1 Två stationära lösningar i cylindergeometri

Transkript

1 Föeläsning 6. 1 Två stationäa lösninga i cylindegeometi Exempel 6.1 Stömning utanfö en oteande cylinde En mycket lång (oändligt lång) oteande cylinde ä nedsänkt i vatten. Rotationsaxeln ä vetikal, cylindes vinkelhastighet ä Ω och dess adie ä R. Bestäm a) hastighetsfältet i vattnet, b) fomen av den fia vattenytan, c) och spänningen på cylinden. Figue 1: En oteande cylinde som ä nedsänkt i vatten genea en vivel omking sig i vattnet. I en vivel sjunke tycket mot centum. Däfö komme den omgivande vattenytan att sjunka king cylinden. Lösning a) Navie-Stokes ekvatione i cylindekoodinate kan skivas (se Appendix A) t + (u )u u θ θ t + (u )u θ + u u θ z t + (u )u z = 1 ( ρ + ν u u ) θ, (1) θ = 1 ( ρ θ + ν u θ u θ + ), () θ = 1 ρ z + ν u z g, (3) dä u = u + u θ θ + u z z. (4) 1

2 Av symmetiskäl så ha vi ingen vaiation i θ-led. Till att böja med kan vi anta att hastighetsfältet ä en funktion av och (möjligen) z. Randvillkoen fö hastighetskomponentena ä u θ = ΩR då = R och u θ 0 då, (5) u = u z = 0 då = R och u, u z 0 då. (6) Givet dessa andvillko ä det natuligt att söka en lösning av fomen u = u θ ()e θ. Vi anta alltså att u = u z = 0 och att u θ endast ä en funktion av och inte av z. Med denna ansats bli de flesta temena noll i ekvationena (1-3) och vi få följande system u θ = 1 ρ, (7) ( ( ) ) 1 0 = ν θ u θ, (8) 0 = 1 ρ z g, (9) Ekvation (8) kan integeas på två olika sätt. Enligt det fösta sättet skive vi om den som ( ) 1 (u θ) = 0. (10) Diekt integation ge nu u θ = A + B, (11) dä A och B ä två integationskonstante. Enligt det anda sättet så gö vi ansatsen u θ = C m m och finne då att m = ±1, med två linjät obeoende lösninga. Vi få då samma esultat (11). Villkoet att u θ 0 då ge att A = 0 och villkoet u θ (R) = ΩR ge att B = ΩR och vi få lösningen u θ = ΩR. (1) b) Fö att bestämma fomen på den fia vattenytan stoppa vi in (1) i (7) och integea = ρω R 4 p = ρ Ω R 4 + f(z). (13) 3 Fö att bestämma funktionen f(z) integea vi (9). Fån (13) och (14) se vi att tycket kan skivas p = ρgz + g(). (14) p = ρgz ρ Ω R 4 + C, (15) dä C ä en konstant. Fö z = 0 och ha vi att p = p atm, vilket ge C = p atm. Vid den fia vattenytan ha vi att p = p atm och således få vi z- koodinaten av den fia ytan som funktion av den adiella koodinaten, z = Ω R 4 g. (16)

3 c) Fö att beäkna spänningen på cylinden använde vi uttycket (se Appendix A) ( τ θ = µe θ = µ ( ) uθ + 1 ), (17) θ vilket ge τ θ =R = µ ( R ) Ω =R = µω. (18) Detta ä alltså spänningen i e θ -led på ytan vas enhetsnomalvekto peka i e -led. Minustecknet betyde att spänningen ä motiktad e θ om Ω ä positiv (se figu ). Figue : Spänningen på cylinden ä motiktad otationen, eftesom vattnet bomsa cylinden. Exempel 6. Stömning inne i en oteande cylinde En lång oteande cylinde ä fylld med vatten på insidan. Rotationsaxeln ä vetikal, cylindes vinkelhastighet ä Ω och dess adie ä R. Bestäm a) hastighetsfältet i vattnet inne i cylinden, b) fomen av den fia vattenytan, c) och spänningen på cylinden. Lösning a) Pecis som i föa exemplet få vi att u θ = A + B, (19) dä A och B ä två integationskonstante. Hastighetsfältet måste vaa begänsat då = 0. Däfö ha vi att B = 0. Randvillkoet u θ (R) = ΩR ge A = Ω och u θ = Ω. (0) Vattnet på insidan av cylinden otea alltså som en stel kopp. 3

4 b) Fö tycket få vi = ρω p = ρω + f(z). (1) Pecis som i föa exemplet integea vi (9) och få då vilket ge p = ρgz + g(). () p = ρω ρgz + C. (3) Om vi välje noll-läget fö z-axeln vid den fia ytan så få vi att C = p atm, eftesom p = p atm då = z = 0. Den fia ytan bli alltså paabolisk, med fomen z = Ω g (4) Figue 3: Den oteande cylinden genea en stelkoppsotation av vattnet på insidan. Tycket sjunke mot centum och däfö sjunke ytan mot centum. c) Eftesom öelsen ä en stelkoppsotation ä töjningstenson noll och däfö ä skjuvspänningana noll, vilket vi lätt kan bekäfta med uttycket (17). Det ä alltså ingen spänning på cylinden. 4

5 En instationä lösning Exempel 6.3 Stokes fösta poblem En stillastående inkompessibel fluid med densiteten ρ och viskositeten ν fylle ett halvoändligt um ovanfö x-axeln. Fluiden acceleeas plötsligt av att anden som ä paallell med x-axeln fån det ena ögonblicket till det anda böja öa sig med en hastighet U i positiv x-led. Bestäm a) hastighetsfältets utveckling i tiden i fluiden, b) spänningen på väggen som funktion av tiden. Figue 4: En platta böja fån det ena ögonblicket till det anda att öa sig med en hastighet U och svepe med sig en fluid. Lösning a) Uppenbaligen måste allting se likadant ut vid vaje x-position. Hastighetsfältet och tyckfältet kan däfö inte ha något x-beoende. Fån kontinuitetsekvationen få vi v y = x = 0 v = C. (5) Randvillkoet ge att C = 0, vafö v = 0. Ekvationen fö u kan skivas t + u x + v y = 1 ρ x + ν u. (6) Eftesom v = 0 och hastighetsfält och tyckfält ä obeoende av x få vi nu med andvillkoen t = u ν y, (7) u = U då y = 0, u 0 då y. (8) 5

6 Vi ska nu lösa ekvationen (7) med andvillkoen (8) genom att göa en så kallad likfomighetsansats: u(y, t, ν) = Uf(η), (9) dä η ä en så kallad likfomighetsvaiabel, vilket innebä att den ska vaa dimensionslös. De elevanta paametana ä y, t och ν. Den kinematiska viskositeten ha dimensionen L /T. Den dimensionslösa vaiabel som vi kan skapa fån dessa paameta ä y/ νt. Vi välje η = y νt. (30) Att inkludea tvåan i nämnaen ska visa sig paktiskt, men det ä inte nödvändigt fö att komma fam till lösningen. Vi få nu Vi sätte nu in (31) och (33) i (7) och få Randvillkoen bli t = U df η df η = U dη t dη t, (31) y = U df η dη y = U df 1 dη νt, (3) u y = U d f 1 dη 4νt. (33) η df dη = d f dη. (34) f = 1 då η = 0, f 0 då η. (35) Ekvation (34) kan integeas en gång genom följande manipulation df f = η dη ln f = η + K f = Ce η. (36) Ytteligae en integation ge f = C η 0 e η dη + A, (37) dä A ä en ny integationskonstant. Fån villkoet f = 1 då η = 0 få vi att A = 1 och fån villkoet i oändligheten få vi Lösningen kan följaktligen skivas 1 C = 0 e η dη =. (38) π f = 1 π η 0 e η dη = 1 ef(η), (39) 6

7 dä vi inföt den så kallade eo-funktionen, ef(η) = π η 0 e η dη. (40) I teme av de uspungliga vaiablena kan lösningen skivas u = U ( 1 ef ( )) y νt (41) Detta ä ett exempel på en likfomighetslösning. Ha vi lösningen fö en tidpunkt fö en speciell fluid med en given viskositet så känne vi också lösningen fö alla anda tide och dessutom känne vi lösningen fö en annan fluid med en annan viskositet. Om vi exempelvis skulle utföa ett expeiment med två olika fluide och plotta hastigheten som funktion av y fö olika tide fö de två olika fluidena, så skulle alla dessa kuvo bli olika. Ju länge tiden ha gått desto stöe ä hastigheten vid en given y-koodinat. Dessutom komme hastigheten fö den fluid som ha stöe viskositet att vaa stöe vid en given tid och en given y-koodinat. Om vi däemot skala om alla kuvo genom att dividea y med νt så komme de att sammanfalla. Detta gälle kuvona fö en och samma fluid vid olika tidpunkte, men också kuvona fö de två olika fluidena. b) Väggskuvspänningen bli τ = µ [ ] df y η ν y=0 = µu = ρu dη y πt, (4) y=0 dä minustecknet betyde att spänningen på väggen ä iktad i negativ x-led, vilket innebä att fluiden bomsa väggen. Då t 0 få vi en oändligt sto spänning. Detta ofysikaliska esultat ä en konsekvens av det ofysikaliska antagandet att väggen böja öa sig i ett enda ögonblick, d v s med oändligt sto acceleation. 7