy +, yy Sökt polynom blir nu TT () yy(0) + yy (0) + yy (0)! Svar: TT () (+ ) och yy +6 Rättningsmall: p för korrekta derivator yy +, yy eller korrekt Taylors formel Allt korrektp (+ ) + yy (0) 0 + 0! 6 (+ ) +6 och yy ger p (+ )

6 Uppgift (p) Beräkna följande integraler a) (p) e d b) (p) ( + ) sin d + c ) (p) d + a) Substitutionen: + 5 v ger d dv eller d dv Detta substitueras i integralen e d och fås v 8 v 8 v e dv e dv e + C e + C b) ( + ) sin d (partiellintegration: u + v' sin och därmed u ' v cos ( + )cos ( cos ) d ( + )cos + sin + C c) Först partialbråksuppdelning: + A B + (multiplicera med (+) ) ( + ) + + A( + ) + B (*) Detta ska vara sant för alla Om vi väljer, för enkelhetsskull, får vi från (*) 0 B och därmed B / Om vi nu väljer 0 får vi från (*) A och därmed A / + / / Vi beräknar d + d C + ln ln + Svar: a) 8 e +5 + C b) ( + )cos + sin + C c) ln + ln + + C Rättningsmall: a) rätt eller fel b) rätt eller fel c) p för korrekt uppdelning i partialbråk Uppgift 5 (p) Vi betraktar en tunn metalltråd, som har den konstanta snittarean A cm och som ligger på -aeln mellan a cm och b cm Kroppens densitet ρ är en kontinuerlig funktion av en variabel, dvs ρ ρ() g/ cm Trådens massa kan beräknas med formeln b A m ρ ( ) d a

7 Beräkna trådens massa om ρ 0 + e g/ cm, A0 cm, a 0 cm och b cm m b A ρ ) d 0 (0 + a ( e ) d 0 Först beräknar vi obestämda integralen 0 (0 + e ) d Vi beräknar separat två integraler: 0d 0 + C, e d (part int u, e e d e e + C v e part int u, u, v e v e Därför + e 0 (0 ) d 0 (0 + e e ) + C Härav b m A ρ ( ) d 0 (0 + e ) d 0 [0 + e e ] 0 a 0 0 [0 + e e ] 0 [0 + 0 ] + 0e ( + e ) 5 5 Svar: + 0e ( eller + e ) 5 5 Rättningsmall: Korrekt beräkning av obestämda integralen till ger p Allt korrekt p Uppgift 6 (p) Ett mekaniskt system med en fjäder och en dämpare kan beskrivas med följande ekvation (i lämpliga enheter), med avseende på y(, m y ( + by ( + ky( F( Bestäm den allmänna lösningen för y( då m kg, b 7 Ns/m, k 0 N/m, F e N Vi substituerar givna värden i ekvationen m y ( + by ( + ky( F( och får y t + 7y ( + 0y( e ( ) Homogena delen har karakteristiska ekvationen r + 7r som ger r och r 5

8 Därmed är Y h 5t + lösningen till den homogena delen Ce De Ansatsen y p Ae och därmed, y p Ae ger y p Ae Ae 7 Ae + 0Ae e Ae e A / Därmed y p e Den allmänna lösningen är y Y h + y p Ce + De 5t + e Svar: y Ce + De 5t + e Rättningsmall: Korrekt till ) y ( + 7y ( + 0y( t e ger p Korrekt homogena lösningen Allt korrekt p Y h 5t + ger totalt p Ce De Uppgift 7 (p) Bestäm strömmen i( i nedanstående LRC krets om induktansen L henry, resistansen R 0 ohm, kapacitansen C 00 farad och spänningen U 0 volt Dessutom gäller i ( 0) 0 och i ( 0) Tips: Spänningsfallet över en spole med induktansen L är lika med L i ( Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R i( Spänningsfallet över en kondensator med kapacitansen C (farad) och laddningen q ( (coulomb) är lika med q ( / C, där q ( i( Från kretsen får vi följande diff ekv di( L + Ri( + q( u( dt C dvs ( efter subst L, R och C)

9 i ( + 0i( + 00q( 0 Derivering ger: i ( + 0i ( + 00i( 0 (en homogen DE) 0t 0t Härav i( C e + C e För att bestämma C och C använder vi begynnelsevillkoren i ( 0) 0 och i ( 0) Från i ( 0) 0 får vi C + C 0 (*) 0t 0t Från i ( 0Ce 0Ce och i ( 0) hat vi 0C 0C (**) Från (*) och (**) har vi C /0, C / 0 0t 0t Slutligen i( e Ce 0 0 0t 0t Svar: i( e Ce 0 0 Rättningsmall: Korrekt till i ( + 0i ( + 00i( 0 (eller till en ekvivalent ekvation med enbart q ( ) ger p Korrekt till i( C e + C e 0t 0t ger totalt p Allt korrekt p Uppgift 8 ( p) Använd substitutionen ( y( ) y ) + y ( ) / y z för att lösa följande differentialekvation / y z ger z z Substitutionen y Detta substitueras i ekvationen ( y( ) y ) + y ( och fås )

10 / z z z + / z / Multiplikation med z ger en linjär DE z z + d Pd F ln En Integrerande faktor är e e e Vi betraktar ekvationen för >0 (På samma sätt löser vi ekvationen om <0, som i denna uppgift leder till samma lösning) Alltså F e ln Nu är z F ( C + F Qd) ( C + d) ( C + ) Från substitutionen / y z har vi / ) Svar: y ( C + Rättningsmall: z Korrekt till z + ger p Allt korrektp / ) y ( C + ( den allmänna lösningen)