TENTAMEN. Datum: 5 juni 2019 Skrivtid 14:00-18:00. Examinator: Armin Halilovic, tel

Transkript

1 Kus: HF9, Matematik, atum: juni 9 Skivtid :-: TENTAMEN moment TEN (analys Eaminato: Amin Halilovic, tel. 79 Fö godkänt betyg kävs av ma poäng. Betygsgänse: Fö betyg A, B, C,, E kävs, 9, 6, espektive poäng. Kompletteing: 9 poäng på tentamen ge ätt till kompletteing (betyg F. Kompletteing ske c:a två vecko efte att tentamen ä ättad. Om kompletteing ä godkänd appoteas betyg E, annas appoteas F. Hjälpmedel: Endast bifogat fomelblad (miniäknae ä inte tillåten. Till samtliga inlämnade uppgifte fodas fullständiga lösninga. Skiv endast på en sida av pappeet. Skiv namn och pesonnumme på vaje blad. Inlämnade uppgifte skall makeas med kyss på omslaget Student få inte behålla tentamenslydelsen elle skiv- och kladdpappe som använts unde tentamen. Uppgift. (p a Bestäm definitionsmängden till funktionen f ( ln( +. b Låt g ( (+ acsin(+. Bestäm g (. c Beäkna e lim sin( Uppgift. (p Vi betakta funktionen f (, y + y y +. a (p Bestäm funktionens stationäa punkte och deas typ (min/ma/sadelpunkt. b (p Bestäm funktionens etemväde (om det eistea. Uppgift. (p Beäkna dubbelintegal + ( + y dy, då definieas genom, y. Va god vänd. Sida av

2 Uppgift. (p Beäkna följande gänsväden acsin( a lim 6 + b lim + + c lim Uppgift. (p Beäkna följande integale + a + b e + (Tips: patiell integation c [sin ( + sin ( ]cos( (Tips: vaiabelbyte Uppgift 6.(p Låt f( ln. a ( p Bestäm samtliga stationäa punkte och deas kaaktä. b (p Bestäm eventuella lodäta asymptote. Uppgift 7. (p Beäkna volymen av den ändliga kopp som begänsas av ytona z + y. Tips: Använd poläa koodinate. z och y Lycka till. FACIT Uppgift. (p a Bestäm definitionsmängden till funktionen f ( ln( +. b Låt g ( (+ acsin(+. Bestäm g (. c Beäkna e lim sin( a Villko : > ge > Villko : ge Båda villko ä uppfyllda om <. Sida av

3 b g ( acsin( + + ( + ( + c e lim [typ, L' Hospital] sin( e lim. cos( Sva: a Funktionen ä definiead fö < dvs (, ]. b g ( acsin( + + ( + ( + c Rättningsmall: p fö vaje del. Uppgift. (p Vi betakta funktionen f (, y + y y +. a (p Bestäm funktionens stationäa punkte och deas typ (min/ma/sadelpunkt. b (p Bestäm funktionens etemväde (om det eistea. a f f y y Stationäa punkte få vi genom att lösa systemet f f y. dvs Häav och y. y En stationä punkt P(, A f B f y C f yy AC B > Punkten P(, ä en etem punkt och eftesom A> ä punkten en minpunkt. b f (, (minimivädet Sva: a Punkten P(, ä en minpunkt. b f (, Rättningsmall: p fö punkten (,, p fö koekt typ. och p fö f (,. Sida av

4 Uppgift. (p Beäkna dubbelintegal + ( + y dy, då definieas genom, y. ( + y y + dy ( + y + dy y + + y ( + [ + ] Sva: Rättningsmall: p fö koekt beäkning till och med +p fö koekt till och med ( + p om allt ä koekt. y y + + y Uppgift. (p Beäkna följande gänsväden acsin( a lim 6 + b lim + c lim a Test om gänsvädet kan beäknas enbat med insättning av : acsin( Gänsväde av typ /, använd L Hospitals egel: 6 + acsin( ( lim L'Hospital lim 6 b Fökota föst med : + + lim lim + + ( + ( + + c lim lim lim Sida av

5 Notea att eftesom < (fö ( + lim lim ( + ( +. Sva: a b c Rättningsmall: p fö vaje del. Rätt elle fel. Uppgift. (p Beäkna följande integale + a + b e + (Tips: patiell integation c [sin ( + sin ( ]cos( (Tips: vaiabelbyte + + a Föst dela vi i patiella båk + ( + + A B + (multiplicea med ( ( + ( A( + + B (* (* gälle fö alla, så att vi kan välja två olika (vilka som helst -väden, substituea i ( * och bestämma A och B. Vi välje eempelvis och (som ge enkla ekvatione och substituea i (*. A dvs A B dvs B. + ämed + och däfö ( ln + ln + + C + b e + Pat int: u u + v e e v e e e e e uv u v C. Sida av

6 c [sin ( + sin ( ]cos( 9 9 v v sin sin ( v + v dv + + C C. 9 Sva: a ln + ln + + C 9 sin sin b + + C e e c + C 9 Rättningsmall: a p bp. Rätt elle fel. cp. Rätt elle fel. (p fö koekt till ( Substitution: sin( v, cos( dv + +. ( + + Uppgift 6.(p Låt f( ln. a ( p Bestäm samtliga stationäa punkte och deas kaaktä. b (p Bestäm eventuella lodäta asymptote. a eivea: f ( f ± ( (Nämnae: ( ± ± ( ± 6 et finns alltså två stationäa punkte och. 6 ( ( ( Andadeivata (tillämpa kvotegeln: f ( ( etta uttyck se kångligt ut, men hanteas bäst utan föenkling. Obsevea att nämnaen ä icke-negativ, och däfö beo andadeivatans tecken enbat av täljaen. Vidae ä den anda temen i täljaen i de stationäa punktena (se ovan. 6 ( (( ( ( 6 f ( < (mapunkt (( ( (... Punkten ä en mapunkt. 6 ( ( 6 f ( < (mapunkt ( (... Punkten ä en också en mapunkt. b en elementea funktionen ln( t ha en lodät asymptot t, Sida 6 av

7 däfö f( ln ha lodäta asymptote då (. Gafen till funktionen: Sva: a Funktionen ha två stationäa punkte och. Båda ä mapunkte. b Te lodäta asymptote:, och. Rättningsmall: a p fö koekt deiveing. +p fö en koekt punkt med koekt kaaktä. Alt. p fö båda punktena koekta. p om allt ä koekt b Rätt elle fel. Uppgift 7. (p Beäkna volymen av den ändliga kopp som begänsas av ytona z + y. Tips: Använd poläa koodinate. z och y Skäningslinje få vi u y + y + y + y (cikeln med adien och centum i oigo Volymen: V ( z z dy ( y dy ( vi substituea poläa koodinate Sida 7 av

8 ( d d V π θ ( d d π θ π π π 6. Rättningsmall: p fö koekt skäningslinjen + y. +p fö V dy z z ( dy y ( +p fö ( d d V π θ p om allt ä koekt. Sida av