FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
|
|
- Sara Sandberg
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 FFM234, Klassisk fysik och vektofält - Föeläsningsanteckninga Chistian Fossén, Institutionen fö fysik, Chalmes, Götebog, Sveige Oct 16, Elektomagnetiska fält och Maxwells ekvatione Vi stata med att betakta statiska elektiska och magnetiska (elektostatik och magnetostatik) fö att sedan ta med tidsbeoendet och se hu det innebä en koppling mellan de två fälten. Maxwells ekvatione (tidsobeoende fält) Elektostatik. Statiska elektiska fält E( ) uppfylle ρ( ) = elektisk laddningstäthet. ɛ 0 = dielekticitetskonstant i vakuum E = ρ ɛ 0 (1) E = 0 (2) Den anda ekvationen säge att elektostatiska fält ä otationsfia ( E = 0) och dämed konsevativa. E = φ, dä φ ä den elektostatiska potentialen. Den fösta ä Gauss lag och säge att elektiska fält kan ha elektiska laddninga som källo. Den elektostatiska potentialen uppfylle dämed Poissons ekvation φ = ρ ɛ 0
2 Magnetostatik. Statiska magnetiska fält B( ) uppfylle B = 0 (3) B = µ 0 j (4) dä den fösta säge att det inte finns någa magnetiska laddninga och den anda ä Ampees lag. j( ) = elektisk stömtäthet. µ 0 = magnetisk pemeabilitet i vakuum Den fösta ekvationen säge att magnetostatiska fält ä divegensfia ( B = 0) (elle källfitt) och kan uttyckas med en vektopotential B = A, dä Gaugeinvaians innebä att vektopotentialen inte ä fullständigt bestämd A( ) A( ) + Λ( ). Detta gö det möjligt att välja Gaugepaamete så att A = 0 och vektopotentialen uppfylle Poissons ekvation A = µ 0 j. SI enhete µ 0 = 4π 10 7 TA 1 m 1 µ 0 ɛ 0 = 1 c 2 c = ms 1 Exempel: Bestämning av elektiskt fält En elektisk laddning ä jämnt födelad i en sfä med adien a. Den omges av ett tunt sfäiskt skal med adien 2a och laddningen. Bestäm det elektiska fältet E( ) och potentialen φ( ) öveallt. Lösning: På gund av att laddningsfödelningen ha sfäisk symmeti, så bli E ϕ = E θ = 0, och E beo inte på θ och ϕ. Vi kan då beäkna E med hjälp av Gauss lag genom att inföa en sfäisk volym med adie och begänsningsyta S. Ytelementet bli ds = ˆ 2 sin θdθdϕ. Gauss lag 2
3 fö det elektiska fältet bli E ds = E 2 sin θdθdϕ = 1 S ɛ 0 V ρ()dv = ɛ 0, (5) dä ρ() = ɛ 0 E ä laddningstätheten och alltså ä den inneslutna laddningen. Om vi böja med fallet att sfäen ha en adie > 2a, så se vi att den totala inneslutna laddningen ä = 0. Alltså ha vi att S E ds = E 2 sin θdθdϕ = 0, (6) och av detta följe att att E = 0. Om sfäen ha en adie så att a < < 2a, så ä den laddningen, som S inneslute,. Då ge oss Gauss lag att E ds =. (7) ɛ 0 S Integalen i vänsteledet ha vädet S E ds = E 2 sin θdθdϕ = 4π 2 E, (8) och vi kan lösa ut E = 1 4πɛ 0 2. (9) Slutligen ha vi fallet att sfäens adie < a. Eftesom laddningen ä jämt födelad öve volymen, så innebä det att sfäen inneslute laddningen ( ) 3. (10) a Gauss lag ge oss alltså S E ds ( ) 3 =, (11) ɛ 0 a vilket bli Vi kan nu lösa ut 4π 2 E = ɛ 0 ( a) 3. (12) E = 1 4πɛ 0 a 3. (13) 3
4 Om vi nu sammanfatta våa esultat, så ha vi fö det elektiska fältet E = 1 4πɛ 0 a 3 1 4πɛ 0 2 < a a < < 2a 0 > 2a (14) Vi skall nu utnyttja detta fö att bestämma potentialen, fö vilken det gälle att E = φ. Eftesom enbat den adiella komponenten av E-fältet ä nollskild ha vi att E = φ. I våt fall kan vi uttycka potentialen som integalen E d = φd = φ () φ( ). (15) Vi sätte potentialen till 0 i oändligheten och böja med att bestämma potentialen fö intevallet > 2a. Eftesom E = 0 hä så följe det att också potentialen bli 0. Potentialen skall öveallt vaa kontinuelig, vilket inte behöve vaa sant fö E-fältet. Nä vi gå till intevallet a 2a så kan den öve integationsgänsen sättas till 2a, eftesom potentialen ä 0 utanfö. φ () = 2a 1 4πɛ 0 2 d = 4πɛ 0 [ 1 ] 2a = ( 1 4πɛ 0 1 ). (16) 2a Speciellt så lägge vi mäke till att potentialen i punkten = a bli φ (a) = 8πɛ 0 a. (17) Det enklaste sättet att gaantea att φ bli kontinuelig vid = a ä nu att skiva potentialen fö a som φ () = 8πɛ 0 a + E d = 8πɛ 0 a a 8πɛ 0 a + 2 8πɛ 0 a 3 = 4πɛ 0 a 3 d = 4πɛ 0 a [ ] 2 a 8πɛ 0 a + 8πɛ 0 a 3 = 2 8πɛ 0 a 3 = 2a 2 2 8πɛ 0 a 3. (18) Vi kan till slut sammanfatta potentialen som 2a 2 2 8πɛ 0 a a ( 3 φ () = 1 4πɛ 0 ) 1 2a a 2a 0 2a (19) 4
5 Exempel: Bestämning av ett magnetfält En oändligt lång ak ledae ha ett cikulät tväsnitt med adien a och lede en likstöm med stömstykan I. Använd Ampees lag fö att häleda magnetfältet i och king ledaen om mateialet i den antas homogent och isotopt. Lösning: Det elektiska fältet ä stationät i detta fall och vi kan då använda Ampees lag utan någon föskjutningsstöm B ds = µ0 S ρ j ds = µ 0 I ρ, S ρ (20) dä I ρ ä stömmen som passea genom en tväsnittsyta S ρ som ä en cikelskiva med z-axeln som centum och adien ρ. Använde vi Stokes sats få vi B d = µ0 I ρ, (21) S ρ dä vi låte S ρ vaa anden till S ρ, dvs en cikel som genomlöps motus. Föst titta vi på fallet att cikelns adie ρ > a. Stömmen ä då I, och Ampees lag ge oss S ρ B d = µ0 I. (22) Vi vet att om den elektiska ledaen sammanfalle med z-axeln så ä magnetfältet iktat i ϕ-iktningen. Integalen bli då S ρ B d = 2πρBϕ. (23) Vi kan nu lösa ut B ϕ = µ 0I 2πρ. (24) I fallet att cikelns adie ρ < a så anta vi att stömmen ä jämnt födelad i tåden, vilket ge oss att den inneslutna stömmen bli ( ρ ) 2 I ρ = I. (25) a Integalen bli nu Vi kan då lösa S ρ B d = 2πρBϕ = µ 0 I ( ρ a B ϕ = µ 0I 2π ) 2. (26) ρ a 2. (27) 5
6 Sammanfattningsvis ha vi alltså att B = B ϕ ê ϕ med B ϕ = { µ0i 2πρ µ 0Iρ 2πa 2 ρ > a ρ a (28) Exempel: Bestämning av vektopotentialen Betakta en elektisk ledae paallell med z-axeln. Genom ledaen flyte en stöm I. Då omges ledaen av ett magnetfält B = µ 0 I 2π ρ ˆϕ. Bestäm vektopotentialen A och finn den diffeentialekvation som beskive detta fält. Kommenta 1: Notea att magnetfältet uppvisa en singulaitet. Känns den igen? Det ä fältet fån en viveltåd. Notea att B = A = 1 ˆρ ρ ˆϕ ẑ ρ ρ ϕ z A ρ ρa ϕ A z Vi kan däfö bestämma vektopotentialen u ekvationena och 1 A z ρ ϕ A ϕ z = 0 (29) A ρ z A z ρ = µ 0 I 2π ρ (30) [ 1 ρ ρ (ρa ϕ) A ] ρ = 0. (31) ϕ Vi skall finna en vektopotential så att dessa ekvatione uppfylles. Vi pova med A ρ = A ϕ = 0 och A z 0. Denna ansatz ge A = µ 0 2π I log ρ ρ 0 ẑ, (32) dä ρ 0 ä en godtycklig konstant. Låt oss nu betakta Ampees lag i det tidsobeoende fallet µ 0 j = B. (33) 6
7 Om vi nu esätte B med A så ha vi Fö vänsteledet ha vi äkneeglen A = µ 0 j. (34) A = ( A ) 2 A (35) Den fihet, gauge, som vi ha i att bestämma A gö det alltid möjligt att gaantea att A = 0, så vi kan educea ekvationen till 2 A = µ0 j, (36) och vi ha på så sätt kommit fam till en Poisson-ekvation fö vektopotentialen. Notea att gauge-valet A = 0 faktiskt ä uppfyllt fö den vektopotential som vi konstueade ovan. Maxwells ekvatione Kommenta 2: Maxwell satte 1864 upp fya stycken ekvatione som gav en fullständig beskivning av ett elektomagnetiskt fält. Dock, som vi skall se, inskänkte sig hans eget bidag till en tem i en av ekvationena. Fö tidsbeoende fält finns det en koppling mellan elektiska och magnetiska fält. EM koppling 1: Kontinuitetsekvationen (konseveing av elektisk laddning). Låt oss betakta sambandet mellan elektisk stömtäthet och (otationen av) ett magnetfält. Detta samband ha konsekvense fö kontinuitetsekvationen fö elektisk laddning ρ = j. fån Ampees lag få vi nämligen att HL i kontinuitetsekvationen bli j = 1 µ 0 ( B ) = 0, enligt äkneeglena fö vektoopeatoena. Detta skulle betyda att ρ = 0, vilket ä oimligt! Fö det betyde att det inte gå att flytta en elektisk laddning. Maxwells lösning va att lägga till en tem (föskjutningsstömmen) B = µ 0 j + µ 0 ɛ 0 E. (37) 7
8 EM koppling 2: Induktion (Faadays lag). Vi ha sedan tidigae funnit att elektiska laddninga kan skapa elektiska fält och att elektiska stömma kan skapa magnetfält. Vi vet dock att elektiska fält också kan skapas genom induktion. En föänding av det magnetiska flödet, Φ, genom en elektisk ledae inducea en spänning, U, i ledaen då det magnetiska flödet föändas. U = dφ dt, (38) dä Φ ä ett magnetiskt flöde genom ytan S Φ = B ds. (39) S och U ä den induceade spänningen längs anden S U = E d. (40) S Vi sätte nu Ekv (40) och (38) lika med vaanda och få Faadays lag på integalfom B E d = S d S. S Använde vi Stokes sats på VL få vi Faadays lag på diffeentialfom (notea att ytan S ä helt godtycklig) E = B. (41) Kommenta 3: Det elektiska fältet ä inte länge konsevativt vilket ju modifiea en av våa ekvatione. Vi få nu alltså att Maxwells ekvatione bli Maxwells ekvatione E = ρ ɛ 0, (42) E = B, (43) B = 0, (44) B = µ 0 j + µ 0 ɛ 0 E. (45) Ett allmänt fält E kan vi alltid dela upp i en del som ä vivelfi, och en del som ä källfi. 8
9 Fö ett elektisk fält gälle alltså att den vivelfia delen kan skivas som φ. Enligt induktionsekvationen ä E = B = ( A) = A. Alltså kan vi skiva den källfia delen av E som A/, så att vi totalt ha E = φ A. (46) Maxwells ekvatione i vakuum och den elektomagnetiska vågekvationen OBS! Resten av dessa anteckninga behandla kap som ej ingå i kusen. Anteckningana ä endast med fö bätte koppling till motsvaande mateial i anda kuse. En mycket viktig konsekvens av Maxwells ekvatione ä att det existea våglösninga. I vakuum (ρ = 0 och j = 0) bli Maxwells ekvatione E = 0 (47) E = B (48) B = 0 (49) B E = ɛµ 0 (50) Vi kan nu till exempel beäkna otationen av induktionsekvationen Ekv. (48) E = ( ) E 2 E = B = ( B). (51) Vi kan nu utnyttja att E = 0 och Ekv. (50) 2 E = ɛ 0µ 0 E = ɛ 0µ 0 2 E 2. (52) Eftesom ɛ 0 µ 0 = 1/c 2 kan vi skiva detta ( 2 1c 2 ) E 2 2 = 0, (53) vilket ä en vågekvation. 9
10 Exempel: Vågekvationen i D = 1 Betakta fältet E = E(x, t) i en dimension och motsvaande vågekvation ( 2 x ) c 2 2 E(x, t) = 0. (54) Ekvationen ha då lösninga på fomena E + = E 0 sin(kx ωt) och E = E 0 sin(kx + ωt), vilka beskive vågo och motivea vafö Ekv. (53) kallas fö vågekvationen. Med denna ansatz (E + ) ge vågekvationen k 2 + ω2 c 2 = 0 ω = c k, vilket kallas fö en dispesionselation. Rita 4: funktionen E(x, t) med en x-axel och en t-axel. Illustea våglängd och peiodtid. Vid given tid t: samma fas då x x + 2π k. Dvs våglängden λ elatea till vågtalet k enligt λ = 2π k. Vid givet x: samma fas då t t + 2π ω. Våghastigheten finne vi genom att notea att x ω k t = konstant beskive punkte med samma fas. Detta ge dx ω dx dt = 0 k dt = ω k Hastigheten ä alltså v = ω/k = c. Ljushastigheten! I ummet kan vi skiva lösningana E = E ( 0 exp i( ) { k ωt) = välj } k = kˆx = E 0 exp (i(kx ωt)). Den fysikaliska lösningen ä (antingen) eal- elle imaginädelen av ovanstående. Det betyde alltså att lösningen och tolkningen ä analog med D = 1-exemplet ovan. Elektiska och magnetiska vågo. En motsvaande vågekvation fö magnetfältet kan också häledas. Man finne däfö E(, t) = E ( 0 exp i( ) k ωt) B(, t) = B ( 0 exp i( ) k ωt) Hu föhålle sig polaisationsvekton E 0 till B 0 och till iktningen på k? 10
11 Sätt k = ˆnk = ˆn ω c. Exponenten bli då ( k ωt) = ω c (ˆn ct). ME1: E = 0, vilket ge ˆn E 0 = 0. Visa gäna detta med indexnotation E ( = j E 0,j exp i ω ) c (n l l ct) = E 0,j ( j [i ω ]) ( c n l l exp i ω ) c (n m m ct) = { j l = δ jl } = i ω ( c E 0,jn j exp i ω ) c (n m m ct) = i ω c ˆn E 0 exp (i ω ) c (ˆn ct) Pss ME3 ge ˆn B 0 = 0 Fälten ä alltså vinkeläta mot vågens öelseiktning. ME2 säge att i ω c (ˆn E 0 c B 0 ) = 0, dvs B 0 = 1 c ˆn E 0. E- och B-fälten ä alltså vinkeläta mot vaanda. De två möjliga iktningana på polaisationsvekton E 0 motsvaa de två möjliga polaisationena hos elektomagnetisk stålning. Den elektomagnetiska vågen bestå däfö av svängande elektiska och magnetiska fält, vilka geneea vaanda E(, t) = E 0 exp (i ω ) c (ˆn ct), ˆn E 0 = 0 (55) B(, t) = 1 c ˆn E 0 exp (i ω ) c (ˆn ct) (56) Vågekvatione fö potentialena Hu bli Maxwells ekvatione nä fälten uttycks i potentialena φ och A. De två homogena ekvationena (... = 0) ä de som gö att fälten kan uttyckas i teme av potentiale. Sätt in uttycken i de inhomogena ekvationena: E = φ A B = A ( ) E = ( φ A ) = ρ, ɛ 0 ( B E ) ɛµ0 = ( A) 1 c 2 ( φ A ) = µ 0 j. 11
12 Ett gaugeval fö vektopotentialen föenkla ekvationena avsevät Välj gaugepaamete så att A = 1 c 2 φ. Den fösta ekvationen bli ( φ A ) = φ ( A) = {Gaugeval} = ( + 1c 2 ) 2 2 φ φ, ( dä d Alembet-opeaton 1 2 c 2 ). 2 Fö den anda ekvationen utnyttja vi att ( ) A = ( ) ( ) A A = {Gaugeval} = 1 φ c 2 A. VL i den anda inhomogena ekvationen bli däfö 1 c 2 ( φ) A + 1 c 2 φ + 1 c 2 2 A 2 = A. Vi få alltså inhomogena vågekvatione fö potentialena φ = ρ ɛ 0, A = µ 0 j, Man kan använda Geensfunktionen fö vågekvationen fö att skiva ned geneella lösninga nä laddninga och stömma ä givna. Geensfunktionen ä lösningen till följande vågekvation G(, t;, t ) ( 1 c 2 2 Fö enkelhets skull kan vi ta = 0, t = 0. Geensfunktionen ä 2 )G(, t;, t ) = δ 3 ( )δ(t t ). G + (, t; 0, 0) = 1 δ( ct). 4πt Detta ä vad som buka kallas en etadead Geensfunktion. Temen komme sig av att en källa baa påveka fält vid efteföljande tide (ljuskonen = ct). Kommenta 5: Ekvationen ä symmetisk unde t t, vilket innebä att det också finns en avancead Geensfunktion G δ( + ct). 12
13 Huygens pincip Det ä vät att notea att det intuitivt sunda antagandet att Geensfunktionen endast ha stöd på ljuskonen faktiskt ä me subtilt än det veka. Det gå unde namnet Huygens picip. Det visa sig vaa sant i ett udda antal umsdimensione, men falskt i ett jämnt antal. I ett jämnt antal umsdimensione ha Geensfunktionen stöd inom ljuskonen, inte endast på den. I två dimensione ha man t.ex. { G (2) + (, t; 0, 0) = σ(t), < ct, 2π (ct) annas. Tänk på en sten som släpps i en vattenyta. En punkt på ytan påvekas inte baa just då vågfonten passea, utan även vid alla senae tidpunkte. Tvådimensionell musik ä kanske poblematisk... Man måste föstås kunna bekäfta att man få ätt uttyck fö en statisk laddningsfödelning. Om ρ ä obeoende av tiden ge Geensfunktionsmetoden φ(, t) = dv dt ρ( ) G + (, t,, t ) R 3 ɛ 0 = dv dt ρ( ) R 3 4πɛ 0 (t t ) δ( c(t t )) = {c(t t ) (x x ) c fösvinne} = dv ρ( ) R 4πɛ 3 0, vilket ä identiskt med vad man få med hjälp av Geensfunktionen fö Poissons ekvation. 13
Potentialteori Mats Persson
Föeläsning 3/0 Potentilteoi Mts Pesson Bestämning v elektiskt fält Elektosttikens ekvtione: Det elektisk fältet E bestäms v lddningsfödelningen ρ vi Guss sts E d = ρdv elle uttyckt på diffeentilfom V E
Läs mer2 S. 1. ˆn E 1 ˆn E 2 = 0 (tangentialkomponenten av den elektriska fältstyrkan är alltid kontinuerlig)
1 Föeläsning 11 9.1-9.2.2 i Giffiths Randvillko (Kap. 7.3.6) (Vi vänta till föeläsning 12 med att ta upp andvillkoen. Dä används de fö att bestämma eflektion och tansmission mot halvymd.) De till Maxwells
Läs mer14. Potentialer och fält
4. Potentiale och fält Vågekvationena fö potentialena educeas nu till [Giffiths,RMC] Fö att beäkna stålningen fån kontinueliga laddningsfödelninga och punktladdninga måste deas el- och magnetfält vaa kända.
Läs merI ett område utan elektriska laddningar satisfierar potentialen Laplace ekvation. 2 V(r) = 0
Föeläsning 3 Motsvaa avsnitten 3. 3.2.4, 3.3.2 3.4 i Giffiths Laplace och Poissons ekvation (Kap. 3.) I ett omåde utan elektiska laddninga satisfiea potentialen Laplace ekvation 2 () = 0 och i ett omåde
Läs merFöreläsning 1. Elektrisk laddning. Coulombs lag. Motsvarar avsnitten 2.12.3 i Griths.
Föeläsning 1 Motsvaa avsnitten 2.12.3 i Giths. Elektisk laddning Två fundamentala begepp: källo och fält. I elektostatiken ä källan den elektiska laddningen och fältet det elektiska fältet. Två natulaga
Läs merTentamen i El- och vågrörelselära, 2014 08 28
Tentamen i El- och vågöelseläa, 04 08 8. Beäknastolekochiktningpådetelektiskafältetipunkten(x,y) = (4,4)cm som osakas av laddningana q = Q i oigo, q = Q i punkten (x,y) = (0,4) cm och q = Q i (x,y) = (0,
Läs merFöreläsning 5. Linjära dielektrikum (Kap. 4.4) Elektrostatisk energi (återbesök) (Kap ) Motsvarar avsnitten 4.4, , 8.1.
1 Föeläsning 5 Motsvaa avsnitten 4.4, 5.1 5., 8.1.1 i Giffiths Linjäa dielektikum (Kap. 4.4) Ett dielektikum ä ett mateial dä polaisationen P induceas av ett elektiskt fält. Om det pålagda fältet inte
Läs merSkineffekten. (strömförträngning) i! Skineffekten. Skineffekten. Skineffekten. Skineffekten!
14 15 Stömma alsta magnetfält." Magnetfältet fån en lång ak stömföande tåd: (stömfötängning i B Fältet bilda cikla unt tåden, oienteade enligt högehandsegeln B = i 2" 16 J 17 Stömfötängningen beo av fekvensen
Läs merAngående kapacitans och induktans i luftledningar
Angående kapacitans och induktans i luftledninga Emilia Lalande Avdelningen fö elekticitetsläa 4 mas 2010 Hä behandlas induktans i ledninga och kapacitans mellan ledae. Figu öve alla beskivninga finns
Läs merMagnetiskt fält kring strömförande ledare Kraften på en av de två ledarna ges av
Magnetism Magnetiskt fält king stömföande ledae. Kaften på en av de två ledana ges av F k l ewtons 3:e lag säge att kaften på den anda ledaen ä lika sto men motiktad. Sva: Falskt. Fältets styka ges av
Läs merLösningsförslag till tentamen i 5B1107 Differential- och integralkalkyl II för F1, (x, y) = (0, 0)
Institutionen fö Matematik, KTH, Olle Stomak. Lösningsföslag till tentamen i 5B117 Diffeential- och integalkalkyl II fö F1, 2 4 1. 1. Funktionen f(x, y) = xy x 2 +y 2 (x, y) (, ), (x, y) = (, ) ä snäll
Läs mer1 Två stationära lösningar i cylindergeometri
Föeläsning 6. 1 Två stationäa lösninga i cylindegeometi Exempel 6.1 Stömning utanfö en oteande cylinde En mycket lång (oändligt lång) oteande cylinde ä nedsänkt i vatten. Rotationsaxeln ä vetikal, cylindes
Läs mersluten, ej enkel Sammanhängande område
POTENTIALFÄLT ( =konsevativt fält). POTENTIALER. EXAKTA DIFFERENTIALER Definition A1. En kuva = ( t), och ändpunkten sammanfalle. a t b ä sluten om ( a) = ( b) dvs om statpunkten Definition A. Vi säge
Läs merLösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM234 och FFM232)
Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM23 och FFM232) Tid och plats: Måndagen den 29 oktober 208 klockan 00-800, Maskinsalar Lösningsskiss: Christian Forssén Detta är enbart en skiss
Läs merLEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 8. Vi antar först att den givna bromsande kraften F = kx är den enda kraft som påverkar rörelsen och därmed också O
LEDIGAR TILL ROLEM I KAITEL 8 L 8. Vi anta föst att den givna bomsande kaften F = k ä den enda kaft som påveka öesen och dämed också O intängningsdjupet. Men veka ingen kaft i öeseiktningen? Fastän man
Läs merFör att bestämma virialkoefficienterna måste man först beräkna gasens partitionsfunktion då. ɛ k : gasens energitillstånd.
I. Reella gase iialkoefficientena beo av fomen på molekylenas växelvekningspotential i en eell gas. Bestämmandet av viialkoefficientena va en av den klassiska statistiska mekanikens huvuduppgifte. Fö att
Läs mer16. Spridning av elektromagnetisk strålning
16. Spidning av elektomagnetisk stålning [Jakson 9.6-] Med spidning avses mest allmänt poessen dä stålning antingen av patikel- elle vågnatu) växelveka med något objekt så att dess fotskidningsiktning
Läs merTvillingcirklar. Christer Bergsten Linköpings universitet. Figur 1. Två fall av en öppen arbelos. given med diametern BC.
villingcikla histe Begsten Linköpings univesitet En konfiguation av cikla som fascineat genom tidena ä den sk skomakakniven, elle abelos I denna tidskift ha den tidigae tagits upp av Bengt Ulin (005 och
Läs merStorhet SI enhet Kortversion. Längd 1 meter 1 m
Expeimentell metodik 1. EXPERIMENTELL METODIK Stohete, mätetal och enhete En fysikalisk stohet ä en egenskap som kan mätas elle beäknas. En stohet ä podukten av mätetal och enhet. Exempel 1. Elektonens
Läs merMatematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 8:15-12:15 Lärare och examinator : Armin Halilovic
Tentamen TEN, HF0, juni 0 Matematisk statistik Kuskod HF0 Skivtid: 8:-: Läae och examinato : Amin Halilovic Hjälpmedel: Bifogat fomelhäfte ("Fomle och tabelle i statistik ") och miniäknae av vilken typ
Läs merSkriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055)
Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π (ETEF01 och F (ETE055 1 Tid och plats: 6 oktober, 016, kl. 14.00 19.00, lokal: Gasquesalen. Kursansvarig lärare: Anders Karlsson, tel. 40 89 och 07-5958.
Läs merElektromagnetiska falt och Maxwells ekavtioner
Forelasning /1 Elektromagnetiska falt och Maxwells ekavtioner 1 Maxwells ekvationer Maxwell satte 1864 upp fyra stycken ekvationer som gav en fullstandig beskrivning av ett elektromagnetiskt falt. Dock,
Läs merREDOVISNINGSUPPGIFT I MEKANIK
Chiste Nbeg REDVISNINSUIFT I MEKANIK En civilingenjö skall kunna idealisea ett givet vekligt sstem, göa en adekvat mekanisk modell och behandla modellen med matematiska och numeiska metode I mekaniken
Läs merFFM232, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM232, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Oct 3, 2016 8. Potentialteori Konservativa fält och potentialer
Läs mer7 Elektricitet. Laddning
LÖSNNGSFÖSLAG Fysik: Fysik och Kapitel 7 7 Elekticitet Laddning 7. Om en positiv laddning fös mot en neutal ledae komme de i ledaen lättöliga, negativt laddade, elektonena, att attaheas av den positiva
Läs mer6 KVANTSTATISTIK FÖR IDEALA GASER
Kvantstatistik fö ideala gase 6 6 KVANTSTATISTIK FÖR IDEALA GASER 6. Fomuleing av det statistiska poblemet Vi betakta en gas av identiska patikla inneslutna i en volym V vilken befinne sig i ämvikt vid
Läs merLösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232)
Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232) Tid och plats: Lösningsskiss: Tisdagen den 20 december 2016 klockan 0830-1230 i M-huset Christian Forssén Detta är enbart en skiss av den
Läs mer93FY51/ STN1 Elektromagnetism Tenta : svar och anvisningar
17317 93FY51 1 93FY51/ TN1 Elektromagnetism Tenta 17317: svar och anvisningar Uppgift 1 a) Av symmetrin följer att: och därmed: Q = D d D(r) = D(r)ˆr E(r) = E(r)ˆr Vi väljer ytan till en sfär med radie
Läs merω = θ rörelse i två dimensioner (repetition) y r dt radianer/tidsenhet kaströrelse: a x = 0 a y = -g oberoende rörelse i x- respektive y-led
y@md 7 6 5 4 3 1 öelse i två dimensione (epetition) kastöelse: a x = 0 a y = -g obeoende öelse i x- espektive y-led 10 0 30 kastpaabel x@md likfomig cikulä öelse d ( t) ω = θ dt adiane/tidsenhet y = konst.
Läs merVi börjar med att dela upp konen i ett antal skivor enligt figuren. Tvärsnittsareorna är då cirklar.
3.6 Rotationsvolme Skivmetoden Eempel Hu kan vi beäkna volmen av en kopp med jälp av en integal? Vi visa ett eempel med en kon dä volmen också kan beäknas med fomeln V = π 3 Vi böja med att dela upp konen
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM520)
Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tid och plats: Tisdagen den 25 maj 2010 klockan 08.30-12.30 i V. Hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, Lexikon, typgodkänd miniäknae samt en egenhändigt skiven A4 med valfitt
Läs mer21. Boltzmanngasens fria energi
21. Boltzmanngasens fia enegi Vi vill nu bestämma idealgasens fia enegi. F = Ω + µ; Ω = P V (1) = F = P V + µ (2) Fö idealgase gälle P V = k B T så: F = [k B T µ] (3) men å anda sidan vet vi fån föa kapitlet
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar hristian Forssén, Institutionen för fysik, halmers, Göteborg, verige ep 6, 217 3. Integraler Det mesta av detta material förutsätts vara
Läs merFlervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar läsvecka 3
levaiabelanals I Vinten 9 Övesikt föeläsninga läsvecka Det teje kapitlet i kusen behanla ubbel- och tippelintegale. Den integalen vi känne till fån envaiabelanalsen, f ( ) b a, kan ju ofta ses som aean
Läs merFormelsamling. Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01
Formelsamling Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01 Institutionen för elektro- och informationsteknik Lunds tekniska högskola Juni 014 Innehåll 1 Elstatik 1 Likström 4 3 Magnetostatik
Läs merFöreläsning 8. Ohms lag (Kap. 7.1) 7.1 i Griffiths
1 Föreläsning 8 7.1 i Griffiths Ohms lag (Kap. 7.1) i är bekanta med Ohms lag i kretsteori som = RI. En mer generell framställning är vårt mål här. Sambandet mellan strömtätheten J och den elektriska fältstyrkan
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Oct 16, 2018 9. Lösningar av Poissons ekvation Vi vet att Poissons
Läs merFYSIKTÄVLINGEN KVALIFICERINGS- OCH LAGTÄVLING LÖSNINGSFÖRSLAG. = fn s = fmgs 2. mv 2. s = v 2. π d är kilogrammets.
FYSIKÄVINGEN KVAIFICERINGS- OCH AGÄVING 5 febuai 1998 ÖSNINGSFÖRSAG SVENSKA FYSIKERSAMFUNDE 1. Den vanliga modellen nä en kopp glide på ett undelag ä att man ha en fiktionskaft som ä popotionell mot nomalkaften
Läs merGravitation och planetrörelse: Keplers 3 lagar
Gavitation och planetöelse: Keples 3 laga (YF kap. 13.5) Johannes Keple (1571-1630) utgick fån Copenicus heliocentiska väldsbild (1543) och analyseade (1601-1619) data fån Tycho Bahe, vilket esulteade
Läs merUppgift 4. (1p) Beräkna volymen av den parallellepiped som spänns upp av vektorerna. ) vara två krafter som har samma startpunkt
Kontollskivning 8 sep 7 VRSION A Tid: 8:5- Kus: HF6 Linjä algeba och anals (algebadelen) Läae: ik Melande, Nicklas Hjelm, Amin Halilovic aminato: Amin Halilovic Fö godkänt kävs 5 poäng Godkänd KS ge bonus
Läs mer1.15 Uppgifter UPPGIFTER 21. Uppgift 1.1 a) Visa att transformationen x i = a ikx k med. (a ik ) =
1.15. UPPGIFTER 1 1.15 Uppgifter Uppgift 1.1 a) isa att transformationen x i = a ikx k med (a ik ) = 1 0 1 1 1 1 1 1 1 är en rotation. b) Bestäm komponenterna T ik om (T ik ) = 0 1 0 1 0 1 0 1 0 Uppgift
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Oct 2, 2017 10. Värmeledning, diffusionsekvation Betrakta ett temperaturfält
Läs merTENTAMEN. Datum: 5 juni 2019 Skrivtid 14:00-18:00. Examinator: Armin Halilovic, tel
Kus: HF9, Matematik, atum: juni 9 Skivtid :-: TENTAMEN moment TEN (analys Eaminato: Amin Halilovic, tel. 79 Fö godkänt betyg kävs av ma poäng. Betygsgänse: Fö betyg A, B, C,, E kävs, 9, 6, espektive poäng.
Läs merLEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 10. från jorden. Enligt Newtons v 2 e r. där M och m är jordens respektive F. F = mgr 2
LEDNINGA TILL POBLEM I KAPITEL LP Satelliten ketsa king joden oc påvekas av en enda kaft, gavitationskaften fån joden Enligt Newtons v e allänna gavitationslag ä den = G M e () v dä M oc ä jodens espektive
Läs merVärt att memorera:e-fältet från en punktladdning
I summy ch.22 och fomelld ges E fån lddd lednde sfä, linjelddning, cylindisk lddning, lddd isolende sfä, lddd yt och lddd lednde yt Vät tt memoe:e-fältet fån en punktlddning Fån fö föeläsningen: Begeppet
Läs merTentamensskrivning i Ellära: FK4005e Fredag, 11 juni 2010, kl 9:00-15:00 Uppgifter och Svar
Tentamensskrivning i Ellära: FK4005e Fredag, 11 juni 2010, kl 9:00-15:00 Uppgifter och Svar Ge dina olika steg i räkningen, och förklara tydligt ditt resonemang! Ge rätt enhet när det behövs. Tillåtna
Läs mer1. Kraftekvationens projektion i plattans normalriktning ger att
MEKANIK KTH Föslag till lösninga vid tentamen i 5C92 Teknisk stömningsläa fö M den 26 augusti 2004. Kaftekvationens pojektion i plattans nomaliktning ge att : F ṁ (0 cos α) F ρv 2 π 4 d2 cos α Med givna
Läs merKap.7 uppgifter ur äldre upplaga
Ka.7 ugifte u älde ulaga 99: 7. Beäkna aean innanfö s.k. asteoidkuvan jj + jyj Absolutbeloen ha till e ekt att, om unkten (a; b) kuvan, så gälle detsamma (a; b) (segelsymmeti m.a.. -aeln), ( a; b) (segelsymmeti
Läs merVad är ljus? Fundamental krafter. James Clerk Maxwell. Kapitel 3, Allmänna vågekvationen. Maxwells ekvationer i vakuum FAF260
FA0 Vad ä ljus? FA0 Lunds Univesitet 016 Fundamental kafte FA0 Lunds Univesitet 016 James Clek Maxwell FA0 Lunds Univesitet 016 Gavitatin Elektmagnetism föenades på 1800 talet Staka känkaften Svaga känkaften
Läs merUPPGIFT 1. F E. v =100m/s F B. v =100m/s B = 0,10 mt d = 0,10 m. F B = q. v. B F E = q. E
UPPGIFT 1. B 0,10 mt d 0,10 m F B q. v. B F E q. E d e + + + + + + + + + + + + + + + + + + F E F B v 100m/s E U / d - - - - - - - - - - - - - - - - - F B F E q v B q U d Magnetfältsiktning inåt anges med
Läs merLösningar till övningsuppgifter. Impuls och rörelsemängd
Lösninga till övningsuppgifte Impuls och öelsemängd G1.p m v ge 10,4 10 3 m 13 m 800 kg Sva: 800 kg G. p 4 10 3 100 v v 35 m/s Sva: 35 m/s G3. I F t 84 0,5 Ns 1 Ns Sva: 1 Ns G4. p 900. 0 kgm/s 1,8. 10
Läs mer===================================================
min Halilovic: EXTR ÖVNINGR 1 av 8 vstånsbeäkning VSTÅNDSBERÄKNING ( I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERT KOORDINTSYSTEM ) vstånet mellan två punkte Låt = ( x1, och B = ( x, y, z) vaa två punkte i ummet
Läs merGRADIENT OCH RIKTNINGSDERIVATA GRADIENT. Gradienten till en funktion f = f x, x, K, innehåller alla partiella derivator: def. Viktig egenskaper:
Amin Haliloic: EXTRA ÖVNINGAR GadientRiktningsdeiata GRADIENT OCH RIKTNINGSDERIVATA GRADIENT Gadienten till en funktion f = f,, K, ) i en punkt P,, K, ) ä ekto som innehålle alla patiella deiato: gad def
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM34, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Oct, 08 Repetition: Singulära fält Punktkälla i origo. Fältet i punkten
Läs merKontrollskrivning Mekanik
Institutionen fö fysik, kemi och biologi (IFM) Macus Ekholm TFYA6/KTR Kontollskivning Mekanik novembe 06 8:00 0:00 Kontollskivningen bestå av 3 uppgifte som totalt kan ge 4 poäng. Fö godkänt betyg (G)
Läs merTentamen i El- och vågrörelselära,
Tentamen i El- och vågrörelselära, 23 2 8 Hjälpmedel: Physics Handbook, räknare. Ensfäriskkopparkulamedradie = 5mmharladdningenQ = 2.5 0 3 C. Beräkna det elektriska fältet som funktion av avståndet från
Läs merDen geocentriska världsbilden
Den geocentiska väldsbilden Planetens Mas osition elativt fixstjänona fån /4 till / 985. Ganska komliceat! Defeent Innan Koenikus gällde va den geocentiska väldsbilden gällande. Fö att föklaa de komliceade
Läs merFysik TFYA68. Föreläsning 2/14
Fysik TFYA68 Föreläsning 2/14 1 Elektrostatik University Physics: Kapitel 21 & 22 2 Elektrisk laddning Två typer av elektrisk laddning: positiv + och negativ Atom Atomkärnan: Proton (+1), neutron (0) elekton
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF1903, 22 september 2011, kl
Tentamen i Matematik, HF9, septembe, kl 8.. Hjälpmedel: Endast fomelblad (miniäknae ä inte tillåten) Fö godkänt kävs poäng av 4 möjliga poäng (betygsskala ä A,B,C,D,E,FX,F). Betygsgänse: Fö betyg A, B,
Läs merÖvning 3 Fotometri. En källa som sprider ljus diffust kallas Lambertstrålare. Ex. bioduk, snö, papper.
Övning 3 Fotometi Lambetstålae En källa som spide ljus diffust kallas Lambetstålae. Ex. bioduk, snö, pappe. Luminansen ä obeoende av betaktningsvinkeln θ. Om vinkeln ändas ändas I v men inte L v. L v =
Läs merElektromagnetiska fält och Maxwells ekavtioner. Mats Persson
Föreläsning 26/9 Elektromagnetiska fält och Maxwells ekavtioner 1 Maxwells ekvationer Mats Persson Maxwell satte 1864 upp fyra stycken ekvationer som gav en fullständig beskrivning av ett elektromagnetiskt
Läs merBra tabell i ert formelblad
Bra tabell i ert formelblad Vi har gått igenom hur magnetfält alstrar krafter, kap. 7. Vi har gått igenom hur strömmar alstrar magnetfält, kap. 8. Återstår att lära sig hur strömmarna alstras. Tidigare
Läs merSammanfattning av STATIK
Sammanfattning av STATIK Pete Schmidt IEI-ekanik, LiTH Linköpings univesitet Kaft: En kafts vekan på en kpp bestäms av kaftens stlek, iktning ch angeppspunkt P. Kaftens iktning ch angeppspunkt definiea
Läs merFöreläsning 12. Tidsharmoniska fält, komplexa fält (Kap ) Plana vågor (Kap ) i Griffiths
1 Föreläsning 12 9.1-9.3.2 i Griffiths Tidsharmoniska fält, komplexa fält (Kap. 9.1.2) Tidsharmoniska fält (dvs. fält som varierar sinus- eller cosinusformigt i tiden) har stora tillämpningsområden i de
Läs merSkriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (EITF85)
Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETF85) Tid och plats: 25 oktober, 2017, kl. 14.00 19.00, lokal: Gasquesalen. Kursansvarig lärare: Anders Karlsson, tel. 222 40 89
Läs merElektrodynamik. Elektrostatik. 4πε. eller. F q. ekv
1 Elektrodynamik I det allmänna fallet finns det tidsberoende källor för fälten, dvs. laddningar i rörelse och tidsberoende strömmar. Fälten blir då i allmänhet tidsberoende. Vi ser då att de elektriska
Läs merFö. 3: Ytspänning och Vätning. Kap. 2. Gränsytor mellan: vätska gas fast fas vätska fast fas gas (mer i Fö7) fast fas fast fas (vätska vätska)
Fö. 3: Ytspänning och Vätning Kap. 2. Gänsyto mellan: vätska gas fast fas vätska fast fas gas (me i Fö7) fast fas fast fas (vätska vätska) 1 Gänsytan vätska-gas (elle vätska-vätska) Resulteande kaft inåt
Läs merUpp gifter. c. Finns det fler faktorer som gör att saker inte faller på samma sätt i Nairobi som i Sverige.
Upp gifte 1. Mattias och hans vänne bada vid ett hoppton som ä 10,3 m högt. Hu lång tid ta det innan man slå i vattnet om man hoppa akt ne fån tonet?. En boll täffa ibban på ett handbollsmål och studsa
Läs mer2012 Tid: läsningar. Uppgift. 1. (3p) (1p) 2. (3p) B = och. då A. Uppgift. 3. (3p) Beräkna a) dx. (1p) x 6x + 8. b) x c) ln. (1p) (1p)
Tentamen i Matematik HF9 (H9) feb Läae:Amin Halilovic Tid:.5 7.5 Hjälpmedel: Fomelblad (Inga anda hjälpmedel utöve utdelat fomelblad.) Fullständiga lösninga skall pesenteas på alla uppgifte. Betygsgänse:
Läs merGeometrisk optik reflektion och brytning
Geometisk optik eflektion oh bytning Geometisk optik F7 Reflektion oh bytning F8 Avbildning med linse Plana oh buktiga spegla Optiska system F9 Optiska instument Geometisk optik eflektion oh bytning Repetition:
Läs merTentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik
Linköpings Universitet IFM Mats Fahlman Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik Tisdagen 10/1 017, kl 14:00-18:00 Hjälpmedel: Avprogrammerad miniräknare, formelsamling (bifogad) Råd och regler Lösningsblad:
Läs merFysik TFYA86. Föreläsning 8/11
Fysik TFYA86 Föreläsning 8/11 1 nduktion och elektromotorisk kraft (emk) University Physics: Kapitel 29, 30.1, (30.2 självinduktion) 2 ntroduktion Tidigare i kursen: Tidsberoende förändring, dynamik Elektrostatik
Läs mer14. Potentialer och fält
4. Potentialer och fält [Griffiths,RMC] För att beräkna strålningen från kontinuerliga laddningsfördelningar och punktladdningar måste deras el- och magnetfält vara kända. Dessa är i de flesta fall enklast
Läs merTentamen i El- och vågrörelselära,
Tentamen i El- och vågrörelselära, 05-0-05. Beräknastorlekochriktningpådetelektriskafältetipunkten(x,y) = (4,4)cm som orsakas av laddningarna q = Q i origo, q = Q i punkten (x,y) = (0,4) cm och q = Q i
Läs merTMV166 Linjär algebra för M. Datorlaboration 4: Geometriska transformationer och plottning av figurer
MATEMATISKA VETENSKAPER TMV166 2017 Chalmes tekniska högskola Datolaboation 4 Eaminato: Ton Stillfjod TMV166 Linjä algeba fö M Datolaboation 4: Geometiska tansfomatione och plottning av figue Allmänt Vi
Läs merDatum: Tid:
Kus: Moment: Pogam: Rättande läae: Examinato: Datum: Tid: Hjälpmedel: Omfattning och betygsgänse: Öig infomation: TETAME I FYSIK HF005 Fysik fö baså II Studente egisteade på den älde kusen HF0016 Fysik
Läs merFormelsamling till Elektromagnetisk
Formelsamling till Elektromagnetisk fältteori Lars-Göran Westerberg Avdelningen för strömningslära Luleå tekniska universitet 13 januari 2009 ammanfattning Den här formelsamlingen utgör tillsammans med
Läs mer===================================================
Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR 1 av 9 Avstånsbeäkning AVSTÅNDSBERÄKNING ( I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERAT KOORDINATSYSTEM ) Avstånet mellan två punkte Låt A = ( x1, och B = ( x, y, z ) vaa två punkte
Läs merXV. Elektriska fält. XV.1. Kraften mellan laddningar: Coulombs lag F E ( ) 2 ( ) N F E.
XV. lektiska fält Fö tillfället vet vi av baa fya olika fundamentala kafte i univesum. Dessa ä: Gavitationskaften Bekant fån mekanikenkusen Den elektomagnetiska kaften Detta kapitels ämne, osaken till
Läs merKurs: HF1903 Matematik 1, Moment TEN1 (Linjär Algebra) Datum: 28 augusti 2015 Skrivtid 8:15 12:15
Kus: HF9 Matematik Moment TEN Linjä Algeba Datum: 8 augusti 5 Skivtid 8:5 :5 Examinato: Amin Halilovic Undevisande läae: Elias Said Fö godkänt betyg kävs av max poäng Betygsgänse: Fö betyg A B C D E kävs
Läs merLösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232)
ösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik FFM232) Tid och plats: ösningsskiss: Måndagen den 24 oktober 2016 klockan 14.00-18.00 i M-huset. Christian Forssén och Tobias Wenger Detta är enbart
Läs merTentamen Modellering och simulering inom fältteori, 8 januari, 2007
1 Institutionen för elektrovetenskap Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, 8 januari, 2007 Tillåtna hjälpmedel: Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori arje uppgift ger 10 poäng. Delbetyget
Läs mer0 x 1, 0 y 2, 0 z 4. GAUSS DIVERGENSSATS. r r r r. r r k ut ur kroppen
Ain Hlilovic: EXTRA ÖVIGAR Guss divegenssts GAUSS IVERGESSATS Låt v ett vektofält definied i ett öppet oåde Ω Låt Ω v ett kopkt oåde ed nden so bestå v en elle fle to lödet v vektofält ut u koppen geno
Läs merTATA44 Lösningar 24/8/ ) Låt S vara den del av x 2 + y 2 + z 2 = 2 innanför cylindern x 2 + y 2 = 1. Inför cylinderkoordinater.
TATA Lösningar /8/.. Låt vara den del av x + y + z innanför cylindern x + y. Inför cylinderkoordinater. Parametrisera med ortsvektorn r(ρ, φ (ρ cos φ, ρ sin φ, ρ som man kan skriva som r(ρ, φ ρ ˆρ + ρ
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.
Läs merIntegraler av vektorfält Mats Persson
Föreläsning 1/8 Integraler av vektorfält Mats Persson 1 Linjeintegraler Exempel: En partikel rör sig längs en kurva r(τ) under inverkan av en kraft F(r). i vill då beräkna arbetet som kraften utövar på
Läs merSvaren på förståelsedelen skall ges på tesen som skall lämnas in.
Dugga i Elektromagnetisk fältteori F. för F2. EEF031 2005-11-19 kl. 8.30-12.30 Tillåtna hjälpmedel: BETA, Physics Handbook, Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori, Valfri kalkylator men inga egna anteckningar
Läs merKapitel: 32 Elektromagnetiska vågor Maxwells ekvationer Hur accelererande laddningar kan ge EM-vågor
Kapitel: 3 lektromagnetiska vågor Maxwells ekvationer Hur accelererande laddningar kan ge M-vågor genskaper hos M-vågor nergitransport i M-vågor Det elektromagnetiska spektrat Maxwell s ekvationer Kan
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-3-7 EL A. Betrakta funktionen f, y y. a Beräkna riktningsderivatan av f i punkten, i den riktning som ges av vektorn 4, 3. p b Finns det någon riktning
Läs merUpp gifter. 3,90 10 W och avståndet till jorden är 1, m. våglängd (nm)
Upp gifte 1. Stålningen i en mikovågsugn ha fekvensen,5 GHz. Vilken våglängd ha stålningen?. Vilka fekvense ha synligt ljus? 3. Synligt ljus täffa ett gitte. Vilka fäge avböjs mest espektive minst?. Bestäm
Läs merFöreläsning 2 1. Till varje punkt i rummet tilldelas en vektor. ( ) = T ( x, y, z,t) ( ) = v x
Föreläsning 2 1 Matematiska grundbegrepp Fält kalärfält: Vektorfält: Till varje punkt i rummet tilldelas en skalär Exempel: Temperaturen i olika punkter i rummet, T r,t ( ) = T ( x, y, z,t) Till varje
Läs merTentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik
Linköpings Universitet IFM Mats Fahlman Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik Tisdagen 1/1 016, kl 14:00-18:00 Hjälpmedel: Avprogrammerad miniräknare, formelsamling (bifogad) Råd och regler Lösningsblad:
Läs merTATA44 Lösningar 26/10/2012.
TATA44 Lösningar 6/1/1. 1. Lösning 1: Konen z x + y skär sfären x + y + (z 5 5 då 4z + (z 5 5 och enkla räkningar ger nu z z some ger z(z och vi ser att z eller z. Observera att punkter på sfären med z
Läs merTentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik
Linköpings Universitet IFM Mats Fahlman Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik Tisdagen 19/4 017, kl 08:00-1:00 Hjälpmedel: Avprogrammerad miniräknare, formelsamling (bifogad) Råd och regler Lösningsblad:
Läs merOscillerande dipol i ett inhomogent magnetfält
Ú Institutionen för fysik 2014 08 11 Kjell Rönnmark Oscillerande dipol i ett inhomogent magnetfält Syfte Magnetisk dipol och harmonisk oscillator är två mycket viktiga modeller inom fysiken. Laborationens
Läs merFFM232, Klassisk fysik och vektorfält - Veckans tal
FFM232, Klassisk fysik och vektorfält - eckans tal Tobias Wenger och Christian Forssén, Chalmers, Göteborg, Sverige Oct 3, 2016 Uppgift 6.6 (Cederwalls kompendium) Beräkna normalytintegralen av a F 2 [
Läs merÖvningsuppgifter/repetition inom elektromagnetism + ljus (OBS: ej fullständig)
Övningsuppgifter/repetition inom elektromagnetism + ljus (OBS: ej fullständig) Elektrostatik 1. Ange Faradays lag i elektrostatiken. 2. Vad är kravet för att ett vektorfält F är konservativt? 3. En låda
Läs merx=konstant V 1 TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z = f ( x, LINEARISERING NORMALVEKTOR (NORMALRIKTNING) TILL YTAN.
Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Tangentplan Linjäa appoimatione TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z LINEARISERING NORMALVEKTOR NORMALRIKTNING TILL YTAN Låt z vaa en dieentieba unktion i punkten a b
Läs merTentamen i : Vågor,plasmor och antenner. Totala antalet uppgifter: 6 Datum:
Tentamen i : Vågor,plasmor och antenner Kurs: MTF108 Totala antalet uppgifter: 6 Datum: 2006-05-27 Examinator/Tfn: Hans Åkerstedt/491280/Åke Wisten070/5597072 Skrivtid: 9.00-15.00 Jourhavande lärare/tfn:
Läs merMekanik för I, SG1109, Lösningar till problemtentamen,
KTH Mekanik 2010 05 28 Mekanik fö I, SG1109, Lösninga till poblemtentamen, 2010 05 28 Uppgift 1: En lätt glatt stång OA kan otea king en fix glatt led i O. Leden i O sitte på en glatt vetikal vägg. I punkten
Läs mer