Uppgift 4. (1p) Beräkna volymen av den parallellepiped som spänns upp av vektorerna. ) vara två krafter som har samma startpunkt

Transkript

1 Kontollskivning 8 sep 7 VRSION A Tid: 8:5- Kus: HF6 Linjä algeba och anals (algebadelen) Läae: ik Melande, Nicklas Hjelm, Amin Halilovic aminato: Amin Halilovic Fö godkänt kävs 5 poäng Godkänd KS ge bonus enligt kus-pm Fullständiga lösninga och sva skall pesenteas till alla uppgifte Hjälpmedel: ndast utdelat fomelblad (miniäknae ä inte tillåten) Föbjudna hjälpmedel: Telefon, laptop och alla elektoniska medel som kan kopplas till intenet Inga toabesök elle anda aste Detta blad lämna du in tillsammans med lösninga! Uppgift (p) Lös ekvationen Uppgift (p) Lös ekvationssstemet Uppgift (p) Vekton u (,, ) ä given a) Bestäm en enhetsvekto som ha motsatt iktning mot u b) Bestäm en vekto som ä vinkelät mot u Uppgift (p) Beäkna volmen av den paallellepiped som spänns upp av vektoena a (,, ), b (,, ) och c (,, ) Uppgift 5 (p) Låt F (,,) och F (,, ) vaa två kafte som ha samma statpunkt (angeppspunkt) P (,,5 ) a) (p) Beäkna kaftsumman F b) (p) Beäkna kaftmomentvekto M OP F king punkten O (,,) Uppgift 6 (p) Låt två vektoe u v och u v vaa vinkeläta mot vaanda Visa att vektoena u och v ä lika långa Lcka till

2 FACIT Uppgift (p) Lös ekvationen Lösning Definitionen av absolutbelopp ge: ( ) < ( ) < Den givna ekvationen övegå alltså i te ekvatione att lösa i olika intevall, vilka visas i figuen nedan / ( ) ( ) 5 Ligge i intevallet,d v s tillåten lösning ( ) ( ) / Detta väde på tillhö inte det aktuella intevallet och måste fökastas ( ) Ligge i intevallet,d v s tillåten lösning 6 Sva: kvationen ha lösningana, 5 Rättningsmall: Koekt metod och båda lösninga ge p Uppgift (p) Lös ekvationssstemet Lösning Metod Vi använde Gausselimination

3 Häav, och Sva:, och Metod a (Gauss med totalmatis) Det givna ekvationssstemet skivs med hjälp av en totalmatis Nu kan vi skiva tillhöande ekvatione Häav, och Metod b (Gauss-Jodan) Vi kan även fotsätta och eliminea element som ligge ovanpå diagonalen (sk Gauss-Jodans metod)

4 Nu kan vi skiva tillhöande ekvatione Sva: kvationen ha en lösning Rättningsmall: Koekt metod och en koekt obekant (, elle ) ge p Allt koektp Uppgift (p) Vekton u (,, ) ä given a) Bestäm en enhetsvekto som ha motsatt iktning mot u b) Bestäm en vekto som ä vinkelät mot u Lösning a) Genom att nomea vekton uu få vi en n vekto uu som ä en enhetsvekto som peka i uu samma iktning som uu Genom att multiplicea denna na vekto med få vi en enhetsvekto som peka i motsatt iktning mot uu (,) Vi ha alltså att uu,, ä en enhetsvekto som peka i motsatt uu () iktning mot uu b) Vi söke en vekto (,, ) sådan att (,, ) (,, ) dvs så att Det finns oändligt många lösninga Sätte vi te, och så se vi att det stämme n vekto som ä vinkelät mot uu ä alltså (,,) (Det finns oändligt många koekta sva) Rättningsmall: a) Koekt sva: p b) Koekt sva: p Uppgift (p) Beäkna volmen av den paallellepiped som spänns upp av vektoena a (,, ), b (,, ) och c (,, ) Lösning Volmen av paallellepipeden få vi genom att beäkna den deteminant som ha de te vektoena som advektoe Volmen bli beloppet av detta väde Vi ha alltså

5 V ( 6) ( 9) ( ) 8 7 Så volmen av paallellepipeden ä alltså Rättningsmall: Koekt metod och sva: p Uppgift 5 (p) Låt F (,,) och F (,, ) vaa två kafte som ha samma statpunkt (angeppspunkt) P (,,5 ) (p) Beäkna kaftsumman F (p) Beäkna kaftmomentvekto M OP F king punkten O (,,) Lösning a) F F F (,,) b) Föst OP (,, ) Nu kan vi beäkna i j k M OP F i j k i j k (,, ) Sva: a) F (,, ) b) M (,, ) Rättningsmall: a) Koekt sva: p b) Koekt metod och sva: p Uppgift 6 (p) Låt två vektoe u v och u v vaa vinkeläta mot vaanda Visa att vektoena u och v ä lika långa Lösning: nligt antagande ä u v och u v vinkeläta mot vaanda Däfö ä deas skaläpodukt Vi ha: (u v )(u v ) (enligt äknelaga fö skaläpodukt) ( 9u u 9v u 9u v 9v v) (eftesom v u u v ) (9u u 9v v) (eftesom u u u och v v v ) (9 u 9 v (dela med 9 och skiv v på högesidan) u v (tillämpa u v VSB Rättningsmall: Rätt elle fel oten på båda sido; notea att u och v ä icke - negativa)