Inlämningsuppgifter till 21/2 2003
|
|
- Gun Sandström
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Inlämningsuppgifte till / 003. Föenkla µ / µ / Lena A.,9,0,7,83 Niklas E.,5,,73,8 My E. 9,3,,7,9 Sanda F. 8,33a,3,7,9. Skiv om följande uttyck utan ottecken i nämnaen: x + x 3. Skiv om utan ottecken i nämnaen och föenkla n + n Helena F. 7,33b,,70,90 Jenny G. 5,3,5,69,89 Zanna H.,30,6,68,88 Ninni H. 6,35,7,60,87 Hoda H. 3,5,35,59,86 Henik K. 3,8,8,6,85 Fedik L.,9,9,6,8. Lös 5. Lös 6. Lös ut x x x x = x + + x x + + x +3 = x x + = y Emma M.,,50,63,83 7. Lös ekvationen Miki M. 0,3,5,6,8 5+x = 7+x Andé N.,3,3,58,75 8. Lös Jahangi S. 9,3,5,65,8 Helen S. 8,,39,57,76 Chistina S. 7,6,37,56,80 Kistophe S. 6,,36,55,79 Boislav 5,7,53,66,78 9. Lös ekvationen 0. Lös ekvationen x x = x x x + x = x +7=x Mainos,0,5,67,77 Om någon uppgift veka hopplös, tag någon näliggande i stället.... Undesök om följande ekvation ha någa (eella) lösninga: 3 x = x x. Lös ekvationen +x + x +x x = 3. Lös ekvationen x + +3 =
2 . Ett av poblemen på det åliga skolmästeskapet i matematik löd så hä: Bestäm alla väden på a, fö vilka ekvationen x x + a =0 ha exakt en eell ot. Ett lösningsföslag va följande: Vi vet att x = x. Däfö kan vi betakta x x + a =0. En andagadsekvation med avseende på x! Andagadsekvatione ha exakt en ot då och endast då uttycket unde ottecknet i pq-fomeln ä =0, i detta fall alltså nä a =/ Ettheltannatföslagvaföljande: Antag att x 0 ä en ot. Då ä det klat att även x 0 ä en ot. Skall ekvationen ha exakt en ot, så måste dessa två sammanfalla, d.v.s. x 0 =0. Men x =0ä en ot då och endast då Nå, hu skall det vaa? a =0 Mängde I 5-6 avgö om esp. påstående ä sant fö godtyckliga mängde A,B, C,... (Som alltid: motivea ditt sva!) 5. A (A B) =A 6. (A B) ÂC =(AÂC) (BÂC) 7. AÂ (B C) =(AÂB) (AÂC) 8. AÂ (B C) =(AÂB) ÂC 9. AÂ (B C) =(AÂB) (AÂC) 0. (A B) (B C) =B. (AÂB) (BÂA) =A B. (A B) ÂC A 3. A C = B C = A = B. A C = B C = A = B 5. ½ A C = B C A C = B C = A = B 6. Hä låte vi P (A) beteckna mängden av alla delmängde till A, den s.k. potensmängden till A. P (A B) =P (A) P (B) 7. Låt A och B vaa två mängde. Vad säge nedanstående utsaga? Hitta enkel fomuleing med od! x :(x A = x B) 8. Fö vilka mängde A och B gälle AÂB = BÂA? 9. Ett av flea altenativa beteckningssätt fö komplementet till en mängd A ä A. Föenkla (A B) C B Tips: De Mogans laga. 30. Alla ban i en skola spela fotboll och/elle handboll. Va sjunde fotbollsspelae spela också handboll och va nionde handbollsspelae spela också fotboll. Vilka ä flest: handbollsspelana elle fotbollsspelana? 3. Hu många av talen,, 3,..., 000 ä (a) delbaa med 5? (b) delbaa med 7? (c) inte delbaa med vae sig 5 elle 7?
3 Logik 3. Du se en elev lösa en ekvation så hä: (x ) = 5(x ) x = 5 x = 6 Din kommenta? Om man skall sätta ut ekvivalens- / implikationspila mellan ekvationena, hu skall det se ut? 33. Fö va och en av följande utsago, avgö om den ä en tautologi (d.v.s. alltid sann, oavsett P och Q:s sanningsväden), en motsägelse (d.v.s. alltid falsk, oavsett P och Q:s sanningsväden) elle ingendea. (a) P Q = (P Q) (b) (P Q) = P Q 3. Polisen ha intevjuat fya vittnen vi kalla dem A, B, C, och D och konstateat att ) A och B kanintebådahaätt, ) B och C motsäge vaanda, 3) om C tala sanning, så ha A ljugit, ) om D tala sanning, så också A. Kan man u detta avgöa vem som talat sanning esp. ljugit? Om inte fö alla, kan man kanske avgöa det fö vissa? Tips: Gö lämplig sanningstabell. 35. Hä följe någa påståenden om talen a, b, c, någa uttyckta helt och hållet med symbole abc =0 a + b + c > 0 (a b)(a c)(b c) =0 a + b + c > 0 a + b + c =0 a ( b + c )+ b ( c + a )+ c ( a + b ) =0 ochnågauttycktameapåvadagsspåk: Alla te talen a, b, c ä =0 Minst ett av talen a, b, c ä =0 Minst två av talen a, b, c ä =0 Minst ett av talen a, b, c ä > 0 Minst ett av talen a, b, c ä 6= 0 Minst två av talen a, b, c ä lika. Vissa påståenden ä ekvivalenta vilka? 36. En mängd M av eella tal kallas uppåt begänsad, omm det finns något tal b, ej nödvändigtvis tillhöande M, sådant att x b fö alla x M nedåt begänsad, omm det finns något tal b, ej nödvändigtvis tillhöande M, sådant att x b fö alla x M begänsad, ommdenä såväl uppåt som nedåt begänsad. Antag nu att fö mängdena A och B gälle x A : y A : x<y y R : x B : x<y Säge detta att någon av dem ä uppåt begänsad / nedåt begänsad / begänsad? 37. En ändlig mängd av eella tal ha alltid ett stösta och ett minsta element, t.ex. i A =, π, 7ª ä 7 stösta och minsta element. En oändlig mängd behöve natuligtvis inte ha något stösta/minsta element: N = {0,,, 3,...} ha inget stösta element. Läs definitionen av (uppåt/nedåt) begänsad mängd ovan. Kan man sätta något av konnektiven, elle m på fågetecknens plats nedan, så att man få en sann utsaga? Mängden A ä uppåt begänsad??? Mängden A ha ett stösta element. 38. Ä det sant att (δ ä gekiskt litet d och uttalas delta.) δ > 0: a, b R : a b < δ = a b < 39. Bevisa följande påstående med utnyttjande av kontaposition (d.v.s. att P Q ä ekvivalent med Q P ): m, n Z : m + n ä udda = pecis ett av talen m och n ä udda 3
4 Olikhete 0. Vilket ä det stösta vädet som nedanstående uttyck kan anta och fö vilket x antas det? 8 x x +5 Tips: Kvadatkomplettea nämnaen.. Ä det iktigt att fö alla eella tal a, b, c, d ½ a>b = ac > bd? c>d. Lös olikheten x x 3. Lös olikheten x 3 5x 5x 5. Lös olikheten x 6 x + x > 0 5. Lös olikheten x x 7 x 5 +< 0 6. Fö vilka väden på a ä olikheten (a + x) 3 > (a x) 3 +x 3 3a 53. Det kvadatiska medelvädet av två icke-negativa tal a och b definieas som: a + b Visa att detta vekligen ä ett medelväde, d.v.s. a + b min (a, b) max (a, b) samt att det aldig undestige det aitmetiska medelvädet: a + b a + b Kan man få likhet och i så fall nä? 5. Bevisa att fö alla a och b : a + b + a + b + ab Tips: a = a + a, (a b) = Häled AM GM-olikheten u följande figu yζx sann fö alla x> /3? 7. Visa att 0 <a,b,c<= abc +>a+ bc 8.Visaattföfyapåvaandaföljandenatuligatal alltid gälle att podukten av de två yttetalen ä minde än podukten av de två mittentalen (t.ex. om talen ä 6, 7, 8 och 9, så ä 6 9 < 7 8). 9. Bevisa att fö fya på vaanda följande natuliga tal alltid gälle att summan av de två yttetalens kube ä stöe än summan av de två mittentalens kube (t.ex. fö 6, 7, 8, 9 ä > ). 50. Antag att x och y ä två olika positiva tal. Kan man säga vilket av följande kvote ä minst, x + y x + y elle x y x y 5. Visa att x, y R :(+xy) +x +y 5. Visa att fö alla tal a, b, c och d gälle (a + b + c + d) (a + b)(c + d) Nä gälle likhet?? ab + cd b genom att jämföa ektangelns och tianglanas aeo. 56. Bestäm minsta möjliga vädet av a b + b a Tips: a b b a =. 57. Visa att a då a, b > 0 a + a + a 3 =3= a a a 3 genom att obsevea att, om inte alla a j = (i vilket fall olikheten ä kla), så måste minst ett av talen vaa < och minst ett >. Det ä alltså ingen inskänkning att anta att a = h, a =+k, a 3 =+h k, dä h, k > 0.
5 Talteoi 58. Summan av te heltal ä =0. Ä deas podukt ett udda elle ett jämnt tal? 59. Avgö utan maskin om talet ä delbat med Vad behöve man lägga till på fågetecknens plats fö att följande skall bli iktigt? (a c) (b c) (???) = ab c 6. Visa att +8 n 3 n 6 n ä delbat med Låt oss fö ett ögonblick glömma alla anda tal föutom de jämna positiva talen,, 6, 8,... Definiea j-pimtal som de tal som inte kan skivas som podukt av två minde jämna tal. (a) Vilka ä j-pimtalen? (b) Ge exempel på ett jämnt tal som kan faktoiseas i j-pimtal på två olika sätt. 63. Föutsättninga som i föegående fåga. Dessutom: Med a b mena vi nu att kvoten b/a bli ett jämnt heltal (de udda heltalen existea som sagt inte fö oss, fö tillfället!) Ge ett motexempel till motsvaigheten till lemma. i Vetblad j-pimtalet p ab = (p a) elle (p b) 6. a) Vilka este ä möjliga att få då ett kvadattal divideas med? b) En heltalstippel (a, b, c), fö vilken a + b = c, kalla man pythagoeisk. Exempel: (3,, 5), (5,, 3), (8, 5, 7). Visa att det inte finns någon pythagoeisk taltippel dä a och b båda ä udda heltal. 65. a) Vilken est ge talen,,,,... vid division med? b) Visa att ingen av talen ovan kan vaa ationellt. 66. Visa att diffeensen mellan kvadatena på två udda heltal ä alltid jämnt delba med Visa att om p, q ä pimtal 5, så ä p q delbat med. 68. Visa att om p ä pimtal 6=, 5, så ä p elle p +delbat med a) Vilket ä det stösta heltalet som podukten av te på vaanda följande heltal säket ä delba med? b) Visa att (3n)! (3!) n ä ett heltal 70. Vilket ä det stösta heltalet som podukten av fem på vaanda följande heltal säket ä delba med? 7. En ton som ligge en oktav höge än en annan ha dubbelt så hög fekvens. En ton som ligge en kvint höge än en annan ha fekvens som ä 3/ av den läge. Ommanpåettpianoföflytta sig 7 oktave, så skall man samtidigt ha föflyttat sig kvinte. (Räkna 8 på vaanda följande tangente, inkl. de svata. Tangente och 8 bilda en kvint.) Föklaa nu hu man utan äkning kan inse att µ 3 6= 7 ochdämedattettpianoaldigkanstämmaspefekt! 7. Vilka ä de minsta positiva heltalen x och y som uppfylle 73x 7y =? 73. (Kinesisk äkneuppgift fån 500-talet.) Hu många gäss, anko esp. höno kan man få fö 00 mynt, om man vill ha 00 st. totalt och en gås kosta 5 mynt, en anka 3 mynt och te höno tillsammans mynt? 7. Ange alla pa av heltal (x, y) sådana att (a) 350x 7y =7 (b) 350x 7y =35 (c) 350x 7y = 75. Ha alla ekvatione av typen heltalslösninga? ax + by + cz = d dä a, b, c, d ä givna heltal 76. Bevisa att fö alla heltal a, b och d gälle (d a) (d b) = d SGD (a, b) 5
6 Summo 77. Föenkla 78. Föenkla 79. Föenkla x x x 3 x... x n Vilket tal näma sig summona ovan, nämantaalltstöen? 80. Avgö om följande utsaga ä sann : m Z : n N : k= k >m 8. Beäkna summan av alla tesiffiga tal som ä delbaa med Ställ upp en fomel fö följande summa, dä n ä ett positivt heltal: +n +(n ) + (3n ) n (n ) 83. De positiva udda talen kan odnas på följande sätt o.s.v. (a) Ge en fomel fö sista talet på ad n (b) Ge en fomel fö fösta talet på ad n. (c) Ge en fomel fö summan av talen på ad n. (d) Summea alla talen på adena till n påtvåolikasätt ochhäleddenvägenfomeln µ n (n +) n 3 = 8. En bodtennistuneing med n spelae tillgå så att alla möte alla en gång. Ingen match kan sluta oavgjod. Säg att spelae numme k vinne x k och föloa y k matche. Visa att x + x x n = y + y y n Induktion och ekusion 85. Fö fomeln k k= = n (n +) ha vi edan ett fullgott åskådligt bevis, men skiv nu ne (som övning) ett induktionsbevis. 86. Skiv ne ett induktionsbevis fö k (k +) k= = n (n +)(n +) Med tanke på hu föegående två fomle se ut, så ä det väl inte helt otänkbat att k (k +)(k +) k= = n (n +)(n +)(n +3) Skiv ne ett induktionsbevis! 88. Titta på de te fomlena nämast ovan, gissa och bevisa med induktion en fomel fö k (k +)(k +)(k +3) k= 89. Ge ett induktionsbevis (det finns altenativ!) fö att en mängd med n element ha n olika delmängde (den tomma delmängden inäknad). 90. Visa med induktion att 9. Visa med induktion att n >n fö alla heltal n> n n (n +) n Tips: Såväl n n (n +) n som (n +) n+ (n +) n kan omfomas till µ n??? n +??? 9. Talföljden C n,n=0,,, 3,... definieas genom C n = (n)! n!(n +)! Skiv ut de sex fösta talen samt ge en ekvivalent ekusiv definition (d.v.s. av den typ som föekomme i avsnitt.3) 6
r r r r Innehållsförteckning Mål att sträva mot - Ur kursplanerna i matematik Namn: Datum: Klass:
Innehållsföteckning 2 Innehåll 3 Mina matematiska minnen 4 Kosod - Lodätt - Vågätt 5 Chiffe med bokstäve 6 Lika med 8 Fomel 1 10 Konsumea mea? 12 Potense 14 Omketsen 16 Lista ut mönstet 18 Vilken fom ä
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF1903, 22 september 2011, kl
Tentamen i Matematik, HF9, septembe, kl 8.. Hjälpmedel: Endast fomelblad (miniäknae ä inte tillåten) Fö godkänt kävs poäng av 4 möjliga poäng (betygsskala ä A,B,C,D,E,FX,F). Betygsgänse: Fö betyg A, B,
Läs merYlioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n
Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 904 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskivninga av svaens innehåll och oängsättninga som ges hä ä inte bindande
Läs mer4. Bestäm alla trippler n 2, n, n + 2 av heltal som samtliga är primtal. 5. Skriv upp additions- och multiplikationstabellen för räkning modulo 4.
Uppvärmningsproblem. Hur kan man se på ett heltal om det är delbart med, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 respektive? Varför? 2. (a) Tänk på ett tresiffrigt tal abc, a 0. Bilda abcabc genom att skriva talet två
Läs merLEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 8. Vi antar först att den givna bromsande kraften F = kx är den enda kraft som påverkar rörelsen och därmed också O
LEDIGAR TILL ROLEM I KAITEL 8 L 8. Vi anta föst att den givna bomsande kaften F = k ä den enda kaft som påveka öesen och dämed också O intängningsdjupet. Men veka ingen kaft i öeseiktningen? Fastän man
Läs merMatematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 8:15-12:15 Lärare och examinator : Armin Halilovic
Tentamen TEN, HF0, juni 0 Matematisk statistik Kuskod HF0 Skivtid: 8:-: Läae och examinato : Amin Halilovic Hjälpmedel: Bifogat fomelhäfte ("Fomle och tabelle i statistik ") och miniäknae av vilken typ
Läs merMatematisk kommunikation för Π Problemsamling
Problemsamling Charlotte Soneson & Niels Chr. Overgaard september 200 Problem. Betrakta formeln n k = k= n(n + ). 2 Troliggör den först genom att exempelvis i summan +2+3+4+5+6 para ihop termer två och
Läs merFör att bestämma virialkoefficienterna måste man först beräkna gasens partitionsfunktion då. ɛ k : gasens energitillstånd.
I. Reella gase iialkoefficientena beo av fomen på molekylenas växelvekningspotential i en eell gas. Bestämmandet av viialkoefficientena va en av den klassiska statistiska mekanikens huvuduppgifte. Fö att
Läs merMatematiska uppgifter
Elementa Årgång 67, 984 Årgång 67, 984 Första häftet 3340. a) Vilket av talen A = 984( + + 3 + + 984 ) är störst? b) Vilket av talen B 3 = 3 + 3 + 3 3 + + 984 3 är störst? A / = 984( + + 3 + + 984) B =
Läs mer2012 Tid: läsningar. Uppgift. 1. (3p) (1p) 2. (3p) B = och. då A. Uppgift. 3. (3p) Beräkna a) dx. (1p) x 6x + 8. b) x c) ln. (1p) (1p)
Tentamen i Matematik HF9 (H9) feb Läae:Amin Halilovic Tid:.5 7.5 Hjälpmedel: Fomelblad (Inga anda hjälpmedel utöve utdelat fomelblad.) Fullständiga lösninga skall pesenteas på alla uppgifte. Betygsgänse:
Läs merTvillingcirklar. Christer Bergsten Linköpings universitet. Figur 1. Två fall av en öppen arbelos. given med diametern BC.
villingcikla histe Begsten Linköpings univesitet En konfiguation av cikla som fascineat genom tidena ä den sk skomakakniven, elle abelos I denna tidskift ha den tidigae tagits upp av Bengt Ulin (005 och
Läs merVi börjar med att dela upp konen i ett antal skivor enligt figuren. Tvärsnittsareorna är då cirklar.
3.6 Rotationsvolme Skivmetoden Eempel Hu kan vi beäkna volmen av en kopp med jälp av en integal? Vi visa ett eempel med en kon dä volmen också kan beäknas med fomeln V = π 3 Vi böja med att dela upp konen
Läs merInduktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I
Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I J A S, ht 04 1 Induktion Detta avsnitt handlar om en speciell teknik för att försöka bevisa riktigheten av påståenden eller formler, för alla heltalsvärden
Läs merMatematisk kommunikation för Π Problemsamling
Problemsamling Niels Chr. Overgaard & Johan Fredriksson 3 september 205 Problem 0. Skriv följande summor mha summationstecken. ( Dvs på formen q k=p a k där k är en räknare som löper med heltalssteg mellan
Läs mer===================================================
Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR 1 av 9 Avstånsbeäkning AVSTÅNDSBERÄKNING ( I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERAT KOORDINATSYSTEM ) Avstånet mellan två punkte Låt A = ( x1, och B = ( x, y, z ) vaa två punkte
Läs merStorhet SI enhet Kortversion. Längd 1 meter 1 m
Expeimentell metodik 1. EXPERIMENTELL METODIK Stohete, mätetal och enhete En fysikalisk stohet ä en egenskap som kan mätas elle beäknas. En stohet ä podukten av mätetal och enhet. Exempel 1. Elektonens
Läs merAngående kapacitans och induktans i luftledningar
Angående kapacitans och induktans i luftledninga Emilia Lalande Avdelningen fö elekticitetsläa 4 mas 2010 Hä behandlas induktans i ledninga och kapacitans mellan ledae. Figu öve alla beskivninga finns
Läs mersluten, ej enkel Sammanhängande område
POTENTIALFÄLT ( =konsevativt fält). POTENTIALER. EXAKTA DIFFERENTIALER Definition A1. En kuva = ( t), och ändpunkten sammanfalle. a t b ä sluten om ( a) = ( b) dvs om statpunkten Definition A. Vi säge
Läs merKurs: HF1903 Matematik 1, Moment TEN1 (Linjär Algebra) Datum: 28 augusti 2015 Skrivtid 8:15 12:15
Kus: HF9 Matematik Moment TEN Linjä Algeba Datum: 8 augusti 5 Skivtid 8:5 :5 Examinato: Amin Halilovic Undevisande läae: Elias Said Fö godkänt betyg kävs av max poäng Betygsgänse: Fö betyg A B C D E kävs
Läs merMATEMATIKENS SPRÅK. Avsnitt 1
Avsnitt 1 MATEMATIKENS SPRÅK Varje vetenskap, liksom varje yrke, har sitt eget språk som ofta är en blandning av vardagliga ord och speciella termer. En instruktionshandbok för ett kylskåp eller för en
Läs merBegreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken.
MÄNGDER Grundläggande begrepp och beteckningar Begreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken. Vi kan beskriva (ange, definiera) en mängd som innehåller ändligt många element genom
Läs merSanningsvärdet av ett sammansatt påstående (sats, utsaga) beror av bindeord och sanningsvärden för ingående påståenden.
MATEMATISK LOGIK Matematisk logik formaliserar korrekta resonemang och definierar formellt bindeord (konnektiv) mellan påståenden (utsagor, satser) I matematisk logik betraktar vi påståenden som antingen
Läs merLösningar till Algebra och kombinatorik
Lösningar till Algebra och kombinatorik 091214 1. Av a 0 = 1 och rekursionsformeln får vi successivt att a 1 = 1 + a 0 1 a 0 = 1 + 1 1 1 = 2, a 2 = 1 + a 1 1 a 0 + 1 a 1 = 1 + 2 1 + 1 = 4, 2 a 3 = 1 +
Läs merKapitel 2: De hela talen
Kapitel 2: De hela talen Divisionsalgoritmen ( a a Z, d Z\{0} q, r Z : d = q + r ) d, 0 r d c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad där q kallas kvoten och r kallas principala resten vid heltalsdivision.
Läs merOm a 2 är ett jämnt tal, så är också a ett jämt tal sant. = 4n 2 + 4n + 1
1127 Påstående betecknas med P Motsatsen till påsteåendet betecknas P = icke P = inte P = ej P P n är ett udda tal P n är ett jämnt tal Kommentar: n kan enbart vara udda eller jämnt, P a + 2b 15 P a +
Läs merLösningsförslag till tentamen i 5B1107 Differential- och integralkalkyl II för F1, (x, y) = (0, 0)
Institutionen fö Matematik, KTH, Olle Stomak. Lösningsföslag till tentamen i 5B117 Diffeential- och integalkalkyl II fö F1, 2 4 1. 1. Funktionen f(x, y) = xy x 2 +y 2 (x, y) (, ), (x, y) = (, ) ä snäll
Läs merLMA033/LMA515. Fredrik Lindgren. 4 september 2013
LMA033/LMA515 Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 4 september 2013 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematik 4 september 2013 1 / 25 Outline 1 Föreläsning
Läs merKontinuitet och gränsvärden
Kapitel Kontinuitet och gränsvärden.1 Introduktion till kontinuerliga funktioner Kapitlet börjar med allmänna definitioner. Därefter utvidgar vi successivt familjen av kontinuerliga funktioner, genom specifika
Läs mer===================================================
min Halilovic: EXTR ÖVNINGR 1 av 8 vstånsbeäkning VSTÅNDSBERÄKNING ( I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERT KOORDINTSYSTEM ) vstånet mellan två punkte Låt = ( x1, och B = ( x, y, z) vaa två punkte i ummet
Läs merUpp gifter. 3,90 10 W och avståndet till jorden är 1, m. våglängd (nm)
Upp gifte 1. Stålningen i en mikovågsugn ha fekvensen,5 GHz. Vilken våglängd ha stålningen?. Vilka fekvense ha synligt ljus? 3. Synligt ljus täffa ett gitte. Vilka fäge avböjs mest espektive minst?. Bestäm
Läs mer=============================================== Plan: Låt π vara planet genom punkten P = ( x1,
Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Räta linje och plan RÄTA LINJER OCH PLAN Räta linje: Låt L vaa den äta linjen genom punkten P = x, y, som ä paallell med vekton v = v, v, v ) 0. 2 3 P v Räta linjens ekvation
Läs mer6 KVANTSTATISTIK FÖR IDEALA GASER
Kvantstatistik fö ideala gase 6 6 KVANTSTATISTIK FÖR IDEALA GASER 6. Fomuleing av det statistiska poblemet Vi betakta en gas av identiska patikla inneslutna i en volym V vilken befinne sig i ämvikt vid
Läs merDiskret matematik: Övningstentamen 4
Diskret matematik: Övningstentamen 22. Beskriv alla relationer, som är såväl ekvivalensrelationer som partiella ordningar. Är någon välbekant relation sådan? 23. Ange alla heltalslösningar till ekvationen
Läs merTENTAMEN. Datum: 5 juni 2019 Skrivtid 14:00-18:00. Examinator: Armin Halilovic, tel
Kus: HF9, Matematik, atum: juni 9 Skivtid :-: TENTAMEN moment TEN (analys Eaminato: Amin Halilovic, tel. 79 Fö godkänt betyg kävs av ma poäng. Betygsgänse: Fö betyg A, B, C,, E kävs, 9, 6, espektive poäng.
Läs merI ett område utan elektriska laddningar satisfierar potentialen Laplace ekvation. 2 V(r) = 0
Föeläsning 3 Motsvaa avsnitten 3. 3.2.4, 3.3.2 3.4 i Giffiths Laplace och Poissons ekvation (Kap. 3.) I ett omåde utan elektiska laddninga satisfiea potentialen Laplace ekvation 2 () = 0 och i ett omåde
Läs merTemperaturmätning med resistansgivare
UMEÅ UNIVESITET Tillämpad fysik och elektonik Betil Sundqvist Eik Fällman Johan Pålsson 3-1-19 ev.5 Tempeatumätning med esistansgivae Laboation S5 i Systemteknik Pesonalia: Namn: Kus: Datum: Åtelämnad
Läs merFinaltävling i Uppsala den 24 november 2018
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska matematikersamfundet Finaltävling i Uppsala den 4 november 018 1. Låt ABCD vara en fyrhörning utan parallella sidor, som är inskriven i en cirkel. Låt P och Q vara skärningspunkterna
Läs merMS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I
MS-A0409 Gudkus i disket matematik Sammafattig, del I G. Gipebeg 1 Mägde och logik 2 Relatioe och fuktioe Aalto-uivesitetet 15 maj 2014 3 Kombiatoik etc. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i
Läs merTentamen i El- och vågrörelselära, 2014 08 28
Tentamen i El- och vågöelseläa, 04 08 8. Beäknastolekochiktningpådetelektiskafältetipunkten(x,y) = (4,4)cm som osakas av laddningana q = Q i oigo, q = Q i punkten (x,y) = (0,4) cm och q = Q i (x,y) = (0,
Läs merSammanfattning av STATIK
Sammanfattning av STATIK Pete Schmidt IEI-ekanik, LiTH Linköpings univesitet Kaft: En kafts vekan på en kpp bestäms av kaftens stlek, iktning ch angeppspunkt P. Kaftens iktning ch angeppspunkt definiea
Läs mer1 Två stationära lösningar i cylindergeometri
Föeläsning 6. 1 Två stationäa lösninga i cylindegeometi Exempel 6.1 Stömning utanfö en oteande cylinde En mycket lång (oändligt lång) oteande cylinde ä nedsänkt i vatten. Rotationsaxeln ä vetikal, cylindes
Läs merA B A B A B S S S S S F F S F S F S F F F F
Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 17. Logik När man utför matematiska resonemang så har man alltid vissa logiska spelregler att förhålla
Läs mer18 juni 2007, 240 minuter Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 15p. för Godkänd, 24p. för Väl Godkänd (av maximalt 36p.
HH / Georgi Tchilikov DISKRET MATEMATIK,5p. 8 juni 007, 40 minuter Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 5p. för Godkänd, 4p. för Väl Godkänd (av maximalt 36p.). Förenkla (så mycket som
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om logik och mängdlära Mikael Hindgren 5 september 2018 Utsagor Utsaga = Påstående som har sanningsvärde Utsagan kan vara sann (S) eller falsk (F) öppen eller
Läs mer{ } { } En mängd är en samling objekt A = 0, 1. Ex: Mängder grundbegrepp 5 C. Olof M C = { 7, 1, 5} M = { Ce, Joa, Ch, Je, Id, Jon, Pe}
Mängder grundbegrepp En mängd är en samling objekt Ex: { } { } A = 0, 1 B = 0 C = { 7, 1, 5} tomma mängden (har inga element) D = { 1, 2, 3,, 10} M = { Ce, Joa, Ch, Je, Id, Jon, Pe} kallas element i mängden
Läs merMatematiska uppgifter
Elementa Första häftet 3220. Bestäm alla reella tal x för vilka 3 x x + 2. 322. Pelles och Palles sammanlagda ålder är 66 år. Pelle är dubbelt så gammal som Palle var när Pelle var hälften så gammal som
Läs merAlgebra och Diskret Matematik A (svenska)
MITTUNIVERSITETET TFM Tentamen 2007 MAAA99 Algebra och Diskret Matematik A (svenska) Skrivtid: 5 timmar Datum: 7 juni 2007 Denna tenta omfattar 8 frågor, där varje fråga kan ge 3 poäng. Maximalt poängantal
Läs merDiskret matematik: Övningstentamen 1
Diskret matematik: Övningstentamen 1 1. Bevisa att de reella talen är en icke-uppräknelig mängd.. För två mängder av positiva heltal A och B skriver vi A C B, om det är så att A innehåller ett heltal som
Läs merRelationsalgebra. Relationsalgebra består av en mängd operatorer som tar en eller två relationer som input och producerar en ny relation som resultat.
Database: Relationsalgeba 2-11 Relationsalgeba Relationsalgeba bestå av en mängd opeatoe som ta en elle två elatione som input och poducea en ny elation som esultat. De fundamentala opeationena ä unäa
Läs mer29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5.
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den 3 november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1 a) Lös den diofantiska ekvationen 9x + 11y 00 b) Ange alla lösningar x, y) sådana
Läs merUtsagor (Propositioner) sammansatta utsagor sanningstabeller logisk ekvivalens predikat (öppna utsagor) kvantifierare Section
Föreläsning 1 Utsagor (Propositioner) sammansatta utsagor sanningstabeller logisk ekvivalens predikat (öppna utsagor) kvantifierare Section 1.1-1.3 i kursboken Definition En utsaga (proposition) är ett
Läs merMATEMATIKENS SPRÅK. Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, lära oss
Explorativ övning 1 LMA100 vt 2003 MATEMATIKENS SPRÅK Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, lära oss förstå språket. Vi skall försöka utveckla vårt
Läs mer7, Diskreta strukturer
Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 7, Diskreta strukturer Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2013 1 Inledning 2 Satslogik Inledning Satslogiska uttryck Resonemang och härledningar
Läs mer14. Potentialer och fält
4. Potentiale och fält Vågekvationena fö potentialena educeas nu till [Giffiths,RMC] Fö att beäkna stålningen fån kontinueliga laddningsfödelninga och punktladdninga måste deas el- och magnetfält vaa kända.
Läs merHögstadiets matematiktävling 2018/19 Finaltävling 19 januari 2019 Lösningsförslag
Högstadiets matematiktävling 2018/19 Finaltävling 19 januari 2019 Lösningsförslag 1. Lösningsförslag: Vi börjar med att notera att delbarhet med 6 betyder att N är delbart med 2 och 3. Om N är delbart
Läs merInduktionsprincipen Starka induktionsprincipen Välordningsprincipen Divisionsalgoritmen
Föreläsning 3 Induktionsprincipen Starka induktionsprincipen Välordningsprincipen Divisionsalgoritmen Mängder Induktion behöver inte börja från 1, Grundsteget kan vara P (n 0 ) för vilket heltal n 0 som
Läs merLE2 INVESTERINGSKALKYLERING
LE2 INVESTERINGSKALKYLERING FÖRE UPPGIFTER... 2 2.1 BANKEN... 2 2.2 CONSTRUCTION AB... 2 2.3 X OCH Y... 2 UNDER UPPGIFTER... 3 2.4 ETT INDUSTRIFÖRETAG... 3 2.5 HYRA ELLER LEASA... 3 2.6 AB PRISMA... 3
Läs merMatematiska uppgifter
Elementa Årgång 6, 977 Årgång 6, 977 Första häftet 36. Lös ekvationssystemet { x y = 8 y log x + x log y = 2 (Svar: x = y = 8) 36. lös ekvationen 6sin x 6sin2x + 5sin3x =. (Svar: x = n 8, 84,26 + n 36,
Läs merLösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5 5.3. Vi använder Euklides algoritm och får 4485 = 1 3042 + 1443 3042 = 2 1443 + 156 1443 = 9 156 + 39 156 = 4 39. Alltså är sgd(3042, 4485) = 39. Om vi startar
Läs merBegreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken.
MÄNGDER Grundläggande begrepp och beteckningar egreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken. Vi kan beskriva (ange, definiera) en mängd som innehåller ändligt många element genom
Läs mer7 Elektricitet. Laddning
LÖSNNGSFÖSLAG Fysik: Fysik och Kapitel 7 7 Elekticitet Laddning 7. Om en positiv laddning fös mot en neutal ledae komme de i ledaen lättöliga, negativt laddade, elektonena, att attaheas av den positiva
Läs merKOMBINATORIK. Exempel 1. Motivera att det bland 11 naturliga tal finns minst två som slutar på samma
Explorativ övning 14 KOMBINATORIK Kombinatoriken används ofta för att räkna ut antalet möjligheter i situationer som leder till många olika utfall. Den används också för att visa att ett önskat utfall
Läs merUPPGIFT 1. F E. v =100m/s F B. v =100m/s B = 0,10 mt d = 0,10 m. F B = q. v. B F E = q. E
UPPGIFT 1. B 0,10 mt d 0,10 m F B q. v. B F E q. E d e + + + + + + + + + + + + + + + + + + F E F B v 100m/s E U / d - - - - - - - - - - - - - - - - - F B F E q v B q U d Magnetfältsiktning inåt anges med
Läs merINDUKTION OCH DEDUKTION
Explorativ övning 3 INDUKTION OCH DEDUKTION Syftet med övningen är att öka Din problemlösningsförmåga och bekanta Dig med olika bevismetoder. Vårt syfte är också att öva skriftlig framställning av matematisk
Läs merBlock 1 - Mängder och tal
Block 1 - Mängder och tal Mängder Mängder och element Venndiagram Delmängder och äkta delmängder Union och snittmängd Talmängder Heltalen Z Rationella talen Q Reella talen R Räkning med tal. Ordning av
Läs merTentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl
1 Matematiska Institutionen KTH Tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl 14.00-19.00. Examinator: Olof Heden Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna
Läs merHögstadiets matematiktävling 2016/17 Finaltävling 21 januari 2017 Lösningsförslag
Högstadiets matematiktävling 2016/17 Finaltävling 21 januari 2017 Lösningsförslag 1. Lösningsförslag: Låt oss först titta på den sista siffran i 2 0 1 7. Ett tal som är delbart med 2 och 5 är då också
Läs merFöreläsning 1. Elektrisk laddning. Coulombs lag. Motsvarar avsnitten 2.12.3 i Griths.
Föeläsning 1 Motsvaa avsnitten 2.12.3 i Giths. Elektisk laddning Två fundamentala begepp: källo och fält. I elektostatiken ä källan den elektiska laddningen och fältet det elektiska fältet. Två natulaga
Läs merDD1350 Logik för dataloger. Fö 7 Predikatlogikens semantik
DD1350 Logik för dataloger Fö 7 Predikatlogikens semantik 1 Kryssprodukt av mängder Om A och B är två mängder så är deras kryssprodukt A B mängden av alla par (a,b), där a A och b B. Ex: A={1,2}, B={3,4},
Läs merMATEMATIKENS SPRÅK. Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt,
Explorativ övning 1 MATEMATIKENS SPRÅK Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, lära oss förstå språket. Vi skall försöka utveckla vårt matematiska språk,
Läs merLösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE, CL2 och Media 1, SF1610 och 5B1118, onsdagen den 17 augusti 2011, kl
Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE, CL och Media, SF60 och 5B8, onsdagen den 7 augusti 0, kl 4.00-9.00. Examinator: Olof Heden Hjälpmedel: Inga
Läs merMA 11. Hur starkt de binder. 2 Reella tal 3 Slutledning 4 Logik 5 Mängdlära 6-7 Talteori 8 Diofantiska ekvationer 9 Fördjupning och kryptografi
MA 11 Talteori och logik 2 Reella tal 3 Slutledning 4 Logik 5 Mängdlära 6-7 Talteori 8 Diofantiska ekvationer 9 Fördjupning och kryptografi propositionssymboler: bokstäver konnektiv Paranteser konnektiv
Läs merANDREAS REJBRAND NV3ANV Matematik Matematiskt språk
ANDREAS REJBRAND NV3ANV 2006-02-14 Matematik http://www.rejbrand.se Matematiskt språk Innehållsförteckning MATEMATISKT SPRÅK... 1 INNEHÅLLSFÖRTECKNING... 2 INLEDNING... 3 MÄNGDER... 4 Att uttrycka en mängd...
Läs merMängdlära. Kapitel Mängder
Kapitel 2 Mängdlära 2.1 Mängder Vi har redan stött på begreppet mängd. Med en mängd menar vi en väldefinierad samling av objekt eller element. Ordet väldefinierad syftar på att man för varje tänkbart objekt
Läs merFlera kvantifierare Bevis Direkt bevis Motsägelse bevis Kontrapositivt bevis Fall bevis Induktionsprincipen. x y (x > 0) (y > 0) xy > 0 Domän D = R
Föreläsning Flera kvantifierare Bevis Direkt bevis Motsägelse bevis Kontrapositivt bevis Fall bevis Induktionsprincipen För att göra ett påstående av en öppen utsaga med flera variabler behövs flera kvantifierare.
Läs merSKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet. Lösningsförslag till naltävlingen den 20 november 2004
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Lösningsförslag till naltävlingen den 0 november 004 1. Låt A, C vara de två cirklarnas medelpunkter och B, D de två skärningspunkterna. Av förutsättningarna
Läs merFlervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar läsvecka 3
levaiabelanals I Vinten 9 Övesikt föeläsninga läsvecka Det teje kapitlet i kusen behanla ubbel- och tippelintegale. Den integalen vi känne till fån envaiabelanalsen, f ( ) b a, kan ju ofta ses som aean
Läs merKvalificeringstävling den 26 september 2017
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 6 september 017 1. Bestäm alla reella tal x, y, z som uppfyller ekvationerna x + = y y + = z z + = x Lösning 1. Addera
Läs merAlgebra I, 1MA004. Lektionsplanering
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska Institutionen Dan Strängberg HT2016 Fristående, IT, KandDv, KandMa, Lärare 2016-11-02 Algebra I, 1MA004 Lektionsplanering Här anges rekommenderade uppgifter ur boken till
Läs merFinns det tillräckligt med information för att bestämma hur många av eleverna som fick 1 poäng? Vad tycker du?
Logik och bevis I 1. Introduktion till logik Varför skulle vi vilja studera logik? Det kan vara för att det hjälper oss att förstå ett problem och dra slutsatser. Det hjälper oss att skriva klartext så
Läs mer2 (6) k 0 2 (7) n 1 F k F n. k F k F n F k F n F n 1 2 (8)
De naturliga talen. Vi skall till att börja med stanna kvar i världen av naturliga tal, N 3. Vi har redan använt (i beviset av Euklides primtalssats) att de naturliga talen är uppbyggda (genom multiplikation)
Läs merIntroduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 4
Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 014-015 Denna lektion ska vi studera rekursion. Lektion 4 Principen om induktion Principen om induktion är ett vanligt sätt att bevisa
Läs merLösningar för tenta i TMV200 Diskret matematik kl. 14:00 18: Svar: Ja, det gäller, vilket kan visas på flera sätt (se nedan).
Lösningar för tenta i TMV200 Diskret matematik 208-0-2 kl. 4:00 8:00. Ja, det gäller, vilket kan visas på flera sätt (se nedan). Alternativ (induktionsbevis): Vi inför predikatet P (n) : 2 + 2 3 + + n(n
Läs merinte följa någon enkel eller fiffig princip, vad man nu skulle mena med det. All right, men
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Christian Gottlieb Gymnasieskolans matematik med akademiska ögon Induktion Dag 2. Explicita formler och rekursionsformler. Dag mötte vi flera talföljder,
Läs merDelbarhet och primtal
Talet 35 är delbart med 7 eftersom 35 = 5 7 Delbarhet och primtal 7 är en faktor i 35 kan skrivas 7 35 7 är en delare (divisor) till 35 35 är en multipel av 7 De hela talen kan delas in i jämna och udda
Läs mer2 S. 1. ˆn E 1 ˆn E 2 = 0 (tangentialkomponenten av den elektriska fältstyrkan är alltid kontinuerlig)
1 Föeläsning 11 9.1-9.2.2 i Giffiths Randvillko (Kap. 7.3.6) (Vi vänta till föeläsning 12 med att ta upp andvillkoen. Dä används de fö att bestämma eflektion och tansmission mot halvymd.) De till Maxwells
Läs merUppgift 4. (1p) Beräkna volymen av den parallellepiped som spänns upp av vektorerna. ) vara två krafter som har samma startpunkt
Kontollskivning 8 sep 7 VRSION A Tid: 8:5- Kus: HF6 Linjä algeba och anals (algebadelen) Läae: ik Melande, Nicklas Hjelm, Amin Halilovic aminato: Amin Halilovic Fö godkänt kävs 5 poäng Godkänd KS ge bonus
Läs mer4x 1 = 2(x 1). i ( ) får vi 5 3 = 5 1, vilket inte stämmer alls, så x = 1 2 är en falsk rot. Svar. x = = x x + y2 1 4 y
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Prov i matematik BASKURS DISTANS 011-03-10 Lösningar till tentan 011-03-10 Del A 1. Lös ekvationen 5 + 4x 1 5 x. ( ). Lösning. Högerledet han skrivas
Läs merINDUKTION OCH DEDUKTION
AVSNITT 3 INDUKTION OCH DEDUKTION Med induktion menar man vanligen en mycket vanlig resonemangsmetod: man gör flera observationer, upptäcker ett mönster (eller något som man tror är ett mönster) och därefter
Läs merÖvningshäfte 2: Induktion och rekursion
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2017 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 2: Induktion och rekursion Övning D Syftet är att öva förmågan att utgående från enkla samband, aritmetiska och geometriska,
Läs mer1 av 9. vara en icke-nollvektor på linjen L och O en punkt på linjen. Då definierar punkten O och vektorn e r ett koordinataxel.
Amin Haliloic: EXTRA ÖVNINGAR a 9 Base och koodinate i D-ummet BASER CH KRDINATER Vektoe i ett plan Vektoe i ummet BASER CH KRDINATER FÖR VEKTRER SM LIGGER PÅ EN RÄT LINJE Vi betakta ektoe som ligge på
Läs merBILDFYSIK. Laborationsinstruktioner LABORATIONSINSTRUKTIONER. Fysik för D INNEHÅLL. Laborationsregler sid 3. Experimentell metodik sid 5
LABORATIONSINSTRUKTIONER Laboationsinstuktione Fysik fö D BILDFYSIK INNEHÅLL Laboationsegle sid 3 Expeimentell metodik sid 5 Svängande fjäda och stava sid 17 Geometisk optik sid 21 Lunds Tekniska Högskola
Läs merÖvningshäfte 1: Logik och matematikens språk
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk Övning A Målet är att genom att lösa och diskutera några inledande uppgifter få erfarenheter
Läs mer16. Spridning av elektromagnetisk strålning
16. Spidning av elektomagnetisk stålning [Jakson 9.6-] Med spidning avses mest allmänt poessen dä stålning antingen av patikel- elle vågnatu) växelveka med något objekt så att dess fotskidningsiktning
Läs merLösningar till udda övningsuppgifter
Lösningar till udda övningsuppgifter Övning 1.1. (i) {, } (ii) {0, 1,, 3, 4} (iii) {0,, 4, 6, 8} Övning 1.3. Påståendena är (i), (iii) och (v), varav (iii) och (v) är sanna. Övning 1.5. andra. (i) Nej.
Läs merFinaltävling i Stockholm den 22 november 2008
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Finaltävling i Stockholm den november 008 Förslag till lösningar Problem 1 En romb är inskriven i en konve fyrhörning Rombens sidor är parallella
Läs merKvalificeringstävling den 30 september 2008
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2008 Förslag till lösningar Problem 1 Tre rader med tal är skrivna på ett papper Varje rad innehåller tre
Läs merScenario 1: Vi får bidrag och ca 10 kommuner. Scenario 2: Vi får bidrag och ca 20 kommune r
Ange kommun: Ange namn: Skulle ni vaa intesseade av att delta i en kemikalieådgivningsfu nktion fö nas medabetae? Till exempel specifika kemikaliefågo i upphandling och inköp,veksamhete (föskolo, skolo,
Läs merRäta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom som är parallell med r
Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR RÄTA LINJER OCH PLAN Räa linje och plan Räa linje i D-umme: Lå L vaa den äa linjen genom punken P x, y, om ä paallell med vekon v v, v, v ) 0. Räa linjen ekvaion på paameefom
Läs merTentamen i TDDC75 Diskreta strukturer
Tentamen i TDDC75 Diskreta strukturer 2017-01-05, Lösningsförslag (med reservation för eventuella fel) 1. Betrakta följande satslogiska uttryck: (p q) (q p) (a) Visa genom naturlig deduktion att uttrycket
Läs mer