Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520)

Transkript

1 Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tid och plats: Tisdagen den 25 maj 2010 klockan i V. Hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, Lexikon, typgodkänd miniäknae samt en egenhändigt skiven A4 med valfitt innehåll. Examinato: Chistian Fossén. Jouhavande läae: Chistian Fossén, Betygsgänse: Tentamen bestå av sex uppgifte och vaje uppgift kan ge maximalt 6 poäng (om ej annat anges). Fö att bli godkänd kävs minst 12 poäng på uppgiftena 1-4 (inklusive eventuella bonuspoäng fån inlämningsuppgift 1). Fö dem som ha klaat föegående kav bestäms slutbetyget av poängsumman fån uppgiftena 1-6 plus eventuella bonuspoäng fån inlämningsuppgiftena enligt följande gänse: poäng ge betyg 3, poäng ge betyg 4, 30+ poäng ge betyg 5. ättningspincipe: Alla sva skall motiveas (uppgift 1 undantagen i föekommande fall), inföda stohete föklaas liksom val av metode. Lösningana föväntas vaa välstuktueade och begipligt pesenteade. Ehållna sva skall, om möjligt, analyseas m.a.p. dimension och imlighet. Skiv och ita tydligt! Vid tentamensättning gälle följande allmänna pincipe: Fö full (6) poäng kävs fullständigt koekt lösning. Minde fel ge 1-2 poängs avdag. Gälle även minde biste i pesentationen. Allvaliga fel (t.ex. dimensionsfel elle anda fel som lede till oimliga esultat) ge 3-4 poängs avdag, om oimligheten pekas ut; annas 5-6 poängs avdag. Allvaliga pincipiella fel ge 5-6 poängs avdag. Ofullständiga, men fö övigt koekta, lösninga kan ge max 2 poäng. Detsamma gälle lösningsföslag vas pesentation ä omöjlig att följa. Lycka till!

2 Obligatoisk del 1. (6 poäng. 1 poäng fö 1 ätt sva, 2p fö 2 ätta, 4p fö 3 ätta, 6p fö 4 ätta. Endast sva skall ges. ) (i) Fya olika cylinda ulla nedfö samma lutande plan. Vilken elle vilka cylinda ulla ne snabbast. Botse fån luftmotstånd. (a) Homogen cylinde med adie och massa M. (b) Homogen cylinde med adie 2 och massa M. (c) Homogen cylinde med adie och massa 2M. (d) Ihålig cylinde (enbat tunt skal) med adie och massa M. (ii) Hu sto otationsenegi motsvaa jodens otationsöelse unt sin egen axel (betakta jodklotet som en pefekt sfä med massa m = kg, adie = m)? Hu sto otationsenegi motsvaa jodklotets öelse i sin planetbana unt solen (appoximea denna som en cikelöelse med adien = m)? (iii) Tänk e ett lod som hänge ned längs med en skyskapefasad på Manhattan. Tänk e vidae fölängningen av denna lodlinje genom jodklotet. Skulle denna fölängda lodlinje passea (a) Stax söde om jodens tyngdpunkt. (b) akt genom jodens tyngdpunkt. (c) Stax no om jodens tyngdpunkt. (d) Stax öste om jodens tyngdpunkt (iv) Vilken elle vilka av nedanstående situatione (som alla beskive en stel kopps otation king en fix punkt i ummet) uppfylle att öelsemängdsmomentsvekton m.a.p. denna fixa punkt ständigt komme att vaa paallell med otationsvekton? I samtliga fall gälle att xyz ä de elevanta koodinataxlana och dessa axla ä valda så att alla deviationsmoment ä lika med noll. (a) Allmän otation king fix punkt. tidsbeoende iktning. Dvs otationsvekton ha en (b) otationen ske king en fix axel (som ej nödvändigtvis sammanfalle med en huvudtöghetsaxel). Fundamental fysik, Chalmes Page 2 Examinato: C. Fossén

3 (c) Alla huvudtöghetsmoment ä lika stoa. otationen ske king en fix axel (som ej nödvändigtvis sammanfalle med en huvudtöghetsaxel). (d) Alla huvudtöghetsmoment ä lika stoa. dock en tidsbeoende iktning. otationsvekton ha 2. En tådulle vila på en hoisontell, stäv yta. Tåden ä uppullad på en ine tissa med adien medan ullens ytteadie ä. Tådullens massa ä M och dess töghetsmoment unt symmetiaxeln ä Ī. Någon da fösiktigt i tåden på det sätt som figuen visa (kaft F iktad vinkeln α snett uppåt höge). Åt vilket håll ulla tådullen nä den stata fån vila? Föutsätt att fiktionen ä tilläckligt sto fö att föhinda glidning. F α 3. En kolv med massan m = 45 kg kan öa sig vetikalt unde invekan av ett fluktueande lufttyck p = p 0 sin ωt. öelsen motvekas av en fjädekaft (k = 35 kn/m) samt en dämpning (c = 1250 Ns/m). Vid vilken fekvens ω bli kolvens svängningsamplitud som stöst? 4. En patikel med massa m kan öa sig fitt (utan fiktion) i ett vetikalplan som spänns upp av axlana x (hoisontell) och y (vetikal). Detta plan otea i sin tu king den vetikala y-axeln med konstant Fundamental fysik, Chalmes Page 3 Examinato: C. Fossén

4 (c) Show that A vinkelhastighet Ω (positiv iktning uppåt). Finn patikelns öelseekvatione i x och y koodinatena. Lösm dessa och beskiv möjliga öelsemönste beoende på begynnelsevillko. Övebetygsuppgifte 5. Ett mynt som spinne king en vetikal axel komme snat att föloa enegi och böja wobbla på bodsytan (se figu). Vinkeln θ komme gadvis att minska tills myntet slutligen falle. Antag att denna pocess ä långsam och betakta en peiodθ då vinkeln θ ä konstant. Vi kan också anta att masscentum ä stillastående. Myntets adie ä. Myntet ulla utan att glida och kontaktpunkten ö sig med fekvensen Ω unt bodsytan. (a) Vad ä myntets vinkelhastighet Figue 8.47 uttyckt i det koppsfixa x 1 x 2 x 3 - systemet? (b) Hu sto ä peiodtiden fö kontaktpunktens cikelöelse och vad hände då vinkeln θ gå mot noll? Figue 8.45 Ω x 2 Figue 8.46 Ω θ Figue 8.48 θ x 3 the contact point aound in a hoiz ae and, esp angle θ with the of inetia aound 21. olling lollipop Conside a lollipo adially pieced b gound (see Fig. its cente moving (a) Find the ang (b) What is the 22. olling coin ** Initial conditions cicle, as shown i cicle of adius The coin olls wit as lage as needed point on the gou 23. Wobbling coin If you spin a coi enegy and begin table will deceas this pocess is slo with the table (s motionless. Let which the point o coin olls without vg vänd Fundamental fysik, Chalmes Page 4 Examinato: C. Fossén (a) Show that th ˆx 2 points up (see Fig. 8.2 (b) Show that

5 6. En homogen cylinde med massan 2m samt adien ligge på en hoisontell bodsskiva så att ena ändytan pecis sticke ut. I centum på denna cikuläa ändyta sitte en homogen smal stav (massa m och längd 2) fitt ledad i sin ena ände. Den ä alltså upphängd så att den kan pendla i ett vetikalplan vinkelätt mot cylindeaxeln (se figu). Bestäm peiodtiden fö denna pendelöelse (små svängninga) unde antagandet att cylinden ulla utan att glida. 2m 2 m Fundamental fysik, Chalmes Page 5 Examinato: C. Fossén