Vi börjar med att dela upp konen i ett antal skivor enligt figuren. Tvärsnittsareorna är då cirklar.

Transkript

1 3.6 Rotationsvolme Skivmetoden Eempel Hu kan vi beäkna volmen av en kopp med jälp av en integal? Vi visa ett eempel med en kon dä volmen också kan beäknas med fomeln V = π 3 Vi böja med att dela upp konen i ett antal skivo enligt figuen. Tväsnittsaeona ä då cikla. Volmen av en skiva kan appoimeas till en clinde med tväsnittsaean A( i ) oc öjden i. A ( ) A ( ) A ( 3 ) A ( ) A ( 5 ) Volmen av en clindeskiva ges av V = A( i ) i. Vi få ett ungefäligt väde på konens volm om vi summea skivonas volme V A( i ) i i = Om vi låte antalet skivo öka obegänsat så gå mot noll oc vi kan beäkna konens volm med en integal V = A()d A( ) 5 dä A() ä tväsnittsaean som beo av oc ä konens öjd. Med jälp av likfomiget kan vi skiva en fomel fö u konens tväsnittsaea A beo av. = = A( ) = π = π ( ( ) ( ) ) = π ( ) 3.6 Rotationsvolme

2 Volmen kan sedan beäknas med integalen π π V = A( ) d = ( ) d = d = ( ) π π = + = 3 + = π ( ) d 3 3 Volmen V = π öveensstämme med den välkända fomeln 3 fö volmen av en kon. Sammanfattning Volmen av en kopp kan beäknas med integalen b V = A ( )d a dä A() ä tväsnittsaean vinkelätt mot - aeln. a oc b ä gänsena i - led. otationsvolm skivmetoden En otationsvolm uppstå då en kuva otea unt -aeln elle unt -aeln. Volmen av otationskoppen kan beäknas med skivmetoden. Rotation king -aeln: V = π b V = π d a dä a oc b ä gänsena i -led. Rotation king -aeln: V = π b V = π d a dä a oc b ä gänsena i -led. 3.6 Rotationsvolme

3 36 Beäkna det eakta vädet av otationskoppens volm fö det omåde som begänsas av kuvan = oc koodinatalana nä det otea unt a) -aeln b) -aeln a) Den öve integationsgänsen ges av skäningen med -aeln, =. Tväsnittsaean fö en cikulä skiva ä π. Volmen av en skiva V = π = π( ) Hela koppens volm V = π( ) d = = π(6 8 + )d = = π [ ] = π ( ) = 56 π 5 53,6 = Sva: Koppens volm ä 56π/5 volmenete. b) Den öve integationsgänsen ges av skäningen med -aeln, =. = Tväsnittsaean fö en cikulä skiva ä π. = ge att = Volmen av en skiva V = π = π( ) Hela koppens volm V = π( ) d = = π( )d = = π [ ] = π ( 6 6 ) = 8π 5, Sva: Koppens volm ä 8π volmenete. 3.6 Rotationsvolme 3

4 36 Det fägade omådet få otea king -aeln. = 36 Det fägade omådet få otea king -aeln. = = = a) Ställ upp ett uttck fö volmen av en skiva i otationskoppen som funktion av. b) Ställ upp en integal fö beäkning av otationskoppens volm. c) Beäkna volmen. 363 Det fägade omådet otea king -aeln. Beäkna otationskoppens volm med skivmetoden. a) = a) Ställ upp ett uttck fö volmen av en skiva i otationskoppen som funktion av. b) Ställ upp en integal fö beäkning av otationskoppens volm. c) Beäkna volmen. 365 Det fägade omådet otea king -aeln. Beäkna otationskoppens volm med skivmetoden. a) 5 = 5 3 b) = e b) = 3.6 Rotationsvolme

5 366 Följande omåden otea king -aeln. Rita en skiss oc beäkna otationskoppens volm med skivmetoden. 369 Volmen av ett klot kan beäknas genom att klotet delas upp i cikuläa skivo. a) = 5, -aeln, linjena = oc = b) =, -aeln, linjena = oc = c) = oc -aeln 367 Vilken volm ä stöst? I Omådet som begänsas av =,5, -aeln oc = otea king -aeln. II Omådet som begänsas av =,5, -aeln oc = otea king -aeln. 368 Kuvan = inneslute i :e kvadanten ett omåde tillsammans med koodinatalana. Beäkna den volm som uppstå då detta omåde otea king -aeln. a) Uttck i oc oc ställ upp ett uttck fö volmen Δ V av en skiva. b) Ställ upp en integal fö beäkning av klotets volm V. c) Beäkna integalen. d) (m) Globen i Stockolm kan anses vaa ett sfäiskt segment med öjden 85 m oc adien 55 m. Beäkna Globens volm.

6 36 Det fägade omådet i figuen alsta vid otation king -aeln en kopp med volmen π volmenete. Bestäm talet t. t = Det fägade omådet i figuen alsta vid otation king -aeln en kopp med volmen volmenete. Bestäm talet t med två decimale. = t 36 Det omåde som begänsas av kuvan = samt linjena = oc = e få otea king -aeln. Bestäm otationskoppens volm. 36 Kuvan = 9 otea king -aeln. Bestäm volmen av den ändliga kopp som då uppkomme. Svaa eakt. 363 Kuvan = begänsa tillsammans med linjena = oc = ett ändligt omåde i fösta kvadanten. Detta omåde få otea king -aeln. Bestäm otationskoppens volm. 36 Det omåde som begänsas av de positiva koodinatalana oc kuvan = 9 få otea king -aeln. Beäkna otationskoppens volm. 365 Kuvan = 3 3 begänsa tillsammans med -aeln ett omåde som få otea king -aeln. Bestäm otationskoppens volm. 366 Låt det omåde som begänsas av kuvan = ln, linjen = e samt -aeln otea king -aeln. Bestäm volmen av den uppkomna otationskoppen. 368 Det omåde som begänsas av de positiva koodinatalana oc kuvan = sin + cos få otea king -aeln. Bestäm otationskoppens volm. 369 Betakta det ändliga omåde som begänsas av -aeln oc kuvan = a. Man låte omådet otea, dels king -aeln, dels king -aeln. Bestäm den positiva konstanten a så att de två otationskoppana få lika sto volm. 36 Ett omåde i -planet begänsas av -aeln, linjen = oc kuvan = a a dä a ä en konstant sådan att < a <. Låt omådet otea king -aeln oc bestäm a så att otationskoppens volm bli maimal. 36 Ställ upp en integal med vas jälp följande omåde kan beäknas: a) Den volm som alstas då det omåde som begänsas av kuvan = + oc linjen = 5 få otea king = 5. b) Den volm som alstas då det omåde som begänsas av kuvan = 8 -aeln oc linjen = få otea king = Rotationsvolme