I ett område utan elektriska laddningar satisfierar potentialen Laplace ekvation. 2 V(r) = 0

Transkript

1 Föeläsning 3 Motsvaa avsnitten , i Giffiths Laplace och Poissons ekvation (Kap. 3.) I ett omåde utan elektiska laddninga satisfiea potentialen Laplace ekvation 2 () = 0 och i ett omåde med ymdladdningstäthet ρ() satisfiea potentialen Poissons ekvation 2 () = ρ() ε 0 Fö att kunna lösa ekvationena entydigt behövs ätt sots andvillko på anden till omådet. De vanligaste andvillkoen ä att potentialen ä en given konstant på ytan av ledae och att potentialen ä noll i oändligheten. Poissons elle Laplace ekvation i omåden med yto dä potentialen ä given på anden till omådet kallas fö andvädespoblem. Dessa ä ofta svåa att lösa analytiskt eftesom vi inte vet laddningsfödelningana på ytona. Det finns dock ett pa fall dä det finns analytiska lösninga. Ett sådant fall ä en given laddningsfödelning ovanfö ett oändligt stot jodplan, se nedan. Entydighetssatse fö elektostatiska poblem (Kap. 3..5) ^n S Det finns en uppsättning av entydighetssatse fö olika geometie och olika type av andvillko. De som tas upp i Giffiths ä: Fall : Antag en volym som omsluts av en yta S med given potential. Poissons ekvation, 2 = ρ/ε 0, ä då entydigt lösba i. Fall 2: Antag en volym utanfö ett antal ledande yto S n med givna laddninga Q n. Fö den ytte yta S ytte som omslute (kan vaa i oändligheten) gälle villkoet S ytte E ˆndS = ε 0 Q tot, dä Q tot ä totala laddningen innanfö S ytte och ˆn ä nomalen iktad ut fån. Det elektiska fältet ä då entydigt givet i. Entydigheten gälle även nä det finns en given ymdladdningstäthet ρ i.

2 2 Speglingsmetoden Spegling i plan (Kap ) En punktladdning befinne sig ovanfö ett jodat metallplan. Lösningen till detta poblem kan vi få genom att esätta metallplanet med en spegelladdning enligt figu. = 0 d Kommenta: Spegling ä ett tick fö att på ett enkelt sätt få fam uttyck fö det elektiska fältet och potentialen. I vekligheten finns ingen spegelladdning utan de laddninga som finns ä punktladdningen och den induceade ytladdningen på metallplanet. De uttyck fö potentialen och fältet som vi få fam med speglingsmetoden gälle endast ovanfö metallytan. Spegling i hön = 0 45 veklig laddning = 0 Figu: I hönet 0 < φ < 45 ge de båda figuena samma elektiska fält. Randvillkoet = 0 fö φ = 0 och φ = 45 ä uppfyllt pga att laddningsfödelningen ä antisymmetisk map linjena x = 0 och x = y. Det gå att spegla i ett hön enligt figu. Det som kävs fö att det skall bli ett ändligt antal spegelladdninga ä att vinkeln φ 0 mellan halvplanen ges av φ 0 = π/n dä n ä ett positivt heltal.

3 3 Lösning av Laplace ekvation i sfäiska koodinate (Kap ) ^e 3 µ ^e 2 Á ^e Antag att vi ha ett källfitt omåde mellan två sfäe, d.v.s. a b dä b kan vaa oändlig och a noll. I omådet gälle 2 () = 0 fö potentialen. i kan finna en allmänn lösning fö a b genom att uttycka Laplaceopeaton i sfäiska koodinate 2 (,θ,φ) = 2 ( 2 ) + 2 sinθ ( sinθ ) + θ θ 2 2 sin 2 θ φ = 0 2 Den allmänna lösningen fås m.h.a. sepaationsmetoden, se kusen i kontinueliga system l ( (,θ,φ) = A m l l +Bl m l ) Yl m (θ, φ) (0.) m= l dä Y m l (θ,φ) ä klotytfunktione och A m l och B m l ä konstante. Begänsa vi oss till axialsymmetiska lösninga = (, θ) föenklas lösningen eftesom den endast komme att innehålla m = 0 teme. (,θ) = dä P l (x) ä Legendepolynomet av gad l, x [,]. ( Al l +B l l ) P l (cosθ) (0.2) Multipolutveckling (Kap. 3.4) Antag nu en laddningsfödelning ρ() som ligge innanfö en sfä med adie R. Fö > R satsifieea potentialen Laplace ekvation och vi kan skiva den på fomen (0.), elle (0.2) om laddningsfödelningen ä axialsymmetisk. Eftesom () 0 Yl m (θ,φ) = C lm Pl m (cosθ)e imφ, dä Pl m (cos θ) ä den associeade Legendefunktionen av odning (l,m) och dä C lm ä en nomeingskonstant som gö att π 2π 0 0 Yl m (θ,φ)y m l (θ,φ)sinθ dφdθ = δ ll δ mm

4 4 då ä A l = 0 fö alla l. Fö att få fam B l använde vi följande utveckling fö >, se Giffiths = l l+p l(cosθ ) dä cosθ = ˆ ˆ. 2 Det lede till () = ρ( ) dv = Temena i summan benämns l = 0, monopol l =, dipol l = 2, kvadupol l = 3, oktopol Elektiska dipole (Kap ) Dipoltemen skive vi om () dip = ρ( ) ˆ ˆdv = 2 l+ρ( ) l P l (cosθ )dv () mono = ρ( )dv = Q () dip = ρ( ) P 2 (cosθ ) dv }{{} cosθ 2ˆ ρ( ) dv = dä laddningsfödelningens elektiska dipolmoment definieas som p = ρ( ) dv ˆ p 2 = p 3 Antag två punktladdninga och som befinne sig i punktena espektive 2. Laddningana bilda då en elektisk dipol med dipolmomentet p = ( 2 ) = d Om vi ha N stycken punktladdninga i, i =,2...N i punktena i, i =,2...N definieas dipolmomentet map oigo av p = N i i i= Det ä lätt att visa att p ä obeoende av oigos placeing om totala laddningen ä N noll, i = 0. i= 2 ä Geenfunktionen fö Poissons ekvation, se kontinueliga system. ( )

5 5 Elektisk fält fån en punktdipol (Kap ) z ekvipotentialyta θ θ fältlinje E Figu: Fältlinje och ekvipotentialyto fö en punktdipol i oigo. En punktdipol med dipolmoment p få vi om vi låte d 0 och på ett sådant sätt att p = d ä ändlig (jämfö ekv. ( )). Potentialen fån en punktdipol p = pẑ som befinne sig i oigo ges av Motsvaande elektiska fält ges av () = p 3 = pcosθ 2 E() = () = 3(p )ˆ p 4 = p 3(2ˆcosθ + ˆθsinθ) dä θ ä vinkeln mellan z-axeln och adius vekto, och ˆ och ˆθ ä de sfäiska enhetsvektoena, se figuen ovan. Kommenta: Det elektiska fältet fån en punktkälla avta som kvadaten på avståndet fån punktkällan. Det elektiska fältet fån en dipol avta som kubiken på avståndet, dvs en odning snabbae. Om en laddningsfödelning ha totala laddningen Q och det totala dipolmomentet p komme dess elektiska fält att långt bot fån laddningsfödelningen se ut som fältet fån en punktkälla Q. Nä man näma sig laddningsfödelningen bli detta en allt säme appoximation och man behöve då lägga till bidaget fån dipolfältet. Fältet fån en laddningsfödelning med totalladdningen noll kan på stoa avstånd fån laddningsfödelningen appoximeas med ett dipolfält.