a) Bestäm samtliga asymptoter (lodräta/vågräta/sneda). b) Bestäm samtliga stationära punkter och deras karaktär (min/max/terrass). c) Rita grafen.

Transkript

1 TENTAMEN Kurs: HF9 Matematik, moment TEN (analys) atum: okt 8 Skrivtid 4:-8: Eaminator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av ma 4 poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C,, E krävs, 9, 6, respektive poäng Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg F) Komplettering sker c:a två veckor efter att tentamen är rättad Om komplettering är godkänd rapporteras betyg E, annars rapporteras F Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten) Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar Skriv endast på en sida av papperet Skriv namn och personnummer på varje blad Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget Student får inte behålla tentamenslydelsen eller skriv- och kladdpapper som använts under tentamen Uppgift (4p) a) (p) Bestäm definitionsmängden till funktionen f ( ) + 4 b) (p) Bestäm inversen till funktionen 7 f ( ) + arccos( ) c) (p) Beräkna gränsvärdet lim sin() d) (p) Beräkna gränsvärdet lim arcsin( ) Uppgift (4p) Vi betraktar funktionen f ( ) + + a) Bestäm samtliga asymptoter (lodräta/vågräta/sneda) b) Bestäm samtliga stationära punkter och deras karaktär (min/ma/terrass) c) Rita grafen Var god vänd!

2 Uppgift (p) Bestäm alla stationära punkter samt ange deras typ (ma, min eller sadel) till funktionen f (, y 6 + y Uppgift 4 (6p) Beräkna följande integraler a) (p) d + b) (p) ln d 4 c) (p) (sin + sin ) cos d Uppgift (p): Beräkna cos( + y ) ddy där är det ringformade område som ligger mellan cirklarna + y 4 och + y (Tips: polära koordinater) Uppgift 6 (p) Beräkna volymen av det område som ges av, y, y z + Uppgift 7 (4p) Bestäm tyngdpunkten, y ) för området som definieras av ( c c, y och + y 4 Lycka till FACIT Uppgift (4p) a) (p) Bestäm definitionsmängden till funktionen f ( ) + 4 b) (p) Bestäm inversen till funktionen 7 f ( ) + arccos( ) c) (p) Beräkna gränsvärdet lim sin() d) (p) Beräkna gränsvärdet lim arcsin()

3 a) Funktionen är definierad om 4 dvs / 4 7 b) Från y + arccos( ) får vi 7 y arccos( ), 7 y cos( ), y 7 + cos( ) Alltså ( ) 7 cos( y f y + ) eller (om vi använder som den oberoende variabeln) ( ) 7 cos( f + ) c) lim [ typ, L Hospitals regel] lim sin() d) lim [ typ, L Hospitals regel] arcsin() 6cos() 6 lim () Svar: a) [ / 4, ), b) ( ) 7 cos( f + ) 6 c) d) Rättningsmall: a) - d), Rätt eller fel Uppgift (4p) Vi betraktar funktionen f ( ) + + a) Bestäm samtliga asymptoter (lodräta/vågräta/sneda) b) Bestäm samtliga stationära punkter och deras karaktär (min/ma/terrass) c) Rita grafen a) Funktionen är definierad och kontinuerlig för alla reella ärför har funktionen ingen lodrät ( vertikal) asymptot Om ± då f ( ) + ärför är y funktionens vågrät(horisontell) asymptot b) f ( ) ( + ) ( + )

4 Stationära punkter : f ( ) ( + ) En stationär punkt Funktionens värde i punkten är f ( ) + 4 erivatans tecken f () + funktionen f () väer avtar visar att är en mapunkt c) grafen: Svar: Se ovan Rättningsmall: a) p b) p ( p för korrekt stationär punkt, p om allt är korrekt) c) p Uppgift (p) Bestäm alla stationära punkter samt ange deras typ (ma, min eller sadel) till funktionen f (, y 6 + y Partiella derivator: f (, 6, (, y + f y f (,, f y (,, f yy (, Stationära punkter finns där f f : y

5 6 y + y Alltså en stationär punkt (,) Punktens typ: AC B ( ) 4 <, Alltså en sadelpunkt Svar: Funktionen har en sadelpunkt (,), Rättningsmall: p för korrekt stationär punkt, p om allt är korrekt Uppgift 4 (6p) Beräkna följande integraler a) (p) d + b) (p) ln d 4 c) (p) (sin + sin ) cos d a) Vi kvadratkompletterar integrandens nämnare ( + ) ( + ) 4 4 ärmed d d + Subst: + t, d dt 7 ( + ) 4 d 7 t 4 Vi använder formel i formelbladet, d a 7 7 ln + C, med a och får a a + a 4 d 7 t 4 t ln 7 t C ln + C Anmärkning Vi kan även beräkna integralen med partialbråksuppdelning, men beräkning blir komplicerad i det här fallet

6 b) Partiell integration där u ln, v u', v ln d uv u vd ln d ln + C 4 4 c) (sin + sin ) cos d Subst: sin t, cos d dt 4 t t sin sin ( t + t ) dt + + C + + C Svar: a) ln C b) ln + C 4 sin sin c) + + C Rättningsmall: a-c) p för korrekt metod med ett mindre räknefel p om allt är korrekt Uppgift (p): Beräkna cos( + y ) ddy där är det ringformade område som ligger mellan cirklarna + y 4 och + y (Tips: polära koordinater) Vi använder polära koordinater, så att r cos( θ ), y r sin( θ ) + y r, d dy r dr dθ å får vi cos( ( cosr ) r dr r cosr dr sin r (sin sin) + y ) ddy dθ Anmärkning: r cos r dr [ subst r t, rdr dtdr ] costdt sint + C sin r + C Svar: (sin sin) 8

7 Rättningsmall: Korrekt till d ( cosr ) θ r dr ger p Uppgift 6 (p) Beräkna volymen av det område som ges av, y, y z + + V ( y ) ddy d ( + y ) dy [ Först integrerar vi med avseende på y och betraktar tillfälligt som en konstant] y y + d [Vi substituerar y- gränserna och ] + d [Till slut integrerar vi med avseende på ] Svar: V y Rättningsmall: Korrekt till y + d ger p Uppgift 7 (4p) Bestäm tyngdpunkten ( c, yc ) för området som definieras av, y och + y 4 Vi använder formlerna: c Arean( ) ddy Arean( ), yc y ddy Området är en cirkelsektor med radien och befinner sig i den första kvadranten

8 4 Arean ( ) r 4 4 Polära koordinater skall användas i detta fall: θ och r Gränser: ddy d r cosθ rdr cosθ dθ r ärför c r cos θ, y r sinθ, ddy rdrdθ r 8 θ dr [ sinθ ] Arean( ) 8 8 ddy På grund av symmetrin gäller y c c 4 Om man inte märker detta då får man samma resultat genom att beräkna r 8 y ddy sinθ dθ r dr [ cosθ ] 8 8 c ( ) y ddy Arean och därmed y 8 8 (, Svar: T( ) Korrekt area + poäng Korrekt ddy d θ r cosθ rdr + poäng Korrekt en koordinat + poäng Allt korrekt 4 poäng