Sammanfattning av STATIK

Transkript

1 Sammanfattning av STATIK Pete Schmidt IEI-ekanik, LiTH Linköpings univesitet Kaft: En kafts vekan på en kpp bestäms av kaftens stlek, iktning ch angeppspunkt P. Kaftens iktning ch angeppspunkt definiea en vekningslinje. PSTULAT: En kaft ä en vektsthet tilldnad en angeppspunkt. vekningslinje P angeppspunkt En kaftvekt sm angipe i P kan skivas = x e x + y e y + z e z dä 2 x 2 y 2 z ä kaftens stlek (belpp). z e z e x P e y y x m två elle flea kafte angipe i samma punkt P, ä deas summa esultanten angipande i P. (Paallellgamlagen) R= P En kaftvekts pjektin på en iktning med enhetsvektn e fås u skaläpdukten 1 2 R e 1 cs cs e

2 ment: Studea ett kaftpa. Kaftena ta ut vaanda, men kaftpaet ha ändå en fysikalisk vekan; det fösöke vida kppen. h - Denna vidande vekan beskivs av kaftpaets mment, vas stlek ä : h Stleken av mmentet av en kaft med avseende på punkten ä d d Detta kan fmaliseas till följande definitin. Låt = x e x + y e y + z e z vaa en kaft angipande i punkten P, dä P ges av lägesvektn = x e x + y e y + z e z. mentet av en kaft med avseende på punkten definieas sm vektn z e z d P y x e x e y Enligt definitinen av kysspdukt så se vi att ä en vekt sm ä vinkelät mt planet sm ch spänne upp. Belppet (stleken) av vektn ges av: sin d dä d kallas fö hävamen.,

3 mentet av en kaft med avseende på en axel definieas sm skaläpdukten λ e dä enligt tidigae. Således, mmentet med avseende på en axel ä mmentvektns pjektin på axeln. e mentet av ett kaftpa: 1-2 Kaftpaets mment med avseende på punkten ä: ( ) (1 ) Kaftpaets mment ä beende av! Slutsats: Kaftpasmmentet ä detsamma fö alla punkte, dvs en fi vekt ( kan således föflyttas med bibehållen iktning ch belpp till en gdtyckligt punkt). Kaftpasmmentvekte buka betecknas elle C (eng. cuple). -

4 Reduktin av kaftsystem: öflyttning av en kaft fån punkten A till kan göas genm att addea ch - i punkten. A A - ch bilda ett kaftpa A Kaftsystemen van ä ekvimmenta (ekvivalenta u kaft ch mmentsynpunkt). Betakta nu ett kaftsystem bestående av två kafte 1 ch 2 ch två kaftpasmment C 1 ch C 2 enligt figuen. vanstående kan nu tillämpas fö att bilda ett educeat kaftsystem. Detta system bestå av enbat en kaft R ch ett kaftpasmment. Kaftsystemet sägs vaa educeat med avseende på punkten. C 1 1 C C 2 C R R 1 2 dä 1 2 C C ch

5 Betakta en filagd stel kpp dä samtliga ytte kafte 1,..., n ch samtliga ytte kaftpasmment C 1,,C m sm veka på kppen ä inkludeat. a) C 1 1 n 1 C m n Reducea kaftsystemet med avseende på punkten. b) R R n k 1 n k 1 k k k m k 1 C k PSTULAT: ö en stel kpp gälle att kaftsystemen a) ch b) van ha samma vekan på kppen, dvs de esultea i samma öelse. U pstulatet van följe bl.a. att m en kaft veka på en stel kpp kan kaften föflyttas längs kaftens vekningslinje utan att dess vekan på kppen ändas. stel kpp Statisk jämvikt Ett nllsystem definieas sm ett kaftsystem dä R=0 ch =0. En stel kpp sägs befinna sig i statisk jämvikt m systemet av ytte kafte ch kaftpasmment bilda ett nllsystem, dvs m R 0 0 Detta ä ett nödvändigt villk fö att en kpp skall befinna sig i ftvaig vila. Reduceingspunkten kan väljas gdtyckligt ch man buka däfö utelämna ch enbat skiva R=0 ch =0.

6 Tw-fce membe: öljande följe u jämviktsvillket van ch kan i många fall föenkla jämviktsbeäkningana vid kmpliceade stuktue. m en stång med fösumba massa ä i jämvikt ch enbat belastas med kafte i ändana, ä dessa kafte iktade i stångens längdiktning. Detta kan genealiseas vidae till en kpp med gdtycklig fm. I detta fall måste kaftena gå längs en tänkt linje mellan de båda kaftenas angeppspunkte. - - ektsymble ekte betecknas vanligen med bldface, elle sm,. ektenas skaläa kmpnente betecknas med,. id pblemlösning används fta av paktiska skäl följande symble elle Detta betyde att vektena ch ä definieade enligt nedan e e e e dä e ä enhetsvektn i pilens iktning ch ch ä vektenas kmpnente (vilka äknas sm psitiva i pilens iktning). iläggning: ö att ehålla det kaftsystem sm veka på en kpp så används en metd sm kallas filäggning. id filäggning plckas kppen bt fån sin mgivning ch mgivningens vekan på kppen esätts med kafte ch kaftpasmment. Abetsgång vid filäggning: 1) Bestäm vilken kpp sm skall filäggas. 2) Esätt mgivningens vekan på kppen med kafte ch kaftpasmment. Rita ut appliceade kafte ch kaftpasmment i givna iktninga (hit äknas även tyngdkaften mg angipande i kppens masscentum G). Reaktinen vid stöd ch lede etc. mdelleas med kafte ch kaftpasmment enligt igu 3/1 sid ch igu 3/8 sid 147 i eiam (Statics). vanstående kan även tillämpas fö ett system av kppa, se eiam (Statics) sid Nedan ges någa exempel.

7 Sist i detta häfte finns någa övningsuppgifte på just filäggning. Det ekmmendeas stakt att nga abeta igenm dessa, ty en kekt filäggning utgö basen vid pblemlösning.

8 iktin: Betakta två stäva yt sm ä i kntakt enligt figuen. e t e n A A N kntaktställets nmal kntaktställets tangentplan ä fiktinskaften ch N nmalkaften, dä =e t ch N=Ne n ( N > 0 vid kntakt). iktinskaften ä iktad så att den mtveka glidning elle tendens till glidning längs kntaktställets tangentplan. Culmbs fiktinslaga illk fö att glidning ej skall intäda μs N μ s dä ä den statiska fiktinskefficienten. id gänsfallet då μs N sägs fiktinen vaa fullt utbildad (gänsfallet fö begynnande glidning) iktin vid glidning μk N μ k dä ä den kinetiska fiktinskefficienten. Unde glidning veka akt mtsatt kntaktställets glidhastighet asscentum: Givet en stel kpp enligt nedan dä vlymselementet d ha massan dm=d ch ä densiteten. Kppens masscentum G = x G e x +y G e y +z G e z definieas sm punkten G ρd ρd z d x y

9 PSTULAT: De pstulat, definitine ch satse sm uppställts fö kaftsystem bestående av ett begänsat antal kafte gälle även fö kntinueliga kaftsystem (kaftfält). Betakta en kpp med massan m ρd sm befinne sig i tyngdkaftfältet. Tyngdkaften sm veka på vaje vlymselement d ä dg, dä g ä tyngdacceleatinen. an kan fta med tilläcklig nggannhet anta att tyngdacceleatinen g ä en knstant vekt inm ett begänsat måde. Kaftsystemen nedan ä då ekvimmenta m vi låte ttala tyngdkaften =mg ha sin angeppspunkt i kppens masscentum G. Detta kan inses genm att beäkna ttala kaften (dä g ä en knstant vekt) g ρd g ρd m g ch ttala mmentet med avseende på g ρd en enligt definitinen av masscentum ä m G ρd g ρd m G vilket ge g G m g d G d g g G mg g Således kaftsystemen ha samma ttalkaft ch samma ttalmment med avseende på, dvs de ä ekvimmenta. Att masscentum ha denna egenskap i ett knstant tyngdkaftfält mtivea benämningen tyngdpunkt (m vi educea det vänsta kaftsystemet till G fås ett kaftsystem bestående enbat av en kaft mg, dvs vi kan balansea kppen via ett mmentfitt stöd vid G).

10

11

12