Uppgift 1. (3p) a) Bestäm definitionsmängden till funktionen f ( x) c) Bestäm inversen till funktionen h ( x)

Transkript

1 Tentamen TEN, (analysdelen) HF9, Matematik atum: aug 9 Skrivtid: : - 8: Eaminator: Armin Halilovic Jourhavande lärare: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av ma poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C,, E krävs, 9, 6, respektive poäng Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg F) Komplettering sker c:a två veckor efter att tentamen är rättad Om komplettering är godkänd rapporteras betyg E, annars rapporteras F Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten) Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar Skriv endast på en sida av papperet Skriv namn och personnummer på varje blad Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget Student får inte behålla tentamenslydelsen eller skriv- och kladdpapper som använts under tentamen ===================================== Uppgift (p) a) Bestäm definitionsmängden till funktionen f ( ) = + + b) Låt g ( ) = ln( ) Bestäm g () + c) Bestäm inversen till funktionen h ( ) = + Uppgift (p) (Student som är godkänd på KS hoppar över uppgift ) Vi betraktar funktionen f (, y) = 6 + y 8y + a) (p) Bestäm funktionens stationära punkter och deras typ (min/ma/sadelpunkt) b) (p) Bestäm (eventuella) funktionens etremvärden Uppgift (p) Beräkna dubbelintegral ) sin( y ddy, då definieras genom, y π Var god vänd Sida av 8

2 Uppgift (p) Beräkna följande gränsvärden a) lim arctan( ) e + b) lim + + Uppgift (p) Låt f( ) = a) ( p) Bestäm samtliga stationära punkter och deras karaktär b) (p) Bestäm eventuella asymptoter c) Rita funktionens graf Uppgift 6 (p) Beräkna volymen av den kropp K som definieras av K = {(, y, z) : z + y +, + y } ( Notera att K består av de punkter i R som ligger mellan y-planet och ytan z = + y +, ovanpå cirkeln + y ) Tips: Använd polära koordinater Uppgift 7 (p) Bestäm tyngdpunkten för området = {(, y) : y, } Uppgift 8 (p) Beräkna integralen + dddd Lycka till Sida av 8

3 FACIT Uppgift (p) a) Bestäm definitionsmängden till funktionen f ( ) = + + b) Låt g ( ) = ln( ) Bestäm g () + c) Bestäm inversen till funktionen h ( ) = + a) Villkor : ger Villkor : ger Båda villkor är uppfyllda om (+ ) (+ ) + b) g ( ) = = = + (+ ) + (+ ) (+ )(+ ) + c) Vi löser ut ur y = + Vi har (för ): + = y, = y, y =, y =, y = + och slutligen y = + ärmed y h y { eller ( ) = + h ( ) } = + Svar: a) b) g ( ) = (+ )(+ ) y h ( y) { eller c) = + Rättningsmall: a,b,c: Rätt eller fel h ( ) = + } Uppgift (p) Vi betraktar funktionen f (, y) = 6 + y 8y + a) (p) Bestäm funktionens stationära punkter och deras typ (min/ma/sadelpunkt) b) (p) Bestäm (eventuella) funktionens etremvärden a) Sida av 8

4 f = 6 = 8y 8 Stationära punkter får vi genom att lösa systemet f = f y = dvs 6 = Härav = och y = 8 y 8 = En stationär punkt P=(,) A = f = B = f y = C = f yy = 8 f y AC B = 6 = 6 > Punkten P=(,) är en minpunkt b) z = f (,) = = min Svar: a) Punkten P=(,) är en minpunkt b) z = min Rättningsmall: p för punkten (,) och p för korrekt typ +p för z = min Uppgift (p) (Student som är godkänd på inlämningsuppgiften hoppar över uppgift ) Beräkna dubbelintegral ) sin( y ddy, då definieras genom, y π sin( y) ddy = [ ] = 9 d π = d = Svar: 9 sin( y) ddy = Rättningsmall: Korrekt till [ cos y] [ cos y ] d = π π d ger p [cosπ cos] d Sida av 8

5 Korrekt till d ger p Allt korrekt=p Uppgift (p) Beräkna följande gränsvärden arctan( ) a) lim e + b) lim + arctan( ) a) lim = [typ, l' Hospitals regel ] e + ( ) lim = = e ( + ) ( + ) + b) lim = lim = lim = = + ( + ) ( + ) Svar: a) b) Rättningsmall: a,b: Rätt eller fel + Uppgift (p) Låt f( ) = a) ( p) Bestäm samtliga stationära punkter och deras karaktär b) (p) Bestäm eventuella asymptoter c) Rita funktionens graf a) ( ) ( + ) f ( ) = = f ( ) = = { = eller = } Två stationära punkter: =, = Från ( ) 8 f ( ) = = har vi f ( ) < = är en mapunkt f () > = är en minpunkt (Notera att f ( ) = 6 och att f () = så att S = (, 6) och S = (,) är motsvarande punkter på grafen) b) Funktionen är definierad och kontinuerlig för Sida av 8

6 = är en vertikal (lodrät) asymptot (eftersom f( ) ± då ) ± + Eftersom f( ) = = + ser vi att funktionen har en sned asymptot y = (då ± ) Grafen: Svar: a) = är en mapunkt, = är en minpunkt b) = är en vertikal (lodrät) asymptot, y = är en sned asymptot c) Se ovanstående graf Rättningsmall: a) Korrekta två stationera punkter = p Korrekta typer+p Alternativ: Korrekt en punkt och punktens typ ger p b) Rätt eller fel c) Rätt eller fel Uppgift 6 (p) Beräkna volymen av den kropp K som definieras av K = {(, y, z) : z + y +, + y } ( Notera att K består av de punkter i R som ligger mellan y-planet och ytan z = + y +, ovanpå cirkeln + y ) Tips: Använd polära koordinater Volymen: V= z ddy = ( + y + ) ddy Notera att definieras av + y, dvs är en cirkel med radien Vi substituerar polära koordinater ( + y = r, ddy = rdrdθ ) Sida 6 av 8

7 π θ ( r ) rdr = d V = d + Svar: 8 π Rättningsmall: + Korrekt till V = ( + y ) ddy ger p π Korrekt till V = dθ ( r + ) rdr ger p Allt korrekt=p π r r θ ( r + r) dr = π + = π = 8π Uppgift 7 (p) Bestäm tyngdpunkten för området = {(, y) : y, } Vi använder formlerna cc = AAAAAAAAAA(), yy cc = AAAAAAAAAA() yyyyyyyyyy Först, Arean()= d = = c = y= = = [ ] = ( ) ddy d dy y y= d Arean d = = y c y= 6 7 = y = = = = ( ) y ddy d ydy d d Arean 7 y= = 7 Alltså T= ( c, yc ) =, 7 Svar: T =, 7 Rättningsmall: Korrekt Arean() = ger +p Korrekt c = ger +p Korrekt y c = ger +p 7 Uppgift 8 (p) Beräkna integralen + dddd Sida 7 av 8

8 Lösning Vi betecknar II = + dddd II = + dddd + II = + + dddd + Part integration: uu = + vv = uu = vv = + II = dddd + + II = + + dddd + llll + + ( Vi har i mitten av ekvationen den sökta integralen II = + dddd ) II = + II + llll + + ( Vi löser ekvationen med avseende på II ) II = + + llll + + ( dela med ) II = + + llll CC Svar: + + llll CC Rättningsmall: Korrekt till II = + dddd ger +p + Korrekt till II = + + dddd + llll + + ger p Allt korrekt =p Sida 8 av 8